河南省2025-2026学年高二下学期期末自编模拟考数学试卷（九）

**基本信息** 2025-2026学年河南省高二期末数学模拟卷，以高考全内容为范围，通过集合运算、复数条件判断、函数极值证明等问题设计，考查数学抽象、逻辑推理与运算能力，适配高二期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、正态分布、圆方程|结合充要条件判断，考查数学抽象与逻辑推理| |多项选择|3/18|统计（残差、百分位数）、抛物线切线|设置多选项辨析，培养批判性思维| |填空|3/15|导数切线、数列递推、向量模|通过递推数列与向量最值，强化数学运算| |解答|5/77|概率分布列、圆台几何、解三角形、函数极值、椭圆综合|第18题函数极值证明与第19题椭圆定点问题，体现综合性与创新应用，契合高考命题趋势|

2025-2026学年河南省高二期末模拟考试卷（九） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【知识点】交集的概念及运算、根据交集结果求集合或参数 【分析】利用交集的性质可知点同时属于集合A和B，将该点代入两个集合对应的方程求解即可得到b的值. 【详解】由可得，点同时满足集合、的对应函数方程， 将代入的方程，得，解得； 将和代入的方程， 得，解得， 因此. 2．“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】C 【知识点】判断命题的必要不充分条件、复数的分类及辨析、已知复数的类型求参数 【分析】先根据纯虚数的概念求得，再结合充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】若复数为纯虚数，则，解得， 所以“或”是“复数为纯虚数”的必要非充分条件． 3．已知随机变量X服从正态分布，若，则的最大值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【知识点】正态曲线的性质、根据正态曲线的对称性求参数 【分析】由正态分布以及二次函数的性质求解即可. 【详解】由随机变量X服从正态分布，所以， 又因为，所以， 由对称性可知，即，所以， 当时，可得，等号成立时. 4．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．点的坐标为 B．时，圆与轴相切 C．当时，圆与圆外切 D．当圆与圆相交时，两交点所在的直线方程为 【答案】B 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程 【分析】对于A，求出的圆心坐标即可判断； 对于B，利用圆心到的距离即可判断； 对于C，求出两个圆的圆心距与半径之差，半径之和比较即可判断； 对于D，将两个圆的方程相减化简即可求解. 【详解】由：，化简可得， 所以，的圆心，半径，故A错误； 对于B，由，得的半径，所以圆心到轴的距离，即与轴相切，故B正确； 对于C，由，得的半径，由于的圆心为，半径，所以，则与内切，故C错误； 对于D，由，化简得：， 所以与两个交点所在直线的方程为，故D错误. 5．记无穷等比数列的前项和为，若，则“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、求等比数列前n项和 【详解】（充分性）若取，首项，则数列为······ 此时前项和满足：为奇数时，；为偶数时，； 显然可取，则对所有，都有，所以充分性不成立； （必要性）当时，前项和为， 由于恒成立，则恒成立，取， 则对所有，都有，必要性得证. 所以“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的必要不充分条件. 6．函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【知识点】由图象确定正切（型）函数解析式、由正切型函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据函数的图象，求得，结合，即可求解. 【详解】由函数的图象，可得，解得， 又由，即，可得， 因为，可得，所以， 又因为，即，可得. 7．已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．9 【答案】B 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、基本不等式“1”的妙用求最值 【详解】因为，所以 得，即 构造函数 ， 恒成立，所以单调递增， 因为 , 因此原等式可写为 由单调递增可知 ，故 即， 即 因为，，所以 , 所以 当且仅当，即时等号成立，此时 均满足 的条件，因此最小值为. 8．已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分段函数的性质及应用、函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】先分析函数，作出函数大致图象，分析函数，把零点问题转化为关于的方程有2个不同的根和，且关于的方程分别有4个不同的根，进而结合判别式和韦达定理构造方程组，并分情况讨论求出实数的取值范围． 【详解】当时，，开口向下，对称轴为， ； 当时，，，函数在单调递减，在单调递增； 作出的大致图象如下， 设，则关于的方程有2个不同的根和， 且关于的方程分别有4个不同的根． 不妨设，则关于的方程需满足：， ①若，则，故， 且，即， 解得； ②若，则，此时，符合题意，故． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的是（ ） A．对一组数据做线性回归分析，残差全部为 0 时，拟合效果完美 B．数据2，5，7，9，10的 40 百分位数是 5 C．独立性检验可以精确判断两个分类变量是否有关 D．相关系数r的绝对值越接近 1，变量间线性相关性越强 【答案】AD 【知识点】相关系数的意义及辨析、解释回归直线方程的意义、独立性检验的概念及辨析、总体百分位数的估计 【详解】对于A，残差定义：残差 = 实际值 - 回归预测值. 若所有残差都为0，说明所有样本点都落在回归直线上，线性拟合效果达到最优；A 正确. 对于B，，所以这组数据的百分位数是，B错误； 对于 C，独立性检验（卡方检验）只能在一定犯错概率下推断两个分类变量是否有关，属于概率性判断，无法做到精确判定；C 错误. 选项 D，线性相关系数的绝对值越接近1，两个变量的线性相关性越强；越接近0，线性相关性越弱；D 正确. 10．已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3 B．点与点的纵坐标相等 C．若点在直线上，则直线过点 D．若三点共线，则的面积的最小值为1 【答案】BCD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、抛物线中的三角形或四边形面积问题、与抛物线焦点弦有关的几何性质、直线与抛物线交点相关问题 【分析】对于A，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义可得；对于B，设，过点的切线方程为，联立得到切线方程，进而得到过点的切线方程为，同理可得过点的切线方程为，再联立得到点与点的纵坐标即可判断；对于C，设直线的方程为，联立，结合韦达定理可得即可判断；对于D，由三点共线，可得，即直线的方程为，再利用弦长公式，结合三角形面积公式进行计算． 【详解】对于A，因为抛物线的焦点为，所以， 抛物线的准线方程为. 如图，过点作抛物线的准线的垂线，垂足为， 由抛物线的定义可知，， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A错误； 对于B，设，过点的切线方程为（切线斜率不为0）， 联立抛物线方程，化简并整理，得. 又，所以， 所以，所以过点的切线方程为，即. 同理可得，过点的切线方程为. 联立得. 因为线段的中点的坐标为，所以点的纵坐标相等，故B正确； 对于C，设直线的方程为，联立， 化简并整理，得，则. 又因为点在直线上，所以，所以， 即直线的方程为，则直线过点，故C正确； 对于D，因为三点共线，所以， 即直线的方程为， 所以点到直线的距离，， 所以，当时取最小值为1，故D正确． 11．正方体内有两个互相垂直的内切圆柱（如图1所示），将它们公共部分的几何体记为（如图2所示）.若圆柱底面半径为1，两个圆柱相交时表面形成的交线分别记为，点P在上运动，E，F分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．点P的轨迹是椭圆B C．存在点P，使 D．棱长为的正四面体能够被整体放入内 【答案】ABD 【知识点】组合体截面的形状、多面体与球体内切外接问题、求组合体的体积、立体几何中的轨迹问题 【分析】根据几何体特征结合四棱锥体积公式计算判断A，应用曲线特征判断B，C，应用正方体及正四面体的外接球性质计算判断D. 【详解】设于，， 对A，，即选项A正确． 对B，曲线所在平面斜截圆柱，故为椭圆，选项B正确． 对C，当时，在以为直径的圆上，显然椭圆上这样的点不存在，选项C错误． 对D，设内部有一个正四面体，该正四面体内接于球，内部的球的最大半径为1， 设半径为1的球是边长为的正方体的外接球，所以，所以， 半径为1的球是边长为正四面体的外接球，所以正四面体的边长是正方体的面对角线，所以， 故此正四面体的棱长最大为，而比1.6大，故选项D正确．    三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若曲线，则曲线在的切线方程为_______________. 【答案】 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、导数的运算法则 【分析】先求出切点，再根据导数的几何意义求出斜率，代入点斜式方程求出直线方程即可. 【详解】解：由题可得， 当时，，， 所以切点坐标为，斜率为， 因此切线方程为，即. 13．数列满足，，且对任意，都有.若是数列中第一个大于100的项，则______. 【答案】11 【知识点】由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】先构造，得到数列是公差为2的等差数列，再利用累加法求解数列的通项公式，从而找到数列中第一个大于100的项. 【详解】令. 由得， 所以数列是公差为2的等差数列， 又，所以. 所以 当，， ， … ， ， 将以上个等式左右两边分别相加得 ， 所以，因为也满足，所以， 要找第一个大于100的项，即，所以 所以第一个大于100的项是第11项，所以. 14．若向量满足，，则的最小值为________ 【答案】2 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、向量与几何最值 【分析】根据题意，利用向量的运算法则，求得，得到，化简得到，结合向量不等式，即可求解. 【详解】由，所以，所以， 又由， ， 所以， 所以， 当且仅当与同向时，等号成立. 所以的最小值为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． (1)求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)记比赛结束时的场数为X，求X的分布列和数学期望． 【答案】(1)； (2)X分布为 3 4 5 ． 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）分别计算甲队获胜的概率和甲队获胜且比赛恰好4场的概率，然后利用条件概率求解； （2）先确定的取值，并计算相应的概率，列出分布列，根据期望计算公式计算. 【详解】（1）设事件A表示“比赛恰好进行4场”，事件B表示“甲队获胜”． 甲队获胜包含三种情况： 比赛3场甲队获胜，其概率为． 比赛4场甲队获胜，即前3场甲队胜2场，第4场甲队胜， 概率为． 比赛5场甲队获胜，即前4场甲队胜2场，第5场甲队胜， 概率为． ∴甲队获胜的概率为． 甲队获胜且比赛恰好进行了4场的概率为． ∴在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了4场的概率为． （2）X的可能取值为3，4，5． ； ； ． ∴X分布为 3 4 5 ． 16．如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为．为下底面圆周上一点，，为的中点，连接． (1)证明：平面； (2)若在下底面以为圆心，以为半径的圆上存在一点，使得． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)在圆台中，，分别为上下底面的圆心，有平面，由于平面，所以．且，，平面，，所以平面． (2)（ⅰ）（ⅱ） 【知识点】台体体积的有关计算、证明线面垂直、空间位置关系的向量证明、面面角的向量求法 【分析】（1）先利用平面证得，再由线面垂直的判定定理即可得证； （2）由圆台体积求出其高度，建系后求出相关点的坐标. （ⅰ）利用和向量共线求出点的坐标，即可求出的值；（ⅱ）根据（ⅰ）建的坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由圆台体积公式可得解得． 由于，，两两相交且垂直， 则以为一组正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， 因为的中点，则． （ⅰ）设，则． 则，， 由于，即存在,使得, 即，解得，，，即， 所以半径． （ⅱ）由于平面， 不妨设平面的一个法向量． 设平面的一个法向量， 有，即，故可取． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 17．在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求； (2)求的面积； (3)若点在边上，且平分，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）利用三角形面积公式即可求解； （3）又平分，可知，求出，代入后即可求解. 【详解】（1）由余弦定理，． 又，所以．代入，，得． 即． 化简得，因此． （2）由，得． 所以． （3）因为平分，则， 即， 即得， 又为锐角，所以， 则. 18．已知函数存在两个不同的极值点． (1)求实数的取值范围； (2)设，求的最大值； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数证明不等式、根据极值点求参数、导数中的极值偏移问题 【分析】（1）由题意知有两个不同的实根，即方程有两个不同实根，令，通过求导求出的单调性，结合图象即可求出答案； （2），通过求导求出的单调性，即可求出答案； （3）函数，证明出，再证明在上单调递减，从而得到，结合第（2）问即可求出答案. 【详解】（1）由题意知． 因存在两个不同的极值点，故有两个不同的实根， 即方程有两个不同实根． 令，则． 令，因恒成立，故在上单调递减． 又，故： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 所以在处取得极大值即最大值，且． 又，，当，， 要使直线与图象有两个不同交点，必须满足． 当时，易知函数存在两个不同的极值点，符合题意， 故实数的取值范围是． （2）， ， 令， 所以单调递增，又， 所以当时，，则在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增． 因此在处取得最大值，． 即的最大值为． （3）由（1）知．不妨设． 因在上递增，上递减，且，故必有． 构造函数， 当时，，即恒成立． 因为，所以．又，故． 因为，且在上单调递减， 所以，即． 当时，，此时，故在上单调递减． 由于，故． 于是． 由（2）知，当时，． 因为，所以． 综上可得，，原命题得证． 19．已知椭圆：的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设，分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆上不同的两点， （ⅰ）若，关于直线对称，求实数的取值范围； （ⅱ）若，关于轴对称，直线和交于点．过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）；（ⅱ）在轴上存在点，使得. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、双曲线中存在定点满足某条件问题 【分析】（1）由离心率和短轴长结合关系求值，写出方程即可； （2）（i）设直线的方程为，，的中点为，与椭圆方程联立后，利用根与系数的关系求得，进而利用点在上以及可求得实数的取值范围；（ⅱ）设，写出的方程，两式相乘，利用点在椭圆上，进而计算可得动点的轨迹方程，由得，设存在定点满足条件，由求得即可. 【详解】（1）由，得， 故椭圆方程为：. （2）（ⅰ）因为，关于直线对称，所以所在直线的斜率为， 设直线的方程为，，的中点为， 由得， 所以， 所以， 由，可得，， 所以，整理得，所以， 所以，所以，所以， 解得，所以实数的取值范围为； （ⅱ）存在这样的点，使得. 假设存在这样的点，使得， 如图，若，关于轴对称，则设， 则直线，直线， 两式相乘得， 因为在椭圆上，所以，即， 代入得，化简得，因为点不与顶点重合，所以. 即动点的轨迹方程为. 如图，因为， 所以，即，所以， 设过点的直线方程为，， 由，可得， 因为双曲线与直线有两个不同的交点， 所以有两个不同的解，所以， 所以， 设，则，即. 所以，化简得， 所以，因为，所以，解得， 故在轴上存在点，使得. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高二期末模拟考试卷（九） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，，则（    ） A． B． C． D．1 2．“或”是“复数为纯虚数”的（     ） A．充分非必要条件 B．充要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 3．已知随机变量X服从正态分布，若，则的最大值为（     ） A． B． C．1 D．2 4．已知圆：，圆：，则下列说法正确的是（     ） A．点的坐标为 B．时，圆与轴相切 C．当时，圆与圆外切 D．当圆与圆相交时，两交点所在的直线方程为 5．记无穷等比数列的前项和为，若，则“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．3 C． D． 7．已知实数，，且满足，则的最小值为（    ） A．5 B． C． D．9 8．已知函数，若函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的是（ ） A．对一组数据做线性回归分析，残差全部为 0 时，拟合效果完美 B．数据2，5，7，9，10的 40 百分位数是 5 C．独立性检验可以精确判断两个分类变量是否有关 D．相关系数r的绝对值越接近 1，变量间线性相关性越强 10．已知点为抛物线的焦点，点分别为抛物线上两点，过两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点，设线段的中点为，则下列说法正确的是（    ） A．若点，则的最小值为3 B．点与点的纵坐标相等 C．若点在直线上，则直线过点 D．若三点共线，则的面积的最小值为1 11．正方体内有两个互相垂直的内切圆柱（如图1所示），将它们公共部分的几何体记为（如图2所示）.若圆柱底面半径为1，两个圆柱相交时表面形成的交线分别记为，点P在上运动，E，F分别为，的中点，则下列说法正确的是（   ）    A． B．点P的轨迹是椭圆B C．存在点P，使 D．棱长为的正四面体能够被整体放入内 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．若曲线，则曲线在的切线方程为_______________. 13．数列满足，，且对任意，都有.若是数列中第一个大于100的项，则______. 14．若向量满足，，则的最小值为________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．甲，乙两队进行乒乓球双打比赛，规定采用五场三胜制，即先赢得三场比赛的队伍获胜．已知每场比赛甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，且每场比赛的结果相互独立． (1)求在甲队获胜的条件下，比赛恰好进行了四场的概率； (2)记比赛结束时的场数为X，求X的分布列和数学期望． 16．如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为．为下底面圆周上一点，，为的中点，连接． (1)证明：平面； (2)若在下底面以为圆心，以为半径的圆上存在一点，使得． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 17．在中，角，，的对边分别为，，．已知，，． (1)求； (2)求的面积； (3)若点在边上，且平分，求的长． 18．已知函数存在两个不同的极值点． (1)求实数的取值范围； (2)设，求的最大值； (3)求证：． 19．已知椭圆：的短轴长为2，离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)设，分别为椭圆的左、右顶点，，为椭圆上不同的两点， （ⅰ）若，关于直线对称，求实数的取值范围； （ⅱ）若，关于轴对称，直线和交于点．过点的动直线与点的轨迹交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $