山西忻州市第一中学校2027届高三上学期数学导向卷（五）

绝密大启用前 试卷类型：A 忻州一中2027届高三导向卷（五） 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号。 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面 向量、解析几何、立体几何、概率统计等。 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 1.设集合A={x∈Z|-2<x≤4}，B={xx2-5x+6≤0}，则A∩B= A.{1,2,3} B.{2,3} C.{2,3,4} D.{1,2,3,4} 2.已知复数之= 3+42 1-i ,则= A.2 5 B. 2 C.5 D.5V2 6 3.在x2- 的展开式中，常数项为 A. -15 B.15 C.-20 D.20 4.设a=204,b=402,c=log23-1,则a,b,c的大小关系为 A.a=b>c B.a>b>c C.c>a=b D.b>c>a 5.某城市四个季度的某项指标依次为120，x,y,136。已知四个季度数据按从小到大排列后，中 间两个数的平均数与四个数的平均数相等，且120≤x≤y≤136，则全年该指标总和为 A.496 B.504 C.512 D.528 6.函数f(x)=3-x-元(x≥0)的零点所在区间为 11 A. 0,4 B 42 21 D.(1,2) 7.已知函数f(c)=sinc。设m1=min,sinx,m2=min sinc,其中a= x∈[a,2a x∈[2a,3a] 3，则m-2 A.-3 2 B.2 C. 2 D.③ 2 8.已知抛物线T:y2=4x。点A在T的第一象限内，且点A到T的准线的距离为5。若点 A的纵坐标为a,则a= A.2 B.22 C.4 D.5 【2027届高三导向卷（五)·数学第1页（共4页)】 忻州一中✉ 模拟专用 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.某模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰颜色分布如下表： 红色外观蓝色外观 棕色内饰 10 6 米色内饰 4 6 从中随机取一个模型。记事件A为“取到红色外观”，事件B为“取到棕色内饰”。下列说 法正确的是 A.P(A)= 14 5 B. P(BA)=月 C.事件A,B相互独立 D. P(AOB)= 2 10.在平面上，若曲线Γ存在一点M,使得对任意点P∈Γ，点P关于M的对称点仍在T 上，则称为“中心自配曲线”，点M称为其自配中心。下列曲线为中心自配曲线的是 A. 1+2=1 B.y2=4x C.xy=1 D.(x-1)2+(y+2)2=9 11.设函数g(x)=lnx-x+1,x>0。下列结论正确的是 A.g(1)=0 B.g(x)≤0对任意x>0恒成立 C.g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减 D. 若h(x)=e+1+nx-2c-1(x>0),则h(c)在(0，+o∞)上严格递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某步道起点在水平面上，终点距水平面的垂直高度为3米。设步道与水平面的夹角为0， 其中0<0<)。游客每走1米消耗的体能为：-60s0。则游客从步道底端走到顶端所消耗 的总体能最小时，cos0= 13.从A,B,C,D,E,F六项活动中任选三项参加。（1)选到A且没有选到B的概率为 一；(2)已知已经选到A,再选到B的概率为 14.在△ABC中，AB=a,AC=b,且|a=4,b=5,ab=10。点D为AB的中点，点E在 线段AC上，且AE:EC=2:3。则DE=一 ,D.BC= 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 某模型公司共有25个汽车模型，其外观和内饰颜色分布如下表： 【2027届高三导向卷（五)·数学第2页（共4页)】 忻州一中 红色外观蓝色外观 棕色内饰 10 5 米色内饰 4 6 从中随机取一个模型。记事件A为“取到红色外观”，事件B为“取到棕色内饰”。 (1)求P(B),P(B|A),并判断事件A与B是否相互独立； (2)公司举行抽奖活动：每人一次性从25个模型中不放回地取出2个模型。两个模型可能 出现以下四类结果： 甲类：外观相同且内饰相同； 乙类：外观相同但内饰不同； 丙类：外观不同但内饰相同； 丁类：外观不同且内饰不同。 规定概率越小奖项越高。最小概率结果对应一等奖600元，第二小概率结果对应二等奖 300元，第三小概率结果对应三等奖150元，最大概率结果无奖。设奖金为随机变量X, 求X的分布列与数学期望。 16.（本小题满分15分) 设函数f(x)=lnx,x>0。对正数a,过点（a,lna)作曲线y=lnx的切线，记该切线与y 轴的交点纵坐标为T(a)。 (1)求T(a); (2)设数列{an}满足an+1=T(an),且只要an≤0，递推停止。若a1∈(e2,e3),证明递推 必在第3项停止，即a2>0,a3≤0 (3)是否存在a1>0,使得a1,a2,ag依次成等差数列？若存在，证明这样的a1唯一；若不 存在，说明理由。 17.（本小题满分15分) 已知抛物线TP=4c。点A%,a 在T的第一象限内，其中a>0。 (1)若点A到T的准线距离为5，求a (2)当α=4时，点B在x轴上，且线段AB的中点在T上，求点B的坐标，并求原点 O到直线AB的距离： ③)设宜线1：2=-2.点P(至) 是T第一象限上异于A的一点，直线AP与l交于 Q。若H(-2,o),记△=|HQ。当a=4时，求△的最小值。 18.（本小题满分17分) 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1CD1中，底面ABCD D C 为直角梯形，AB‖CD,AD⊥AB,且AB=3,CD= A Bu 1,AD=2。又AA1⊥平面ABCD,AA1=3。点E,F F 分别为BB1,DD1的中点。 (1)证明：EF‖平面ABCD; C> 内 (2)求平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值： B (3)求点C1到平面AEF的距离。 【2027届高三导向卷（五)·数学第3页（共4页)】 所州一中 专用 19.（本小题满分17分) 设函数f(x)=x2-4x。对任意实数t,定义 m0=2f) (1)求m(t)的表达式； (2)设c∈[-4,0]，讨论方程m(t)=c的解的个数； (3)对正整数n,记 ={E21-n≤k≤弧m(月)<-3} 并记这些整数k的和为Sn。求Nn,Sng 【2027届高三导向卷（五)·数学第4页（共4页)】 所州一中 专用 参考答案与详解 2027届高三导向卷（五)·数学 一、单项选择题 题号12345678 答案BBB A C B D C 1.由题意 4={-1,0,1,2,3,4} 又 x2-5x+6≤0 等价于 (x-2)(x-3)≤0， 所以 B={x|2≤x≤3}： 因此 A∩B={2,3}. 故选B。 2.由复数模的性质， - 3+4 13+41=5 1-V 故选B。 3.展开式通项为 x=(9-()-(（-1y 令 12-3r=0, 得 r=4. 所以常数项为 （④-=15 故选B。 4. b=40.2=20.4=a. 【2027届高三导向卷（五）·数学参考答案与详解第1页】 忻州一中 又 E10g3-1=1g23人10g22=1, 而 a=20.4>1. 所以 a=b>c. 故选A。 5.因为 120≤x≤y≤136， 所以四个数从小到大排列为 120,x,y,136. 中位数为 x+y 29 平均数为 120+x+9+136_C+y+256 4 4 由中位数等于平均数，得 +y=C+y+256 2 所以 x+y=256. 全年总和为 120+136+x+y=512. 故选C。 6. f(x)=3-V元. 当-时， () =34->0 当x-方时， 又3-x在x≥0上递减，-√也递减，所以f(x)在x≥0上递减，零点唯一。 故零点在 () 故选B。 7. a- 【2027届高三导向卷（五）·数学参考答案与详解第2页】 所州一中 所以 [a,2a] 2π 133 在该区间内， sinx≥ 2 故 v3 又 2π [2a,3a= 在该区间内最小值为 m2=0. 所以 V3 m1-m2= 2 故选D。 8.抛物线 y2=4x 的准线为 x=-1. 点 4( 到准线的距离为 & 由题意， a +1=5. 所以 a2=16. 点A在第一象限内，故 a=4. 故选C。 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ABD ACD ABCD 9.由表格可知，红色外观共有 10+4=14 【2027届高三导向卷（五)·数学参考答案与详解第3页】 忻州一中 用 个，所以 P(0=25 4 A正确。 棕色内饰且红色外观有10个，所以 PB1A)=14=7 105 B正确。 棕色内饰共有 10+5=15 个，所以 153 P(B)=25=5 由于 PrB-f号Pa 所以事件A,B不独立。C错误。 又 PAnB卧=号-号 102 D正确。 综上，选ABD。 10.中心自配曲线的意思是：曲线关于某一点中心对称。 A中椭圆 4+2-1 关于原点中心对称，A正确。 B中抛物线 y2=4x 不存在中心对称点，B错误。 C中曲线 xy 1 关于原点中心对称。若(x,在曲线上，则(-x,一)也在曲线上，C正确。 D中圆 (x-1)2+(y+2)2=9 关于圆心(1，一2)中心对称，D正确。 综上，选ACD。 11. g(x)=Inx-x+1. 显然 9(1)=0. A正确。 由基本不等式 lnx≤x-1 【2027届高三导向卷（五）·数学参考答案与详解第4页】 忻州一中 专用 可知 g(x)=lnx-x+1≤0. B正确。 求导得 国)-是-1-12 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减。C正确。 对 h(2)=e+1+Inx-2x-1 有 h()=e2+1+1-2 因为E>0时，e+1>e>2且上>0，所以 h'(x)>0. 故h(x)在(0，+o)上严格递增。D正确。 综上，选ABCD。 三、填空题 题号 12 13 14 432 2 答案 5 10'5 5-2a,9 12.步道长度为 3 sin 总体能为 E0)=sm64 5 设 u cos0. 0<u<1. 则 B=3.是-u V1-2u2 只需最小化 员-u V1-u2 求导可得极值点满足 5 4u-1=0. 所以 - 即 @0 【2027届高三导向卷（五）·数学参考答案与详解第5页】 忻州一中 专用 13.从6项活动中任选3项，总数为 6 3 =20. (1)选到A且没有选到B,即从C,D,E,F中再选2项，共有 4 =6 种。所以概率为 63 20=10 (2)已知选到A,还需从其余5项中选2项，总数为 =10. 若再选到B,则第三项从剩余4项中选，共4种。所以条件概率为 42 10=5 14.因为D为AB的中点，所以 而= 又 AE:EC=2:3, 所以 正-b 因此 应-正-而--》 2a. 又 BC=b-a. 所以 成.元-(-)b- a.b-a-b+t. 代入 |a=4,bl=5,a.b=10 得 号25-号0-号10+216=10-4-5+8=9 四、解答题 【2027届高三导向卷（五）·数学参考答案与详解第6页】 忻州一中 专用 15. 答案：P(B)= PD利-？事件A,B不相互独立：X的分布列见解析，B) 252元。 (1)棕色内饰共有 10+5=15 个，所以 153 P(B)=25=5 红色外观共有 10+4=14 个，其中棕色内饰有10个，所以 P(B1A)==7 105 因为 P(B|A)≠P(B), 所以事件A,B不相互独立。 (2)总取法数为 25 =300. 2 四个格子的数量分别为 10,5,4,6. 甲类：外观相同且内饰相同，即两个模型来自同一格： )++(）+（ 45+10+6+15=76. 乙类：外观相同但内饰不同。红色外观有 10·4=40 种，蓝色外观有 5.6=30 种，共 70 种。 丙类：外观不同但内饰相同。棕色内饰有 10.5=50 种，米色内饰有 4.6=24 种，共 74 种。 【2027届高三导向卷（五）·数学参考答案与详解第7页】 忻州一中 专用 丁类：外观不同且内饰不同： 10.6+5·4=60+20=80. 四类概率分别为 76 70 74 80 300’ 300 300 300 从小到大为 70<74<76<80. 所以乙类对应一等奖600元，丙类对应二等奖300元，甲类对应三等奖150元，丁类无奖。 随机变量X的分布列为 X6003001500 7 \ 37194 301507515 数学期望为 70 300+300. 7 00+150. 76 E(X)=600 00 =140+74+38 =252. 故 E(X)=252元 16. 答案：T(a)=na-l;若a1∈(e2,e3),递推在第3项停止；存在唯一a=eo+1,其 中xo是方程e+1+lnx-2x-1=0在(0,1)内的唯一实根。 (1)因为 f(x)=Inx, fe倒)= 所以在点(a,lna)处的切线方程为 1 y-Ina -(x-a). 即 y=2+lna-1. a 令x=0,得 T(a)=Ina-1. (2)由递推定义， an+1 In an -1. 若 a1∈(e2,e3), 则 lna1∈(2,3). 所以 a2=lna1-1∈(1,2) 【2027届高三导向卷（五）·数学参考答案与详解第8页】 忻州一中 专用 于是 a2>0. 又 a3=lna2-1. 因为 1<a2<2, 所以 0<lna2<ln2<1. 因此 a3=lna2-1<0. 故递推在第3项停止。 (3)存在，且这样的a1唯一。 设 a2=x>0. 由 a2 In a1-1 得 a1 =ex+1, 又 a3 Inx -1. 若a1,2,a3依次成等差数列，则 a1+a3=2a2. 即 e+1+Inx-1 2x. 整理得 h(c)=e+1+ln-2x-1=0, x>0. 求导： N()=eC+1+1-2 对任意x>0,有 h'(x)>0. 故h(x)在(0，+oo)上严格递增。 又 lim h(x)=-00, x→0+ 而 h(1)=e2-3>0. 所以方程 h(x)=0 在(0,1)内有且仅有一个实根，记为0。 【2027届高三导向卷（五）·数学参考答案与详解第9页】 所州一中 专用 于是 a2=x0, a1=e0+1 所以存在唯一的 a1=e0+1 使a1,a2,a3依次成等差数列。 17. 答案：a=4:B-2,0,d0,4B)=4y3 3；Amin=4V6-8 (1)抛物线 y2=4x 的准线为 x=-1. 点 A(胥 到准线的距离为 由题意， 所以 a2=16 由于a>0,故 a=4 (2)当a=4时， 4(4,4) 设 B(t,0) 线段AB的中点为 (生 该点在抛物线y2=4x上，所以 2-4生 即 4=2(4+t) 解得 t=-2. 所以 B(-2,0): 直线AB的斜率为 4-02 k=4--2=3 【2027届高三导向卷（五)·数学参考答案与详解第10页】 所州一中 方程为 2 y=3r+2) 即 2x-3y+4=0. 原点到直线AB的距离为 4 44V13 d= vV22+(-3)2-V113 (3)当a=4时， A(4,4). 设 (停) 0>0,0卡4. 直线AP的斜率为 0-4_4 -40+4 所以直线AP方程为 y-4= 0+4-4. 4 令x=-2,得 阳=4、_24 0+4 又 H(-2,yo) 因此 △=HQ1=0-0l=4-0- 24 0+4 化简得 4=6+8 0+4 设 ()=y2+8 y+41 y>0. 求导： 0)=2y+到-(+8)-2+8y-8 (y+4)2 (y+4)2 令 y2+8y-8=0, 得正根 y=2v6-4. 所以△的最小值为 (2v6-4)=4v6-8. 【2027届高三导向卷（五）·数学参考答案与详解第11页】 忻州一中 专用 18.答案：EF‖平面ABCD;夹角余弦值为4V9 2；d(G,平面AEp)=4y2四 29 建立空间直角坐标系： A(0,0,0),B(3,0,0),D(0,2,0), C(1,2,0) A1(0,0,3),B1(3,0,3),D1(0,2,3),C1(1,2,3) 点E,F分别为BB1,DD1的中点，所以 (1)有 E7=(-3,2,0). 由于该向量的之坐标为0，故 EF‖平面ABCD. 又EF不在平面ABCD内，所以 EF‖平面ABCD. (2)平面ABCD的一个法向量为 0=(0,0,1): 平面AEF中， 应-(a).正-(.2) 取法向量 n=A正×A序 计算可取 n=(-2,-3,4) 所以平面AEF与平面ABCD夹角的余弦值为 |n·no 4 44V29 g=V-2列2+(-32+亚=V2=29 (3)平面AEF的法向量为 n=(-2,-3,4) 因为平面AEF过点A(0,0,0),所以平面AEF的方程为 -2x-3y+42=0. 点 C1(1,2,3) 到平面AEF的距离为 d=-2.1-32+4.3 V(-2)2+(-3)2+42 【2027届高三导向卷（五)·数学参考答案与详解第12页】 忻州一中 专用 即 d=-2-6+12.44V2四 v29 V2929 19. 答案： 2-4, t<0, m(t)= -4, 0≤t≤2， (t-2)2-4,t>2; 当c=-4时有无穷多个解；当-4<c≤0时有2个解；Nn=4n-1,Sn=n(4n-1)。 f(x)=x2-4x=(x-2)2-4. (1)对区间[t,t+2]求f(x)的最小值。 若t+2<2,即t<0,则整个区间在2左侧，最小值在右端点x=t+2处取得： m(t)=f(t+2)=t2-4. 若t≤2≤t+2,即0≤t≤2，则区间包含顶点x=2,最小值为 m(t)=-4. 若t>2,则整个区间在2右侧，最小值在左端点x=t处取得： m(t)=f(t)=(t-2)2-4. 所以 t2-4, t<0, m(t)= -4, 0≤t≤2， (t-2)2-4,t>2. (2)讨论方程 m(t)=c, c∈[-4,0]. 当c=-4时， m(t)=-4 在0≤t≤2上恒成立，所以有无穷多个解，解集为 [0,2]. 当-4<c≤0时，左侧 t2-4=c, t<0 给出一个解 t=-Vc+4. 右侧 (t-2)2-4=c,t>2 给出一个解 t=2+Vc+4. 【2027届高三导向卷（五)·数学参考答案与详解第13页】 忻州一中 用 所以共有2个解。 综上，c=-4时有无穷多个解；-4<c≤0时有2个解。 (3)要求 <-3. 由第（1)问可知： 当t<0时， m(t)=t2-4<-3 等价于 2<1. 又t<0,所以 -1<t<0. 当0≤t≤2时， m(t)=-4<-3, 全部满足。 当t>2时， m(t)=(t-2)2-4<-3 等价于 (t-2)2<1. 又t>2,所以 2<t<3. 综上 m(t)<-3 等价于 -1<t<3. 令 t-会 又题设 -n≤k≤3m. 所以满足条件的整数k为 -m<k<3m. 即 k=-n+1,-n+2,..,3m-1. 个数为 Nn=(3m-1)-(-n+1)+1=4n-1. 这些整数的和为等差数列求和： s=二n+)+3m-).4n-1) 即 Sn=n(4n-1) 【2027届高三导向卷（五)·数学参考答案与详解第14页】 忻州一中 专用