精品解析：江苏宜兴市官林中学2026届高三下学期二模复习检测数学试题

高三数学二模检测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】易知， ， 则. 2. 设复数是关于的方程的一个根，则 （ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】由复数是关于的方程的一个根， 得复数是该方程的另一个根，则， 所以. 3. 圆锥 的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的底面半径r，再利用圆锥的侧面积公式即可得出结果. 【详解】根据题意，设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面为等边三角形， 所以圆锥的母线长，，解得， 所以圆锥的侧面积为. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】利用诱导公式 ，得： ， 故利用二倍角公式，得： . 5. 已知是定义在R上的偶函数，且，若3，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知及奇偶性的定义可知当时有，根据已知及周期性的定义可得的周期是8，结合周期性及奇函数性质求函数值即可. 【详解】因为是定义在R上的偶函数， 所以，所以当时有， 由，得，所以， 所以，可得的周期是8． 所以. 6. 函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线与函数图象的相邻两交点间距离为，求得最小正周期；根据正切函数的对称性求得，从而求得其最小值. 【详解】因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为， 所以函数的最小正周期为，所以，所以. 由函数 的图象关于点对称， 得，所以. 所以正实数的最小值为. 7. 在平面直角坐标系中，，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】取 中点，可得，利用余弦定理求出后，由模长与数量积关系计算可得，再利用点坐标，可得当、、三点共线时，取最小，即可得最小值. 【详解】取 中点，则，则， 由，则， 则， 由，则，则， 当且仅当、、三点共线，且在、之间时，等号成立， 故的最小值为. 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可作出其图象，由此可得到的图象，将方程有且仅有4个不同的实根，转化为和对应的方程的根的总数为4个，数形结合，即可求解. 【详解】由可得定义域为，且， 当且时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以：是极大值点，； 当时， ；当时， ； 由此可作出函数的图象： 令，则原方程可化为：， 得或， 原方程有且仅有4个不同的实根，等价于和对应的方程的根的总数为4个； 结合的图象可得的图象： 由题意知以及，故，且， 结合图象，要使得和有且仅有4个不同的实根， 需满足且，即得，此时有1个解，有3个解， 即. 二、多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 B. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 C. 随机变量的方差，期望 ，则 D. 某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 【答案】BD 【解析】 【详解】A：样本相关系数的绝对值越大，则线性相关性越强，则A错误； B：该组数据共8个数据，又， 因此上四分位数为第6个数和第7个数的平均数，即，因此B正确； C：因为，由方差，期望 ，可得，即C错误. D：易知全班50个学生的数学成绩的平均值为， 因此方差为，即D正确. 10. 大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足 ，，则正确的有（ ） A. B. C. D. 数列的前10项和为110 【答案】AC 【解析】 【分析】利用所给数列关系式计算可得A；得到与即可得B；由题意可得，结合累加法与等差数列求和公式计算可得C；并项求和结合等差数列求和公式可得D. 【详解】对于A，由题意可得，， ，，，，故A正确； 对于B，因为为偶数，所以， 因为 为奇数，所以， 所以，故B错误； 对于C，因为为偶数，所以， 又因为 为奇数，， 所以，所以， 所以 ，故C正确； 对于D，设数列的前项的和为， 由，则， 故 ，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 11. 设函数，则曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以. 求导得，有， 曲线在点处的切线方程为， 即. 12. 若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由，再解一元二次不等式得出a＋b的取值范围. 【详解】， ∴(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，当且仅当a＝b＝3时取等号 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以 为直径的圆与直线交于另一点．若 ，则点的横坐标为________． 【答案】3 【解析】 【分析】方法一：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求出结果. 【详解】［方法一］：【通性通法】直译法 设，则由圆心为 中点得易得，与联立解得点的横坐标 所以.所以， 由 得 即，解得： 或，因为，所以 故答案为：3． ［方法二］：【最优解】几何法 如图3，因为 为直径，所以， ，． 设，则， 所以，即． 所以，A点的坐标为，则点A的横坐标为3． ［方法三］： 数形结合 如图4，由已知，得 ，则，所以的方程为． 由解得． 设，则，从而． 所以，解得 或． 又，所以 ．即点A的横坐标为3． ［方法四］：数形结合＋斜率公式 由 ，得，又C是 的中点，所以． 又，所以．设直线l的倾斜角为，则，从而． 设，则，解得 ．即点A的横坐标为3． ［方法五］： 数形结合＋解三角形 由方法四，知，则． 在中，． 在等腰中，． 设，则，解得 或． 又，所以 ．即点A的横坐标为3． ［方法六］：数形结合＋解三角形 设直线l的倾斜角为，则，则． 由方法四知，于是． 在中，由正弦定理知，解得， 故点A的横坐标为． ［方法七］：数形结合＋解三角形 因为D为以 为直径的圆C上一点，所以，C为 的中点． 因为 ，所以，为等腰直角三角形，即． 在中，． 又，所以． 因为A在第一象限，所以． 又，所以． 【整体点评】方法一：直接根据题意逐句翻译成数学语言，通过运算解出，是该题的通性通法； 方法二：作出简图，利用平面几何知识求解，运算简单，是该题的最优解； 方法三：通过圆的几何性质，利用直线方程联立求点的坐标，简化计算； 方法四：通过圆的几何性质，求出直线 的倾斜角，从而得出斜率，根据斜率公解出，是不错的解法； 方法五：同法四，通过圆的几何性质，求出直线 的倾斜角，从而得出斜率，再通过解三角形求出； 方法六：基本原理同方法五； 方法七：基本原理同方法五． 四、解答题：本题共4小题，共80分. 14. 在中内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换可求得 的值，可求； （2）法一：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，进而利用正弦定理可求得，进而可求的面积． 法二：利用两角和的余弦公式，结合已知可求得，利用正弦定理可求得 ，进而利用可求解. 【小问1详解】 由正弦定理知． ∴，∵，∴， ∴， ，∴． 【小问2详解】 法一：由（1）知，，∴． ∴，∴，∴． 法二：由（1）知，，∴． 由正弦定理可得． ∴． 15. 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由抛物线焦点求椭圆值，再结合离心率求，最后由、求得椭圆方程. （2）直线方程代入椭圆方程消元，求解，，以为底、纵坐标绝对值为高求三角形面积. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，则， 又椭圆C的离心率，则，所以， 故椭圆C的标准方程为 ； 【小问2详解】 由（1）可知，椭圆C的左顶点， 则直线：，即：， 设，，消去得， 解得或（舍去）， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，， 平面 ，点，分别在棱，上，且 ． （1）求证：； （2）若 ，与平面 所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面 的距离． 【答案】（1）证明：连，相交于点，连 ．∵底面为菱形，∴且． 又 平面 ，平面 ，平面 平面 ，∴ ， ∴ ，又 ，而 ． ∴ 平面，又 ，∴平面，而平面， ∴ ，， 为等腰三角形，即． （2） 【解析】 【分析】（1）连接底面菱形对角线交点，利用线面平行得 ，结合菱形对角线垂直及 推出 平面，进而平面，从而 ，由中点性质即得. （2）由 及第一问知底面ABCD，建立空间直角坐标系，根据菱形边长与角度得各点坐标，利用 与平面 所成的角为60°，求出P点坐标，再求平面PCD的法向量以确定点A关于该平面的对称点M，最后通过平面PAB的法向量计算点M到该平面 的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若 ，则，由（1）知 ，∴平面， 以为原点以，，分别为轴，轴， 轴建立直角坐标系， 又，∵，则 ， ，， ， ∵ ，，∴ 平面 ， 与平面 所成的角为60°， ∴ ，∴ ，∴ ． ∴ ， ， ． 设平面的法向量为 则取，，，∴ ， 设 ， ，则， 到平面的距离相等， ， ∴． 又，∴，解得 ， 设平面 的法向量为 ，∵ ， ． 则取 ，，，∴ ， 则点 到平面 距离为． 17. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为 ，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时， ，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学二模检测 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数是关于的方程的一个根，则 （ ） A. 20 B. 15 C. 10 D. 8 3. 圆锥 的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在R上的偶函数，且，若3，则（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6. 函数的图象关于点对称，且直线 与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 样本相关系数越大，则线性相关性越强 B. 1，2，4，5，6，12，18，20的上四分位数是15 C. 随机变量的方差，期望 ，则 D. 某班30个男生的数学平均分为90，方差为4，20个女生的数学平均分为85，方差为6，则全班50个学生的数学成绩的方差为10.8 10. 大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足 ，，则正确的有（ ） A. B. C. D. 数列的前10项和为110 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 11. 设函数，则曲线在点处的切线方程为________． 12. 若a，b∈R＋，满足a＋b＋3＝ab，则a＋b的取值范围是________. 13. 在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点．若 ，则点的横坐标为________． 四、解答题：本题共4小题，共80分. 14. 在中内角，，的对边分别为，，，且． （1）求； （2）若，，求的面积． 15. 已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆C的离心率为. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过椭圆C的左顶点A且倾斜角为30°的直线交椭圆C于另一点B，O为坐标原点，求的面积. 16. 如图，在四棱锥中，底面为菱形，，， 平面 ，点，分别在棱，上，且 ． （1）求证：； （2）若 ，与平面 所成的角为60°，点关于平面的对称点为，求点到平面 的距离． 17. 已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $