河南省2025-2026学年高二下学期期末自编模拟考数学试卷（八）

**基本信息** 覆盖高考全部内容，解答题融合消防官兵分配等现实情境，通过单选、多选、解答题梯度设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合、椭圆离心率、圆锥与球体积比等|第3题结合椭圆斜率积求离心率，考查几何直观| |多选|3/18|等差等比数列性质、空间线面关系|第9题判断数列组合性质，体现逻辑推理| |填空|3/15|复数最值、双曲线焦距、函数极值点|第14题函数极值点范围，考查数学抽象| |解答|5/77|概率、立体几何、解三角形、抛物线、导数|15题消防分配概率问题情境真实，19题导数综合考查探究能力，呼应高考命题趋势|

2025-2026学年河南省高二期末模拟考试卷（八） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 2．展开式中项的系数是（     ） A． B． C． D． 3．已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 4．已知圆锥的轴截面是顶角为的三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 5．等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 6．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是(     ) A． B． C．2 D． 7．函数，的最小值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 8．已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知等差数列的前项和为，各项均为正数的等比数列的前项和为，则下列说法正确的有（   ） A．对任意，，数列为等差数列 B．对任意，，数列为等比数列 C．存在无穷数列，，使得数列为等比数列 D．存在无穷数列，，使得数列为等差数列 10．已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 11．已知函数，下列说法正确的有（    ） A．对任意，函数是偶函数 B．若，则函数在上存在极值点 C．若，则函数在上的极小值为b+1 D．若，且方程有两个实数解，则 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 13．双曲线的一条渐近线为，则其焦距为________． 14．函数有两个极值点，则实数的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在张家口市桥东区河北盛华化工有限公司附近发生爆炸起火事故中，甲、乙等五名消防官兵被随机地分到A，B，C，D四个不同的地点救火，每个地点至少有一名消防人员． (1)求甲、乙两人同时参加A地点救火的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个地点救火的概率； (3)求五名消防人员中仅有一人参加A地点救火的概率． 16．如图，在直四棱柱中，，，． (1)证明：； (2)若，求二面角的平面角的余弦值； (3)求直四棱柱体积的最大值． 17．在中，内角,,的对边分别为,,,的面积为S，且． (1)求的大小； (2)已知点在边上，，且．证明：． 18．已知抛物线：，过点的动直线交抛物线于，两点，为原点，． (1)求抛物线的方程； (2)过动点作抛物线的切线，过点作切线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设直线与直线交于点，若动点满足，求直线的斜率的取值范围． 19．已知函数，． (1)证明：． (2)讨论的单调性． (3)若，求的取值集合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高二期末模拟考试卷（八） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，所以， 由得，所以， 所以. 2．展开式中项的系数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项式定理求解即可. 【详解】原式， 由题意，只需求展开式中的系数即可， 又展开式中项为， 所以所求的展开式中项的系数为． 3．已知椭圆的长轴端点为A，B，点P是椭圆上异于A，B的点，且直线和的斜率之积，则椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设是椭圆上异于A，B的点，，，把代入椭圆方程， 得，， 又，，又，，， ， 故B选项正确. 4．已知圆锥的轴截面是顶角为的三角形，且该圆锥的顶点和底面的圆周都在球的球面上，则该圆锥与球的体积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆锥性质，即可得外接球心即为轴截面外接圆圆心，再利用解三角形即可求体积之比. 【详解】设外接球的半径为，则球的体积为， 由于圆锥内接于球，其轴截面为一个内接于球的大圆的等腰三角形，则轴截面三角形的外接圆就是外接球的大圆， 即轴截面三角形的外接圆半径就是外接球的半径， 已知轴截面顶角为，由正弦定理可得，底面直径满足， 解得，因此圆锥底面半径，圆锥的高， 所以圆锥体积， 则该圆锥与球的体积之比为：. 5．等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质求值判断A；举反例判断B；利用等比数列前n项和的性质求解判断C；根据等比数列的性质列式求解即可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即. 那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列， 但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即， 解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. 6．已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是(     ) A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量问题转化为几何图形中射线与圆的位置关系问题，利用点到直线的距离公式求解两点间距离的最小值. 【详解】设单位向量，以的方向为轴正方向建立平面直角坐标系. 由非零向量与的夹角为，得的终点在射线上. 由，得，故的终点在以为圆心、半径为的圆上， 圆的方程为. 的几何意义为射线上的点到圆上的点的距离. 圆心到射线的距离：, 因此，射线到圆上点的最小距离为，即的最小值为. 7．函数，的最小值为（     ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】D 【分析】根据同角三角函数的平方关系及基本不等式“1”的妙用即可求解． 【详解】因为， 所以 ， 又，， 所以当且仅当，即时等号成立． 8．已知定义在上的非常数函数满足：对于任意都有：，.下列选项正确的是（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件赋值，根据指数型函数方程的结构，通过换元，再结合非常数函数的条件，推出，即可判断四个选项. 【详解】解：令，则， 则，解得或， 因为，所以， 化简得，设，则， 当时，，令，则， 即，即为常数函数，与已知矛盾，因此，，选项错误； 因为，所以，结合，可得， 所以，则，因此，， 所以既不是奇函数，也不是偶函数，选项和选项错误， 此时，选项正确， 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．已知等差数列的前项和为，各项均为正数的等比数列的前项和为，则下列说法正确的有（   ） A．对任意，，数列为等差数列 B．对任意，，数列为等比数列 C．存在无穷数列，，使得数列为等比数列 D．存在无穷数列，，使得数列为等差数列 【答案】AC 【分析】A利用等差数列的定义判断；B举反例；C举例；D利用反证法判断是否为关于的一次函数. 【详解】设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则， 故数列为等差数列，故A正确； 取，则，前项分别为， 显然此时数列不为等比数列，故B错误； 取，则，则， 此时数列为等比数列，故C正确； 若存在，，使得数列为等差数列， 则是关于的一次函数， 若，则， 显然不可能是关于的一次函数； 若， 则， 显然不可能是关于的一次函数； 故不存在，，使得数列为等差数列，故D错误. 10．已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【知识点】线面关系有关命题的判断、面面关系有关命题的判断、线面垂直证明线线垂直 【分析】根据空间线、面位置关系依次判断即可. 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，则或m与n为异面直线或相交直线，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，当时，不成立，故D错误. 11．已知函数，下列说法正确的有（    ） A．对任意，函数是偶函数 B．若，则函数在上存在极值点 C．若，则函数在上的极小值为b+1 D．若，且方程有两个实数解，则 【答案】ACD 【详解】函数的定义域为，关于原点对称，且，对任意，函数是偶函数，故A正确. 当时，，， 当时，，故，在上单调递减，无极值点，故B错误. 当时，，， 令，则，故在上单调递增， 又，所以当时，；当时， ， 因此是在上唯一的极小值点，为，故C正确. 当时，结合C选项可知，在处取得最小值，方程有两个实数解，则最小值，即，故D正确. 三、填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．已知复数，复数满足，则的最大值为____________． 【答案】1 【详解】已知复数满足，表示复平面上以原点为圆心，半径的圆， 复数表示复平面上点， 表示圆上动点到点的距离， 定点到圆心的距离为， 则圆上点到圆外定点的距离， 故． 13．双曲线的一条渐近线为，则其焦距为________． 【答案】 【分析】先根据双曲线渐近线方程求出参数，再利用双曲线的关系求解，进而得到焦距. 【详解】因为双曲线方程为，所以. 所以渐近线方程为，由题意知，渐近线方程为，所以. 又因为，所以，故焦距是. 14．函数有两个极值点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】将函数有两个极值点转化为有2个不同的正实根，列出关于参数的不等式组，求解即得. 【详解】函数的定义域为， 且， 因该函数有两个极值点，则有2个不同的正实根， 即方程有2个不同的正实根，设为， 则，解得， 即实数的取值范围为. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在张家口市桥东区河北盛华化工有限公司附近发生爆炸起火事故中，甲、乙等五名消防官兵被随机地分到A，B，C，D四个不同的地点救火，每个地点至少有一名消防人员． (1)求甲、乙两人同时参加A地点救火的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个地点救火的概率； (3)求五名消防人员中仅有一人参加A地点救火的概率． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）记“甲、乙两人同时参加地点救火”为事件，则， 所以甲、乙两人同时参加地点救火的概率是． （2）记“甲、乙两人同时参加同一地点救火”为事件，则， 所以甲、乙两人不在同一地点救火的概率是． （3）因为有两人同时参加地点救火的概率， 所以仅有一人参加地点救火的概率． 16．如图，在直四棱柱中，，，． (1)证明：； (2)若，求二面角的平面角的余弦值； (3)求直四棱柱体积的最大值． 【答案】(1)证明：在直四棱柱中， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面， 所以平面，又平面，所以． (2) (3) 【分析】（1）先证明面，然后由线面垂直的性质定理得证； （2），先证明就是二面角平面角，然后在直角三角形中求得其余弦值； （3）设，用余弦定理表示出，然后利用结合三角恒等变换、正弦函数性质得面积最大值，从而可得体积最大值. 【详解】（1）略 （2）连接，记，连接， 易得平面，则平面， 又平面，故， 又因，所以是的中垂线，得， 因平面，易得， 又因O是AC中点，所以， 故就是二面角的平面角， 又因，则， 则. （3）设，，因， 由余弦定理，， ， 因，则， 故当，即时，取得最大值1， 此时的最大值为， 故直四棱柱体积的最大值. 17．在中，内角,,的对边分别为,,,的面积为S，且． (1)求的大小； (2)已知点在边上，，且．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用三角形面积公式和余弦定理求解； （2）利用正弦定理相互转换即可求解. 【详解】（1）因为，又，所以， 即．     由余弦定理得：，即．     所以，    所以，又，所以． （2） 在中，由正弦定理得， 则，     在中，由正弦定理得， 则，     因为， 所以，     在中，由正弦定理得，即，     所以 ， 所以，即． 18．已知抛物线：，过点的动直线交抛物线于，两点，为原点，． (1)求抛物线的方程； (2)过动点作抛物线的切线，过点作切线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，设直线与直线交于点，若动点满足，求直线的斜率的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出直线的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量垂直的坐标表示列式求解. （2）利用导数求出切线的方程，再求出直线的方程，联立求出方程. （3）结合（2）的结论求出点的轨迹，再利用直线与圆有公共点求出范围. 【详解】（1）设直线的方程为，， 由消去得，则，， 由，得 ，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由（1）知抛物线的方程为，求导得，，， 切线的方程为，显然，直线方程为， 由，解得，消去得，即， 所以点的轨迹方程为. （3）设直线方程为，设， 由，得，由（2）知，：， 由，得， 由，得，点在直线上，则， 又，因此，整理得， 因此点在圆上，该圆圆心为，半径为， 设直线的方程为，则，解得或， 所以直线的斜率的取值范围是. 19．已知函数，． (1)证明：． (2)讨论的单调性． (3)若，求的取值集合． 【答案】(1)的定义域为，．令，得， 则在上单调递增，令，得，则在上单调递减， 所以．故． (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． (3) 【分析】（1）对求导，由导数符号得的单调性，从而得最大值，故； （2）对分情况讨论，再根据导数符号得到的单调性； （3）已知恒成立，对分情况讨论的最小值，再结合（1）中的结论求出的取值集合. 【详解】（1）略. （2）由，得 ． 当时，，在上单调递减． 当时，令，得，则在上单调递减， 令，得，则在上单调递增． （3）当时，在上单调递减，当时，，不符合题意． 当时， ． 由（1）可知 ，当且仅当时，等号成立． 因为， ，所以 ， 所以，得．故的取值集合为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $