山西忻州市第一中学校2027届高三上学期数学导向卷（三）

绝密大启用前 试卷类型：A 忻州一中2027届高三导向卷（三) 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用黑色签字笔填写学校、姓名、班级及考号。 3.选择题答案须填涂在答题卡对应区域；非选择题答案须写在答题卡指定区域内。 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、函数与导数、三角函数、解三角形、平面 向量、解析几何、立体几何、概率统计等。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求。 1.一组8个数据的平均数为5，方差为2。现加入两个数据4和6，则新得到的10个数据的 方差为 B.2 c. 11 5 D. 2.已知复数之满足(1+)z=2-4i,则Re之+Im= A.-2 B.-4 C.2 D.4 3.设命题p:1≤x≤2，命题q:x-2≤1，则p是q的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.在△ABC中，点D在线段BC上，且BD:DC=1:2,点E为AD的中点，则B立= 2 2 A. A店+Ad 31 B. 61 3 6 C. 3 D. 3 6 5.已知sinx+cosx= 2,则sin2z= A-3 1 4 B. D.3 2 C. 2 6.已知数列{an}满足a1=2,an+1= 2an an +2' 则a10= 1 A.10 1 B. 2 5 C.11 2 D. 7.已知椭圆 +少=1的左、右焦点分别为R,B。点P在椭圆上，若∠EPB=90,则 10+4 P·PF2= A.4 B.6 C.8 D.10 【2027届高三导向卷（三）·数学第1页（共3页)】 忻州一中 一模拟专用 8.若函数f(x)=nx-kx(x>0)有两个不同的零点，则实数k的取值范围为 A.k<0 B.0<k<1 C.k= D. e e 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分。 9.已知函数f(四=x+上口>0)。下列说法正确的是 A.f(x)的最小值为2 B.当a>2时，方程f(xc)=a有两个不同的正根 C.若x1,x2是方程f(x)=a的两个正根，则x1x2=1 D.f(x)在(0，+)上单调递增 10.随机变量X的分布列为P(X=-)=子P(X=)-,P(X=2)-量下列说法正 确的是 E(X)=4 1 A. B.E2x+)-9 19 D(X)=16 D.P(X20)=2 1 C. 11.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c。已知a=4,b=5,c=6。下列结论正 确的是 3 157 A.cos A= 4 B.S△ABC= 4 c- C. D.△ABC外接圆半径为4V 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.展开式(1+x)6(1-x)4中，x2的系数为 ；各项系数之和为 13.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AC1与平面ABCD所成角的正弦值 为 ;异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为 14.椭圆 9+ y 4 ·=1的左、右焦点分别为F,F2。若P为椭圆上一点，则PF+PF2= ;△PFF面积的最大值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分)】 如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N Di 分别为B1C1,AD的中点。 C M (1)证明：MN‖平面ABB1A1; B (2)求平面CMN与平面ABCD所成角的余弦值； (3)求点A到平面CMN的距离。 B 16.(本小题满分15分) 某班有10名学生，其中6名参加数学社团，4名未参加。现随机将这10名学生分成甲、乙 【2027届高三导向卷（三)·数学第2页（共3页)】 州一中 批用 两组，每组5人。记甲组中参加数学社团的人数为X。 (1)求X的分布列； (2)求E(X)与D(X): (3)若已知甲组中参加数学社团的人数不少于4，求甲组中恰有4名学生参加数学社团的概 率。 17.(本小题满分15分) 已知函数fa(x)=x3-3ax+2,a∈R。 (1)当a=1时，求fa(x)的零点与单调区间； (2)求fa(x)有三个不同零点时a的取值范围； (3)当a>1时，设fa(x)的三个零点从小到大依次为x1,x2,x3,证明：x1+x3<0。 18.（本小题满分17分) 已知抛物线C:x2=4,点P(0,-1)。过点P作一条斜率存在的直线，与抛物线C交于不 同两点A,B。 (1)求抛物线C的焦点F与准线1的方程； (2)证明：0A.03=5 (3)若∠AFB=90°，求直线AB的方程。 19.(本小题满分17分) 设t∈(0,2)，数列{an}满足a1=t,an+1=an(2-an),n∈N*。 ()当t=2时，求a4 (2)证明：an=1-(1-t)2”-1,并求1iman 3)求所有t∈(0,2，使得数列{a}的每一项均不小于：并在这些t中，求使a1,2,a 成等差数列的t。 【2027届高三导向卷（三）·数学第3页（共3页)】 忻州一中 专用 参考答案与详解 2027届高三导向卷（三)·数学 一、单项选择题 题号12345678 答案AB AAA B C B 1.原8个数据的平均数为5，方差为2，故原数据的平方偏差和为8×2=16。加入4,6 后，新平均数仍为 8×5+4+6 10 5 新增平方偏差为(4-5)2+(6-5)2=2，所以新方差为 16+29 10=5 故选A。 2.由(1+)z=2-4i,得 8=2=-2-400-0--2,6--1-3 -1+i-(1+)1-) 2 所以Rez+Im之=-1-3=-4。故选B。 3.命题p对应集合为[1,2，命题q对应集合由x-2≤1得为[1,3]。因为 [1,2[1,3, 所以p能推出q,但q不能推出p。故p是q的充分不必要条件。故选A。 4.设点A,B,C的位置向量分别为a,b,c。因BD:DC=1:2,故 d=2b+c 3 又E为AD的中点，所以 a+d e= 2 于是 成=-b-+b+c-b-- 11 1 3 而AB=b-a,AC=c-a,故 号证+--+-a-+c 1 3 3 【2027届高三导向卷（三)·数学参考答案与详解第1页】 所州一中。 用 因此 B屁= +花 6 故选A。 5. 由sinc+cosx= 两边平方得 (sin cosz)2-1+sin2=1 4 所以 3 sin 2=-4' 故选A。 6.令bn= 。由 an an+1= 2an an +2 得 1 bn+1= 1=0m+21+1=bm+) an+1 2an =2+ an 又数一所以 1 n 因此 1 n a10=5 故选B。 7. 椭圆 x2y2 0+4 =1 中， a2=10, b2=4, 所以 c2=a2-b2=6. 因此 FF2=2c=2V6. 又点P在椭圆上，由椭圆定义可得 PF+PF2=2a=2V10. 因为 ∠FPF2=90°， 所以在直角三角形PF2中， PF+PF=FF=(2V6)2=24 【2027届高三导向卷（三）·数学参考答案与详解第2页】 忻州一中 专用 于是 (PF+PE2)2=PF2+PE2+2PF PF2. 代入得 (2V102=24+2PF1·PF2. 即 40=24+2PF·P2. 所以 PF·PF2=8. 故选C。 8.方程f(x)=0等价于 Inx kx, 即 Int =k. 令国->0.期 h'(2)=1-Inz 所以h(x)在(0，e)上单调递增，在(e,+o)上单调递减，且 g-是 又h(1)=0,且当x→0+时h(x)→-oo,当x→+oo时h(x)→0+。因此方程h(x)= 有两个不同正根，当且仅当 故选B。 二、多项选择题 题号 9 10 11 答案 ABCABCABC 9.由基本不等式，x>0时 x+三≥2， 等号当且仅当x=1时成立，故A正确。 当a>2时，方程x+记=a等价于 x2-ax+1=0. 其判别式△=a2-4>0,且两根之积为1，两根之和为a>0,故有两个不同正根，B正确， C正确。 f'()=1-1 T2' 【2027届高三导向卷（三)·数学参考答案与详解第3页】 忻州一中 专用 所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+o∞)上单调递增，D错误。 综上，选ABC。 10.随机变量X的分布列为 PX=-= PX=0- PX=2)= 则 0=-1+0+2 A正确。 由期望的线性性质， E2x+)=2E(2X0+1=2日+1-是 B正确。 又 5网=1+0号+4子 1 所以 Dx0=EX9-Exr-;()‘-8 C正确。 而 PT≥0=PX=0+PX-2-日+日- D错误。 综上，选ABC。 11.由余弦定理， Cos 4= b2+c2-a252+62-423 2bc 256=4 A正确。 于是 ,9V7 sin A=V1-cos2A=/1- 16-4 所以 SAABC- a4-567-15y 4-4 B正确。 再由余弦定理， 0osC=a2+2-2=42+53-62_1 2ab 24.5=8 C正确。 由正弦定理， R 488V7 2sinA2.=VW7 7 故D错误。 综上，选ABC。 【2027届高三导向卷（三)·数学参考答案与详解第4页】 忻州一中 专用 三、填空题 题号 12 13 14 答案 -3,0 3,06,2V6 12.有 (1+x)6(1-x)4=(1+x)2(1-x24 其中 (1+x)2=1+2x+x2 (1-x2)4=1-4x2+. 因此x2的系数为 1·(-4)+1·1=-3. 各项系数之和令x=1,得 (1+1)6(1-1)4=0. 故答案为-3,0。 13.建立空间直角坐标系，可取 A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),A1(0,0,2). 则 C1(2,2,2). 直线AC1的方向向量可取 AC=(2,2,2) 它与平面ABCD所成角的正弦值为其竖直分量长度与向量长度之比： 2 13 V22+2+2元=V5=3: 又 AB=(2,0,2), CD=(-2,0,2): 二者点积为 (2,0,2)·（-2,0,2)=-4+4=0. 所以异面直线AB1与CD1所成角的余弦值为0。 故答案为9山 14.椭圆 后-1 中， a=3, b=2,c=Va2-b2=√5. 由椭圆定义， PF+PF2 =2a=6. 【2027届高三导向卷（三）·数学参考答案与详解第5页】 忻州一中 又FF=2C=2W5。当点P到x轴距离最大时，△P1F2面积最大，此时最大高为b=2。 因此 1 5max=22W5-2=2V5, 故答案为6,2V5。 四、解答题 15. 答案：MNⅡ平面，ABB,A:平面火角余弦值为Y:点A到平面CMy的距离为 V6 建立空间直角坐标系： A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0) A1(0,0,2),B1(2,0,2),C(2,2,2),D1(0,2,2) 因为M,N分别为BC1,AD的中点，所以 M(2,1,2) N(0,1,0). (1)有 M7=(-2,0,-2) 平面ABB1A1的方程为y=0。由于M的y坐标为0，故MN的方向平行于平面ABB1A1。 又MN不在该平面内，所以 MN‖平面ABB1A1. (2)取 Cd=(0,-1,2),C=(-2,-1,0. 平面CMN的一个法向量可取 n=(1,-2,-1) 平面ABCD的一个法向量为 n0=(0,0,1). 所以两平面夹角的余弦值为 n·o 16 gV1P+(-2P+-哼=V后=6 (3)由法向量n=(1,-2,-1),且平面CMN过点C(2,2,0),得平面CMN的方程为 (x-2)-2(y-2)-之=0， 即 x-2y-之+2=0. 点A(0,0,0)到该平面的距离为 d= 10-0-0+2 2V6 V12+(-22+(-1)2-V631 【2027届高三导向卷（三)·数学参考答案与详解第6页】 忻州一中 专用 16答案：X的分布列见下表：5X)）=3D(X=号条件概率为吕 从10名学生中随机选出甲组5人，总方法数为 =252 5 甲组中参加数学社团的人数X的可能取值为1,2,3,4,5。对k=1,2,3,4,5,有 P(X=)= (9(5) (1)分布列为 X12345 15I051 4221212142 (2)由超几何分布的期望与方差公式， 6 E(X)=5·10 =3, 6410-52 D(X)=5:0i010--3 (3)所求条件概率为 P(X=4) P(X=4|X之4=PX=4+PX=万= 10 1 17.答案：a=1时零点为-2,1，其中1为二重零点；单调区间见解析；三个不同零点的 条件为a>1;当a>1时，x1+x3<0。 (1)当a=1时， f五(x）=x3-3x+2=(x-1)2(x+2). 所以零点为 x=-2,x=1. 其中x=1为二重零点。 又 f(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1). 因此f1(x)在（-∞，-1)上单调递增，在（-1,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增。 (2)一般地， f(x)=3x2-3a=3(x2-a): 若a≤0，则f(x)不可能有两个不同极值点，因此不可能有三个不同零点。 若a>0,则fa(x)的极大值点为x=-Va,极小值点为x=Va。计算得 fa(-Va)=2+2ava>0, fa(Va)=2-2ava. 【2027届高三导向卷（三）·数学参考答案与详解第7页】 忻州一中 拟用 要使f(x)有三个不同零点，需要极小值小于0，即 2-2ava<0. 所以 ava>1, 由于a>0,故 a>1. 因此f(x)有三个不同零点时，实数a的取值范围为 a>1. (3)当a>1时，由 f(0)=2>0, fa(Va)=2-2ava<0, 可知中间零点x2满足 0<x2<a. 又三次方程 x3-3ax+2=0 的三个零点x1,x2,x3满足 x1+x2+x3=0. 因此 x1+x3=-x2<0. 证毕。 18. 答案：F(0,1),准线1：y=-1;OA.OB=5;直线AB的方程为y=V2c-1或 y=-V2x-1。 (1)抛物线 x2=4y 可写为x2=2py,故p=2。因此焦点为 F(0,1) 准线为 l:y=-1. (2)设抛物线上两点为 A(2t1,t), B(2t2,t). 过A,B的直线方程为 y=1十色-t2 2 由于该直线经过P(0,一1)，所以 -1=-t1t2, 即 tt2=1. 【2027届高三导向卷（三）·数学参考答案与详解第8页】 忻州一中 专用 于是 0月.02=(2t1)(2t2)+t号=4t1t2+(t1t2)2=4+1=5. 证毕。 (3)因为F(0,1),所以 Fi=(2t1,号-1，F方=(22，号-1). 由∠AFB=90°，得 F才.FB=0. 即 42+(号-1)（号-1）=0. 又tt2=1,所以 4+(1-t-号+1)=0， 即 t好+t号=6. 因此 (t1+t2)2=t+t号+2t1t2=6+2=8. 所以 t1+t2=士2v2. 而直线AB的方程为 -1 y= 故 AB:y=V2x-1 或 AB:y=-V2x-1. 19. 255 答案：a4=256 am=1-1-,且m.a=1;所有项均不小于专的t为 +9 2 其中使a1,2,g成等差数列的t只有1。 (1)当t=2时， 1 a1=2 133 a2=a1(2-a1)=22=4 3515 3=a2(2-a2)=44=16 1517255 a4=a3(2-a3）= 1616= 256 (2)由递推式 an+1 an(2-an) 【2027届高三导向卷（三）·数学参考答案与详解第9页】 忻州一中 用 得 1-an+1=1-2an+a2=(1-am)2. 令 on 1-an, 则 On+1=ba 又 b1=1-t, 所以 bn=(1-t)2m-1. 因此 am=1-(1-t)2m-1 因为t∈(0,2)，以1-<1，从而 (1-t02m-10. 故 line an=1. (3)由 an=1-(1-t)2m-1 讨论t的范围。 当0<t<1时，1-t∈(0,1)，此时an随n增大而增大，故最小项为a1=t。要使所有项 均不小于互：需 1 t22 因此 2st<1. 当1≤t<2时，1-t=t-1。从n=2起， an=1-t-1)2m-1. 其中扣减项最大出现在n=2,故需 =1--1P≥司 即 -ys安 结合1≤t<2,得 1sts1+ 2 【2027届高三导向卷（三)·数学参考答案与详解第10页】 忻州一中 专用 综上， 1+2 再求使a1,a2,a3成等差数列的t。由 a1=t, a2=2t-t2, a3=1-(1-t)4=4t-6t2+43-t4. 等差条件为 a1+a3=2a2. 代入得 t+4t-6t2+4t3-t=4t-2t2 整理得 t(1-4t+4t2-t3)=0. 由于t∈(0,2)，故 t3-4t2+4t-1=0. 分解得 (t-1)(t2-3t+1)=0. 所以 t=1,t=3-6 2 或-+5。其中+5,2，不合题意，35<分不在前面术符的范国肉， 2 2 因此满足所有项均不小于行，且，3，g成等差数列的t只有 t=1. 【2027届高三导向卷（三)·数学参考答案与详解第11页】 忻州一中