精品解析：江苏宜兴市官林中学2026届高三考前自测数学试题

高三三模数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 设集合，，若 ，则 （ ）． A. 2 B. 1 C. D. 3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 4. 若为偶函数，则 （ ）． A. B. 0 C. D. 1 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 6. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ） A. 当，时，二氧化碳处于液态 B. 当，时，二氧化碳处于气态 C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 7. 表面积为的圆柱内放入一个球，则该球体的体积最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 一组数据1，2，3，4，5，6，7，8的第30百分位数为3 B. 若随机变量，则 C. 若事件，满足，则与是对立事件 D. 若事件，满足，则事件，相互独立 10. 已知等差数列的前 项和为，各项均为正数的等比数列的前 项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 对任意，，数列为等差数列 B. 对任意，，数列为等比数列 C. 存在，，使得数列为等比数列 D. 存在，，使得数列为等差数列 11. 已知函数，点分别在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（ ） A. 若关于的方程在上无解，则 B. 存在关于直线对称 C. 若存在关于轴对称，则 D. 若存在满足，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则_______． 13. 在凸四边形中，，，，，则的最小值为_________． 14. 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 四、解答题：本大题共3小题，共77分． 15. 在中，． （1）求； （2）若 ，且的面积为，求的周长． 16. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点 在棱上，当二面角为时，求． 17. 已知函数，． （1）若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； （2）若 ，，求的取值范围． 18. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线 交双曲线右支于、两点（点在轴上方），点在双曲线的右支上，直线交轴于点 （点 在点的右侧）． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若点，且，求点的坐标； （3）若的重心 在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 19. 定义：若一个数列满足其首项为0，且对于，可取 或 的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”，已知数列为“可取数列”． （1）求的值； （2）在“可取数列”中，设随机变量 是的值，求： ① 的概率分布； ②的期望． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三三模数学试题 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 在复平面内，对应的点位于（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断. 【详解】因为， 则所求复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 设集合，，若 ，则 （ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为 ，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 3. 某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）． A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】D 【解析】 【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案. 【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取， 根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种. 故选：D. 4. 若为偶函数，则 （ ）． A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出 范围，再根据三角形面积比得到关于 的方程，解出即可. 【详解】将直线与椭圆联立，消去可得， 因为直线与椭圆相交于点，则，解得， 设到的距离到距离，易知， 则，， ，解得或（舍去）， 故选：C. 6. 在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（ ） A. 当，时，二氧化碳处于液态 B. 当，时，二氧化碳处于气态 C. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 D. 当，时，二氧化碳处于超临界状态 【答案】D 【解析】 【分析】根据与的关系图可得正确的选项. 【详解】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误. 当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误. 当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误. 当，时，因, 故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确. 故选：D 7. 表面积为的圆柱内放入一个球，则该球体的体积最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆柱的底面圆的半径为，高为，由题设可得，分析可得要使球体的体积最大，则应取，进而结合球的体积公式求解即可. 【详解】设圆柱的底面圆的半径为，高为， 而圆柱的表面积为，则，即， 要在圆柱内放入一个球，设球的半径为，则，即， 要使球体的体积最大，则应取， 则，即， 则该球体的体积最大值为. 8. 设，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用，得出，再换元应用二次函数单调性结合三角函数值域得出的取值范围. 【详解】因为，则， 则， 又因为，所以， 令，当单调递减，当单调递增， 所以当时，，当或时，， 所以的取值范围是. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列说法正确的有（ ） A. 一组数据1，2，3，4，5，6，7，8的第30百分位数为3 B. 若随机变量，则 C. 若事件， 满足，则与 是对立事件 D. 若事件， 满足，则事件， 相互独立 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于选项A，可知，所以8个数据的第30百分位数为第3个数字，即3，所以A正确； 对于选项B，由二项分布可知，所以B正确； 对于选项C，由无法得出，所以无法判定与 是否是对立事件，所以C错误； 对于选项D，可知， 可得，化简得，即事件， 相互独立，所以D正确； 10. 已知等差数列的前 项和为，各项均为正数的等比数列的前 项和为，则下列说法正确的有（ ） A. 对任意，，数列为等差数列 B. 对任意，，数列为等比数列 C. 存在，，使得数列为等比数列 D. 存在，，使得数列为等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，利用等差数列的定义判断；对于B，举反例，，再结合等比中项的性质即可判断；对于C，举例，，再结合等比数列的定义即可判断；对于D，利用反证法判断是否为关于 的一次函数即可判断． 【详解】设等差数列的首项为，公差为，等比数列的首项为 ，公比为，， 对于A，由 ， 故数列是以为首项， 为公差的等差数列，故A正确； 对于B，取，，则，前项分别为 ，， ， 又 ，所以此时数列不为等比数列，故B错误； 对于C，取，，则，，则， 所以此时数列是以为首项，为公比的等比数列，故C正确； 对于D，若存在，，使得数列为等差数列，则是关于 的一次函数， 若，则，显然不可能是关于 的一次函数； 若，则，显然不可能是关于 的一次函数， 故不存在，，使得数列为等差数列，故D错误． 11. 已知函数，点分别在函数的的图像上，为坐标原点，则下列命题正确的是（ ） A. 若关于的方程在上无解，则 B. 存在关于直线对称 C. 若存在关于轴对称，则 D. 若存在满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出方程在上有解的a范围判断A；设出点的坐标，由方程有解判断B；设出点的坐标，建立函数关系，求出函数的值域判断CD作答. 【详解】函数， 对于A，方程在上有解， 显然函数在上单调递增，则有，解得， 因此关于的方程在上无解，则或，A错误； 对于B，设点，依题意，点Q关于直线对称点在函数的图象上， 即关于t的方程有解，即有解，此时 ，令函数， ，即函数在 上单调递增，， 而函数在 上都单调递增，它们的取值集合分别为， 因此函数的值域为，又，于是在 有解， 所以存在关于直线对称，B正确； 对于C，设点，则点P关于y轴对称点在函数的图象上， 即，令，， 即函数在上单调递减，，又，恒有，因此，C正确； 对于D，令，由得， 显然，且，，令，， 当时，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 因此，即有，， 而，当且仅当时取等号，所以，即，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 将函数的图象向左平移个单位，得到的图象关于轴对称，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】将函数的图象向左平移个单位， 得到，由于此函数的图象关于轴对称， 则 ，即 ， 又，则. 13. 在凸四边形中，，，，，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，用坐标法求解. 【详解】由 ， ， ，以 为原点， 为 轴， 为 轴建立平面直角坐标系： ，，，因为 ，所以 ， 因为，所以点 在以 为直径的圆上（除去 ）， 因为 中点为圆心 ，半径 ，所以圆的方程：， 在凸四边形中，设 ， ，，， 由圆方程 ，得 ，即 ， 又凸四边形， 在 轴左侧（），故 . 14. 已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值______． 【答案】（中任意一个皆可以） 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，求出弦长，以及点到直线的距离，结合面积公式即可解出． 【详解】设点到直线的距离为，由弦长公式得， 所以，解得：或， 由，所以或，解得：或． 故答案为：（中任意一个皆可以）． 四、解答题：本大题共3小题，共77分． 15. 在中，． （1）求； （2）若 ，且的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，由余弦定理可求得 的值，即可求得的周长. 【小问1详解】 解：因为，则，由已知可得， 可得，因此，. 【小问2详解】 解：由三角形的面积公式可得，解得. 由余弦定理可得，， 所以，的周长为. 16. 如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，． （1）证明：； （2）点 在棱上，当二面角为时，求． 【答案】（1）证明如下： 以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）1 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 17. 已知函数，． （1）若， （i）求的极值点； （ii）证明：当时，； （2）若 ，，求的取值范围． 【答案】（1）（i）极小值点为2，无极大值点；（ii）证明见解析. （2）． 【解析】 【分析】（1）（i）对函数进行求导，根据极值点的概念，进行判断即可； （ii）构造函数，求导判断其单调性，求得最大值，即可证明； （2）构造函数，求导判断其单调性，求得最小值，得不等式，解不等式即可. 【小问1详解】 （i）当时，，定义域为， 则， 令，解得 ， 当变化时，与的变化如下表所示： 2 － 0 ＋ 减 极小值 增 所以的极小值点为2，无极大值点； （ii）令， 则， 当时， ，所以为减函数， 所以， 从而当时，，即． 【小问2详解】 令， 则． 因为 ，所以， 从而当时， ，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为 因为，所以，即，从而， 故的取值范围为． 18. 已知双曲线的右焦点为，过点的直线 交双曲线右支于、 两点（点在轴上方），点在双曲线的右支上，直线交轴于点 （点 在点的右侧）． （1）求双曲线的渐近线方程； （2）若点，且，求点的坐标； （3）若的重心 在轴上，记、的面积分别为、，求的最小值． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据双曲线方程即可得其渐近线方程； （2）由点可得，从而可利用三角形外角关系从而可得直线的斜率，将直线方程代入双曲线方程求解即可得点的坐标； （3）设直线，代入双曲线方程得交点坐标关系，由重心可得，根据点线关系即可得的范围，再结合三角形面积关系得与的关系，由基本不等式可得最值. 【小问1详解】 已知双曲线，则，所以双曲线方程为； 【小问2详解】 双曲线的右焦点， 又，所以，则， 因为，所以， 则直线，即， 所以，解得，即， 则，所以点的坐标为； 【小问3详解】 设直线， ， 则， 因为直线 过点且与双曲线右支交于、 两点，所以， 又因为的重心 在轴上，所以， 由点 在点的右侧，可得，所以，解得，所以， 而，代入可得， 所以， 代入化简可得：， 所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为. 19. 定义：若一个数列满足其首项为0，且对于，可取 或 的概率均为0.5，则我们称该数列为“可取数列”，已知数列为“可取数列”． （1）求的值； （2）在“可取数列”中，设随机变量 是的值，求： ① 的概率分布； ②的期望． 【答案】（1） （2）① 的概率分布为： ② 【解析】 【分析】（1）分为 ，，和 ， ，两种情况计算概率； （2）① 的可能取值为 ， ， ， ，，设，分析 中的取值情况求解； ②由 得到 ，利用组合数性质计算求解. 【小问1详解】 已知数列是“可取数列”，首项 ，可取 或 的概率均为0.5， 要使，有以下两种情况： 情况一： ，，，因为取 的概率为0.5，取 的概率为0.5， 这种情况发生的概率为； 情况二： ， ，，因为取 的概率为0.5，取 的概率为0.5， 这种情况发生的概率为， 所以. 【小问2详解】 ① 因为 ，可取 或 ， 所以的可能取值为 ， ， ， ，，设， 则取1或 的概率均为0.5， 且，设 ，显然 ， 再设此时中有 个1， 个 ，则 ， 所以 只能取之间的偶数值，即 ， 对于偶数 ，事件相当于在个数中， 有 个数取1，个数取 ， 其概率为 ， 因此， 的概率分布为： . ② 因为 ， 所以 ， 可得，由组合数性质得， ， 因为， ， 所以， 因此，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $