精品解析：河南省鹿邑县弘道中学等学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年高二期末考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，根据交集的定义求结论. 【详解】由有意义可得， 所以，又， 所以， 故选：B 2. 已知向量，，若，则（ ） A B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的结论求参数的值. 【详解】因为，所以.即． 故选：A 3. 的虚部为（ ） A. 43 B. 53 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数乘法法则计算，得到答案. 【详解】因为， 所以其虚部为. 故选：D 4. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由方差的性质即可求解. 【详解】由题意得，所以. 故选：C. 5. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式列方程，结合离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线C的顶点到一条渐近线的距离为， 所以， 所以，所以，双曲线C的离心率. 故选：C. 6. 已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是（ ） A -2 B. -1 C. 0 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意可得方程有两个不同的根，再根据求出的范围，即得答案. 【详解】解：因为有两个极值点， 所以方程有两个不同的根． 又因为， 所以， 解得． 故选：BCD. 7. 在中，，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二倍角公式可得，进而根据面积公式以及基本不等式即可求解. 【详解】在中，由与，解得， 则的面积，当且仅当时，等号成立，所以面积的最大值为. 故选：A 8. 已知球O的半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，圆锥的体积，求导判断单调性求出的值，再根据圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径求解内切球半径. 【详解】设圆锥的底面半径为，在中可得到， 所以圆锥的高为， 所以圆锥的体积， 令，则，所以. 因为，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当，即时，圆锥的体积最大，此时圆锥的高为4，母线长为. 因为圆锥内切球的半径等于圆锥轴截面的内切圆的半径， 所以圆锥内切球的半径. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有项 B. 展开式的第项系数为 C. 展开式的所有项的系数之和为 D. 展开式的所有二项式系数之和为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的相关概念和性质，分别对各选项进行分析判断. 【详解】展开式共有101项，A正确； 展开式的第2项系数为，B错误； 令，得展开式的所有项的系数之和为，C正确； 展开式的所有二项式系数之和为，D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数图象可由的图象向左平移个单位长度得到 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的图象及正切函数的性质求得解析式即可判断AB，结合对称性判断C；根据函数的平移判断D. 【详解】由图可知，的最小正周期，则，故A错误； 由图象可知时，函数无意义，所以，， 则，，又，则，即，故B正确； 因为，所以的图象关于点对称， 由图象对称变换可得的图象关于直线对称，故C正确； 函数的图象向左平移个单位长度得，故D正确. 故选：BCD 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 图象的一个对称中心为点 B. C. 的一个周期为12 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由为奇函数关于对称，则可得关于对称，则可对A、B判断；结合，可化简得到，可对C判断；利用周期可得，可对D判断. 【详解】A、B：因为是定义在上的奇函数，所以， 所以，所以的图象关于点对称，且，故A正确，B不正确； C:因为，所以，所以，所以，故C正确； D：因为当时，，所以，故D不正确． 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】结合题设，根据两角和与差的余弦、正弦公式得到，，两式相除即可求解. 【详解】由，得， 由，得， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合指数函数及二次函数，列出不等式组求解即可. 【详解】解：因为在上单调递增， 所以得． 所以实数的取值范围是. 故答案为： 14. 已知抛物线的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为6，则______，该抛物线上一点（非顶点）处的切线与圆相切，则______． 【答案】 ①. 4 ②. 8 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，求抛物线上的点到的距离和的最小值，确定的值；利用导数，写出抛物线的切线方程，再根据直线与圆的位置关系，确定点纵坐标，结合抛物线的定义，求. 【详解】如图： 设点在的准线上的射影为，则， 要使得取得最小值，即取得最小值， 当三点共线时，取得最小值， 由4，得． 因为，所以. 设，则切线的方程为，即． 因为切线与圆相切， 所以，化简得，解得（舍去）或， 因为，所以． 故答案为：4；8 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足点在直线上，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义进行求解即可； （2）利用错位相减法进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得， 因为，所以， 所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以的通项公式是. 【小问2详解】 由（1）知，， 则，， 两式相减，得， 所以 16. 如图，在圆锥中，为底面的圆心，，，点是底面圆周上一点，是的中点，，. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，取靠近点的四等分点，连接，，，易证四边形为平行四边形，所以，再利用线面平行的判断求解即可. （2）以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 如图1，取的中点，取靠近点的四等分点，连接，，. 因为是的中点，所以是的中位线，所以，. 因为，所以，所以根据相似的性质可得，， 所以，，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 根据圆锥的性质可得平面，因为平面，平面，所以，. 因为，所以以点为坐标原点， ，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图2所示， 则，，，，. 设平面的法向量为，则，取. 易得平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则， 因为平面与平面的夹角为为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为. 17. 随机选取某市6所小学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如下表所示： 学校 甲 乙 丙 丁 戊 戌 参加“徒步走”人数 50 55 45 48 60 56 （1）现从这6所小学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”人数不低于55的学校数量为X，求X的分布列和数学期望. （2）在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为. ①求小明1次挑战成功的概率； ②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？ 【答案】（1）分布列见解析， （2）①；②12次 【解析】 【分析】（1）写出所有的可能取值，再计算出分布列，最后利用期望公式即可； （2）①利用组合数和独立事件的乘法公式即可； ②利用二项分布的期望公式得到不等式，解出即可. 【小问1详解】 参加“徒步走”人数不低于55的学校共3所，则X的所有可能取值为0，1，2，3. ，， ，， 则X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以. 【小问2详解】 ①小明1次挑战成功的概率为. ②小明在n轮挑战中挑战成功总次数服从二项分布，即， 由题意可得，因为，所以解得， 所以理论上小明至少需挑战12次. 18. 已知椭圆的离心率为，，不过的上、下顶点的直线与交于不同的，两点. （1）求的标准方程. （2）设点，分别为的上、下顶点，直线的斜率为当直线，的斜率都存在时，. ①证明：直线过定点. ②当的面积取得最大值时，求的值. 【答案】（1） （2）①证明见解析② 【解析】 【分析】（1）根据离心率得出进而计算求解标准方程； （2）①先设直线再联立方程组结合斜率公式应用韦达定理计算求参；②应用弦长公式及点到直线距离公式化简求解面积，最后构造函数应用导函数求解最大值即可. 【小问1详解】 由题意得，得， 因为，所以，得，. 故的标准方程为. 【小问2详解】 ①证明：由（1）可得， 设直线的方程为，，， 由得， ，， 当直线，的斜率都存在时， 则， 解得， 直线的方程为，所以直线过定点. ②解：由①得，， . 点到直线的距离， 则的面积. 令，函数， 则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以当时，取得最大值， 所以当的面积取得最大值时，. 19. 已知函数． （1）证明：当时，在上单调递减． （2）已知有两个极值点． ①求的取值范围； ②若，求的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求函数的导函数可得，令，利用导数判断函数的单调性，求其最值，证明，由此证明结论； （2）①由条件可得有两个实数根，设，分，， ，利用导数研究函数单调性，结合条件可得，再验证结果满足要求； ②结合条件及①证明，再结合条件证明，结合关系求的范围，结合①求的最大值． 【小问1详解】 证明：当时，，则． 令，得． 令，得． 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值， ． 因为，所以，即，故在上单调递减. 【小问2详解】 ①由，得． 因为有两个极值点，所以有两个实数根． 设，则． 当时，，则只有一个实数根，不符合题意，舍去． 当时，，则在上单调递增， 所以在上单调递增， 则至多只有一个实数根，不符合题意，舍去． 当时，令，解得， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 所以在处取得极大值，． 因为有两个实数根，所以有两个实数根， 所以，解得， 当时，，，， 当时，，所以有两个实数根，故有两个实数根， 故m取值范围为． ②由①易得，，， 当时，， 所以的两根中有一根在内，有一根在内． 若，则，这与矛盾，舍去， 所以，且， 所以，．由，得恒成立， 所以． 由，得，解得．由，， 令，， 得，则在上单调递增， ， 且，所以，则． 又因为，且，所以，故的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二期末考试 数学试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2 已知向量，，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 3. 的虚部为（ ） A. 43 B. 53 C. D. 4. 已知随机变量服从正态分布，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 5. 已知双曲线（，）的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 7. 在中，，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知球O半径为3，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球的半径为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共有项 B. 展开式的第项系数为 C. 展开式的所有项的系数之和为 D. 展开式的所有二项式系数之和为 10. 已知函数（，）的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数图象可由的图象向左平移个单位长度得到 11. 已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则（ ） A. 图象的一个对称中心为点 B. C. 的一个周期为12 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则______. 13. 已知函数在上单调递增，则的取值范围是_____． 14. 已知抛物线的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为6，则______，该抛物线上一点（非顶点）处的切线与圆相切，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足点在直线上，且. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前项和. 16. 如图，在圆锥中，为底面的圆心，，，点是底面圆周上一点，是的中点，，. （1）证明：平面 （2）求平面与平面夹角的余弦值. 17. 随机选取某市6所小学调研“徒步走”活动的参加情况，统计各校参加学生人数，所得数据如下表所示： 学校 甲 乙 丙 丁 戊 戌 参加“徒步走”人数 50 55 45 48 60 56 （1）现从这6所小学中随机选出3所，记其中参加“徒步走”人数不低于55学校数量为X，求X的分布列和数学期望. （2）在“徒步走”活动的终点设置挑战游戏，每位“徒步走”活动参与者都可参与挑战，每次挑战都需要闯3关，且参与者每次挑战至少通过其中2关，才视为挑战成功，每关是否通过互不影响.已知参与者小明每关通过的概率均为. ①求小明1次挑战成功的概率； ②若小明进行多次挑战，且希望挑战成功总次数的期望大于3，则理论上他至少需挑战多少次？ 18. 已知椭圆的离心率为，，不过的上、下顶点的直线与交于不同的，两点. （1）求的标准方程. （2）设点，分别为的上、下顶点，直线的斜率为当直线，的斜率都存在时，. ①证明：直线过定点. ②当的面积取得最大值时，求的值. 19. 已知函数． （1）证明：当时，在上单调递减． （2）已知有两个极值点． ①求取值范围； ②若，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $