精品解析：江苏无锡市第三高级中学2026届高三考前适应性考试数学试题

无锡市第三高级中学高三考前适应性考试 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 2. 已知集合，，则中元素的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 设是夹角为的两个单位向量，若，则（    ） A. B. 2 C. D. 3 4. 已知的展开式中第2项与第6项二项式系数相等，则的系数为（ ） A. 12 B. -20 C. -16 D. -12 5. 某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（ ）TFLOPS. A. 29 B. 32 C. 35 D. 38 6. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 7. 若，且为锐角，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆的左焦点为为椭圆的上顶点，过的直线与椭圆交于两点（不同于），为的角平分线，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若互斥，则 C. 若，则 D. 若独立，则 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 11. 若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（ ） A. B. C. 成等比数列 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 13. 设等比数列满足，则当时，正整数的最大值为__________. 14. 已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 一个不透明的口袋中放有大小相同的4个红球､4个黄球. （1）若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后放回口袋中.求摸球10次，摸到红球个数的期望； （2）若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后不放回口袋中，且连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球.记恰好第次摸球时结束为事件，求. 16. 已知函数的图象与函数的图象的一个交点为，且函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍. （1）求函数的解析式； （2）在中，内角的对边分别为，若是边上的中线，求中线的长度. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 18. 已知双曲线过点，且焦距为10. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点为直线上一点， ①若直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程； ②若在线段上，直线交双曲线于两点.证明：. 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极值小于0，求实数a的取值范围； （3）当时，取得极值b，且，求数列的前n项和，并比较与的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 无锡市第三高级中学高三考前适应性考试 数学试卷 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，则的虚部为（ ） A. -1 B. -2 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】，即， 因此的虚部为 2. 已知集合，，则中元素的个数是（    ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先解集合中的一元二次不等式，再根据集合的交集运算求出，进而即可得到中元素的个数． 【详解】由，解得，即， 所以，所以中元素的个数是． 3. 设是夹角为的两个单位向量，若，则（    ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的运算律即可求解． 【详解】，则． 4. 已知的展开式中第2项与第6项二项式系数相等，则的系数为（ ） A. 12 B. -20 C. -16 D. -12 【答案】D 【解析】 【分析】先应用二项式系数相等得出，再应用通项公式计算求值. 【详解】∵第2项和第6项的二项式系数相等，∴，则， 则展开式通项公式是， 令，得，∴的系数为， 5. 某AI芯片运行时，前10秒算力匀速提升，10秒后达到上限保持不变.已知第3秒算力为14TFLOPS（每秒万亿次浮点运算），前6秒总算力为93TFLOPS，则该芯片的最大算力为（ ）TFLOPS. A. 29 B. 32 C. 35 D. 38 【答案】C 【解析】 【分析】前10秒每秒算力构成等差数列，利用已知的第3秒算力和前6秒总算力列方程求解首项与公差，再计算第10秒的算力即为最大算力。  【详解】由题意知，前10秒每秒的算力构成等差数列， 设等差数列的公差为，首项为，且最大算力为，10秒后算力保持不变. 则，， 联立解得，. 所以最大算力，单位为TFLOPS. 6. 正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由四棱台的几何特征算出该几何体的高及上下底面面积，再由棱台的体积公式即可得解. 【详解】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图， 因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2， 所以该棱台的高， 下底面面积，上底面面积， 所以该棱台的体积. 故选：D. 7. 若，且为锐角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用弦化切可得出关于的方程，结合可解得的值. 【详解】因为为锐角，则，，， ， 整理可得， 即，解得或， 因为，故. 8. 已知椭圆的左焦点为为椭圆的上顶点，过的直线与椭圆交于两点（不同于），为的角平分线，则直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质求出所在直线方程，利用角平分线性质，利用到角公式得出，设，得出，设过的直线，联立椭圆方程，结合韦达定理求出，进而求出直线的方程． 【详解】 椭圆中， 左焦点，上顶点, 直线斜率，方程为， 已知为的角平分线，由到角公式： ，则，故， 设，则， ，即， 设过的直线， 联立椭圆方程，代入整理得， 由韦达定理得， ， 则， 整理得，解得或， 当时，直线与重合，与椭圆交点包含点，不符合题意，舍去； 故， ，整理得． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若互斥，则 C. 若，则 D. 若独立，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A：，，所以； 选项B：因为互斥，所以； 选项C：，解得， 所以； 选项D：因为独立，所以. 10. 设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）． A. B. C. 以MN为直径的圆与l相切 D. 为等腰三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案. 【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点， 所以，则A选项正确，且抛物线的方程为. B选项：设， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项错误. C选项：设的中点为，到直线的距离分别为， 因为， 即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确. D选项：直线，即， 到直线的距离为， 所以三角形的面积为， 由上述分析可知， 所以， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：AC. 11. 若直线与两条曲线和共有四个不同的交点，设从左到右四个交点的横坐标分别为，则（ ） A. B. C. 成等比数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用导数判断两函数的单调性，求出极值，作出它们的图象，根据图象，利用函数与方程的思想，结合函数的性质逐一判断各选项即可. 【详解】对于，求导得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当，时，，当时，， 故； 对于，函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，，当时，， 故. 对于A，由图知，要使直线与两条曲线和有四个不同的交点，需使，故A正确； 对于B，结合图象可知，，， 结合函数的单调性可知，，即故B正确； 同理可得，由知不可能构成等比数列，故C错误； 由前面分析可知，故D正确． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 13. 设等比数列满足，则当时，正整数的最大值为__________. 【答案】 9 【解析】 【分析】先利用等比数列性质求解公比与首项，得到通项公式后写出前项乘积的表达式，再构造函数，根据二次函数性质，结合零点存在性定理求解即可. 【详解】设等比数列的公比为，， 由等比数列通项性质可得，代入已知条件，，解得， 将代入，得，解得， 因此数列通项公式为， 记前项乘积为，则：， 所以，即，两边取常用对数得： ，整理得， 令，由二次函数性质知在上单调递增， 因为,所以, 因为，, 所以的最大正整数为. 14. 已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断函数为上的偶函数且在上单调递增，将函数不等式转化为绝对值不等式求解即可 【详解】函数的定义域为，关于原点对称， 因为， 所以是上的偶函数， 因为，当时， ， 由于时 ， 所以，即在上单调递增； 结合偶函数性质，在上单调递减，且满足 因为 ， 所以 等价于 ， 因为在上单调递增， 所以等价于， 当时，不等式化为，即 ， 其判别式 ，不等式恒成立，故； 当时，不等式化为，即 ， 因式分解得 ，解得或 . 综上，实数的取值范围是 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 一个不透明的口袋中放有大小相同的4个红球､4个黄球. （1）若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后放回口袋中.求摸球10次，摸到红球个数的期望； （2）若每次从口袋中随机抽取一球，确定颜色后不放回口袋中，且连续摸到2个红球时停止，否则继续摸球.记恰好第次摸球时结束为事件，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）判定摸到红球个数服从二项分布，直接用二项分布期望公式计算； （2）先明确恰好第4次停止的约束条件，分情况用乘法公式计算概率后求和. 【小问1详解】  解：每次有放回摸球时，摸到红球的概率为， 设10次摸球中摸到红球的个数为，则， 由二项分布期望公式得：. 【小问2详解】 恰好第4次摸球结束需满足两个条件： ①第3、4次均为红球，触发停止规则； ②第2次为黄球，否则第2、3次均为红球时第3次就已停止，且第2次为黄球时前2次不可能出现连续红球，自动满足前2次未停止的要求，分两种情况计算： 第1次摸到黄球，序列为黄、黄、红、红，概率为：  第1次摸到红球，序列为红、黄、红、红，概率为：  故. 16. 已知函数的图象与函数的图象的一个交点为，且函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍. （1）求函数的解析式； （2）在中，内角的对边分别为，若是边上的中线，求中线的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正切函数的周期及两函数周期的关系求出的，再代入交点坐标求得得到的解析式； （2）先由求出角，再利用向量模长公式计算中线的长度。 【小问1详解】 解：由题意知，正切型函数的最小正周期， 因为函数的最小正周期是函数最小正周期的2倍. 所以的最小正周期，即，解得， 因为函数的图象与函数的图象的一个交点为， 所以，将交点横坐标代入得，即， 代入得，即， 因为，，所以，解得， 因此. 【小问2详解】 解：因为，，所以，即， 因为为三角形内角，即，， 所以，解得， 因为是边上的中线，， 所以 ， 代入，，，得： ， 所以. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）由，为的中点，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面，又平面， 所以. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）作出二面角的平面角，利用给定角的大小及平行线分线段成比例定理求出，进而求出体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由是边长为1的等边三角形，得，则， 作交于点，由平面，得平面，而平面， 则，过作于，连接，平面， 因此平面，又平面，则，为二面角的平面角， 即，由，得， 而，则，，， ，， 所以三棱锥的体积. 18. 已知双曲线过点，且焦距为10. （1）求双曲线的标准方程； （2）已知点为直线上一点， ①若直线与双曲线恰有一个公共点，求直线的方程； ②若在线段上，直线交双曲线于两点.证明：. 【答案】（1） （2）①或； ②由，得，解得，由在线段AB上，得， 由直线交双曲线于两点，设， 由①得即，，， 而， ， 即，因此，即， 则，所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组求出，即可得出C的方程. （2）①设，求出直线方程并与双曲线方程联立，利用方程只有一解求出即可；②利用数量积的坐标表示 结合韦达定理证得，再利用数量积的定义及等高的两个三角形面积关系推理得证. 【小问1详解】 依题意，，，解得，， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 ①设，则直线的方程为， 由得， 当，即时，直线与双曲线相交，恰有一个公共点，符合题意， 直线DE方程为； 当，即时，， 即，直线与双曲线相切，恰有一个公共点，符合题意。 直线DE方程为， 所以直线DE方程为或. ②略 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的极值小于0，求实数a的取值范围； （3）当时，取得极值b，且，求数列的前n项和，并比较与的大小． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】(1)利用斜率与导数的关系求解即可； (2)求出导函数，分和两种情况讨论的单调区间和极值情况，根据存在小于0的极值，可得，令，研究在上的单调情况以及最值即可求解； (3)根据题意知，，可得，利用错位相减求出，分为奇数和偶数两种情况讨论的范围即可与比较大小. 【小问1详解】 时，，， ，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 的定义域为，， 当时，，在上单调递增，没有极值； 当时，，时，；时，，的单调递增区间为，单调递减区间为． 所以时，取得极小值，没有极大值， 因为的极值小于0，所以，所以， 令，显然在上单调递增， 因为，所以时，，所以，．即的取值范围是． 【小问3详解】 由题意知在处取得极值，则，即，所以， 的极值为，， 所以． 所以， ， 两式相减，得， 所以． 当n为奇数时，，当n为偶数时，设，，k是正整数， ， 记，则，， 所以，又，所以，时，取等号， 所以当n为偶数时，，时，取等号， 因为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $