新疆生产建设兵团第二中学2025-2026学年高一下学期第三次数学周测试题

2028届兵团二中高一年级下学期第三次数学周测 数学试卷参考答案 本试卷分为第I卷（选择题)和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1.若2=3+4i , 则在复平面内，二所对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】c 【详解】z=3+41_3+40+0_3+4i+31-41,7, 1-i (1-i)1+i) 2+21, 故2=-)71在复平面内，其对应的点为2 17 位于第三象限， 22 2.经过两点A(2,m),B(-,4)的直线1的倾斜角为135°，则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.-2 【答案】A 【难度】0.85 【分析】根据两点斜率公式及斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】经过两点A(2m,B(-m4)的直线1的斜率为k="=4 2+ 又直线1的倾斜角为135°，所以-4=tal35=-1,解得m=1. 2+m 故选：A 3.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取 一个容量为n的样本.已知从女生中抽取80人，则n等于() A.200 B.192 C.100 D.80 【答案】B 【详解】因为80：1000=8：100，所以n:(200+1200+1000)=8:100,所以n=192. 4.己知向量a=(1,x,1),b=(,1,1),c=（2,-2,z),且a1b,b/c,则a+b+c=() A.2W5 B.3 C.4V2 D.16 【答案】B 【分析】由向量垂直与平行的坐标表示求得x,y,z,然后由模的坐标表示计算出模， 【详解】因为向量a=(1,x,1),b=（y,1,1),c=（2,-2,z),且a⊥b,b∥c, y+x+1=0, 所以y11解得x=-2,y=1,z=-2, 22 一 则a=(1,-2,1),b=1,1,1),c=（2,-2,-2), 所以a+b+c=(0,-3,0), 所以a+b+d=3. 故选：B. 5.已知a,B,Y是三个不同的平面，，，1是三条不同的直线，下列命题中正确的是() A.若m⊥，n⊥l,则ml∥n B.若a&⊥y,B⊥y,则B C.若a&⊥B,mCa,nCB,则⊥nD.若m⊥a,∥n,则n⊥a 【答案】D 【分析】在长方体ABCD-ABC1D中，利用线线，线面，面面之间的关系判断. 【详解】对于选项A,分别把AA、BC、AB当作直线m、n、1,显然⊥n,故A不正确： 对于选项B,平面AABB、平面BB,CC、平面ABCD分别视为平面&、B、Y,显然au∩B=BB,故B不正确： 对于选项D,mLa,m∥n,则n⊥a,故D正确： 对于选项C,平面AABB、平面ABCD分别视为平面&、B,AB,CD分别视为m,n,则m∥n,故C不正确. D A B D 6。如图。三个元件工，工正常工作的概率均为号且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生赦障的概 率是() 1 1 A.9 B. 5 27 C.2 D. 27 【答案】c 【分析】 根据题意，记T正常工作为事件A,I正常工作为事件B,记T正常工作为事件C,易得则P(A)、P(B)、P(C), 若电路不发生故障，必须是T正常工作且T,至少有一个正常工作，由对立事件的概率性质可得T,,T至少有 一个正常工作的概率，计算可得其概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案. 【详解】记T正常工作为事件A,T正常工作为事件B,记T正常工作为事件C, 则P(=P(B)=P(C)=号 电路不发生故障，即T正常工作且T,至少有一个正常工作， 工、I不发生故障即乃，至少有一个正常工作的概率月=1-(1-0 1、5 3 3=g 155 所以整个电路不发生故障的概率为P=P(A)×?=二×二= 3927 故选：C 7.在正方体ABCD-ABCD中，E,F,G分别为BC,CC,BB的中点，则() D D A.直线DD与直线AF垂直 B.点C和点G到平面AEF的距离相等 C.平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形 D.直线AG与平面AEF平行 【答案】D 【详解】对于A,若DD⊥AF,因为DD⊥平面ABCD,AEC平面ABCD, 所以DD⊥AE,因为AEOAF=A,AE,AFC平面AEF,所以DD⊥平面AEF, 因为EFc平面AEF,所以DD⊥EF,因为DD/CC,所以C1C⊥EF, 这不成立，所以假设错误，所以A错误。 对于B,记点C与点G到平面AEF的距离分别为h,h,假设正方体边长为1. e=xx上xx1=1 因为Vcs3S4h='4cr322224 VG-AEF -1x×1×5×1=,, 2 所以h≠h,所以B错误。 对于C,如图所示，连接DF,DA,延长DF，AE交于S, 由选项可知E歌1/BC,BP-BC,因为BC/10,10=8G, 所以EF/AD,F=AD,所以A,B,R,D四点共面， 2 所以梯形AEFD为截面，所以C错误， 对于D,RC的中点2，连接A2,GQ,BC1,EO, 因为E,F,G分别为BC,CC1,BB的中点， 所以EF/BC1,GQ/BC1,EQ/1BB,EQ=BB,所以EF/1GQ, 因为AA/1BB,AA=BR,所以A4/EQ,EQ=AA4, 所以四边形EQAA为平行四边形，所以A2/AE, 因为AQ,QG丈平面AEF,EF,AEC平面AEF, 所以A2/平面AEF,OG/平面AEF, 因为A2,QGc平面A2G,A2∩QG=Q,所以平面AQG//平面AEF, 因为AGc平面AQG,所以AG//平面AEF,所以D正确. 故选：D. D D :33 B 8.△MBC的内角AB,C的对边分别为a,b.c,且bco34+acosB=3,2acog4+8=5csA,则() 2 A.C=T B.△ABC的外接圆半径为2√3 3 C.△ABC的面积的最大值为 D.△ABC的周长的取值范围是(6,3+2√3 4 【答案】D 【分析】利用三角恒等变换结合正弦定理边化角判断AB,利用余弦定理和基本不等式求出ab和a+b的范围判断cD 即可. 【详解】选项A,由2acog4+B=csin4可得acos(A+B)+a=V3 csin A,, 2 又A,B,C是△ABC的内角，A+B=π-C, 所以-acosC+a=V3 csinA,由正弦定理得-sin Acos C+sinA=sin Csin A, 因为△4BC中sinA≠0，所以V3sinC+cosC=2snC+61,即smC+1 (62’ :0<C<,培C+<gC+号号C=号，所以A错误： 选项B,设AABC的外接圆半径为r,因为bcosA+acosB=3, 所以由正弦定理：得2r(sin8cosA+c0 sBsinA)=3,2rsmC=3即2：sm号-3， 52r×=3解得，=V3.所以B错误： 选项C:由正弦定理可得C。=2,解得c=3, sin C 由余弦定理得c2=a2+b2-2 ab cosC,即9=a2+b2+ab≥2ab+ab,解得ab≤3， 当且仅当a=b=√5时等号成立， 所以△MBC的面积S--absinC5,所以C错误 选顶D,由c知9=+6+d=(a+-ba+a+（a+, 4 4 解得a+b≤2√5，当且仅当a=b=√5时等号成立， 由三角形的性质知a+b>c=3,所以6<a+b+c≤3+23，D说法正确： 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.在一组样本数据3,5,5,6,7,7,9中增加一个数据x后，下列说法正确的是() A.若众数仅为5，则x=5 B.若平均数不变，则x=6 C.若中位数不变，则x=5 D.若极差为9，则x=-6或x=12 【答案】AB 【分析】先求得原始数据的平均数，众数，中位数，极差，再结合选项依次讨论即可得答案. 【详解】原始数据的平均数为3+5+5+6+7+7+9-6， 7 众数为5和7，中位数为6，极差为9-3=6， 对于A,原数据众数为5和7，若新众数仅为5，则5的个数须超过7的个数，故增加的x=5,故正确： 对于B,当增加数据x后平均数不变，则增加的x=6,故正确： 对于C,原中位数为6，增加x后，新中位数为8个数据中第4、5位的平均数， 要使中位数仍为6，经检验只有x=6满足条件，当增加数据x后中位数不变，故x=6,故错误； 对于D,当增加数据x后极差为9，故当x最小时，9-x=9得x=0; 当x最大时，x-3=9得x=12,故x=0或x=12,故错误. 10.设M,N为两个随机事件，给出以下命题，其中为正确命题的是() A若MN为互斥喜件，且P0)号P=背则PMUW=名 B.若POM)-P(-=号则M.N为互为对立事件 C.若P0)=号P网子P)-=名则M,N为相互独立事件 D.若N为相互验立半件，且P(网-分P网-号则P()君 【答案】ACD 【分析】由概率的性质判断A:根据对立事件的定义、独立事件的判定及乘法公式判断B、C、D. 详解)A:由题设有PMUN=P0+P+,对 B:若M,N为对立事件，则M∩N=O,MUN=2,即P(W)=0且PMUN)=P()+P(N)=1, 显然P0)=P(O)=不能保证P)=0,错； C由PM-1-P-号则P()-PM)P)-名故M,N为相互独立事件，对 111 D:由题设P(心N)=-PM1-P0W]=2号G对. 故选：ACD 1.如图，已知二面角a1-B的平面角为弩棱/上有不同的两点A,B, ACC&,BDCB,AC⊥1，BD⊥I.若AC=AB=BD=2,则下列结论正确的是 B A.点D到平面d的距离是2 B.直线B与直线cD的夹角为写 C.四面体ABCD的体积为2y 3 D.过4，B,C,D四点的球的体积为28 27元 【分析】补成正三棱柱，根据正三棱柱的性质即可求点面距离判断A,根据异面直线夹角定义求解判断B,根据等 体积法求解判断C,利用球的性质确定外接球的球心，根据勾股定理求出R,由体积公式即可求解判断D 【详解】在平面&内过B作与AC平行且相等的线段BE,连接EC, 在平面B内过A作与BD平行且相等的线段AF,连接FD,FC,ED, 补成一个正三棱柱AFC-BDE,BDE是边长为2的正三角形， a B B 所以D到平面Q的距离为点D到8E的距离2xY5-5,所以A错误： 2 因为AB/IFD,直线AB与直线CD的夹角即直线FD与直线CD的夹角， 又FDEC是正方形，所以夹角为无，B正确； x5X2252A,所以c正确： 1 VA-2CD VD-ARC 3 32 3 如图，取AD的中点O,BC的中点O,O,O为△ABD,ABC的外心， B D 取AB的中点M,连接MO,MO,则OM⊥AB,OM⊥AB, 所以∠0，M0是二面角a-1-B的一个平面角，则∠0，M0=号， 过O,作平面ABC的垂线和过O作平面ABD的垂线，交于点O,O即为外接球球心， 所以OO2⊥平面CAB,OO⊥平面DAB,连接OM,O,M=O,M=BD=1, 2 所以易证得：△OM0与△O,M0全等，所以∠OMO,=∠OMO,= 6 所以在直角三角形QMuD,tan30°=O9-O9-5 MO 13 所以o0,=5,0-R=6+aD-后+专4r-6+网- 3 3 侧过4，B,C,D四点的瑕的体积为亚228 所以D正确. 3"3 27 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知A(-1,-1),B(x,3),C(2,5)三点共线，则x= 【详解】依题意，AB=(x+1,4),AC=(3,),且AB/AC,则6(x+1)=3×4, 所以x=1. 13.如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE上一点，己知△ABC的面积是△BDF 面积的4倍，若BD平分∠ADF,DF=2,则BD的长为· 【答案】4 【分析】根据三角形面积公式结合角平分线、中线性质即可得BD的长 【详解】设SBDr=a,则SABc=4a, 因为D为斜边AC的中点， 以SsD=7SABc=2a=2S.BDP,且BD=AD 因为BD平分∠ADF,所以∠ADB=∠FDB, 因为S8D-AD-BD:sm∠ADB=BD2 sinADB=n, Soor=BD DF.sin FDB=BD:sin /FDB=a 又可得SABD=2SBDr, 则2BD2.sim∠ADB=2BD-sSin∠PDB,解得BD=4. 故答案为：4. 14.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这 样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60° 坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i,j,分别为“斜60坐标系” 下三条数轴(x轴、y轴、z轴)正方向的单位向量，若向量=xi+y+zk,则i与有序实数组(x,y,二)相对应，称向 量i的斜60°坐标为[x,y,],记作i=[xy,]若ā=[1,2,3]，b=[-11,2],则ā+五的斜60°坐标为在平行六面体 ABCD-AiBiCiD1中，AB=AD=2,AA=3,∠BAD=∠BA4=∠DAA=60°，N为线段DC1的中点.如图，以 {AB,AD,A4}为基底建立“空间斜60°坐标系”，若AM=[2,-2,0],则M与BN夹角的余弦值为 D A P D B 【答案】- 10 【分析】设i,j,k分别为与A正，AD,A4同方向的单位向量，则AB=2,AD=2j,AA=3,通过平行六 面体ABCD-ABC,D,得到BN=BC+CC+CN,从而得到BN的斜60°坐标：又因为AM=[2,-2,0],所以 AM=2i-2j,结合题中的BN的斜60坐标，并通过coS<BN,AM>= BN.AM IBN·AM ,计算M与B夹角的余弦值.。 【详解】设，j,分别为与A正，AD,AA同方向的单位向量， 则AB=2i,AD=2j,A4=3F, Bm=BC+CG+C=D+4-沥=2j+3派-i=-i+2j+3派，脉=[-12到. 因为AM=[2,-2,0],所以AM=2i-2j, 则d=2i-2=√(2i-2j}=√+4驴-8万=V4+4-4=2, 1B=V(2j+3k-2=5, ∴BN.AM=(-i+2j+3府-(2i-2)=4i.j+6ik-2i-47-6k.j+2i.j=-3, COs<BN,AM>=- BN.AM -3 15 BW|AM1V15×210 所以A☑与BN的夹角的余弦值为-西 10 故答案为：- 10 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(25-26高二下江苏镇江期中)学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录 他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： ←频数/组距 a 0.025 0.015 0.010 0.005 7 405060708090100分数 (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： (3)活学校安排印乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为 4 甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率 【答案】(1)2 271,20 3 品 【难度】0.82 【分析】(1)由频率分布直方图各矩形所表示频率之和为1，可得a=0.03,据此可得答案： (2)由频率分布直方图计算平均数，中位数方法可得答案： (3)记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A,甲复赛获优秀等级为事件B,乙复赛获优秀等级为事件C,方 法1，由P(A)=P(BC)+P(BC)+P(CB)可得答案；方法2，由对立事件概率关系可得答案. 【详解】(1)由(0.005+0.01+0.015+0.015+0.025+a×10=1,得a=0.03, 则成绩不高于60分的人数为：(0.01+0.015)×10×200=50， 成绩不高于50分的人数为：0.01×10×200=20， 则从不高于60分的人中抽5人，其中不高于50分人数为：5×20=2： 50 (2)平均数x=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71. 因为在[40,70]内共有80人，则中位数位于[70,80]内，设中位数为x, (0.01+0.015+0.015)x10+0.03x(x-70)=0.5,解得x=2 3； (3)记“至少有一位同学复赛获优秀等级”为事件A,甲复赛获优秀等级为事件B,乙复赛获优秀等级为事件C,则 P到-专PC)= 方法1，=P8c+5C+Ae到含品则至>有一位同学复聚或花两等超约率为 20 19 法：P(④=1-PA1-P8C1号×}”则至少有一位同学复赛获优秀等级的腰率 20 16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 acosB-b=2c. (1)求角A: 2)若A4BC的面积为 ,且sinB=2sinC,求△ABC的周长. 2 【容案号 2)①3+√7 【详解】(1)由正弦定理得，2 sin Acos B-sinB=2sinC, 2sin Acos B-sin B=2sin(A+B)=2sin Acos B+2cos Asin B,-sin B=2cos Asin B, sm8≠0，cos4=号又Ae0,,所以A2红 31 2)@3-4sn号-9-号得x- 2 34 由sinB=2sinC及正弦定理 sinBsinc,得b=2c,所以bc=2c2=2, 所以c=1,b=2,又a2=b2+c2+bc=7,所以a=√万. 所以△ABC的周长为a+b+c=3+√ 17.如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=√3，∠ABC=120°，∠ABD=∠BCD. 】 (1)若∠ABD=45°，求AD的长： (2)当四边形ABCD的面积取最大值时，求∠ABD 【答案】(1)AD=V5-2√3 (2)∠ABD=75°. 【难度】0.65 【分析】(1)△BCD中由正弦定理求出BD=√2，又在△ABD中，由余弦定理求出AD; (2)结合图形，设∠ABD=∠BCD=a,利用正弦定理求得BD=2sa,根据三角形面积公式求出四边形ABCD的 面积表达式，利用三角恒等变换将其化成正弦型函数，结合正弦函数的性质即可求得. 【详解】(1)由题得∠DBC=75°，∠BCD=45°， 所以∠BDC=180°-∠DBC-∠BCD=60°， 在△BCD中，由正弦定理得 BC BD sin∠BDC sin∠BCD' BCsin☑BCD_V3sin45° V3x 所以BD= 2= sin∠BDC sin60° 3 2 在△ABD中，由余弦定理得： AD=AB+BD-24B.BDCOsLABD=3+2-2x2 所以AD=V5-2√5， (2)设∠ABD=∠BCD=a,a∈(0°，120)， 则∠DBC=120°-a,∠BDC=180/-∠DBC-∠BCD=60°， 在△BCD中，由正弦定理得BD-BCsin/BCD.3sme-2sima, sin☑BDC sin60° 所以四边形ABCD的面积 1 S=S4sD+SBcD=AB·BDsina+BC·BDsin(120°-a) 2 1 1 =÷×V3×2sin2a+二×√3×2 sinasin(120°-x) 2 2 1 =3sin2a+3sina -cosa+-sina 2 insinceosa 3V3 3 3v3 1-cos2a,3 2 sin2a 2 4 3V3+sin2a-V3cos2a】 3W3,3 sin(2au-60°）. 42 因为a∈(0°，120)，所以2a-60°∈(-60°，180)， 所以当2x-60°=90°，即au=75°时，四边形ABCD的面积取最大值. 即当四边形ABCD的面积取最大值时，∠ABD=75° 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB/CD,且CD=2,AB=1,BC=2W2,PA=2,AB⊥BC, N为PD的中点. Mi B (1)求证：AN//平面PBC; (2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值； (3)点M在线段AP上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为45， 求点M到平面PCD的距离. 15 【答案】(1)证明见解析 23 9 36 3 【难度】0.65 【分析】(1)根据线面垂直判定定理可得PA⊥平面ABCD,建立空间直角坐标系利用空间向量可求得结论： (2)求出两平面的法向量，再由向量法可求出平面PAD与平面PCD夹角的余弦值： (3)不妨设AM=k(0≤k≤2)，根据直线CM与平面PAD所成角的正弦值为45，可得k=1,利用点M到平面PCD 15 距离的向量求法可得其距离为V6 3 【详解】(1)记CD的中点为E,连接AE, 因为AB1CD,CB=CD=1=AB,所以四边形ACB是平行四边形，则4B-1, 因为AB⊥BC,所以平行四边形ABCE是矩形，则AE⊥AB, 因为PA⊥平面ABCD,AE,ABC平面ABCD,所以PA⊥AE,PA⊥AB,即PA,AE,AB两两垂直， 故以A为坐标原点，分别以AE,AB,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图， 则A(0,0,0),B(01,0),E2√2,0,0，L22,1,9,C321,9,平0,0，， 因为N为D的中点，所以N52则西=5- 设平面PBC的一个法向量为m=(x,y,), 而BP=(0,-1,2),BC=(22,0,0), m-BC=22=0,令z=1,则m=(0,21. mBP=-y+2z=0 所以获济×2+1=0，则数加 2 又AN工平面PBC,所以ANII平面PBC. (2)设平面PAD的一个法向量为i=(a,b,c), 而AP=(0,0,2),AD=(22,-1,0) iAP=2c=0 所以。 令a=1,则n=(1,22,0), i.AD=2√2a-b=0 设平面PCD的一个法向量为i=(r,S,t), 而CD=(0,-2,0),PC=(2W2,1-2, 所以 c=2+s-Y=0,令1，则i-02), i.CD=-2s=0 记平面PHD与平面0D夹角为2，则0<a号 ZA P M B A D 所以cosa=|cos(i,= 2列_1√3 园3x√39， 所以平面PAD与平面2℃D夹角的余弦值为3 (3)依题意，不妨设AM=k(0≤k≤2)，则M(0,0,k),CM=-2√2，-1，k), 又由(2)得平面PAD的一个法向量为n=1,2W2,0), 记直线CM与平面PAD所成角为B, 所以mB-os(a,Cm n.CM 4W24V5 CM 月3xV+915,解得k=1(负值舍去)， 所以M(0,0,1),则MP=(0,0,1), 而由(2)得平面PcD的一个法向量为i=(1,0,V2), 所以点M到平面PCD的距离为 证.√2_6 √33 【备选】18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形，且PA=AB,过点A的平面 与棱PB,PC,PD分别交于点E,F,G,且PB=2PE,PD=PG. B (1)若AG⊥平面PCD,求1的值： (2)若1=3. (1)求的值： PC (ii)求平面a与平面ABCD夹角的余弦值. 【答案】(1)2 2(i)寻：(i)6 【难度】0.48 【分析】(1)建立空间直角坐标系，根据向量垂直，利用向量的坐标运算求解： 2)(i)设 PC =,利用向量的坐标运算或是利用向量的线性运算即可求解；（ⅱ）利用向量法求平面夹角的余 弦即可 【详解】(1)由题知PA⊥平面ABCD,且AB⊥AD, 如图，以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， Z B 不妨设PA=1,则A(0,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 可得0=001，PD=(@1-1.4G=严+G=4P+而-(021》 若AG⊥平面PCD,PDC平面PCD, 所以AG⊥PD. 则孤m-0动@-10. 即上-1+0，解得元=2. 2y(i)法：由a)可得40n,传时引，c0引.P@a.c1o 姿Pr 纹Pm,连接A,如图， AF=AP+PF=AP+mPC=(0,0,1)+m (1,1,-1 (um,1-m ) 因为点A,E,F,G共面， 所以亚正ac5〔到店) 「1 4=m 1 22 1 3 则行=加 ,解得}t= 4 12 5+5=1-m m=4 故F1 PC 4 法二：设 心=m,连接AP,如图， AF=AP+PF=AP+mPC=AP+m AB+AD-AP mAB+mAD+(mP. 因为0-3G,即而-P=3(aG-A,故4G-4D+D, 因为A,E，F,G四点共面，且A正，AG不共线，所以存在4，t∈R，使得AF=uAE+tAG, 所以aE-uAB+aG-5B+APH侵D+2+D+(货， 1 t 3=m 1 由空间向量的基本定理可得 ,解得μ=2， =1-m +2 3 23 t4 所以PF1 PC4 (i)由(i)可得AE= 1 2 i.AG=二b+2c=0 3 3 设平面a的法向量为i=(a,b,c),则{ 11 i.AE=二a+5c=0 2 2 令a=1,则b=2,c=-1,可得i=(1,2,-1), 易得平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), 则cos元，列= _-16 √6x16' 所以平面a与平面ABCD夹角的余弦值为y 6 19.(2026江西南昌·三模)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.如图，三棱锥A-BCD为 需，AB1平面BCD,AB=3,∠ACD=),且三棱锥A-BCD的外接球表面积为2I B (1)求三棱锥A-BCD体积的最大值： (2)在△BCD中，BD=2CD,AE=EC. (i)当1=1时，求证：BE⊥AD: D若Dg与面ABD所成角的正弦值为5，求实数天的 【答案】(1)3 2)①证明见解析；()2或-14 1 【难度】0.47 【分析】(1)把三棱锥A-BCD放入长方体中，根据长方体外接球半径的求法列出相应方程，得AC2+CD=12, 由棱锥的体积公式结合基本不等式可得三棱锥A一BCD体积的最大值： (2)由(1)的结论，结合题意可得AB=BC,(i)易得BE⊥AC,由线面垂直的判定定理可证得BE⊥平面ACD, 从而证得BE⊥AD.()利用等体积法可求得点E到平面ABD的距离，根据线面角的正弦值列出关于入的方程，求 解可得入的值. 【详解】(1)因为AB⊥平面BCD,CDC平面BCD, 所以AB⊥CD」 因为∠ACD=),所以Ac⊥CD 又ACOAB=A,AC,ABC平面ABC,所以CD⊥平面ABC. 因为BCc平面ABC,所以CD⊥BC. 如图，把三棱锥A-BCD放入长方体中，可得其外接球为长方体的外接球 设该外接球半径为R,则4πR2=21π，得4R2=21· 又长方体的外接球半径为R=VAB+BC+CD_V9+BC+CD 2 所以9+BC2+CD2=4R2=21,所以BC2+CD2=12. 三楼锥A-BCD的体积为r-xxBCXCDXAB=1 &CxCD≤BC+CD3, 32 2 22 当且仅当BC=CD=√6时，等号成立. 所以三棱锥A-BCD体积的最大值为3. A D (2)由(1)知，BC2+CD2=12,即BD2=12,BD=2√3 由BD=2CD,得CD=√3，BC=3,所以AB=BC=3,AC=3V2 (i)当2=1时，AE=EC,所以E为AC的中点. 所以BE⊥AC. 又CD⊥平面ABC,BEC平面ABC, 所以CD⊥BE. 因为CD⌒AC=C,CD,ACC平面ACD, 所以BE⊥平面ACD 因为ADC平面ACD,所以BE⊥AD. (i)三棱锥A-BCD的体积等于C-ABD的体积，记点C到平面ABD的距离为d, 1 则53am1B=S.eod, 3 得d=S8m1B_ 1BC-CDAB 3×√53 S.ABD 1ABBD 232 因为A正=EC, 33入 所以点B到平面ABD的距离为22+22+门' 又DE=VCD+CE CD+ 1 3 22+1 5 所以DE与面ABD所成角的正弦值为 18 5 3+ (a+1 化简得，(112+14)(2-2)=0， 所以1=骨或天=22028届兵团二中高一年级下学期第三次数学周测 1,若：中中，则在复平面内，三所对应的点位于《） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.经过两点A(2,m),B(-m,4)的直线1的倾斜角为135°，则m的值为() A.1 B.2 C.3 D.-2 3.某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取 一个容量为n的样本.己知从女生中抽取80人，则n等于() A.200 B.192 C.100 D.80 4.已知向量a=(1,x,1),b=y,1,1),c=（←2，-2，：)，且a⊥i,b/c,则a+b+c=() A.2√2 B.3 C.4V2 D.16 5.已知，B,Y是三个不同的平面，m,n,1是三条不同的直线，下列命题中正确的是() A.若m⊥1，n上1，则m∥n B.若a⊥y,B⊥y,则alF c.若a⊥B,mca,ncB,则m⊥nD.若m⊥a,m∥n,则n⊥a 6。如图，三个元件工.工，工正常工作的概率均为，且是相互独立的，将它们接入电路中，则电路不发生故障的概 率是() 1 A. 8.21 c 7 0.27 7.在正方体ABCD-ABCD中，E,F,G分别为BC,CC,BB的中点，则() D B D A.直线DD与直线AF垂直 B.点C和点G到平面AEF的距离相等 C.平面AEF截正方体所得的截面是平行四边形 D.直线A,G与平面AEF平行 8.△4BC的内角4，B,C的对边分别为a,b,c,且bcos4+acosB=3,2acos24+B=√5csin4,则() 2 AC-胃 B.△ABC的外接圆半径为2√3 C.△ABC的面积的最大值为9√5 D.△ABC的周长的取值范围是6,3+2V3 9.在一组样本数据3,5,5,6,7,7,9中增加一个数据x后，下列说法正确的是() A.若众数仅为5，则x=5 B.若平均数不变，则x=6 C.若中位数不变，则x=5 10.设M,N为两个随机事件，给出以下命题，其中为正确命题的是() A若M.N为互斥事件，且P(M)PW)-则P(MUN-名 B.若P(M)-PN)号，则M.N为互为对立事件 C.若P(M)=号P()号P(N)名，则MN为相互独立事件 0.若M.N为相互独立事件，且P(网-号P网)-子，则P()-名 11.如图，已知二面角0-1-B的平面角为兮，棱1上有不同的两点4，B, \a ACCC,BDCB,AC⊥I,BD⊥I.若AC=AB=BD=2,则下列结论正确的是 B A.点D到平面a的距离是2 B。直线4B与直线CD的夹角为号 C.四面体ABCD的体积为2 3 D.过4，B,C,D四点的球的体积为28N2元 27 12.己知A(-1,-1),B(x,3),C(2,5)三点共线，则x=· 13.如图，在Rt△ABC中，D为斜边AC的中点，E为BD上一点，F为CE上一点，己知△ABC的面积是△BDF 面积的4倍，若BD平分∠ADF,DF=2,则BD的长为一· E 14.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这 样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60° 坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标：i,j,飞分别为“斜60°坐标系” 下三条数轴(x轴、y轴、二轴)正方向的单位向量，若向量n=xi++k,则n与有序实数组(x,y,)相对应，称向 量方的斜60°坐标为x,y,],记作n=[xy,若ā=[1,2,3引，万=[-1，l,2,则a+的斜60坐标为在平行六面体 ABCD-AB1CD1中，AB=AD=2,A4=3,∠BAD=∠BA4=∠DA4=60°，N为线段DC的中点如图，以 {AB,D,A4}为基底建立“空间斜60坐标系”若AM=[2,-2,0,则AM与BN夹角的余弦值为 D B D B 15.(25-26高二下·江苏镇江·期中)学校开展组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录 他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： A频数/组距 ------------- 0.025 ------------ 0.015 0.010 0.005 405060708090100分数 (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)以样本估计总体，利用组中值估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数： ③)若学校安排甲、乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为3 4 甲、乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率。 16.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2 acos B-b=2c. (1)求角A: (2)若△4BC的面积为 2,且sinB=2sinC,求△ABC的周长. 17.如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=√3，∠ABC=120°，∠ABD=∠BCD (1)若∠ABD=45°，求AD的长； (2)当四边形ABCD的面积取最大值时，求∠ABD. 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,AB/CD,且CD=2,AB=1,BC=2√2，PA=2,AB⊥BC, N为PD的中点. M D4 C (1)求证：AN//平面PBC; (2)求平面PAD与平面PCD夹角的余弦值； (B)点M在线段P上，直线CM与平面PAD所成角的正弦值为4，求点M到平面PCD的距离. 19.(2026江西南昌三模)《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.如图，三棱锥A-BCD为 蜜瑞，4BL平面8CD,B=3,∠4CD-子，且三棱锥4-BCD的外接球表面积为2r B (1)求三棱锥A-BCD体积的最大值： (2)在△BCD中，BD=2CD,AE=EC. (i)当元=1时，求证：BE⊥AD; )若DE与面4BD所成角的正弦值为否，求实数天的值，