精品解析：上海市宝山区2025-2026学年高一下学期6月期末教学质量监测数学试题

高一数学 考生注意： 1．本试卷共21题，满分100分，考试时间90分钟； 2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知集合，，则等于________． 2. 已知 为虚数单位，则复数的虚部是____________． 3. 函数的定义域为______． 4. 在菱形中___________. 5. 幂函数的图象过点，则实数____________． 6. 若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 7. 若对任意，不等式都成立，则实数 的取值范围是______． 8. 已知复数、满足，，则的最大值为____________． 9. 方程的实数解为____________． 10. 已知的内角、 、 的对边分别为、、，且满足，则中角 的大小为____________． 11. 对于定义在上的函数，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则实数的取值范围是____________． 12. 在平面直角坐标系中，已知点、，动点满足，点 满足，则面积的最大值为______． 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分． 13. 已知 ，则“”是“ ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知复数和所对应的向量分别是、，则下列结论错误的是（ ） A. 对应的复数是 B. 对应的复数是 C. 的充要条件是存在唯一实数 ，使得 D. 的充要条件是 16. 已知函数，有下列两个命题： ：有且仅有两个大于8的整数 使得 在上恰有3个零点； ：有且仅有5个满足条件的整数 使得 在上恰有3个零点． 则这两个命题中（ ） A. 真真 B. 真假 C. 假真 D. 假假 三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知关于 的方程． （1）若该方程有一个实根为 ，求方程的另一个根； （2）若该方程有一个模为1的虚根，求 的值． 18. 已知，函数． （1）当时，解不等式； （2）当时，求函数的值域． 19. 如图，的半径为1， 是的直径上一点（异于， ），过 作与直径垂直的弦与相交于、两点，连接和，设． （1）求线段 的长（用表示）； （2）若为直线上一点，且的最小值为，求的值． 20. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（即的三条边）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H为池底边的中点，E、F分别落在、上（管道的直径大小忽略不计）． 已知米，米，记．现有两种设计方案： 方案1：是以H为顶点的等腰三角形； 方案2：是以H为直角顶点的直角三角形； （1）若方案1中污水净化管道的总长度L恰好是米，求θ的大小； （2）试对两种设计方案进行比较，要使净化效果最好，应该选择哪种设计方案？ 21. 已知A、B（）是常数，函数的定义域为R，设满足以下三个条件的所有函数组成集合Ω：①；②；③对一切实数x、y均满足． （1）设函数，若，求A、B的值； （2）若，求和的值（用A表示），并证明是周期函数； （3）若函数，证明的充要条件是：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 考生注意： 1．本试卷共21题，满分100分，考试时间90分钟； 2．本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面； 3．在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题； 4．可使用符合规定的计算器答题． 一、填空题（本大题共12小题，1-6每小题3分，7-12每小题4分，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知集合，，则等于________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析： 考点：集合运算 【方法点睛】 1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合． 2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍． 2. 已知 为虚数单位，则复数的虚部是____________． 【答案】2 【解析】 【详解】因为 ，所以的虚部为2. 3. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【详解】要使函数有意义， 则，即，即， 解得， 所以函数的定义域为. 4. 在菱形中___________. 【答案】0 【解析】 【分析】化简为即可计算结果. 【详解】因为在菱形中，所以 , 从而. 故答案为：0. 5. 幂函数的图象过点，则实数____________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入幂函数解析式，结合指数运算性质求解实数的值 【详解】已知幂函数的图像过点，因此该点坐标满足函数解析式，将，代入得：  ， 根据根式与分数指数幂的转换规则，，因此等式可改写为： ， 由于底数且，指数函数在上单调递调，同底数幂相等时指数相等，因此可得. 6. 若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数严格递减的性质列关于底数的不等式，解不等式即可得到的取值范围. 【详解】对于指数函数（且）， 函数在上是严格减函数， 则且，得 且. 所以，实数的取值范围是. 7. 若对任意，不等式都成立，则实数 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】对任意，不等式都成立， 所以，即， 解得，即k的取值范围是. 8. 已知复数、满足，，则的最大值为____________． 【答案】 3 【解析】 【分析】利用复数模的三角不等式或复数模的几何意义，即可求得的最大值. 【详解】根据复数模的三角不等式，对任意复数，均满足，当且仅当存在正实数 使得时等号成立. 代入已知条件，，可得： ，当且仅当时等号成立， 故的最大值为3. 9. 方程的实数解为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法将指数方程转化为一元二次方程，求解后结合指数函数的值域舍去负根，再转化为对数形式得到解 【详解】令，由指数函数的性质可知 ，原方程可变形为： ，  对一元二次方程因式分解得，解得或. 由于 ，故舍去，即. 根据对数的定义，可得. 10. 已知的内角、、的对边分别为、、，且满足，则中角的大小为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理将边的关系转化为角的三角函数关系，结合两角和的正弦公式与三角形内角的性质化简求解角C. 【详解】在 中，设其外接圆半径为 ，由正弦定理得， 即，，， 则由，可得 ， 由两角和的正弦公式，左边可化简为， 又， 因此等式化为 由于，故， 两边同除以得，又，因此. 11. 对于定义在上的函数，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数在不同区间上的单调性，再结合区间并应用分类讨论研究不同区间值域是否有交集，即可得实数的取值范围. 【详解】令，则 ①当 时，则，且上单调递增， 所以 时，满足恒有； ②当 时，，显然时在上单调递增， 所以 时，满足恒有； ③当 时， 在上 单调递减，此时，且 ， 在上单调递增，此时，且 ， 显然与有交集， 所以 时，不满足时，恒有； ④当 时，则上 单调递减，且， 上单调递增，且， 若 ，即，不符合 的前提， 若 ，即 时，与无交集， 若时，恒有且 ，显然与有交集， 所以，时，不满足时，恒有， 时，满足时，恒有； ⑤当 时， 在上 单调递减，此时，且 ， 在上单调递增，此时，且 ， 显然与有交集， 所以 时，不满足时，恒有； ⑥当 时，则，且在上 单调递减， 所以 时，满足时，恒有； 综上，的取值范围是 12. 在平面直角坐标系中，已知点、，动点满足，点满足，则面积的最大值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由可得，可设，，，则，由可得，再证明已知三点，则面积为，可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】设，则，即， 则，不妨设，，，则， 所以，即， 下面证明：已知三点，则面积为. 由，则， 即，，， 所以面积为 . 则 ， 由于，则， 即，则面积的最大值为. 二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得3分，否则一律得零分． 13. 已知 ，则“”是“ ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先求解不等式得到对应解集，再通过两个取值范围的包含关系判断充分性和必要性是否成立. 【详解】首先求解不等式： 将不等式变形为，因式分解得，解得. 充分性验证：若则成立，即 成立. 必要性验证：若 则，但不一定成立. 所以“”是“ ”的充分非必要条件. 14. 下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，因为，该函数为常数函数，是偶函数，但所有非零实数均为其周期，不存在最小正周期，故A错误； 对于B，因为，又， 所以是偶函数，且最小正周期为，故B正确； 对于C，由，令， 因为，所以是奇函数，不合题意，故C错误； 对于D，因为是奇函数，不合题意，故D错误. 15. 已知复数和所对应的向量分别是、，则下列结论错误的是（ ） A. 对应的复数是 B. 对应的复数是 C. 的充要条件是存在唯一实数 ，使得 D. 的充要条件是 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的几何意义、复数运算与平面向量运算的对应关系，通过逐一验证各选项的等价性即可判断错误结论. 【详解】选项A：复数的加法与向量的加法是对应的，对应的复数就是，A正确； 选项B：复数的减法与向量的减法是对应的，对应的复数就是，B正确； 选项C：的充要条件是存在唯一实数 ，使得， 这符合复数与向量平行的关系，C正确； 选项D：的充要条件不是，例：设， 它们对应的向量分别是和，互相垂直，但，D错误. 16. 已知函数，有下列两个命题： ：有且仅有两个大于8的整数 使得 在上恰有3个零点； ：有且仅有5个满足条件的整数 使得 在上恰有3个零点． 则这两个命题中（ ） A. 真真 B. 真假 C. 假真 D. 假假 【答案】A 【解析】 【分析】令，易知的零点由 与的零点共同产生，先分析时，两个函数在给定区间内的零点个数，求出符合题意的 ，判断命题的正误；再在命题的结论基础上，分析时两个函数的解的情况，将两个函数的解进行汇总，求出符合题意的 的个数，即可判断命题的正误. 【详解】令， 函数 在上的零点由 或的解构成. 分析命题： 对于二次函数 ，其判别式，当时， ，此时 无实数解， 因此，函数的零点完全由决定，即在上有3个解. 又由，可知，故， 解得，，又因为，故 或 ， 因此命题为真； 分析命题： 只需在命题的基础上，检查的情况即可，此时， 由求根公式可得 的解为， 又且，故均落在区间内，且易知的根均含有， 因此与不会产生重合的零点，因此我们将各情况的零点数汇总： 当时，， 有1个解，且该解为；此时， 当时，， 易知，即在上有3个解， 此时总计有 个零点，不符合题意； 当时，， 有2个相异实根且均落在区间内， 此时若要满足题意，只能有一解， 由，可知， 因此，即，故 可取. 综上所述，满足恰有3个零点的整数 分别为：，共个，故命题为真. 三、解答题（本大题共有5题，满分46分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17. 已知关于 的方程． （1）若该方程有一个实根为 ，求方程的另一个根； （2）若该方程有一个模为1的虚根，求 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入方程，求出，解一元二次方程即可求解方程的另外一个根； （2）设方程的虚根为，可知共轭复数也是方程的根，利用韦达定理以及复数模的公式求解即可. 【小问1详解】 若该方程有一个实根为 ，则，解得：， 此时方程为，解得：，， 所以方程的另一个根为 【小问2详解】 方程有虚根 ，所以，即， 设虚根为，则其共轭复数也是方程的根， 因为该方程有一个模为1的虚根，则 由韦达定理可得， 所以，解得：，满足，符合条件. 18. 已知，函数． （1）当时，解不等式； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把 代入，再利用函数在上单调递增求解； （2）把代入，求出的表达式为，再利用基本不等式与函数的性质求解值域. 【小问1详解】  当 时，，由于函数在上单调递增， 故 解得 ， 所以，原不等式解集为. 【小问2详解】 当时，， 即，由，得， 故函数定义域为， 由于，所以(当且仅当即时取等号）， 又函数在上单调递增， 所以，， 故值域为. 19. 如图，的半径为1，是的直径 上一点（异于，），过作与直径 垂直的弦与相交于、两点，连接和，设． （1）求线段的长（用表示）； （2）若为直线 上一点，且的最小值为，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题设，易得 ，可得，再结合即可求解； （2）建立平面直角坐标系，设 ，表示出，可以看作关于的二次函数，进而得到，可得，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意， 为直径，则 ，而，， 则， 又，则. 【小问2详解】 以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由（1）知，，而 ， 则，而，则，， 设 ，则，， 所以 ，可以看作关于的二次函数， 则当时，取得最小值，则， 即，则， 而，则，即或，则或. 20. 如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（）的池底水平铺设污水净化管道（即的三条边）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H为池底边 的中点，E、F分别落在 、上（管道的直径大小忽略不计）． 已知米，米，记．现有两种设计方案： 方案1：是以H为顶点的等腰三角形； 方案2：是以H为直角顶点的直角三角形； （1）若方案1中污水净化管道的总长度L恰好是米，求θ的大小； （2）试对两种设计方案进行比较，要使净化效果最好，应该选择哪种设计方案？ 【答案】（1） （2）方案1 【解析】 【分析】（1）由题意可得，，则由即可求解； （2）对于方案1，由（1）可得污水净化管道的最大长度，对于方案2，解直角三角形求得 ， ， 的解析式，从而得污水净化管道的总长度，， 设，则，，根据函数在上单调递减，求得的最大值，比较两种方案污水净化管道的总长度的最大值即可求解. 【小问1详解】 由题意可得，， 由于，所以，所以， 所以，， 由，解得，所以. 【小问2详解】 对于方案1：由（1）知污水净化管道的总长度，， 当时，总长度取得最大值为米； 对于方案2：由题意可得，，， 由于，， 所以，所以， 所以污水净化管道的总长度，， 即，， 设，则， ， 因为，所以，所以， 所以，， 因为在上单调递减， 所以当时，即或时， 取得最大值为米. 因为，所以要使净化效果最好，应该选择方案1. 21. 已知A、B（）是常数，函数的定义域为R，设满足以下三个条件的所有函数组成集合Ω：①；②；③对一切实数x、y均满足． （1）设函数，若，求A、B的值； （2）若，求和的值（用A表示），并证明是周期函数； （3）若函数，证明的充要条件是：． 【答案】（1） ， （2），； 由题知，则， ，则， 所以， 令，则，所以，即， 则，故是周期函数. （3）（）， 必要性：若，则， 因为，所以，， 又，所以； 充分性：若，则， 设，则， 所以，， 对一切实数x、y都有 ， 所以. 综上，的充要条件是：. 【解析】 【分析】（1）令和代入计算即可； （2）令和，代入计算求解，；通过计算可得，，从而得，再变形计算即可求证； （3）先证必要性，若，则通过，，且即可证得；再证充分性，若，设，通过化简计算可得，，，所以. 【小问1详解】 因为，， 所以，. 【小问2详解】 令，则， 故， 令，则， 故. 证明略. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $