精品解析：河南郑州市中牟县部分校2025-2026学年高二下学期期末教学质量监测数学试题

2025-2026 学年下期期末教学质量监测试题 高二数学 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列图中，相关系数最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知随机变量的分布列为: 设函数 ，若，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则n的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知随机变量的分布列如下表，则方差 （ ） A. B. C. D. 5. 已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 6. 如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（ ）种. A. 528 B. 524 C. 520 D. 516 7. 已知变量 和 有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 ，则（ ） 2 3 5 6 5 7 9 15 A. 经验回归直线必过点 B. C. 对应的样本点的残差为 D. 当时，预测值 8. 已知不等式 在上恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 经验回归方程对应的直线一定经过样本点的中心 B. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 D. 用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好 10. 若随机事件与相互独立，且 ， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 在等差数列中，，.现从数列的前项中随机抽取个不同的数，记取出的数为正数的个数为，则下列结论正确的是（ ） A. 服从超几何分布 B. 服从二项分布 C. D. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量，则__________. 13. 的展开式中， 的系数为________. 14. 已知正四棱锥的侧棱长为，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高等于________. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图. （1）请根据等高堆积条形图，填写下列列联表： 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 女生 合计 （2）依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据:，其中. 16. 现有种不同颜色可供选择来涂如图所示的田字形区域，要求同一区域上用同一种颜色，相邻区域用不同的颜色(与，与不相邻). A D B C （1）若使用两种颜色完成着色，求共有几种不同的着色方法？ （2）求恰好使用三种颜色完成着色任务的概率； （3）设甲、乙两人各自相互独立完成涂色任务，记他们所用颜色的种数差的绝对值为ξ，求的分布列. 17. 新型AI模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图象数据对一种新型AI降噪模型进行实验，对使用该模型后，图象中的噪声残留量（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表： 第轮迭代 1 2 3 4 5 噪声残留量（个/像素） 70 60 52 45 38 并计算得：． （1）计算变量（迭代轮数）和变量（噪声残留量）的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度； （2）若图象中的噪声残留量不高于个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该AI模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？ 参考数据及公式： 样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，． 18. 小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． （1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； （2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； （3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 19. 设函数（）. （1）当时，求证：直线是曲线的切线； （2）求的单调区间； （3）判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年下期期末教学质量监测试题 高二数学 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列图中，相关系数最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用散点图变化趋势，判断相关系数的正负，由散点的集中程度确定大小，即可得到答案． 【详解】由图可知，AC选项的散点图呈现出一定的下降趋势，两变量为负相关，相关系数小于0， BD选项的散点图呈现出一定的上升趋势，两变量为正相关，相关系数大于0， 而B选项的散点图，散点比较分散，D选项的散点图，散点紧密地聚集在一条直线附近， 因此D选项的相关系数最大. 故选：D. 2. 已知随机变量的分布列为: 设函数 ，若，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，分区间讨论时的取值，再求其值域即可. 【详解】当时，只包括一种情况，所以； 当时，包括和两种情况， 所以； 当时，包括三种情况， 所以. 故函数的值域为. 3. 若，则n的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理补项配凑求和的通项表达式 【详解】由， 解得. 4. 已知随机变量的分布列如下表，则方差 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先计算随机变量的数学期望，再代入方差公式求解即可. 【详解】因  ， 则 . 5. 已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义，可得切点坐标，再代入切线方程即可． 【详解】由题可得，设切点坐标为， 则， 所以，，，故D正确. 故选：D. 6. 如图所示的九宫格中共有个格点，若在其中任取3个格点，恰好能构成三角形的取法共有（ ）种. A. 528 B. 524 C. 520 D. 516 【答案】D 【解析】 【分析】用间接法，总取法种数减去不能构成三角形的取法，分四点共线和三点共线两种情况，即可得到可以构成三角形的取法. 【详解】从个点中取个点共有种情况， ①四点共线的有种情况，从共线的个点中取个点都不能构成三角形， 所以在四点共线的情况下不能构成三角形的取法共有种情况， ②三点共线的共有种情况，所以不能构成三角形的取法共有种情况， 所以能够成三角形的取法共有种情况. 故选：D. 7. 已知变量 和 有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为 ，则（ ） 2 3 5 6 5 7 9 15 A. 经验回归直线必过点 B. C. 对应的样本点的残差为 D. 当时，预测值 【答案】D 【解析】 【分析】先求即可判断A，由即可判断B，求出的残差即可判断C，由回归方程求出即可判断D. 【详解】由题意得：， 所以经验回归直线必过点，故A错误； 由，故B错误； 所以，当时，， 所以对应的样本点的残差为，故C错误； 当时，，故D正确. 8. 已知不等式 在上恒成立，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过恒成立条件判断出相切，构造出新函数后通过单调性求最值. 【详解】恒成立，则说明始终在上方或相切. 设曲线与直线切于点，因为， 则该点处切线斜率， ，且. . 设，则， 当时，，此时单调递增， 当时，，此时单调递减， 所以. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 经验回归方程对应的直线一定经过样本点的中心 B. 在残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，回归方程的预报精确度越高 C. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强 D. 用决定系数来刻画回归效果，越大，说明模型的拟合效果越好 【答案】AD 【解析】 【分析】根据经验回归方程的性质、残差图的意义、样本相关系数与线性相关程度的关系、决定系数的拟合效果判断，结合选项分析求解即可. 【详解】选项A：经验回归方程的推导满足，因此其对应的直线一定经过样本点的中心，正确. 选项B：残差图中，残差点所在的水平带状区域越宽，说明残差波动越大，回归方程的预报精确度越低，错误. 选项C：样本相关系数的绝对值越接近1，成对样本数据的线性相关程度越强， 若相关系数为负数，数值越大（越接近0）反而线性相关程度越弱，错误. 选项D：用决定系数刻画回归效果时，越大说明残差平方和越小，模型对数据的拟合效果越好，正确. 10. 若随机事件与相互独立，且 ， ，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据事件独立、条件概率公式等逐项判断即可. 【详解】因为随机事件相互独立，所以. 对于A，，故A错误； 对于B，， 所以，故B正确； 对于C，， ， 所以，故C正确； 对于D，，， 所以，故D正确. 11. 在等差数列中，，.现从数列的前项中随机抽取个不同的数，记取出的数为正数的个数为，则下列结论正确的是（ ） A. 服从超几何分布 B. 服从二项分布 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列的性质可得前10项中有6个正数，即可求解从而可判断服从超几何分布，即可判断ABC，由超几何分布的期望计算即可判断D. 【详解】依题意，等差数列公差， 则通项为， 由，得，即等差数列前10项中有6个正数， 的可能取值为的事件表示取出的3个数中有个正数，（）个非正数， 因此，不服从二项分布，服从超几何分布，正确，B错误； 所以正确；且正确． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设随机变量，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用正态分布曲线关于均值对称的性质，结合已知概率计算所求区间的概率. 【详解】因为随机变量，所以正态曲线关于直线对称， 因此，且. 由，可得，因此. 故. 13. 的展开式中， 的系数为________. 【答案】 【解析】 【分析】由题设，利用二项式定理求的通项公式，进而求出对应项，即可得系数. 【详解】原式可以分成两项相乘， 其中且， 对于，则在展开式中找到的项，再乘以得到， 令：， 系数为 ， 对于，则在展开式中找到的项，再乘以得到， 令：， 系数为， 将两部分的系数相加， 因此，展开式中的系数为. 14. 已知正四棱锥的侧棱长为，则当该正四棱锥的体积最大时，它的高等于________. 【答案】3 【解析】 【分析】设正四棱锥的底面边长为a，高为h，根据勾股定理得到h与a的关系式，利用导数判断函数单调性从而求得体积取最大值时正四棱锥的高. 【详解】设正四棱锥的底面边长为a，高为h，则， 设，连接，则，平面， 因为平面，所以. 在中，，故， 所以正四棱锥的体积， 令，则， 由得，由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时正四棱锥的体积取得最大值. 故答案为：3. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各名作为样本，调查学生是否喜欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图. （1）请根据等高堆积条形图，填写下列列联表： 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 女生 合计 （2）依据的独立性检验，推断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考数据:，其中. 【答案】（1） 性别 是否喜欢人工智能应用 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 （2）有关联【解析】 【分析】（1）从等高堆积条形图提取对应数据构建列联表； （2）代入卡方统计量公式计算，将计算结果与显著性水平对应的临界值比较，完成独立性检验. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 零假设为：该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用没有关联. ， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联. 16. 现有种不同颜色可供选择来涂如图所示的田字形区域，要求同一区域上用同一种颜色，相邻区域用不同的颜色(与，与不相邻). A D B C （1）若使用两种颜色完成着色，求共有几种不同的着色方法？ （2）求恰好使用三种颜色完成着色任务的概率； （3）设甲、乙两人各自相互独立完成涂色任务，记他们所用颜色的种数差的绝对值为ξ，求的分布列. 【答案】（1） （2） （3） 0 1 2 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理结合组合数的概念计算求解； （2）计算所有可能的着色方法，结合古典概型概率计算公式计算求解即可； （3）列举随机变量的所有可能取值，计算对应概率，再列出分布列即可. 【小问1详解】 当用2种不同颜色涂色时，与，与颜色相同， 此时共有种不同的着色方法； 【小问2详解】 当用3种不同颜色涂色时，与或与颜色相同， 此时共有种不同的着色方法； 当用4种不同颜色涂色时，与，与颜色均不相同， 此时共有种不同的着色方法； 所以一共有种不同的着色方法， 故恰好使用三种颜色完成着色任务的概率为； 【小问3详解】 设单人涂色使用颜色种数为，则可能取值为2，3，4. ， 甲乙涂色独立，则，所以的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 17. 新型AI模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图象数据对一种新型AI降噪模型进行实验，对使用该模型后，图象中的噪声残留量（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表： 第轮迭代 1 2 3 4 5 噪声残留量（个/像素） 70 60 52 45 38 并计算得：． （1）计算变量（迭代轮数）和变量（噪声残留量）的样本相关系数，并说明两变量线性的相关程度； （2）若图象中的噪声残留量不高于个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求关于的经验回归方程，并预测该AI模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？ 参考数据及公式： 样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，． 【答案】（1），迭代轮数与噪声残留量之间存在极强的负线性相关关系； （2）经验回归方程为;该AI模型至少需要迭代7轮才可以完成降噪 【解析】 【分析】（1）利用相关系数的公式求解即可； （2）求出，利用的公式代值计算即可得到经验回归方程，令，解不等式即可求解. 【小问1详解】 由题可得：， 样本相关系数 ，非常接近，说明迭代轮数与噪声残留量之间存在极强的负线性相关关系； 【小问2详解】 噪声残留量的取值为 因此：， 根据题意可得， 所以关于的经验回归方程为， 要使图象中的噪声残留量不高于25个/像素，则，即， 所以该AI模型至少需要迭代轮才可以完成降噪. 18. 小明每天上学出发时会选择是否骑共享单车．根据平台统计和他的使用习惯：若出发时不下雨，他选择骑共享单车的概率为0.8；若出发时下雨，他选择骑共享单车的概率为0.4．假设本周小明每天上学出发时下雨的概率均为0.25，且出发地共享单车供应充足． （1）求本周某天小明上学出发时选择骑共享单车去学校的概率； （2）已知本周某天小明选择了骑共享单车去学校，求该天小明出发时不下雨的概率； （3）设小明在本周的前三天中选择骑共享单车去学校的天数为X，且这三天中每天的骑行选择相互独立，求随机变量X的分布，并计算其数学期望和方差． 【答案】（1）0.7 （2） （3）；； 【解析】 【分析】（1）设相应事件，根据题意结合全概率公式运算求解； （2）根据题意结合贝叶斯公式运算求解； （3）分析可知，结合二项分布求分布列、期望和方差. 【小问1详解】 设“小明上学出发时下雨”为事件A，“小明选择骑共享单车去学校”为事件B． 由题意可知：，，，， 由全概率公式可得， 所以小明在本周某天选择骑共享单车去学校的概率为0.7． 【小问2详解】 由题意可知：， 所以小明出发时不下雨的概率为． 【小问3详解】 由题意可知：， 则，； ；； 可知X的分布列为， 所以X的数学期望，方差． 19. 设函数（）. （1）当时，求证：直线是曲线的切线； （2）求的单调区间； （3）判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由. 【答案】（1） 若，则的定义域为，且， 令，可得，解得或（舍去）， 且，则在处的切线方程为， 所以直线是曲线的切线. （2）当，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （3） 无极值，理由如下： 因为，且， 若，则的定义域为， 当时，；当时，；则， 且函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则， 即，可知在定义域内单调递增，所以无极值； 若，则的定义域为， 当时，；当时，；则， 且函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则， 即，可知在定义域内单调递增，所以无极值； 综上所述：无极值. 【解析】 【分析】（1）代入求导，分析可知当且仅当时，，且，结合导数的几何意义分析证明； （2）求导，分和两种情况，结合导数分析原函数单调性，注意函数定义域； （3）求导，分和两种情况，结合（2）中的单调性以及的符号分析的符号性，即可判断. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，， 令，解得或， 若，由解得，即的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 若，由解得，即的定义域为，且， 当时，；当时，； 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 综上所述：当，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $