河南省2025-2026学年高二下学期期末自编模拟考数学试卷（七）

**基本信息** 覆盖高考全部内容，通过单选、多选、填空及解答题（含数学建模、立体几何、新定义规范数集等），综合考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数、集合、抛物线等|基础概念与运算，如复数求解、集合交并| |多选|3/18|解三角形、函数、新定义数列|结合“加速数列”新定义考查逻辑推理| |填空|3/15|不等式恒成立、椭圆离心率等|综合应用，如椭圆离心率与斜率关系| |解答|5/77|统计、立体几何、双曲线等|情境真实（数学建模）、综合探究（规范数集）|

2025-2026学年河南省高二期末模拟考试卷（七） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C．4 D．8 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 4．已知向量，都是单位向量，且，则（     ） A． B． C． D． 5．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件 6．的展开式中的系数为（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 7．已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．在三棱锥中，，，M是的中点．则三棱锥的外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 11．已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，现给出下列命题：其中不正确的命题是（    ） A．若，则对任意，数列都不是“加速数列” B．若数列是“加速数列”，且，，则数列存在最小项 C．若数列是“加速数列”，且，，则存在，使得 D．正数列是等比数列且公比，则是“加速数列”的充要条件是 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_________． 13．已知椭圆的右焦点和右顶点分别为，，点在上．若直线与的斜率之积为，且，则的离心率等于________． 14．如图，已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12，直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边所在的直线相切，半圆圆心都在边上，半径分别为、、…、、…，前个半圆面积的总和，则_______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到0.1）； (2)以样本数据中各区间的频率作为该区间的概率，若从全校学生中随机抽取30人，记其中获得优秀的人数为，求使取得最大值时的值． 16．如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，与相交于点．    (1)证明：平面平面； (2)若， （ⅰ）求四棱锥体积的最大值； （ⅱ）当四棱锥体积最大时，求二面角的余弦值． 17．已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 18．已知双曲线：（，）的右焦点到渐近线的距离为2，过右焦点垂直于实轴的弦长为4． (1)求双曲线的离心率； (2)设双曲线的左顶点为，若斜率为2的直线与的右支相交于，两点，点关于原点的对称点为． ①证明：的垂心在上； ②证明：，，，四点共圆． 19．给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断是不是规范数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个元规范数集，求证：； (3)当取遍所有2026元规范数集时，求范数的最小值. 注：分别表示数集中的最小数与最大数. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高二期末模拟考试卷（七） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知复数满足，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】A 【知识点】求复数的模、复数的除法运算 【分析】首先化简复数，再代入模的公式. 【详解】由条件可知，， 所以. 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算 【详解】由题可得： 3．已知抛物线（）和（）均经过点，则的焦点与的焦点之间的距离为（     ） A．12 B． C．6 D． 【答案】D 【知识点】求平面两点间的距离、根据抛物线方程求焦点或准线、根据抛物线上的点求标准方程 【分析】将已知点代入抛物线方程求解参数，再结合抛物线焦点坐标公式得到两个焦点坐标，最后代入距离公式计算即可. 【详解】∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. ∵ 抛物线经过点， ∴ 将代入的方程得，即，解得. ∴ 的焦点坐标为，即. 根据两点间距离公式，与之间的距离为： . 4．已知向量，都是单位向量，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模 【详解】因为都是单位向量，， 所以，所以， 所以. 5．“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、分式不等式 【详解】由，得到，等价于，解得或， 所以“”是“”的充分非必要条件. 6．的展开式中的系数为（    ） A．2 B．－2 C．4 D．－4 【答案】A 【知识点】两个二项式乘积展开式的系数问题 【分析】利用乘法分配律和二项式展开式的通项公式求得正确答案. 【详解】由二项式定理可知：的展开式中含的项为： ，所以的系数为2. 7．已知函数是偶函数，当时，若的图象与轴恰有4个公共点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数零点的个数求参数范围、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据对称性将问题转化为在上有两个不同的零点，进而利用方程的根进行求解. 【详解】由于函数是偶函数，且其图像与轴恰有4个公共点，因此，在上有两个不同的零点， 当时，令，则，共有两个实数根， 由于函数和均为定义域内的单调函数， 因此有一个实数根，有一个实数根， 故时，， 时，， 因此当时，. 8．在三棱锥中，，，M是的中点．则三棱锥的外接球的表面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】球的表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题、空间距离公式的应用 【分析】将三棱锥置于长方体中，再建立空间直角坐标系，列出方程即可求解外接球的半径，进而求得表面积． 【详解】如图，将三棱锥置于长方体中，设长，宽，高分别为， 由， 如图，建立空间直角坐标系，则， 设三棱锥的外接球球心为， 则可得， 所以三棱锥的外接球的表面积为． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 【答案】ABD 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】由正弦定理及，得，再由及二倍角公式得，即可求解，再结合选项即可依次判断． 【详解】由及正弦定理得，， ， 代入得， 得， 即，在中，有，故A项正确； 由，得， 得， 因，则，得，故B项正确； 因为，，及， 联立解得， 由得，则， ，故D项正确； 外接圆半径为，故C项错误． 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A． B．为偶函数 C．当时，在区间上单调递增 D．当时， 【答案】AB 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、定义法判断或证明函数的单调性、函数奇偶性的定义与判断 【详解】A：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故A正确. B：函数定义域为，关于原点对称， 若，则，， 若，则，， ∴对任意，均有，即为偶函数，故B正确. C：令，在上，， 当时，，不满足单调递增的定义，故C错误. D：取，满足， ∵， ∴， ∵， ∴， 此时，故D错误. 11．已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“加速数列”，现给出下列命题：其中不正确的命题是（    ） A．若，则对任意，数列都不是“加速数列” B．若数列是“加速数列”，且，，则数列存在最小项 C．若数列是“加速数列”，且，，则存在，使得 D．正数列是等比数列且公比，则是“加速数列”的充要条件是 【答案】ACD 【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质、等比数列通项公式的基本量计算、数列新定义 【分析】A选项，计算的比值即可作出判断；B选项，根据条件可判断是常数列或单调递增数列，然后结合可推出数列存在最小项；C选项，“加速数列”会使数列指数增长，导致无界，即可作出判断；D选项，正项等比数列是否为“加速数列”， 的取值与公比有关，即可判断. 【详解】因为若存在常数，对于任意的，都有， 则称数列为“加速数列”， 所以设，对于任意的，都有成立，. 对于A：    ， 因为，所以，所以成立， 即，因为， 所以存在，使得数列是“加速数列”，故A错误； 对于B：若数列是“加速数列”，则， 而， 故，故存在，使得 ， 所以， 故数列存在最小项，故B正确； 对于C：若数列是“加速数列”，则，且， 则，所以， 即，当时，，所以不存在，使得， 故C错误； 对于D：若正数列是等比数列，则，等价于 若，则，不等式等价于， 只要，数列是“加速数列”； 若，则，不等式等价于， 只要，数列是“加速数列”， 所以是“加速数列”的充要条件不是，故D错误. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【知识点】指数函数图像应用、函数不等式恒成立问题 【详解】设，易知，只需考虑的情形． 不等式化为． ①若，不符合题意． ②若，符合题意． ③若． 令． 令， ， 由. 在单调递增． 又． 当时，恒成立，在单调递增，，不符合题意． 当时，存在唯一的，使得． 单调递减． 单调递增． 在上的最大值只能在端点处取得． 要使恒成立，需满足，解得：． 综合可得：． 13．已知椭圆的右焦点和右顶点分别为，，点在上．若直线与的斜率之积为，且，则的离心率等于________． 【答案】或 【知识点】根据椭圆方程求a、b、c、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆的焦半径与焦点弦问题 【分析】设右焦点为，且，再设点在椭圆上，求得，根据直线和的斜率之积为，化简得到，再由，以及椭圆的焦半径公式，化简得到，求得或，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，则右顶点， 设右焦点为，则，离心率为， 设点在椭圆上，可得，则， 又由直线和的斜率分别为， 因为直线和的斜率之积为，可得， 将代入上式，可得， 整理得，即， 即，所以， 因为，由椭圆的焦半径公式，可得， 又因为，可得，即，解得或， 所以椭圆的离心率为或. 14．如图，已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12，直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边所在的直线相切，半圆圆心都在边上，半径分别为、、…、、…，前个半圆面积的总和，则_______． 【答案】 【知识点】无穷等比数列各项的和 【详解】 设以为圆心的圆与AB相切于点，连接， 易得与相似，则有， 又，，所以，代入可得，解得. 同理可得，即，解得，依次可求得， 因为，所以是以为首项，以为公比的等比数列， 则是以为首项，以为公比的等比数列， 前n个半圆面积的总和为， . 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某学校组织了一次数学建模比赛，本次比赛满分为100分，得分在80分以上为优秀，从中随机抽取100名学生的成绩得到如下所示的频率分布直方图． (1)求的值，并估计该校学生比赛成绩的中位数（精确到0.1）； (2)以样本数据中各区间的频率作为该区间的概率，若从全校学生中随机抽取30人，记其中获得优秀的人数为，求使取得最大值时的值． 【答案】(1)，中位数为70.4 (2)7 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计中位数、服从二项分布的随机变量概率最大问题 【分析】（1）根据频率分布直方图小矩形面积和为1即可求，再根据中位数的求法求解； （2）由题可知随机变量，再根据二项分布概率最大值的求法求解． 【详解】（1）由题知：，解得 设中位数为，则， 解得，故中位数为70.4； （2）因为样本中80分以上的频率为， 故随机变量 所以（，1，2，…，30）， 当最大时，， 得 得 得，所以 ，得 又因为，所以当最大时的值为7． 16．如图，在底面为菱形的四棱锥中，底面，与相交于点．    (1)证明：平面平面； (2)若， （ⅰ）求四棱锥体积的最大值； （ⅱ）当四棱锥体积最大时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)因为 底面 ， 底面，所以； 又底面 是菱形，菱形对角线互相垂直，故， 平面，因此 平面， 又 平面，所以平面平面； (2)（ⅰ）；（ii） 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、锥体体积的有关计算、证明面面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）（i）设，结合题意可推出，继而推出，根据棱锥体积公式可得四棱锥体积的表达式，利用导数可求得其最大值；（ii）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面和平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）略 （2）（i）设，则，而， 故， 又底面，底面，则，故， 即，故， 则菱形的面积为， 故四棱锥体积为， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 故时，取最大值，最大值为， 故四棱锥体积的最大值为； （ii）当四棱锥体积最大时，, 以O为坐标原点，以所在直线为轴，过点O作底面的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系，    则， , 设平面的法向量为，则, 即，令，则； 设平面的法向量为，则, 即，令，则； 则， 由原图可知二面角为锐角，故其余弦值为. 17．已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、用和、差角的正弦公式化简、求值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得，结合正弦型函数周期公式列方程求，再由列式求； （2）根据正弦型函数单调区间求法求结论. 【详解】（1）因为， 所以， 又的最小正周期为，， 所以，所以， 因为， 所以，， 所以，， 所以， 所以， （2）令，，可得，， 函数的单调递减区间为. 18．已知双曲线：（，）的右焦点到渐近线的距离为2，过右焦点垂直于实轴的弦长为4． (1)求双曲线的离心率； (2)设双曲线的左顶点为，若斜率为2的直线与的右支相交于，两点，点关于原点的对称点为． ①证明：的垂心在上； ②证明：，，，四点共圆． 【答案】(1) (2)①设斜率为2的直线与双曲线交于,, 联立得，则，， ，解得， ， 设的垂心为，因为的斜率为2，所以的斜率为， 所以的方程为，即， 因为，，所以， 所以的方程为, 代入得， 即， 即， 因为在上，所以，代入上式并使用韦达定理得 ， 因为，所以，解得，代入得， 即，代入双曲线得，等式成立， 故的垂心在双曲线上. ②点关于原点的对称点为， 则四点为， 若四点共圆，圆心必在各弦的垂直平分线上，设线段与的垂直平分线交于点， 线段的中点为， 因为，其垂直平分线的斜率为2， 则的垂直平分线的方程为，整理得, 线段的中点为，其中， 则，即的中点为， 直线的斜率， 其垂直平分线的斜率为， 则的垂直平分线的方程为，整理得， 联立得 ， 代入得， ， 由韦达定理得， 代入得， ， ， 则， 所以，即， 由点在线段与的垂直平分线上可知且， 综上所述，， 即点到定点的距离相等，故四点共圆得证. 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的离心率或离心率的取值范围、根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围、双曲线中的定值问题 【分析】（1）结合焦点到渐近线的距离公式与通径长公式直接解出双曲线的参数a和b，从而求得离心率. （2）①设出直线方程并与双曲线联立，利用韦达定理求出两条高线的交点即垂心的坐标，最后将坐标代入验证其满足双曲线方程;②分别求出线段和的中垂线交点作为假定圆心，再利用韦达定理推导证明该交点到等点的距离平方相等，以此证明四点共圆. 【详解】（1）由题意得右焦点为，其中一条渐近线为，即， 则点到渐近线的距离为， 且通径长为，解得， 则， 则，则双曲线的方程为. （2）略 19．给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断是不是规范数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个元规范数集，求证：； (3)当取遍所有2026元规范数集时，求范数的最小值. 注：分别表示数集中的最小数与最大数. 【答案】(1)集合不是，集合是 (2)不妨设集合中的元素为，即， 因为为规范数集，则， 则，且，使得， 当时， ， 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当时，等号成立； 综上所述：. (3) 【知识点】集合新定义、函数新定义 【分析】（1）根据规范数集的定义，只需判断集合中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可； （2）利用元规范数集的定义，得到，从而分、与讨论，结合去绝对值的方法即可证明； （3）利用规范数集的性质与（2）中结论即可得解. 【详解】（1）集合不是，集合是； 对于集合，，所以集合A不是规范数集； 对于集合，因为，，，，，，， 所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集. （2）略 （3）不妨设，因为为规范数集， 所以，且，使得. 对于，同样有. 由（2）得. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以. 所以范数. 所以范数的最小值为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $