山西忻州市第一中学校2027届高三上学期数学导向卷（四）

绝密大启用前 试卷类型：A 忻州一中2027届高三导向卷（四） 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号。 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面 向量、解析几何、立体几何、概率统计等。 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 1.已知集合A={1,2,3,5,8},B={2,3,4,5,6},全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},则C(AUB) A.{7} B.{1,8} C.{4,6,7} D.{1,7,8} 2.设x∈R,则“x=0”是“simx=0”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.下列函数为偶函数的是 sin x A. f(）=1+x2 B.f)= (x≠0) C.f(2)= e-e-x 2 D.f(x)=In(z+1) 4.(x-2)6的展开式中x3的系数为 A.-160 B.-120 C.120 D.160 5.设a=30.2,b=90.1,c=log32,则a,b,c的大小关系为 A.a>b>c B.a=b>c C.c>a=b D.b>c>a 6.已知函数f(x)=4-”-x2,x≥0，则f(x)的零点所在区间为 A. B 711 42 () C. D.(1,2) 7.已知函数f(x)=sin(wx+p)(w>0,0<p<π)。若x= 是函数图象的一条对称轴， T=T 是其右侧相邻的一个对称中心，则f)在区间[0，】 上的最小值为 A. _V3 B.一2 C.0 D. 2 8.已知双自线C:后-是-1a>0,b>0的离心率为2.实轴长为4，且一条浙近线的 y2 【2027届高三导向卷（四)·数学第1页（共3页)】 忻州一中 模拟专用 斜率为v3。若C的右焦点为F,点P在C的右支上，且PF=2,则点P到C的左焦点 的距离为 A.4 B.5 C.6 D.8 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.设随机变量X服从正态分布N(4,σ2)（σ>0），某组二维数据的线性相关系数为r。下列 说法正确的是 A.P(X≤四=2 1 B. P(X≥H+o)=P(X≤4-o) C.若两组数据的相关系数分别为m1=-0.95,r2=0.60,则第一组数据的线性相关程度更 强 D.若？=0，则两变量一定相互独立 10.设函数9)=血 ,x>0。下列结论正确的是 A.g(1)=0 B.g(x)在(0,1)上单调递减 C.g(x)在x=e2处取得极大值 4 D.若0<a<2,则方程g)=a在(0，+)上有三个不同实根 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,圆M:(x-1)2+y2=4与抛物线C交于A,B两 点。下列结论正确的是 A.AB=4 B.直线AB经过焦点F C.抛物线C在A,B两点处的切线交于点（-1,0) D.以AB为直径的圆经过原点O 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.直线x+y-6=0与圆(x-1)2+(y+3)2=2相交所得弦长为4，则r= 13.某人一周安排两次训练。第一次训练得5分的概率为0.6，得7分的概率为0.4。若第一次 得5分，则第二次得6分的概率为0.7，得4分的概率为0.3；若第一次得7分，则第二次得6 分的概率为0.5，得4分的概率为0.5。一周总分不少于11分记为“达标”。（1)一周达标的概率 为 ;(2)若连续独立安排4周，记达标周数为X,则E(X)= 14.在△ABC中，设AB=a,AC=b,且|a=3,b=4,ab=6。点D为AB的 中点，点E在线段AC上，且AE:EC=1:3。则D五= D五.BC= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分) 某班进行周训练评价。每周有两次训练，每次得分规则如下：第一次训练得5分的概率为0.6， 得7分的概率为0.4。若第一次得5分，则第二次得6分的概率为0.7，得4分的概率为0.3； 若第一次得7分，则第二次得6分的概率为0.5，得4分的概率为0.5。一周两次训练总分不 少于11分记为“达标”。 【2027届高三导向卷（四）·数学第2页（共3页)】 所州一中 用 (1)求某一周达标的概率； (2)已知某一周达标，求该周第一次训练得5分的概率； (3)若连续独立安排10周训练，记达标周数为Y,求E(Y),D(Y)。 16.（本小题满分15分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a sin B=V3 bcos A,c=b+2,a=7。 (1)求角A; (2)求b,c (3)求cos(B-C)。 17.(本小题满分15分) 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2。点E,F D 分别为BB1,DD1的中点。 (1)证明：EF⊥平面ACC1A1; (2)求平面AEF与平面BCF夹角的余弦值； (3)求点B1到平面AEF的距离。 18.（本小题满分17分)】 已知椭圆E:+ 3 =1。点A(2,0)为椭圆E的右顶点，点F(-1,0)为椭圆E的左焦点。 4 设P=(2,s)(s>0。过点P。作椭圆E的切线，其中一条切线为x=2,另一条切线与椭 圆E相切于点B。 (1)用s表示点B的坐标； (2)证明：直线FP,平分∠AFB。; (3)求S△AFB。的最大值，并求此时s的值。 19.（本小题满分17分) 对任意正整数k,定义权重wk=2k-1。对任意正整数n,定义集合 -2} 也就是说，An由前n个权重w1,w2,·,wn任意选取若干个相加得到，空集对应的和为0。 (1)写出集合Ag; (2)证明：An中共有2”个不同元素，并求4n中所有元素之和； (3)设 7 Wn 在整数区间[0，W]内，不能表示为A中元素的整数称为“缺口数”。求所有缺口数的 个数与所有缺口数之和。 【2027届高三导向卷（四)·数学第3页（共3页)】 忻州一中 参考答案与详解 2027届高三导向卷（四）·数学 一、单项选择题 题号12345678 答案AA BA B C A C 1. AUB={1,2,3,4,5,6,8} 全集为 U={1,2,3,4,5,6,7,8}, 所以 Cu(AUB)={7). 故选A。 2.若x=0,则 sinx =0. 所以“x=0”是“sinx=0”的充分条件。 但若sinx=0,则 x=kT; k∈Z, 不一定有x=0。所以不是必要条件。 故选A。 3.A中 f)=1+2 为奇函数，不是偶函数。 B中 f()=sina (x≠0)， 定义域关于原点对称，且 f(-t)=sin(-z)=sinz=f(t) 所以为偶函数。 C中 f(a)=e-ex 2 为奇函数。 D中 f(x)=In(x+1) 【2027届高三导向卷（四）·数学参考答案与详解第1页】 忻州一中 专用 的定义域为（一1，+o),不关于原点对称，不是偶函数。 故选B。 4.展开式通项为 T+1= x6-r(-2r 要得到x3项，需 6-r=3, 所以 r=3. 因此x3的系数为 (9）-29=20(-9=-160 故选A。 5. b=9.1=(32)0.1=302=a. 又 a=302>1, c=log3 2<log3 3 1. 所以 a=b>c. 故选B。 6. f(x)=4x-x2. 当2-时， r( =4-}--- 4=2-4=4>0. 当x=1时， f-}-1=-<0 又4-x在x≥0上递减，-x2也递减，所以f(x)在x≥0上递减，零点唯一。 故零点在 故选C。 7. 由题意，x= 及是对称轴，心=了是其右侧相邻对称中心。 正弦函数相邻对称轴与对称中心的距离为 -品 于是 πTπ 3-12=4=2 【2027届高三导向卷（四）·数学参考答案与详解第2页】 忻州一中 专用 所以 w=2. 设 f(x)=sin(2x+). 因为x= 12 是对称轴，所以 +=+k 即 +e=+m 由0<P<π，可取 因此 f(r)-sin (2+3) 当 r∈[o,引 时， 2+ -T4π 所以最小值为 sin 3 2 故选A。 8.按修订题意，双曲线实轴长为4，故 2a=4,a=2. 双曲线右支上任一点P满足 |PF左|-|PF右=2a=4. 已知 PF右|=2， 所以 |P左|=2+4=6. 故选C。 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ABC ABCD ABC 9.正态分布关于x=4对称，所以 PX≤A-司 【2027届高三导向卷（四）·数学参考答案与详解第3页】 忻州一中 用 A正确。 又由对称性， P(X≥u+o)=P(X≤u-σ)： B正确。 线性相关程度看r。因为 -0.95=0.95>0.60=10.60, 所以第一组数据线性相关程度更强。C正确。 若？=0，只能说明无线性相关，不一定相互独立。D错误。 综上，选ABC。 10. 9(a)=nx2 x>0. 显然 g(1)=0. A正确。 求导得 ge=2mxt-血2-a2e-n园 x2 当0<x<1时， Inx <0,2-Inx 0, 所以 g(x)<0. 故g(c)在(0,1)上单调递减。B正确。 当1<<e2时，g(c)>0;当x>e2时，g(c)<0。所以g(x)在x=e2处取得极大值。 C正确。 且 g的=专 函数图象在0,1)上从+0降到0，在1，c2)上从0升到是，在2，+∞上从号降到0. 所以当 0<a< 4 时，方程 g(x)=a 在(0，+∞)上有三个不同实根。D正确。 综上，选ABCD。 11.由 2y2=4x 得 【2027届高三导向卷（四）·数学参考答案与详解第4页】 忻州一中 用 代入圆 (x-1)2+y2=4, 得 (管-°+=4 令 u=y, 则 (匠-+4=4 化简得 u2+8u-48=0. 解得 2u=4 或 u=-12 舍去。 所以 y=土2 x=1. 两交点为 A(1,2), B(1,-2) 所以 AB=4. A正确。 抛物线焦点为 F(1,0), 直线AB为x=1,经过焦点F。B正确。 抛物线y=4x的参数点为 (t2,2t) 切线为 ty =x +12. 点(1,2)对应t=1,切线为 y=c+1. 点(1，-2)对应t=-1,切线为 -y=x+1, 即 y=-x-1. 两切线交点为 (-1,0). C正确。 【2027届高三导向卷（四）·数学参考答案与详解第5页】 所州一中 以AB为直径的圆圆心为(1,0)，半径为2，方程为 (x-1)2+y2=4. 原点代入得 1≠4， 故不经过原点。D错误。 综上，选ABC。 三、填空题 题号 12 13 14 答案 60.82,3.28 b- 28,4 12.圆心为 (1,-3). 圆心到直线x+y一6=0的距离为 d=1-3-68 v2 弦长为4，半弦长为2。由弦长公式， r2=d2+22」 所以 r2=(4V2)2+4=32+4=36. 故 r=6 13.一周达标的情况有三种：第一次5分，第二次6分；第一次7分，第二次6分；第一 次7分，第二次4分。 所以达标概率为 0.6.0.7+0.4.0.5+0.4.0.5=0.42+0.20+0.20=0.82. 连续独立4周，达标周数 X×B(4,0.82). 所以 E(X)=4·0.82=3.28. 14.因为D为AB的中点，所以 ò- 又 AE:EC=1:3, 所以 A正-b 【2027届高三导向卷（四）·数学参考答案与详解第6页】 忻州一中 专用 因此 成-花-市-b烈 R BC=AC-AB=b-a. 所以 D成.0-(（-)b-则 -ja.b-ja.b+. 代入 |a=3,lbl=4,a.b=6, 得 子16-6-号6+9=4--3+号=4 四、解答题 15. 答案：pD=贵P第-次得51D)=引：E0=D= 369 (1)设达标事件为D。一周达标的情况为 (5,6),(7,6),(7,4). 所以 P(D)=0.6.0.7+0.4.0.5+0.4.0.5. 因此 PD)=0,2+0.20+020=082-0 1 (2)设第一次训练得5分为事件A。已知达标时，第一次得5分只可能对应第二次得6分。 所以 P(AnD)=0.60.7=0.42= 21 50 由条件概率公式， P(AID)=P(AOD) P(D) 41 (3)连续独立10周，达标周数 Y~B 所以 EY)=10·50= 41 41 5 D(Y)=10. 419 369 5050-250 16答案：A=号b=1,c=3:cs(B-C- 【2027届高三导向卷（四）·数学参考答案与详解第7页】 忻州一中 拟用 (1)由正弦定理， sin A sin B 所以 asin B=bsin A. 已知 asin B=V3bcos A, 故 bsin A=V3bcos A. 因为b>0,所以 sin A=V3cos A. 又A∈(0，π)，所以 4 (2)由余弦定理， a2 =62+c2-2bc cos A. 已知 a=V7,c=b+2, 008A=2 1 所以 7=b2+(b+2)2-b(b+2). 化简得 7=b2+2b+4. 即 b2+2b-3=0. 解得 b=1 或 b=-3 舍去。因此 b=1,c=3. (3)由余弦定理， Cos B= a2+c2-_7+9-1=5 2ac 2V7.3 2月 由正弦定理， sin B= bsin A 1.V3 v72W7 又 cosC=02+2-27+1-9 1 2ab 2V7 2v sinC=csim4_3.竖_3V3 a V7 2V7 【2027届高三导向卷（四）·数学参考答案与详解第8页】 所州一中 所以 cos(B-C)=cos B cos C+sin B sin C. 代入得 5 V3 3V3 cos(B-C)= 2√7 2√7 2斤27 9 1 28+28=7 17. 答案：EF1平面4CCA1:平面AEF与平面BCP夹角的余弦值为V ;d(B1,平面AEF)= 10 V6 3 建立空间直角坐标系： A(0,0,0),B(2,0,0,D(0,2,0),C(2,2,0, A1(0,0,2),B1(2,0,2),D1(0,2,2),C1(2,2,2) 点E,F分别为BB1,DD1的中点，所以 E(2,0,1), F(0,2,1). (1)有 E市=(-2,2,0) 平面ACC1A1由向量 4元=(2,2,0)， A4=(0,0,2) 张成。 计算得 E.Ad=(-2)2+2·2+0=0, EF.AA =0. 所以 EF⊥AC, EF⊥AA: 又AC,AA1C平面ACC1A1,且二者相交，所以 EF⊥平面ACC1A1 (2)平面AEF中， A它=(2,0,1， A=(0,2,1) 取法向量 n1=A正×A 计算可取 n1=（-1,-1,2) 平面BCF中， BC=(0,2,0), B7=(-2,2,1). 取法向量 n2 BC x BP 【2027届高三导向卷（四）·数学参考答案与详解第9页】 所州一中 用 计算可取 n2=(1,0,2). 所以两平面夹角的余弦值为 1·= 1(-1)·1+(-1)·0+2·2 =3=V30 ni n2 V6V5 V30 10 (3)平面AEF的法向量可取 n1=（-1,-1,2) 因为平面过点A(0,0,0),所以平面AEF方程为 -x-y+22=0. 点B1(2,0,2)到该平面的距离为 -2-0+4 d= 2V6 VP+-1P+2=派=3 6s 18. 答案：B。 23-s2) s2+3s2+3 直线FP平分∠AFB,:Sn=3Y3 2,§=V3。 (1)设切点 Bs=(x0,y0): 椭圆在点B。处的切线方程为 00+0型=1. 4 3 该切线经过 P3=(2,s) 所以 20+s%=1 2T3 又 由于x=2是经过P。的一条切线，切点为A(2,0)。另一切点B。可由切点弦方程 言+智=1 与椭圆联立求得。 令 x=2- 2s 代入椭圆： -)+号-1 化简得 [(）-到- 【2027届高三导向卷（四）·数学参考答案与详解第10页】 忻州一中 除去y=0对应的点A,另一切点满足 6s y= s2+3 于是 -2台02 2(3-s2) 所以 B。 2(3-s2)6s s2+3s2+3 (2)由第(1)问， B 2(3-s2)6sY s2+31s2+3 点 F(-1,0),A(2,0),P(2,s) 有 Fi=(3,0), FF=(3,s). 又 9-s26s 其长度为 1FB=V⑨-s22+36s2 s2+9 s2+3 s2+3 因此单位向量 FB, 9-s26s\ Ifb s2+9’s2+9 而 FA =(1,0) FAI 两单位向量之和为 9-s2 6s 18 6s 6 1+ s2+9s2+9 （2+9s2+9) 82+9(3s). 这与 F7=(3,s) 同向。 所以直线FP。平分 ∠AFBs. (3)由第（1)问，B。的纵坐标为 6s s2+3 【2027届高三导向卷（四)·数学参考答案与详解第11页】 所州一中 因为AF=3,且AF在x轴上，所以 1 1 6s 9.s SAAFB.=2AF.UB.=2.3. 3·s2+3=s2+3 令 9s h(s)= s2+3 s>0. 求导得 M(s)=9s2+3)-18s2_93-s2) (s2+3)2 Γ(s2+3)2 所以当0<s<v5时，(s)>0;当s>V3时，h'(s)<0。故最大值在 s=V3 处取得。 此时 9V33v3 3+32 19. 答案：4={0,1,3,4,7,8,10,11}；4n=2”,∑x=2m-1(2m+1-n-2);缺口数个 x∈An 数为2m-n-1,缺口数之和为 (2”+1-n-2)(2m-n-1) 2 (1) 1=1,w2=3, w3=7. 因此 43={0,1,3,1+3,7,1+7,3+7,1+3+7} 即 43={0,1,3,4,7,8,10,11}. (2)先证明A中共有2m个不同元素。 注意 wk=2-1. 而前k一1个权重之和为 k-1 Wk-1=∑(2-1)=2-2-(k-1)=2*-k-1. 2=1 所以 wk=2k-1>2k-k-1=Wk-1. 这说明每一个新权重w都大于前面所有权重之和。因此不同的选取方式得到的和不同。 又{1,2，…，n}的子集共有2”个，所以4n中共有 2” 个不同元素。 【2027届高三导向卷（四)·数学参考答案与详解第12页】 忻州一中 专用 接着求所有元素之和。每个权重在所有子集和中出现 2n-1 次。所以 ∑=2-1∑s = 而 空-22-n=212-n k=1 所以 ∑x=2-1(2+1-n-2), (3)先求 Wn. 有 . wWn=∑2*-1）=2m+1-2-n. k=1 整数区间[O,Wn]中共有 Wn+1 个整数。其中能表示为An中元素的整数共有 2” 个。 所以缺口数个数为 (Wn+1)-2n 代入 Wn=2m+1-2-n, 得 (2+1-2-n+1)-2=2m-n-1. 再求所有缺口数之和。区间O,Wn]内所有整数之和为 Wn(Wn +1) 0+1+·+Wn= 由第(2)问，所有可表示数之和为 2n-1Wn. 所以所有缺口数之和为 Wa(Wn +1)_2"-Wn 2 提取Wn,得 (-2 【2027届高三导向卷（四)·数学参考答案与详解第13页】 忻州一中 专用 代入 Wn=2+1-n-2. 有 Wn+1-2-1= 2m+1-n-1 2 2 -2-1 因为 2n+1 2=2”, 所以 Wn+1-2-1=20-n+1-2-1=20-m-1 2 2 因此缺口数之和为 (2n+1-n-2)(2m-n-1) 2 【2027届高三导向卷（四)·数学参考答案与详解第14页】 忻州一中