河南省2025-2026学年高二下学期期末自编模拟考数学试卷（六）

**基本信息** 融合《周髀算经》文化素材与盲盒购买现实情境，覆盖函数、几何、概率等高考核心知识，梯度设计适配高二期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|集合、复数、函数导数、数列（文化）|以《周髀算经》节气题考查等差数列应用，体现数学眼光| |多项选择|3/18|圆、立体几何、函数新定义|九面体问题融合空间想象与表面积计算，凸显数学思维| |填空题|3/15|三角、抛物线、等比数列与导数|等比数列结合函数极值点，考查知识交汇| |解答题|5/77|概率统计（盲盒）、解三角形、立体几何、双曲线新定义、函数导数|盲盒概率模型与双曲线“等线”新定义，强化数学语言表达与创新应用|

2025-2026学年河南省高二期末模拟考试卷（六） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用Venn图求集合 【详解】图中阴影部分由属于集合，但不属于集合的元素构成的集合， 所以所求集合为． 2．若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【知识点】求复数的模 【分析】解法一：利用求根公式解出z，再求. 解法二：方程的两根为共轭复数，利用韦达定理得，再求. 【详解】方法一： 由，又因为， 可得，所以. 方法二： 设方程的两根为，由，可知， 因为，所以. 3．已知函数，则（     ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【知识点】指数函数的判定与求值、对数函数的概念判断与求值、求分段函数值 【详解】函数，则， 所以. 4．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】先将变形得，然后用“1”的代换与相乘，化简整理后再利用基本不等式即可求出最小值. 【详解】由，得， 所以， 当且仅当时，即时等号成立，将其代入，解得， 所以的最小值是. 5．某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（   ） A．2160 B．3240 C．4320 D．5040 【答案】C 【知识点】排列组合综合、分步乘法计数原理及简单应用、数字排列问题、实际问题中的组合计数问题 【分析】利用分步乘法计数原理列式计算. 【详解】先选重复数字，有10种；再选重复数字所在的两个位置，有种． 剩下两个位置填两个不同数字，且不能等于重复数字，因此从其余9个数字中有序选2个，有种． 所以总数为． 6．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，冬至、小寒、大寒三个节气日影长之和为28.5尺，立春、雨水、惊蛰三个节气日影长之和为19.5尺，今年5月21日8时36分为小满时节，其日影长为（    ） A．3.5尺 B．2.5尺 C．1.5尺 D．0.5尺 【答案】D 【知识点】利用定义求等差数列通项公式、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列前项和，等差数列通项公式求解即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 则由题意知，解得， 所以，即小满时节，其日影长为尺. 7．在平行四边形ABCD中， E为线段BC的中点， 则 （    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【答案】B 【知识点】用基底表示向量、数量积的运算律 【分析】由可得，然后由表示，结合数量积运算律可得答案. 【详解】因，则. 又，， 则    8．如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】余弦定理解三角形、椭圆定义及辨析、求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中焦点三角形的其他问题 【分析】由椭圆的定义可得，，利用比例关系求得，，由，在，中，利用余弦定理建立方程求出，得解. 【详解】由椭圆的定义，，，且，， 所以设，，则，， 所以，，所以，， 设椭圆的半焦距为， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， ，即， 化简得，即， 所以椭圆的离心率. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知圆的圆心坐标为，圆被轴、轴截得的弦长之比为 点P在直线 上，则下列说法正确的是（    ） A．圆的标准方程为( B．若圆上有且仅有2个点到直线l的距离为1，则 C．当时，以线段为直径的圆与圆交于两点，则 的最小值为 D．若为平面内一个动点， 则点到直线l的距离为定值 【答案】ACD 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、由直线与圆的位置关系求参数、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】利用圆的弦长公式，设圆的半径为，分别求出被轴、轴截得的弦长，结合比例关系求出，判断选项A；计算圆心到直线的距离，根据圆的性质，当时满足条件，结合确定的取值集合，判断选项B；将向量数量积进行转化，结合以为直径的圆与圆$C$的交点性质，将其转化为与相关的表达式，再利用点到直线的距离公式求出的最小值，进而得到数量积的最小值，判断选项C；可设出、的坐标，得到的坐标与的坐标关系，再结合在直线上，代入到直线的距离公式，判断是否为定值，以此分析选项D. 【详解】选项A，已知圆心，设半径为，圆心到轴的距离，故被轴截得的弦长， 圆心到轴的距离，故被轴截得的弦长， 由题意，代入得：， 化简得，即， 因此圆的标准方程为，选项A正确； 选项B，圆心到直线的距离， 圆上到直线距离为的点的个数满足： 当，即时，有且仅有个点， 代入得不等式：， 因，故，去掉绝对值得：， 正整数解为时，圆上无满足条件的点，选项B错误； 选项C，当时，直线， 因在以为直径的圆上，故，即， 向量分解：，因此：， 在中，由勾股定理：， 因，故，即， 的最小值为点到直线的距离：， 因此的最小值为，选项C正确； 选项D，设，因，故， 又在直线上，故， 点到直线的距离： 距离为定值，选项D正确. 10．如图，在该九面体中，六边形是边长为2的正六边形，，均为正三角形，且平面，平面均垂直于平面，则下列结论正确的是（     ） A．平面 B．该九面体的表面积为 C．该九面体外接球的体积为 D．二面角的正弦值为 【答案】ABD 【知识点】余弦定理解三角形、多面体与球体内切外接问题、求二面角、面面角的向量求法 【分析】根据九面体的几何性质，结合已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点和向量坐标，通过向量与平面法向量的数量积为0，结合线面平行判定定理判断选项A；根据九面体各面的性质，结合余弦定理和三角形面积公式计算判断选项B；根据外接球的性质求出外接球半径，再利用球的体积公式计算判断选项C；求出两个面的法向量，利用向量夹角余弦公式计算判断选项D． 【详解】取中点，中点，连接， 已知，均为正三角形，故，， 且平面，平面均垂直于平面， 平面平面，平面，所以平面， 平面平面，平面，所以平面， 所以，由已知， 取中点，则是正六边形的中心， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系， 则， ， ， 平面的法向量为， ，且平面， 平面，故A正确； 底面正六边形的面积； 两个正三角形，的面积； 四个全等斜三角形： ， 由余弦定理， 由，则， ， 合计； 两个全等斜三角形： ， 由余弦定理， 由，则， ， 合计， 该九面体的表面积为：，故B正确； 由对称性，外接球球心位于轴上，设为， 球心到的距离：， 球心到的距离：， 联立方程，解得， 则， 外接球的体积为，故C错误； ，设平面法向量为， 则，令，则， ，设平面法向量为， 则，令，则， 设二面角为，则 ， ，故D正确． 11．对于一个函数和一个点，令，若有最小值，则称点是M在的“最近点”.则（    ） A．对于，点，则点是M在的“最近点” B．对于，点，则点是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直 C．已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，.则对任意的，的中点同时是，在的“最近点” D．已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，.若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，则单调递增 【答案】AB 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】对于A，由题意得，利用基本不等式结合函数新定义即可判断；对于B，由题意得，通过求导可得该函数的单调性，进而求出点，再证明直线与切线垂直即可；对于D,根据题意得到 ，对两等式化简，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，即可判断.对于C，举反例判断. 【详解】A. 对于，点， ， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”. B.由题设可得， 则，因为均为上的单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 故 ，此时， 而 ，故在点处的切线方程为. 而，故，故直线与在点处的切线垂直. D.设，， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在，使得 ， 即 ① ② 由①②相减得 ，即 ， 即，又因为函数在定义域上恒正， 则 恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减，D错误. C.由D的分析可知存在点P同时是，在的“最近点”，则单调递减， 满足在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正， 但不单调递减，故对任意的，的中点不是，在的“最近点”，C错误. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则__________． 【答案】 【知识点】二倍角的余弦公式 【详解】． 13．设抛物线的焦点到直线的距离为，则C的准线方程为_________． 【答案】 【知识点】已知点到直线距离求参数、根据抛物线方程求焦点或准线 【详解】到直线的距离，解得， 所以的准线方程为． 14．在等比数列中是函数的极值点，则______. 【答案】 【知识点】对数的运算、等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、根据极值点求参数 【分析】求得，得到是的两个实数根，所以，结合等比数列的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为是函数的极值点， 所以是的两个实数根，可得， 又因为数列为等比数列，可得同号，且， 所以，所以. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某同学在文创商店购买盲盒，已知盲盒分为普通款和隐藏款，投放比例分别为和， (1)若该同学购买个盲盒，记其中隐藏款的数目为随机变量，求的期望与方差； (2)假设该同学非常希望能够买到一个隐藏款盲盒，反复购买盲盒直到买到一个隐藏款盲盒为止，记他的购买次数为随机变量，求的期望． 【答案】(1)， (2)10 【知识点】求离散型随机变量的均值、二项分布的均值、二项分布的方差 【分析】（1）隐藏款数量服从二项分布，直接由期望和方差公式计算； （2）设平均购买次数为 ，根据第一次是否成功分类讨论，建立方程求解即可. 【详解】（1）依题意可知，， ，. （2）设平均需要购买次才能第一次买到隐藏款， 考虑第一次购买的结果： 情况一：第一次就买到隐藏款，概率为，此时购买次数为； 情况二：第一次没买到隐藏款，概率为，此时已经购买了次，但问题回到初始状态，后面还需要平均次才能成功，所以总次数为； 所以，解得，即. 16．已知三角形的角，，所对的边为，，，且，，延长到点． (1)若，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先结合，利用正弦定理，可求，再在中，利用余弦定理可求. （2）设，，在和中，利用正弦定理构造关系，求的正弦，再在中，利用正弦定理求的长. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 因，代入可得， 因为，所以，由因,所以. 在中，，，， 由余弦定理，， 所以. （2）设，则，设，则. 在中，，由正弦定理，得①， 在中，，由正弦定理，得②. 由得：， 整理得： 可得 . 又为锐角，所以. 在中，由正弦定理，可得， 所以. 17．如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)已知，为中点，可得， 又平面，平面，故， 分别为中点，三棱柱中，故， 又，平面，平面. (2) (3) 【知识点】证明线面垂直、求二面角、点到平面距离的向量求法 【分析】（1）由及为中点，利用等腰三角形“三线合一”得；结合平面及，得到，从而由线面垂直判定定理证得平面； （2）以平面为基础，构造出二面角的平面角；利用已知边长、、，通过勾股定理与面积公式求出与，进而得到余弦值； （3）将点到平面的距离转化为三棱锥的高，利用等体积法建立方程；结合、及，计算得到所求距离. 【详解】（1）略 （2）由(1)可得平面，平面，故， 过作于，连接，因为，平面， 所以平面，又平面，故， 故即为二面角的平面角， 是中点，，则，； 且，， 故， ，得， 因为平面，又平面，故， 在中：， 故，即二面角的余弦值为. （3）三棱锥的体积等价于三棱锥的体积，即：， 由平面，得：， 计算的面积：，，， 为等腰三角形，底边上的高， 因此：， 设点到平面的距离为，由得：， 解得，即点到平面的距离为. 18．定义：在平面内，直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，且点在第一象限．当与轴垂直时，直线为的等线． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求点和点坐标； (3)若为坐标原点，，点的轨迹为曲线Γ，判断Γ在点处的切线是否为的等线，并说明理由． 【答案】(1)； (2)点； (3)是，理由如下： 设，由，得，则点的轨迹的方程为， 在点处的切线方程为，即，， 直线与轴交点横坐标，则点与在直线的右侧，点在直线的左侧， 由（2）知，， 点到直线的， 点到直线的，点到直线的， 则，所以直线为的等线. 【知识点】根据a、b、c求双曲线的标准方程、求双曲线的轨迹方程、已知方程求双曲线的渐近线、求双曲线的切线方程 【分析】（1）求出点的坐标，利用给定的定义列式求出即可. （2）求出直线的方程并与双曲线的渐近线方程联立求出点的坐标表示式，再利用给定的定义求解. （3）利用坐标代换法求出轨迹的方程，再求出直线的方程，利用点到直线距离公式结合定义计算判断. 【详解】（1）依题意，设双曲线的半焦距为，则， 由与轴垂直，且直线为的等线，得点，则，解得， 所以双曲线的方程为. （2）设直线的方程为，显然， 由，得， 则，解得， 直线的方程为，又双曲线的渐近线方程为， 由，得；由，得， 则，即点是线段的中点，而是四边形的等线， 又点到直线的距离相等，因此点到直线的距离相等， 直线必过线段的中点，即点在直线上，则， 又，于是，， 所以点. （3）略 19．已知函数. (1)若，求函数在区间的最大值； (2)设函数，若对任意，恒成立，求的取值范围； (3)设函数，求在区间上的零点个数，并说明理由. 【答案】(1)； (2)； (3)零点个数为2，理由见解析 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）代入，求导判断函数在区间上的单调性，进而求得最大值. （2）化简，将恒成立问题转化为参数与函数最值的大小关系，构造函数求最小值即可得到的取值范围. （3）化简消去参数，将零点问题转化为两个函数图象的交点问题，结合函数值域、单调性分析交点个数即可. 【详解】（1）当时， ，定义域为. ∵ 当时，，，， ∴ ，即在上单调递减， ∴ . （2）由题意得， ∵ 对任意 ，恒成立，即恒成立， ∵ ，∴ 对任意 恒成立. 令，则. 令，得 ，即. ∵ ， ∴ ，对应极值点为. 当时，， ，故，单调递减； 当时， ，，故，单调递增. ∴ 是的第一个极小值点，且. 对于其余极小值点 ，，而，故对应的. 当 时，其余区间，对应的. ∴ 在 上的最小值为，故. （3）零点个数为2，理由如下： 由题意，得，. 令，得. ①当时，，单调递增，， 所以单调递减，所以. ②当时，，，则在区间上必定存在，使得. 因为在上单调递减， 所以当时，，单调递增，； 当时，，单调递减，. 因为，，所以在区间上必定存在，使得， 即当时，，单调递增，； 当时，，单调递减，. ③当时，单调递减，单调递减，则单调递减. 因为，， 所以必定存在零点，使得. ④当时，因为，所以， 所以在上，不存在零点. 综上所述，在上存在两个零点. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高二期末模拟考试卷（六） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，，则阴影部分表示的集合为（     ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则（    ） A． B．2 C． D．3 3．已知函数，则（     ） A． B． C．1 D．e 4．已知，，且，则的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．某种电子门禁密码由4位数字组成，每位数字可从0，1，2，…，9中选择．若要求密码中恰有两个相同数字，其余两个数字互不相同且与该数字不同，则这样的密码个数为（   ） A．2160 B．3240 C．4320 D．5040 6．《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，冬至、小寒、大寒三个节气日影长之和为28.5尺，立春、雨水、惊蛰三个节气日影长之和为19.5尺，今年5月21日8时36分为小满时节，其日影长为（    ） A．3.5尺 B．2.5尺 C．1.5尺 D．0.5尺 7．在平行四边形ABCD中， E为线段BC的中点， 则 （    ） A．9 B．11 C．13 D．15 8．如图，焦点在轴上的椭圆，分别是左右焦点，过的直线交椭圆于两点，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知圆的圆心坐标为，圆被轴、轴截得的弦长之比为 点P在直线 上，则下列说法正确的是（    ） A．圆的标准方程为( B．若圆上有且仅有2个点到直线l的距离为1，则 C．当时，以线段为直径的圆与圆交于两点，则 的最小值为 D．若为平面内一个动点， 则点到直线l的距离为定值 10．如图，在该九面体中，六边形是边长为2的正六边形，，均为正三角形，且平面，平面均垂直于平面，则下列结论正确的是（     ） A．平面 B．该九面体的表面积为 C．该九面体外接球的体积为 D．二面角的正弦值为 11．对于一个函数和一个点，令，若有最小值，则称点是M在的“最近点”.则（    ） A．对于，点，则点是M在的“最近点” B．对于，点，则点是M在的“最近点”，且直线与在点P处的切线垂直 C．已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，.则对任意的，的中点同时是，在的“最近点” D．已知在定义域上存在导函数，且函数在定义域上恒正，设点，.若对任意的，存在点P同时是，在的“最近点”，则单调递增 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知，则__________． 13．设抛物线的焦点到直线的距离为，则C的准线方程为_________． 14．在等比数列中是函数的极值点，则______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．某同学在文创商店购买盲盒，已知盲盒分为普通款和隐藏款，投放比例分别为和， (1)若该同学购买个盲盒，记其中隐藏款的数目为随机变量，求的期望与方差； (2)假设该同学非常希望能够买到一个隐藏款盲盒，反复购买盲盒直到买到一个隐藏款盲盒为止，记他的购买次数为随机变量，求的期望． 16．已知三角形的角，，所对的边为，，，且，，延长到点． (1)若，求的长； (2)若，，求的长． 17．如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 18．定义：在平面内，直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”．双曲线的左、右焦点分别为，实轴长为2，且点为双曲线右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，且点在第一象限．当与轴垂直时，直线为的等线． (1)求双曲线的方程； (2)若是四边形的等线，求点和点坐标； (3)若为坐标原点，，点的轨迹为曲线Γ，判断Γ在点处的切线是否为的等线，并说明理由． 19．已知函数. (1)若，求函数在区间的最大值； (2)设函数，若对任意，恒成立，求的取值范围； (3)设函数，求在区间上的零点个数，并说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $