河南省2025-2026学年高二下学期期末自编模拟考数学试卷（三）

**基本信息** 聚焦高考全内容，以投篮概率模型、折叠三棱锥、直三棱柱轨迹等真实情境为载体，分层考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高二期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、复数、向量、排列组合|基础与提升题梯度分布，如第7题折叠三棱锥结合内切球表面积，考查空间观念| |多选|3/15|函数奇偶性、圆的弦长|多选项设计，如第11题圆与直线相交弦长比较，培养批判性思维| |填空|4/20|等比数列、椭圆与抛物线综合|知识交汇，如第14题椭圆与抛物线焦点、交点问题，体现数学眼光| |解答|5/75|概率分布与证明、双曲线切线定点、立体几何轨迹|注重逻辑推理，如第18题直三棱柱轨迹长度求解，第19题函数单调性证明，契合高考命题趋势|

2025-2026学年河南省高二期末模拟考试卷（三） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设全集 ，集合 ，则中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】补集的概念及运算 【详解】已知全集 ，集合 ， 则共6个元素. 2．已知复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】已知复数的类型求参数、复数代数形式的乘法运算 【详解】由为纯虚数，则，可得. 3．已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（    ） A． B． C．19 D．9 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积、数量积的运算律 【分析】应用向量数量积的定义及其运算律求数量积即可. 【详解】由题设 . 4．把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术公关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 【答案】C 【知识点】分类加法计数原理、分组分配问题 【分析】对甲、乙两人都在A小组和B小组进行分类，结合计数原理求解即可. 【详解】情况1：甲、乙两人都在A小组， 安排丙、丁：丙、丁中必须有一个在A组，另一个在 B 组. 若丙在A组，丁在B组：此时A组已有 {甲, 乙, 丙}，还差1人； B组已有{丁}，还差3人， 则从剩余4人中选1人进A组，方案数为. 若丁在A组，丙在 B 组：同理，方案数为. 所以当甲、乙在A组时，方案数为种. 情况2：甲、乙两人都在 B 小组， 甲、乙在B组的情况与在A组的情况完全一致， 安排丙、丁：同样是丙在A组或丁在A组两种情况，方案数各为 ， 所以当甲、乙在B组时，方案数为 种. 故所有分配方案共有种. 5．已知，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果. 【详解】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 6．已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求抛物线的轨迹方程 【详解】由可知，直线方程为，则设点， 所以，则直线方程为， 当时，可得，即点， 所以点的轨迹为抛物线，即，可得抛物线的准线为，焦点为， 如图所示，延长，交抛物线准线于点， 由抛物线概念可知， 则的最小值，即的最小值，可知当三点共线时，取得最小值， 此时. 7．在菱形中，已知，，沿将折起，得到三棱锥，使二面角的余弦值为，若球与三棱锥的各条棱均相切，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】余弦定理解三角形、球的表面积的有关计算、求二面角 【分析】取的中点为，连接，确定即为二面角的平面角，然后根据余弦定理求出，进而求出球的半径和表面积. 【详解】在菱形中，已知，，都是等边三角形， ，取的中点为，连接，则. 所以即为二面角的平面角，. 所以. 由余弦定理得. 所以，因此三棱锥所有棱长：， 所以三棱锥为正四面体. 所以棱切球的半径为，那么球的表面积为. 8．已知关于x的方程有两个不等实根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】由题意即方程 有两个不相等的实根，然后通过研究单调性，图像可得答案. 【详解】由题意即方程 有两个不相等的实根，令，则， 因,则在R上单调递增，所以问题等价于 有两个不相等的实根， 即直线与图像有两个交点，，. 得在单调递增，在单调递减， ，，时，时， 据此可得大致图像如下，由图像得． 二、多选题 9．已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（   ） A． B．的图象关于原点对称 C．，使得 D． 【答案】ABD 【知识点】探求命题为真的充要条件、函数奇偶性的定义与判断、求正弦（型）函数的奇偶性、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【详解】为奇函数，则，都有，所以C错误； 即，化简得对恒成立， 所以，即， 反之，当时，， 当是偶数时，为奇函数， 当是奇数时，为奇函数， 所以为奇函数，A正确； 奇函数的图像关于原点对称，B正确； 因为，所以为奇函数， 若，则，由A选项可知，则为奇函数，D正确. 10．已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】比较指数幂的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确、作差法比较代数式的大小、由基本不等式比较大小 【分析】根据题意，结合选项，利用基本不等式和作差比较法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，由基本不等式，可得， 当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B，由，可得，因为指数函数为单调递增函数， 所以，所以B正确； 对于C，当时，此时，所以C不正确； 对于D，由， 因为，可得，所以，所以，所以D正确. 11．已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为、、，则（     ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 【答案】BCD 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、圆的弦长与中点弦、已知圆的弦长求方程或参数、由导数求函数的最值（含参） 【分析】已知三个圆均为半径的等圆，圆心分别为、、，利用弦长公式（为对应圆心到直线的距离，且以保证直线与圆有两个交点），逐个分析选项即可. 【详解】记到直线的距离分别为，则，，. ∵ 直线与三个圆均有两个交点， ∴ ，，，对应弦长为. A：∵ 解，得， 解，得， 不妨取， ∵， ∴，记， 解，得，记， 当，即时，， 此时不存在这样的直线与三个圆都相交. ∴ 不能取任意实数，A错误. B：∵ ， ∴ . 由得，平方得，即或. ①当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. ②当时，直线为，由得，解得， 此时，符合条件，对应直线条. 综上，共条直线满足条件，B正确. C：令， ∴ ，， 令，则， ∴ . 令，即， 平方整理可得，解得或，即或， 经验证，此时均小于，满足题目要求，此时已有条直线，多于条，C正确. D：当时，，， ∴ ，， 令，则， ∴ . 设，求导得， 令得，此时取最大值， ∴ 的最大值为，D正确.    【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆的位置关系，核心是利用弦长公式将弦长关系转化为圆心到直线的距离关系，最值问题可通过换元结合导数求解，多选题可逐个验证选项，结合特殊情形快速判断正误. 三、填空题 12．在等比数列中，，，则________． 【答案】 【知识点】等比中项的应用、等比数列通项公式的基本量计算 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以，即， 所以， 所以. 13．已知定义域为R的偶函数，当时，，则 ________. 【答案】 【知识点】函数奇偶性的应用、指数幂的运算、对数的运算 【分析】先利用函数的奇偶性求出时的表达式，结合指数与对数运算法则代入后即可求解. 【详解】设，则，， 因为为偶函数，则， 即， 因为，则. 14．椭圆与抛物线有一个公共的焦点，点为椭圆与抛物线的一个交点，为坐标原点，若，则椭圆的离心率为_____． 【答案】/0.5 【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、根据抛物线方程求焦点或准线 【分析】设，利用数量积的坐标表示结合抛物线方程求出点的坐标，再代入椭圆方程求解. 【详解】设椭圆的右焦点为，依题意，， 设，则， 由，解得，则 由点在椭圆上，得，即，即 则，整理得，因，解得， 所以椭圆的离心率为. 四、解答题 15．设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 【答案】(1)的分布列如下图所示： 1 2 3 4 (2)（i） （ii）由题意及（2）（i）证明如下： 即. 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题 【分析】（1）求出的可能取值，计算出不同取值下的概率，即可得出分布列. (2)（i）等价于前次投篮全部未中，利用各次投篮的独立性，可求出. （ii）利用条件概率公式，结合 (i) 的结论与事件的包含关系即可证明结论. 【详解】（1）由题意， 整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， ∴的可能取值为1，2，3，4， 当时，表示第一次就投进球，， 当时，表示第2次投进球，第1次没有投进，， 当时，表示第3次投进球，前两次没有投进，， 当时，表示在第次停止，此事件等价于前次投篮均未投中，， 作出的分布列如下图所示： 1 2 3 4 （2）（i）由题意及（1）得， 整数，某同学进行投篮练习，至多投篮次， 当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习， 当时，表示前次均未投中， ∴. （ii）略. 16．在凸四边形中，，，，，，，交于点. (1)求的值； (2)设，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】余弦定理解三角形、向量夹角的计算 【分析】（1）在中用余弦定理求；分别在和中求与的正余弦；利用两角和公式得；最后在中用余弦定理求； （2）将表示为向量与的点积除以模长；利用余弦定理将点积转化为边长平方差；代入已知数值计算得结果. 【详解】（1）如图，在中，由余弦定理得 ， 所以.    在中，由余弦定理得，   又，所以，. 所以 ， 所以， 所以. （2）依题意，， 又                        所以. 由（1）知，， 所以. 17．已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4． (1)求的标准方程； (2)设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标： (3)设（2）中求得的定点为，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)定点，证明过程如下： 设点，则双曲线C在点P处的切线方程为， 已知双曲线右焦点，设点，则线段的中点在切线上，且， 所以有，即， 又因为中点在切线上，所以，化简得， 因为在双曲线C上，所以，代入式化简得， 因为，所以，则，所以点； 则直线斜率， 根据点点斜式方程可得直线的方程为, 则直线过定点. (3) 【知识点】等轴双曲线、求双曲线的切线方程、求双曲线中的最值问题、双曲线中的直线过定点问题 【分析】（1）根据双曲线性质代入计算即可； （2）由垂直+中点在切线求Q坐标，整理PQ方程，令不含参部分为0，得到; （3）MF定长为4，面积转化为，代入Q坐标换元，二次函数顶点取最大值. 【详解】（1）设等轴双曲线C的标准方程为，因为双曲线焦距为4，所以，则， 在双曲线中有，又因为等 轴双曲线中，所以代入得， 所以双曲线C标准方程为. （2）略 （3）由题，，设点，则， 由（2）可知，，则，因为， 令，因为，所以，代入得 ， 则当时，面积最大值为    18．如图，在直三棱柱中，为的中点，，且． (1)证明：平面； (2)若，二面角的平面角为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在面内，且三棱锥的体积为，求点轨迹的长度． 【答案】(1)在直三棱柱中，平面，由平面，得， 由为的中点，，得，又，平面， 所以平面 (2)①；②. 【知识点】证明线面垂直、线面角的向量求法、面面角的向量求法、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）利用线面垂直的性质、判定推理得证. （2）①建立空间直角坐标系，利用面面角的法向量列式求出，再利用线面角的向量法求解；②利用三棱锥体积求出点到平面的距离，再由向量法求距离求出轨迹方程，进而求出轨迹长度. 【详解】（1）略 （2）①在直三棱柱中，，则直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，设， 则，， 设平面的法向量，则，取，得， 而平面的法向量，由二面角的平面角为， 得，解得，，， 设与平面所成角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为. ②由（1）得，则， 由三棱锥的体积为，得到平面的距离为， 由点在侧面上，设，则， 因此到平面的距离为， 点轨迹方程为，而， 则在侧面上的轨迹是线段，所以的轨迹长度为. 19．已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 【答案】(1) (2)由题意证明如下： 在中，是奇函数，当时，． ∴，当时，， ∴ 在集合中， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵， ∴且，即，， ∵， ∴①当时，解得， ，， 此时， ②当时，解得， ，， 此时， ③当时，解得， ，， 此时， 综上，. (3)（i）由题意证明如下， 法一： 若，则存在，使得， 条件①：若，则， ∴，则， 取，则，此时， ∵，则，即， 但，相矛盾， ∴ 法二： 假设，则存在，使得， 从而，这导致， 但， ∵根据条件又有，矛盾， ∴假设不成立，. （ii）由题意，（2）及（3）（i）证明如下， 在集合中， 要证在上单调递增， 即需证，，都有， 即需证，，都有， ①先证明：当时，， 假设，使得， ∵当时，， ∴，使得， ∴， 而当时，， 否则，使得，，与矛盾， ∴， ∴， ∴， 由（3）（i）得，， 则， 由条件②：当时，， 则， 否则时，与矛盾， ∴若，使得，则，，（*） ∴，使得， 则， 令，， 此时，则，则， ∴， ∵， ∴易取，满足，使得， 根据（*）可得，此时，与矛盾， ∴当时，， ②证明：对，，都有， ∵，，都有， ∴， 对任意给定的，取，则， ∴对，，都有， ∴在上单调递增. 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式、函数新定义 【分析】（1）求出，写出表达式，即可求出； （2）求出表达式，化简集合并得出表达式，利用得出与，对的三种情况进行分类讨论，即可证明结论； （3）（i）法一：假设，则存在，使得，取，求出，与矛盾，进而证明结论； 法二：假设，则存在，使得，取，求出，与时矛盾，进而证明结论； （ii）将证明转化为证，，都有，先证明：当时，，再证明对，，都有，进而证明出在上单调递增. 【详解】（1）由题意， 在中，，， 在中， ， ∴， 当时，，，解得， 当时，，解得， ∴， ∴. （2）略 （3）（i）略 （ii）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高二期末模拟考试卷（三） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．设全集 ，集合 ，则中元素的个数为（ ） A． B． C． D． 2．已知复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D．2 3．已知，是夹角为的两个单位向量，，，则（    ） A． B． C．19 D．9 4．把甲、乙、丙、丁等8位员工分为A、B两个技术公关组，要求每组4人，其中甲、乙同组，丙、丁不同组，则分组方案共有（     ） A．10种 B．12种 C．16种 D．24种 5．已知，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 6．已知点，轴于点C，M是线段上任意一点，轴于点D，于点E，与相交于点P，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 7．在菱形中，已知，，沿将折起，得到三棱锥，使二面角的余弦值为，若球与三棱锥的各条棱均相切，则球的表面积为（     ） A． B． C． D． 8．已知关于x的方程有两个不等实根，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（   ） A． B．的图象关于原点对称 C．，使得 D． 10．已知，则（     ） A． B． C． D． 11．已知圆，圆，圆，直线与，，均有两个交点．记被，，截得的弦长分别为、、，则（     ） A．可以取任意实数 B．满足的直线共有条 C．满足的直线多于条 D．当时，的最大值为 三、填空题 12．在等比数列中，，，则________． 13．已知定义域为R的偶函数，当时，，则 ________. 14．椭圆与抛物线有一个公共的焦点，点为椭圆与抛物线的一个交点，为坐标原点，若，则椭圆的离心率为_____． 四、解答题 15．设整数．某同学用一个球进行投篮练习，至多投篮次，当且仅当投中1次时或次均未投中时，停止练习．设该同学每次投中的概率为，各次投中与否相互独立．记为停止练习时该同学的投篮次数． (1)当，时，求的分布列； (2)设，均为自然数． （i）当时，求； （ii）当时，证明：． 16．在凸四边形中，，，，，，，交于点. (1)求的值； (2)设，求的值. 17．已知焦点在轴的等轴双曲线的焦距为4． (1)求的标准方程； (2)设在的左支上任意一点处的切线为，右焦点关于的对称点为，证明：直线过定点，并求出该定点坐标： (3)设（2）中求得的定点为，求面积的最大值． 18．如图，在直三棱柱中，为的中点，，且． (1)证明：平面； (2)若，二面角的平面角为． ①求与平面所成角的正弦值； ②点在面内，且三棱锥的体积为，求点轨迹的长度． 19．已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合． (1)若当时，，求； (2)若是奇函数，，且，证明：； (3)设满足：①若，则；②当时，． （i）证明：； （ii）证明：在区间单调递增． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $