河南省2025-2026学年高二下学期期末自编模拟考数学试卷（四）

**基本信息** 2025-2026学年河南省高二期末数学模拟卷，覆盖高考全部内容，解答题融合三角证明、立体几何翻折、新冠疫情口罩质量统计等情境，通过实际问题考查数学思维与表达能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|中位数、集合、向量投影等|基础概念与运算，体现数学眼光的抽象能力| |多选|3/18|正态分布、等比数列性质|辨析式设计，考查推理意识与批判性思维| |填空|3/15|圆弦长、等差数列、函数极值|动态问题与参数求解，培养空间观念| |解答|5/77|三角证明、立体几何二面角、统计分布列、椭圆面积、导数恒成立|综合现实情境（如口罩质量统计）与逻辑推理，发展数学语言表达与创新意识|

2025-2026学年河南省高二期末模拟考试卷（四） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．一组数据：3，5，7，9，11，这组数据的中位数是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．复数的虚部为（    ） A． B． C．32 D． 5．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 6．已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．设函数定义域为，值域为．对，都满足．若集合可取得中所有值，则实数最小值为（     ） A． B． C． D． 8．如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若随机变量X服从正态分布，则不论取何值，为定值 C．数据2，7，4，5，16，1，21，11的下四分位数是2 D．若事件满足，且，则事件独立 10．已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，前 项积为 ，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 11．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与轴交于点，与直线交于点，为坐标原点，则（） A．的准线方程为 B． C．当时，的面积为 D． 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 13．已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 14．已知函数没有极值点，则______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在中，. (1)证明：为等腰三角形； (2)若AC边上的高与BC边上的高之比为1:3，求. 16．把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 17．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组： ，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．    (1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； (2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； (3)在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为X，求当X的数学期望取最大值时正整数n的值． 18．已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （ⅱ）求的面积的最大值及此时直线的方程. 19．已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年河南省高二期末模拟考试卷（四） 数学 考试范围：高考全部内容；考试时间：120分钟； 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1．一组数据：3，5，7，9，11，这组数据的中位数是（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【知识点】计算几个数的中位数 【详解】数据共5个，从小到大排列后中间第3个数为7，即中位数是7. 2．已知全集，集合，若，则（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【知识点】根据补集运算确定集合或参数 【详解】全集，集合，， ，，故选项D正确. 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】由于，代入，且， 得，解得，故B正确. 4．复数的虚部为（    ） A． B． C．32 D． 【答案】C 【知识点】求复数的实部与虚部、复数的乘方 【详解】 ，所以虚部为32. 5．已知非零向量，满足，则向量在向量上的投影向量为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、求投影向量 【详解】由，得，因此， 向量在向量上的投影向量， 故B正确. 6．已知圆台的上、下底面半径分别为，半径为3的球与圆台的上、下底面及母线均相切，圆台的侧面积为，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【知识点】圆台的结构特征辨析、圆台表面积的有关计算、多面体与球体内切外接问题 【详解】如图，设内切球的半径为，圆台上、下底面的圆心分别为，，则圆台内切球的球心一定在的中点处. 设球与母线切于点，则，所以，，同理，圆台的母线长为. 又，所以，解得. 由，得，所以，，.    7．设函数定义域为，值域为．对，都满足．若集合可取得中所有值，则实数最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据值域求参数的值或者范围、函数新定义 【分析】运用换元法，把定义域上任意的函数值，都等价于区间关于的函数值，再根据临界验证求实数最小值． 【详解】对，，记， 由则，故， 则定义域上任意的函数值，都等价于区间关于的函数值， 已知就能满足全部值域， 对任意，需满足 已知，解得， 该条件对所有成立，则必有， 当，任意，，落在内，满足条件； 若，可取，此时，与超出，不满足值域； 故实数最小值为． 8．如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过右焦点的直线与双曲线C的右支相交于A，B两点，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【知识点】利用定义解决双曲线中焦点三角形问题、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 【分析】根据双曲线的定义及勾股定理，得到与关系，从而求得双曲线的离心率. 【详解】设，则，. 在中，有，整理得，故. 设， 在中，有，即， 所以的离心率. 2、 多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9．下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．若随机变量X服从正态分布，则不论取何值，为定值 C．数据2，7，4，5，16，1，21，11的下四分位数是2 D．若事件满足，且，则事件独立 【答案】ABD 【知识点】独立事件的乘法公式、利用二项分布求分布列、指定区间的概率、总体百分位数的估计 【分析】对于A，根据二项分布的概率公式计算即可判断；对于B，根据正态分布的对称性求解即可判断；对于C，先排序，再计算对应下四分位数判断即可；对于D，利用独立事件的定义可判断． 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，因为随机变量，所以， 则 ， 所以为定值，故B正确； 对于C，将数据从小到大排序：1，2，4，5，7，11，16，21，由， 所以该组数据的下四分位数为，故C错误； 对于D，由，所以相互独立，因此也相互独立，故D正确． 10．已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，前 项积为 ，若 ，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列下标和性质及应用、求等比数列前n项和 【分析】A. 利用等比数列性质，若下标和相等则对应项乘积相等，因，故该项正确；B. 将各项用与公比表示后作差，因式分解得差恒为正，故原不等式方向错误；C. 由前项积公式取对数作差，得两式比值与有关，其大小关系随变化而不恒成立，故该项错误；D. 将前项和公式代入作差，化简后差值为负，故原不等式恒成立，该项正确. 【详解】已知是各项为正的等比数列，则. 选项A：根据等比数列性质可知，若，则. 由于，因此，A正确； 选项B：作差比较得， 因为，，，所以差大于0， 即，B错误； 选项C：是前项积，对两边取对数推导得， 即. 若，则； 若，，则 ，C错误； 选项D：等比数列前项和，作差得 ， 因此，D正确. 11．已知抛物线的焦点为，直线与交于，两点，与轴交于点，与直线交于点，为坐标原点，则（） A．的准线方程为 B． C．当时，的面积为 D． 【答案】BCD 【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、抛物线中的三角形或四边形面积问题、直线与抛物线交点相关问题 【分析】对于选项A，根据抛物线方程求出准线方程；对于选项B，设出直线MN的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理和向量的数量积判断是否成立；对于选项C，当时，求出直线方程，联立抛物线方程，利用弦长公式和点到直线的距离公式求出的面积；对于选项D，根据弦长公式和韦达定理进行分析. 【详解】选项A，在抛物线中，，则，所以准线方程为，故A错误. 选项B，抛物线的焦点，设，. 联立，消去x可得. 根据韦达定理，，. 则16. 所以0，则，故B正确. 选项C，当时，直线的方程为，即. 联立，消去可得. 根据韦达定理，，. 则， 点到直线的距离. 所以的面积，故C正确. 选项D，设，因为点在直线上， 联立，消去可得， ，解得或. 所以，解得，， 点是直线与轴的交点，令，得，所以， 则， ， ， 要验证，即验证： 化简得：， 因为，且. 所以， 所以和同号，即 . 因为， 或时，，与右边相等， 故D正确. 3、 填空题（本题共3个小题，每小题5分，共15分） 12．圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【答案】2 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求点到直线的距离、圆的弦长与中点弦 【分析】求出圆心到直线距离的范围，再由弦长、半径、圆心距之间的关系求解. 【详解】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时，. 13．已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】利用等差数列前项和公式与通项公式，代入已知等式建立关于公差的方程求解；由恒成立可知为前项和的最大值，结合数列的单调性得到且，代入公差解不等式即可得到的取值范围，选取范围内任意值即可. 【详解】等差数列的前项和公式为，通项公式为. ∵ ，， ∴ . 由，得， 消去等式两侧的，整理得，解得. ∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立， ∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ， 代入通项公式得，解得， 取即为符合条件的一个取值. 14．已知函数没有极值点，则______． 【答案】1 【知识点】根据极值点求参数 【详解】函数的定义域为且函数没有极值点，即函数是单调函数， 所以函数至多有一个零点， 令，则或或， ∴，即， ∴. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．在中，. (1)证明：为等腰三角形； (2)若AC边上的高与BC边上的高之比为1:3，求. 【答案】(1)因为，所以， 所以， 所以，即， 又因为，所以， 所以，即， 所以为等腰三角形. (2) 【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）将写成并展开，与已知等式相减得，推出； （2）由面积公式得高之比等于对应底边之比的倒数，从而得到边长关系，再利用余弦定理求 . 【详解】（1）略； （2）设AC边上的高为边上的高为，则， 因为，所以， 所以， 由余弦定理可知. 16．把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)因为二面角 为直二面角，即平面 平面 ， 又平面平面，，即 ，且 平面，所以 平面 . 因为平面，所以 . 由题意知，是由 翻折得到，且 ,所以，即， 又因为 ，平面，所以 平面. (2) 【知识点】证明线面垂直、线面垂直证明线线垂直、面面垂直证线面垂直、面面角的向量求法 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明 平面，从而得到，结合 即可证明结论； （2）取 中点，建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）在中，，所以， 分别取 的中点，连接. 因为 ，所以. 又因为平面平面 ，平面 平面，平面 ， 所以平面 .又因为，所以. 以 为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 在中，，所以 . 则, 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，得， 又因为平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩､防护服､消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量､该厂质检人员从某日生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组： ，得到如下频率分布直方图．规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．    (1)求该厂商生产口罩质量指标值的平均数和第60百分位数； (2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，求的分布列及方差； (3)在2024年“五一”劳动节前，甲､乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A，B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由个该型号口罩构成．假定甲､乙两人在A，B两店订单“秒杀”成功的概率分别为，记甲､乙两人抢购成功的口罩总数量为X，求当X的数学期望取最大值时正整数n的值． 【答案】(1)平均数为123，第60百分位数为125 (2)分布列为： 0 1 2 P 方差为 (3)6 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、由频率分布直方图估计平均数、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据百分位数的定义直接计算即可； （2）由抽样比确定抽取的一级口罩个数，再由超几何分布计算出相应概率可得分布列，求出方差； （3）求出X的数学期望的表达式，构造函数并求导得出取最大值时正整数n的值. 【详解】（1）该厂商生产口罩质量指标值的平均数为 ； ， 故第60百分位数落在内，设其为x， 则， 解得，故第60百分位数为125； （2）一级口罩与二级口罩的个数比为， 现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩， 则一级口罩有个，二级口罩有个， 再从中抽取3个，记其中一级口罩个数为，的可能取值为0，1，2， ，，， 故的分布列如下： 0 1 2 P 数学期望为， 方差为； （3）X的可能取值为0，n，2n， ， ， ， 故， 令，设，则， 因为， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， 所以，当，即时，取最大值． 18．已知椭圆：（）的离心率为，短轴长为2. (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，原点到直线的距离为. （ⅰ）记直线，的斜率分别为，，求证：为定值； （ⅱ）求的面积的最大值及此时直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）的面积的最大值为1，直线的方程为或或或. 【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的最值问题、椭圆中的定值问题 【分析】（1）根据、、之间的关系与离心率即可求解 （2）（i）利用坐标表示出、，根据韦达定理，将表示为、之间的关系式，结合距离即可证明； （ii） 利用弦长公式，表示出三角形面积，讨论范围即可； 【详解】（1）由题意知，， 所以， 所以椭圆的标准方程为. （2）（i）当斜率不为时，设直线的方程为， ，， 联立得，， ， 点到的距离，所以， ， 根据韦达定理代入得，， 当斜率为时，不妨设横坐标大于0，则此时、两点坐标为，或，， 所以， 综上，为定值. （ii）当斜率为时，， 当斜率不为时，， 所以， 因此， 则， 当且仅当，即时取等，所以的最大值为， 当时，，当时，， 所以直线的方程为或或或. 19．．已知． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明； (3)求实数的最大可能值，使得对任意的都成立． 【答案】(1) (2)方法一：令，则， 当时，，，则， 所以在上单调递增，则， 所以在上恒成立，即在上恒成立； 当时，令， 所以，因为和在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以， 因为，所以，所以，由于， 所以， 则在上单调递增， 则，即在恒成立， 所以在上单调递减， 所以，即在成立， 故在成立， 综上，在上恒成立， 方法二：若证明当时，，即证当时，， 设，，则， 当时，切线不等式，，当且仅当时，等号成立， 则， 所以在上恒成立， 当时，设，则， 可知在上单调递增， 则， 因为，则，可得， 且，则， 可知在上单调递增，则，即在恒成立， 可知在上单调递减，则，即在成立； 综上所述：在上恒成立，所以在上恒成立. 方法三：因为，即，可得， 令，，则， 设，， 当时，则， 当时，则， 因为，则，可得，即， 可知在内单调递减，且， 当时，，即；当时，，即； 综上所述：当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 所以在内恒成立， 且，即在内恒成立， 所以在上恒成立. (3) 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）利用导数的几何意义，以及直线的点斜式方程求解即可； （2）方法一：令，利用导数研究在上的单调性以及最值即可证明结论； 解法二：切线不等式放缩. 构建，，利用切线不等式可证在上恒成立，再利用导数证明在成立即可. 解法三：比值构造法 构建，，求导，分和两种情况讨论，利用导数分析的单调性和最值，即可证明不等式. （3）利用导数证明，分和两种情况讨论不等式是否成立. 【详解】（1）由于， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为：， 即； （2）略 （3）①当时，设 构造函数， 则， 令， 所以， 由于在上单调递增， 所以，则在上单调递减， 故，则在上单调递减， 则在上恒成立，即在上恒成立； 令，所以， 所以在上单调递增，则，当且仅当时取等， 即在上恒成立. 故， 令，则， 对于，令，则， 变形得， 裂项求和得， 对题设不等式左边取对数放缩： ， 对题设不等式右边取对数放缩：： 当时，，此时右侧大于左侧，不等式不恒成立，所以不满足条件； ②当时，若,恒成立， 此时原不等式右侧，只需证明：， 由（2）问结论可得： 对于二项式展开， 两边取对数，， 又 因此， 所以原不等式成立，则的最大值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $