山东泰安市新泰市第一中学东校2025-2026学年高一下学期第二次质量检测数学试题

**基本信息** 立足高一数学核心内容，通过羽毛球俱乐部抽样、污水净化数据分析、塔楼高度测量等真实情境，考查数学抽象、数据分析与空间想象能力，注重基础与创新应用结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|复数虚部、分层抽样、面面关系|第7题结合骰子事件考查互斥与独立，体现数学思维的逻辑性| |多项选择题|3/18|向量模与夹角、折线图分析、正四棱锥性质|第11题以正四棱锥为载体，综合线面平行与二面角计算，凸显空间观念| |填空题|3/15|概率计算、解三角形应用、向量垂直|第13题通过测量情境考查正弦定理，体现数学语言的应用性| |解答题|5/77|复数纯虚数判定、频率分布直方图、立体几何折叠|第19题折叠问题分层设问，从证明线线垂直到体积计算再到存在性探究，梯度分明，培养理性精神|

· 2025级高一下学期第二次质量检测 · 数 学 试 题 2026.06 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1．若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为（    ） A．1 B． C．2 D．3i 2．某羽毛球俱乐部有队和队，其中队有名学员，队有名学员，为了解俱乐部学员的羽毛球水平，用比例分配的分层随机抽样的方法从该俱乐部中抽取一个容量为的样本，已知从队中抽取了名学员，则的值为（   ） A．40 B．35 C．25 D．20 3．设为两个平面，为两条直线，则下列结论中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 4．如图，已知中，为的中点，，若，则 A． B． C． D． 5．已知样本的方差为16，则样本，，，…，的标准差为（    ） A．8 B．64 C． D．33 6．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 7．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数为”，其中，2，3，4，5，6；“点数不大于4”，“点数大于4”，“点数为质数”，下列结论错误的是（    ） A．与互斥 B．和是对立事件 C．和相互独立 D．和相互独立 8．如图，在长方体中，，点E，F分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AEF，则动点P的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．若平面向量，满足，，则下列说法正确的是（    ） A． B．与的夹角为 C． D． 10．如图是某企业年至年的污水净化量(单位：吨)的折线图，则（    ）   A．这组数据的中位数等于平均数 B．这组数据的第60百分位数是55.5 C．污水净化量逐年递增 D．去掉2018年的污水净化量数据后，新数据的标准差会变小 第10题图 第11题图 11．如图，在棱长均相等的正四棱锥中，为底面正方形的中心，分别为侧棱的中点，则下列结论中正确的是（    ） A．平面 B． C．直线与直线所成角的大小为90° D．设平面底面，则二面角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．从，，，，中随机选个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为________． 13．如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 14．已知向量与的夹角为，，若，，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数的值． 16．（15分）从某高中学校1200名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第七组的人数为3. (1)求第六组的频率； (2)估计该校男生身高的中位数； (3)从样本身高属于第六组和第八组的男生中随机抽取两名，若他们的身高分别为，记为事件，求事件的概率. 17．（15分）如图，在中，，，，E，F，G分别为中点. (1)质点的初始位置在A处，每次等可能在相邻点间沿图中连线移动.求质点经过2次移动后到达E的概率； (2)将，，分别沿折起，使得点A，B，C重合于点P，质点的初始位置在P处，每次移动到距离为2，3，4的相邻点的概率分别为，，.求质点经过3次移动后回到P的概率. 18．（17分） 在中，角的对边分别为，且向量. (1)求角 ； (2)若 的面积为，点为边的中点，求的长. 19．（17分）如图所示，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D'AE的位置，使平面D'AE⊥平面ABCE. （1）求证：AD'⊥BE； （2）求四棱锥D'-ABCE的体积； （3）在棱ED'上是否存在一点P，使得D'B∥平面PAC？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 · 2025级高一下学期第二次质量检测 数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B C C A C D B ACD AD ABD 11．ABD【详解】连接，因为为底面正主形的中心，所以是的中点，又为侧棱的中点， 所以，又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 由于四棱锥的棱长均相等，所以，所以， 又，所以，故B正确. 由于分别为侧棱的中点，所以. 又四边形为正方形，所以，所以， 所以直线与直线所成的角即为直线与直线所成的角，即. 又为等边三角形，所以，故C错误. 又平面，平面，所以平面， 又，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 二面角与二面角相等， 连接，取的中点，连接，    因为，所以， 因为四棱锥是正四棱锥，为底面正方形的中心，所以平面， 又平面，所以，又，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 设正四棱锥的棱长为2，则，， 所以，所以二面角的余弦值为，故D正确. 三、填空题 12．/ 13． 14． 【详解】由题可知：不为零向量，， 化简为，所以，恒成立， 所以，则. 15．【详解】（1）若复数z是纯虚数，则，解得， 所以得. （2）当时，， 把代入方程， 得，整理得，， 所以，解得. 16．【详解】（1）因为第七组的人数为3，所以第七组的频率为：， 则第六组的频率为 （2）由图知：身高在的频率为， 身高在的频率为，身高在的频率为， 因为， 所以设这所学校男生的身高中位数为，则， 由，得，所以这所学校男生身高的中位数为174.5. （3）样本身高在第六组的人数为，设为， 样本身高在第八组的人数为，设为， 则从中随机抽取两名男生有：共15种情况，即， 当且仅当随机抽取的两名男生不在同一组时，事件发生， 所以事件包含的基本事件为共8种情况，即， 根据古典概型概率公式得. 17．【详解】（1）因为 ，所以 ， 由正弦定理得， 由余弦定理得 因为，所以. （2）因为，所以， 则即，又，所以， 则 ，所以.故. 所以，所以. 在 中，由余弦定理可得， 即. 18．【详解】（1）记事（1）质点经过2次移动后到达E只有两条路径，或， 由题意第一次运动到的概率都是，若第二次如果是从出发，则终点可能是， 所以此时运动到点的概率为，若第二次如果是从出发，则终点可能是， 所以此时运动到点的概率为，故所求概率为； （2）如图所示， 质点经过3次移动后回到P的路径共有6条，分别是：，， 这六条路径的共同特征是，都包含了边长为的线段各一条，而每次移动到距离为2，3，4的相邻点的概率分别为，，，故所求概率为. 19．【详解】（1）证明：根据题意可知，在矩形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，所以∠DEA＝∠CEB＝45°，所以∠AEB＝90°，即BE⊥AE. 因为平面D'AE⊥平面ABCE，且平面D'AE∩平面ABCE＝AE， BE⊂平面ABCE，所以BE⊥平面D'AE. 因为AD'⊂平面D'AE，所以AD'⊥BE. （2）如图所示，取AE的中点F，连接D'F，则D'F⊥AE，且D'F＝. 因为平面D'AE⊥平面ABCE，且平面D'AE∩平面ABCE＝AE， D'F⊂平面D'AE， 所以D'F⊥平面ABCE， 所以VD'-ABCE＝S四边形ABCE·D'F＝××（1＋2）×1×＝. （3）存在. 连接AC交BE于点Q， 假设在D'E上存在点P，使得D'B∥平面PAC，连接PQ. 因为D'B⊂平面D'BE，平面D'BE∩平面PAC＝PQ， 所以D'B∥PQ， 所以在△EBD'中，＝. 因为△CEQ∽△ABQ，所以＝＝， 所以＝＝，即EP＝ED'， 所以在棱ED'上存在一点P，使得D'B∥平面PAC，且EP＝ED'. 答案第4页，共4页 答案第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $