2027年广东省普通高中学业水平考试数学自编模拟卷5

**基本信息** 2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷5，涵盖集合、复数、函数、概率统计、立体几何等核心知识，通过阶梯水价计算、员工健康调查抽样等现实情境题，考查数学应用与逻辑推理能力，适配学业水平考试要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题/72分|集合运算、复数运算、函数定义域等|基础概念辨析，如第5题结合奇偶函数性质判断复合函数奇偶性，考查数学思维| |填空题|6题/36分|向量数量积、函数最值、圆台表面积等|注重运算能力，如第18题结合圆台上下底面积求表面积，体现空间观念| |简答题|4题/42分|分段函数应用（阶梯水价）、概率计算、解三角形、立体几何证明与体积|情境化综合设计，如第19题通过阶梯水价模型考查数学建模，第22题立体几何证明与体积计算，融合逻辑推理与空间想象|

2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷5 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合，，，则实数a的取值集合为（       ） A． B． C． D． 2.已知复数，则（    ） A． B． C． D． 3函数的定义域是 （ ） A． B． C． D． 4.化简的值是（    ） A． B． C． D． 5.已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 6.若不等式 ​的解集为​， 则​=（       ） A．​ B．0 C．1 D．2 7.已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（    ）． A．只有一条，不在平面内 B．只有一条，且在平面内 C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内 8若第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 9.下列区间中，函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 10.某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人, 岁的有280人, 50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为（ ） A．33人,34人,33人 B．25人,56人,19人 C．30人,40人,30人 D．30人,50人,30人 11.某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（ ） A. 至多投中一次 B. 两次都投中 C 只投中一次 D. 两次都没投中 12.下列计算正确的是（ ） A. 52×5-2=0 B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.已知向量，则 14. 已知的最小值是 15.已知，则 16.函数y＝2x－1的零点是 17.命题“，使”是真命题，则的取值范围是________ 18已知圆台上底面积为，下底面积为，高为1，则圆台的表面积为______ 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”． 计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 若某户居民本月交纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 20.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4” (1)求事件A，B，C的概率；(2)求的概率. 21.在中，. (1)求的大小；(2)若边上的高为，求的面积. 22.如图，在三棱锥P­ABC中，PD⊥AB，PD⊥AC，AB＝6，BC＝，AC＝3， D为线段AB上的点，且AD＝2DB. (1)求证：平面PAB⊥平面ABC； (2)若∠PAB＝，求三棱锥B­APC的体积． 2027年广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷5解析 本试卷共22题，满分150分．考试时间90分钟． 一、选择题（本大题共12小题，每小题6分，共72分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合，，，则实数a的取值集合为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，∵，，∴实数a的取值集合为, 故选C. 2.已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，故选D. 3函数的定义域是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由二次根式的定义可知：，所以该函数的定义域为，故答案为B 4.化简的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】,故选D 5.已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为，则（    ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．是偶函数 D．是偶函数 【答案】D 【详解】对于A选项，因为且 ，所以既不是奇函数也不是偶函数，故A错误; 对于B选项，因为，所以是奇函数，故B错误; 对于C选项，因为，所以是奇函数，不是偶函数，故C错误; 对于D选项，因为，所以是偶函数，故D正确, 故选D 6.若不等式 ​的解集为​， 则​=（       ） A．​ B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】因为不等式 ​的解集为​ 所以 ，-2和1是方程​的两实数根 所以 ，解得,所以.故A，B，C错误. 故选D. 7.已知直线l和平面，若，，则过点P且平行于l的直线（    ）． A．只有一条，不在平面内 B．只有一条，且在平面内 C．有无数条，一定在平面内 D．有无数条，不一定在平面内 【答案】B 【详解】过直线外一点作该直线的平行线有且只有一条，因为点P在平面内，所以这条直线也应该在平面内. 故选B. 8若第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若第二象限角，且，所以，则,故选A. 9.下列区间中，函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数，由，解得，取，可得函数的一个单调递减区间为，故选B. 10.某公司有员工500人,其中不到35岁的有125人, 岁的有280人, 50岁以上的有95人,为了调查员工的身体健康状况,从中抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为（ ） A．33人,34人,33人 B．25人,56人,19人 C．30人,40人,30人 D．30人,50人,30人 【答案】B 【详解】，抽取100名员工,则应在这三个年龄段分别抽取人数为 25人, 56人, 19人 ,故选B. 11.某人连续投篮两次，则他至少投中一次的对立事件是（ ） A. 至多投中一次 B. 两次都投中 C 只投中一次 D. 两次都没投中 【答案】D 【详解】至少投中1次,即投中1次或投中2次，所以对立事件是投中0次，故选D 12.下列计算正确的是（ ） A. 52×5-2=0 B. C. D. 【答案】D 【详解】A. 52×5-2=1， B.，C.； D.，故选D 二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分） 13.已知向量，则 【答案】6 【详解】 14. 已知的最小值是 【答案】 【详解】，当且仅当时取等号，所以的最小值是 15.已知，则 【答案】 【详解】 16.函数y＝2x－1的零点是 【答案】 【详解】由2x－1＝0得x＝ , 函数y＝2x－1的零点是 17.命题“，使”是真命题，则的取值范围是________ 【答案】 【详解】因为命题“，使”是真命题， 所以，恒成立，即恒成立， 因为当时，，所以，的取值范围是 18已知圆台上底面积为，下底面积为，高为1，则圆台的表面积为______ 【答案】 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，母线长为. 因为圆台上底面积为，则，下底面积为，则， 高为1，则，则圆台的侧面积为． 所以圆台的表面积为 三、简答题（本大题共4小题，第19，20，21小题各10分，第22小题12分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”． 计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过 元 超过但不超过的部分 元 超过的部分 元 若某户居民本月交纳的水费为元，求此户居民本月用水量． 【详解】 设此户居民本月用水量为， 当时，，解得，不满足题意； 当时，，解得，满足题意； 当时，，解得，不满足题意， 综上所述，此户居民本月用水量为. 20.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用（x，y）表示一次试验的结果，设A=“两个点数之和等于8”，B=“至少有一颗骰子的点数为5”，C=“红色骰子上的点数大于4” (1)求事件A，B，C的概率；(2)求的概率. 【小问1详解】 该试验的样本空间可表示为，共有36个样本点 ，有5个样本点，所以； ，有11个样本点， 所以. ，有12个样本点，所以. 【小问2详解】 ，有2个样本点，所以； 所以. 21.在中，. (1)求的大小；(2)若边上的高为，求的面积. 【小问1详解】 (1)方法1：由正弦定理及，得.① 因为，所以② 由①②得，因为，所以， 所以， 因为，所以. 方法2：在中，因为，由余弦定理得， 整理得所以，因为，所以. 【小问2详解】 边上的高，所以， 由余弦定理，得 即，解得. 所以 22.如图，在三棱锥P­ABC中，PD⊥AB，PD⊥AC，AB＝6，BC＝，AC＝3， D为线段AB上的点，且AD＝2DB. (1)求证：平面PAB⊥平面ABC； (2)若∠PAB＝，求三棱锥B­APC的体积． 【小问1详解】 证明：因为PD⊥AB，PD⊥AC， , 所以PD⊥平面ABC,又，所以平面PAB⊥平面ABC 【小问2详解】 解：因为AB＝6，AD＝2DB. 所以AD＝4，,DB＝2 因为∠PAB＝，PD⊥AB，所以PD=AD=4 因为AB＝6，BC＝，AC＝3，所以, 所以BC⊥AC 又PD⊥平面ABC，所以PD是三棱锥P­ABC的高 所以 若∠PAB＝，三棱锥B­APC的体积是 学科网（北京）股份有限公司 $