2025-2026学年高一下学期数学期末复习课程任务二十 ·函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 课件

这是一份高一数学期末复习课件，聚焦函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用，包含主干知识梳理（概念、五点法、图象变换）、基础检测、能力达标等模块，通过表格对比、例题解析构建学习支架，助力期末系统复习。 资料以核心素养为导向，通过五点法特征点表格培养几何直观，对比两种变换方法发展推理能力，结合零点问题实例强化模型观念，规律方法总结提升应用意识，帮助学生夯实基础、提升综合能力，为教师提供分层教学资源与清晰教学路径。

高一数学期末复习课程 任务二十·函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用 一、主干知识梳理 1.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x≥0)表示一个简谐运动时 振幅 周期 频率 相位 初相 　   T=　   f==　 　  　 　  　   A 　 ωx+φ φ 2.五点法作y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)在一个周期内的简图时,要找出的五个特征点如下表所示: 精髓是通过变量代换,求出相应的x,然后描点、作图 ωx+φ 0 π 2π x 　   　   　   　   　  y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 -　 - - - - 主要指平移变换(相位变换)和伸缩变换(周期变换、振幅变换) 3.函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换 由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种方法. [知识深化] 1.两种变换的区别: (1)先相位变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度; (2)先周期变换(伸缩变换)再相位变换,平移的量是(ω>0)个单位长度. 2.变换的注意点:无论哪种变换,每一个变换总是针对自变量x而言的,即图象变换要看“自变量x”发生的变化,而不是看角“ωx+φ”的变化. 二、基础检测 1.函数y=5sin(2x-)的振幅、频率和初相分别为(　　) A.5, B.5, C.5,,- D.5,,- C 解析:由题意得A=5,T==π,所以f=,φ=- 2.已知函数f(x)=sin,g(x)=sin x,要得到函数y=f(x)的图象,只需将函数y=g(x)的图象上的所有点(　　) A.横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度 B.横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度 C.横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移个单位长度 D.横坐标伸长为原来的2倍,再向左平移个单位长度 B 解析:由题得f(x)=sin,而g(x)=sin x,所以将函数y=g(x)的图象上的所有点横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度得到y=f(x)的图象. 3.将函数f(x)=3sin的图象向左平移个单位长度后得到函数y=g(x) 的图象,则g(x)=　　 　 　　. 3sin 解析:g(x)=f=3sin=3sin 4.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示, 则点(ω,φ)的坐标是　　　　　. 5.要得到函数y=sin的图象,只需要将 函数y=sin 4x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 B ①.函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 例1 (1)把函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标保持不变,再将所得图象向左平移个单位长度,所得图象对应的函数解析式为(　　) A.y=sin B.y=sin C.y=sin D.y=sin D 三、能力达标 解析:将函数y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍, 纵坐标保持不变,得y=sinx的图象, 再向左平移个单位长度得y=sin[(x+)],即y=sin的图象. (2)要得到函数y=cos的图象,可以把函数y=sin 2x的图象(　　) A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 C 解析:由于函数y=cos=sin=sin=sin,因此只需要将函数y=sin 2x的图象向左平移个单位长度即可. 及时练1：(1)将函数f(x)=2cos 4x图象上所有的点向右平移个单位长度, 得到函数g(x)的图象,则(　　) A.g(x)=2sin 4x B.g(x)=-2sin 4x C.g(x)=2sin(4x-) D.g(x)=2sin(4x+) A 解析 f(x)=2cos 4x图象上所有的点向右平移个单位长度, 得到函数g(x)=2cos[4(x-)] =2cos(4x-)=2sin 4x的图象.故选A. (2)将函数f(x)=sin(ωx+) (ω>0)的图象向左平移个单位长度后得到曲线C, 若C关于y轴对称,则ω的最小值是(　　) A. B. C. D. C 解析:记曲线C的函数解析式为g(x), 则g(x)=sin=sin 因为函数g(x)的图象关于y轴对称,所以+=kπ+(k∈Z), 得ω=2k+(k∈Z).因为ω>0,所以ωmin=故选C. ②.由图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式 例2 (1)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(x)的表达式为(　　) A.f(x)=sin　　 B.f(x)=sin C.f(x)=sin D.f(x)=sin A 解析:由图象知,,解得ω=2, 将最大值点(,1)代入f(x)=sin(2x+φ)得,sin(+φ)=1,解得φ=+2kπ,k∈Z. 又|φ|<,则φ=,即f(x)=sin(2x+).故选A. (2)已知函数f(x)=sin(ωx+φ),如图,A,B是直线y=与曲线y=f(x)的两个交点, 若|AB|=,则f(π)=　　　　　. - 解析:依题意设A(x1,),B(x2,),则x2-x1=,因为ωx2+φ-(ωx1+φ)=,即=,所以ω=4.又因为+φ=2kπ,k∈Z,所以φ=-+2kπ,k∈Z,不妨取φ=-,则f(x)=sin(4x-),故f(π)=sin(4π-)=sin(-)=- (3)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,将函数f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则g(x)的解析式为(　　) A.g(x)=cos(2x-) B.g(x)=2cos(2x-) C.g(x)=2cos(4x+) D.g(x)=2cos(4x+) C 解析 根据图象可知A=2,由T=,解得ω=4, 又f()=2cos(4+φ)=2,可得φ=-+2kπ,k∈Z. 由|φ|<可得φ=-,可得f(x)=2cos(4x-). 将函数f(x)图象上所有的点向左平移个单位长度可得到g(x)=2cos[4(x+)-]=2cos(4x+)的图象.故选C. 及时练2： 已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-≤φ≤)的图象上的一个最高点和与它相邻的一个最低点的距离为2,且过点(2,-),则函数f(x)=　　　 　. sin(x+) 解析:依题意得=2,则=2,即ω=,∴f(x)=sin 由于该函数图象过点,因此sin(π+φ)=-,即sin φ= 而-,故φ=,∴f(x)=sin ③.三角函数图象、性质的综合应用 例3 (1)已知函数f(x)=cos4x-sin4x+sin. (1)求函数f(x)在区间上的单调递增区间; (2)将函数f(x)的图象向左平移φ个单位长度后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)的图象关于点中心对称,且在区间上的取值范围为,求α的取值范围. 解:(1)f(x)=cos4x-sin4x+sincos 2x+sin 2x=sin 因为x,所以2x+, 所以当2x+,即x时,函数f(x)单调递增, 所以函数f(x)在区间上的单调递增区间为 (2)由题意可知g(x)=sin(2x+2φ+),因为函数g(x)的图象关于点中心对称,所以2+2φ+=kπ,k∈Z,解得φ=-,k∈Z. 因为0<φ<,所以令k=1,得φ=,所以g(x)=sin 当x时,2x+ 因为g(x)在区间上的取值范围为, 所以2α+,解得, 所以α的取值范围为 (2)已知函数f(x)=sin ωx-cos ωx(ω>0,x∈R),且f(x)所有的正零点构成一个公差为的等差数列,把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度,横坐标伸长到原来的2倍得到函数g(x)的图象,则下列关于函数g(x)的结论正确的是(　　) A.函数g(x)是偶函数 B.g(x)的图象关于点(-,0)对称 C.g(x)在[-]上是增函数 D.当x∈[-]时,函数g(x)的值域是[1,2] BD 解析 因为f(x)=sin ωx-cos ωx=2sin(ωx-). 由ωx-=kπ,k∈Z,可得x=,k∈Z. 由已知可得,,所以ω=2,f(x)=2sin(2x-). 将函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位长度, 可得y=2sin[2(x+)-]=2sin(2x+)的图象,横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=2sin(x+)的图象,所以g(x)=2sin(x+). 因为g(-x)=2sin(-x+)≠g(x),所以函数g(x)不是偶函数,故A错误; 因为-=0,所以g(x)的图象关于点(-,0)对称,故B正确; 因为-x,所以0≤x+ 因为函数y=sin x在[0,]上单调递增,在[]上单调递减,故C错误; 因为-x,所以x+ 因为函数y=sin x在[]上单调递增,所以=sinsin(x+)≤sin=1, 所以1≤g(x)=2sin(x+)≤2,故D正确.故选BD. 及时练3：(多选题)已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)的图象关于点对称,则(　　) A.f(x)在单调递减 B.f(x)在有两个极值点 C.直线x=是曲线y=f(x)的一条对称轴 D.直线y=-x是曲线y=f(x)的一条切线 AD 解析 由题意得,f()=sin(+φ)=0,所以+φ=kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z. 又0<φ<π,所以k=2,φ= 故f(x)=sin(2x+). 选项A,当x∈(0,)时,2x+(), 所以f(x)在区间(0,)内单调递减,故选项A正确;选项B, 当x∈(-)时,2x+(),由函数f(x)的图象(图略),易知y=f(x)只有一个极值点,由2x+,可得极值点为x=,故选项B错误;选项C,当x=时,2x+=3π,f()=0,所以直线x=不是曲线y=f(x)的对称轴,故选项C错误;选项D,结合该选项,若f'(x)=2cos(2x+)=-1,得cos(2x+)=-,解得2x++2kπ或2x++2kπ,k∈Z,从而得x=kπ或x=+kπ,k∈Z,所以函数y=f(x)的图象在点(0,)处的切线斜率为y'|x=0=2cos=-1,切线方程为y-=-(x-0),即y=-x,故选项D正确.故选AD. 例4：设函数f(x)=2sin(ωx+φ) (ω>0,|φ|<),若f(x)的图象经过点(0,1),且f(x)在[0,π]上恰有2个零点,则实数ω的取值范围是(　　)　　　　 A.[,+∞) B.[) C.[) D.[,+∞) B 函数零点(方程根)问题 解析 ∵f(x)=2sin(ωx+φ)的图象过点(0,1),∴2sin φ=1,∴sin φ=, 又|φ|<,则φ=,∴f(x)=2sin(ωx+),由0≤x≤π,则x++, ∵f(x)在[0,π]上有两个零点,则2π≤ωπ+<3π, <故选B. 任 务 完 成 $