专题1.3 二次函数y=a（x-h)²(a≠0)和y=a（x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（知识梳理与考点分类讲解）-2025-2026学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（浙教版）

专题1.3 二次函数y=a（x-h)²(a≠0)和y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象与性质（3大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1.会用描点法画出二次函数，的图象．掌握抛物线与图象之间的关系； 2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题； 3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法． 二、【知识梳理】 【知识点1】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【知识点2】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【知识点3】二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、【题型目录】 【夯实基础】 【考点一】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）的图象与性质 【题型一】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性..............3 【题型二】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）增性减比较大小+求参数值........................3 【题型三】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）图象位置与参数关系..............................3 【考点2】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象和性质 【题型四】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性.............4 【题型五】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）增性减比较大小+求参数值.......................4 【题型六】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）图象位置与参数关系.............................5 【考点3】二次函数y=ax²（a≠0）与y=a（x-h）²+k（a≠0）的象之间的平移关系 【题型七】求二次函数y=ax²（a≠0）和y=a（x-h）²+k（a≠0）图象之间平移关系..............5 【拓展延伸】 【考点三】图象与性质综合 【题型八】求二次函数y=a（x-h）²（a≠0）和y=a（x-h）²+k（a≠0）图象与性质综合...........5 【题型九】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）和y=a（x-h）²+k（a≠0）图象与性质与几何综合.......6 4、 【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 【考点一】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）的图象与性质 【题型一】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性 ★【例题1】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 ★【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． ★【变式2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【题型二】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）增性减比较大小+求参数值 ★【例题1】（23-24九年级上·陕西延安·期末）已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． ★【变式1】（24-25九年级上·山西朔州·期中）若是抛物线上的三个点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接）． 【题型三】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）图象位置与参数关系 ★【例题1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． ★【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． ★【变式2】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为 ． 【考点2】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象和性质 ★【题型四】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性 ★【例题4】（24-25九年级上·广东中山·期中）探究二次函数及其图象的性质，请填空： （1）图象的开口方向是________； （2）图象的对称轴为直线________； （3）图象与y轴的交点坐标为________； （4）当x为何值时，函数y有最小值，并出求最小值． ★【变式1】（2025·山东潍坊·三模）关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 ★【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数． （1）求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）当取什么范围时，随的增大而增大？ 【题型五】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）增性减比较大小+求参数值 ★【例题5】（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ． ★【变式1】（24-25九年级下·江苏泰州·开学考试）已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 （用“”连接）． ★【变式2】（2025·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为抛物线上任意两点，其中．若对于，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型六】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）图象位置与参数关系 ★【例题6】（20-21九年级上·全国·单元测试）已知抛物线． （1）确定此抛物线的顶点在第几象限； （2）假设抛物线经过原点，求抛物线的顶点坐标． ★【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． ★【变式2】（2025·上海·模拟预测）若二次函数不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了轴上，那么新抛物线不可能经过第 象限． 【考点3】二次函数y=ax²（a≠0）与y=a（x-h）²+k（a≠0）的象之间的平移关系 【题型七】求二次函数y=ax²（a≠0）和y=a（x-h）²+k（a≠0）图象之间平移关系 ★【例题7】（2023九年级上·全国·专题练习）已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线． （1）求、的值； （2）写出抛物线的对称轴及顶点坐标． ★【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 ★【变式2】（2025·上海·模拟预测）若二次函数不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了轴上，那么新抛物线不可能经过第 象限． 【拓展延伸】 【考点三】图象与性质综合 【题型八】求二次函数y=a（x-h）²（a≠0）和y=a（x-h）²+k（a≠0）图象与性质综合 ★★【例题8】（2024九年级上·上海·专题练习）点、 在二次函数 的图象上，要比较、的大小，只要把、两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大小．如图，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，于是．试用上述方法解答下列问题：已知二次函数，当自变量分别取，， 时，对应的函数值分别为、、，则、、 的大小关系是 ． ★★【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ★★【变式2】（24-25九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线，点，，是抛物线上不同的三点． （1）若，直接写出a的值： （2）若对于任意的，都有，求a的取值范围． 【题型九】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）和y=a（x-h）²+k（a≠0）图象与性质与几何综合 ★★【例题9】（2025·甘肃陇南·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． （1）求点，，的坐标， （2）在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． ★★【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数的图象，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②当时，；③点的坐标为；④△周长的最小值是．正确的有 ． ★★【变式2】（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点，则下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④当时，． 其中正确的结论有 ．（填序号） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 二次函数y=a（x-h）²（a≠0）和y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象与性质（3大考点9类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 一、【学习目标】 1.会用描点法画出二次函数，的图象．掌握抛物线与图象之间的关系； 2.熟练掌握函数的有关性质，并能用函数的性质解决一些实际问题； 3.经历探索的图象及性质的过程，体验与、、之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法． 二、【知识梳理】 【知识点1】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【知识点2】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象和性质 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 向上 x=h 时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，有最小值． 向下 x=h 时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，有最大值． 【知识点3】二次函数的平移 1.平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2.平移规律： 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 三、【题型目录】 【夯实基础】 【考点一】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）的图象与性质 【题型一】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性..............3 【题型二】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）增性减比较大小+求参数值........................4 【题型三】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）图象位置与参数关系..............................6 【考点2】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象和性质 【题型四】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性............8 【题型五】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）增性减比较大小+求参数值......................9 【题型六】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）图象位置与参数关系...........................11 【考点3】二次函数y=ax²（a≠0）与y=a（x-h）²+k（a≠0）的象之间的平移关系 【题型七】求二次函数y=ax²（a≠0）和y=a（x-h）²+k（a≠0）图象之间平移关系............13 【拓展延伸】 【考点三】图象与性质综合 【题型八】求二次函数y=a（x-h）²（a≠0）和y=a（x-h）²+k（a≠0）图象与性质综合........15 【题型九】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）和y=a（x-h）²+k（a≠0）图象与性质与几何综合....19 4、 【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前带“★”难度系数0.85，“★★”难度系数0.65，“★★★”难度系数0.4. 【夯实基础】 【考点一】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）的图象与性质 【题型一】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性 ★【例题1】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线顶点式的性质． 根据抛物线的性质由得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，时随增大而增大，当时，随的增大而减小，判定即可． 解：∵ ∴ ∴抛物线开口向下，故A选项不符合题意； ∴对称轴为直线，故B选项符合题意； ∴顶点坐标为，故D选项不符合题意； ∴时随增大而增大，时随增大而减小．故C选项不符合题意； 故选：B． ★【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）有一个二次函数，三位同学分别说出了它的一些特点： A：函数图像的顶点在x轴上； B：当时，y随x的增大而减小； C：该函数图像的形状与函数的图像相同． 已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数关系式： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的函数图像与性质，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键，根据函数图像与性质，结合A、B、C三个选项可以求出符合题意的二次函数关系式； 解：根据A的描述可设二次函数关系式为， 根据C的描述可知，则， 再结合B的描述可得出，且， 所以满足上述所有性质的二次函数关系式可以是， 故答案为： （答案不唯一）． ★【变式2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． （1）求抛物线对应的函数表达式； （2）写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】（1）；（2）抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 解：（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 【题型二】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）增性减比较大小+求参数值 ★【例题1】（23-24九年级上·陕西延安·期末）已知抛物线，当自变量x的值满足时，与其对应的函数的最大值是，求h的值． 【答案】h的值为8或2 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的增减性是解题的关键．根据二次函数的性质，分和，两种情况进行讨论求解即可． 解：∵，顶点坐标为，， ∴在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小． ∵当时，与其对应的函数的最大值是， ∴在对称轴的同侧． ①当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． ②当，时，y取得最大值， ∴，解得或（舍去）． 综上所述，h的值为8或2． ★【变式1】（24-25九年级上·山西朔州·期中）若是抛物线上的三个点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为直线，根据二次函数的性质来判断纵坐标的大小即可． 解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，， ∴离对称轴最远，其次为，最近为， ∴， 故选：D． ★【变式2】（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知点，和都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质．根据二次函数解析式可得二次函数图象开口向下，对称轴直线为，根据二次函数增减性即可求解． 解：二次函数， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴离对称轴直线越远，值越小， ∵，，，， ∴， 故答案为：． 【题型三】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）图象位置与参数关系 ★【例题1】（23-24九年级上·上海·阶段练习）如果抛物线的开口向下，且直线不经过第四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，一次函数图象与系数的关系，根据二次函数的图像与性质以及一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 解：抛物线的开口向下， ， 直线不经过第四象限， ， ， 故答案为：． ★【变式1】（24-25八年级下·北京·期中）对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如下表所示： 根据二次函数图象的相关性质可知： ， ． 【答案】 4 5 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 解：对于二次函数和， 由表格中的数据得：当时，， 即； ， ∴； 当时，， 代入得，， ，代入得， 化简得，， 解得：或； 若，代入则可得，此情况不存在， 当时，代入则可得， 解得，符合， ∴，， ∴； 故答案为：4；5． ★★【变式2】（24-25九年级上·河北邯郸·阶段练习）已知二次函数（为常数），当时，函数最大值为0；当自变量满足时，其对应函数的最大值为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，先根据二次函数的性质得到当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，再分若，则当时，y最大，若，则当时，y最大，若，则最大值为0，三种情况根据最大值为进行求解即可． 解：∵， ∴二次函数（h为常数）当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小， 若，则当时，y最大，即，解得（舍去），； 若，则当时，y最大，即，解得，（舍去）； 若，则最大值为0，与题意不符； 由上可得，h的值是6或1． 故答案为：6或1． 【考点2】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）的图象和性质 【题型四】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性 ★【例题4】（24-25九年级上·广东中山·期中）探究二次函数及其图象的性质，请填空： （1）图象的开口方向是________； （2）图象的对称轴为直线________； （3）图象与y轴的交点坐标为________； （4）当x为何值时，函数y有最小值，并出求最小值． 【答案】（1）开口向上；（2）直线；（3）；（4）当时，有最小值 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； （1）根据解析式可得，即可求解； （2）根据顶点式，即可求解； （3）令，得出，即可求解； （4）根据解析式求得顶点坐标，即可求解． 解：（1）解：， ， ∴抛物线开口向上； （2）解：， ∴对称轴为直线； （3）解：， 当时， ∴图象与y轴的交点坐标为； （4）解：， 顶点坐标为， 当时，有最小值． ★【变式1】（2025·山东潍坊·三模）关于抛物线，下列说法中错误的是（   ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，根据所给顶点式即可逐个判断进而得解，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 解：由题意，抛物线为， 抛物线开口向上，对称轴是直线，顶点为，当时，随的增大而增大， 故A、C、B正确，均不符合，D错误，符合题意． 故选：D． ★【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期中）已知二次函数． （1）求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标； （2）当取什么范围时，随的增大而增大？ 【答案】（1）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标；（2） 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据二次项系数可判断开口方向，再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可； （2）利用开口方向和对称轴即可解答． 解：（1）解：二次函数中，， 二次函数开口向下， 对称轴为直线，顶点坐标为； （2）解：二次函数开口向下， 在对称轴的左侧随的增大而增大， 二次函数的对称轴为， 当时，随的增大而增大． 【题型五】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）增性减比较大小+求参数值 ★★【例题5】（24-25九年级上·河南漯河·阶段练习）已知二次函数，当时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据解析式得到顶点坐标和函数的增减性，进而确定函数值的取值范围即可． 解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，函数有最小值，在对称轴右侧y随x增大而增大，在对称轴左侧y随x增大而减小，且离对称轴越远，函数值越大， ∵，且当时，， ∴， 故答案为：． ★★【变式1】（24-25九年级下·江苏泰州·开学考试）已知二次函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为 （用“”连接）． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由点的横坐标到对称轴的距离判断点的纵坐标的大小．由二次函数可知对称轴为，图象开口向上，在对称轴两侧时，则的横坐标离对称轴越近，则纵坐标越小，由此可判断，，的大小． 解：二次函数的对称轴为，开口向上， 到坐标轴的距离为， 到坐标轴的距离为， 到坐标轴的距离为， ， ， 故答案为：． ★★【变式2】（2025·江西·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点为抛物线上任意两点，其中．若对于，都有，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据，可得，则可推出，据此可得，． 解：， ∴， ∴ ， ， ∴， 当时，都有，即都有， ， ． 故选：B． 【题型六】二次函数y=a（x-h）²+k（a≠0）图象位置与参数关系 ★★【例题6】（20-21九年级上·全国·单元测试）已知抛物线． （1）确定此抛物线的顶点在第几象限； （2）假设抛物线经过原点，求抛物线的顶点坐标． 【答案】（1）在第二象限；（2）（﹣1，1）． 【分析】（1）此题可以利用利用配方法求出抛物线的顶点坐标为（，），然后即可确定在第二象限； （2）因为抛物线经过原点，所以，解此方程即可求出，然后就可以求出抛物线顶点坐标． 解：（1）∵ ， ∵， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为（，），在第二象限； （2）∵抛物线经过原点， ∴， ∴， ∴， ∴顶点坐标为（﹣1，1）． 【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确利用配方法是解题的关键． ★★【变式1】（2024·陕西西安·模拟预测）若抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质； 将抛物线解析式化成顶点式，可得抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，然后根据题意得出关于m的不等式组，求解即可． 解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∵抛物线（m是常数）的图象只经过第一、二、四象限， ∴， ∴， 故选：C． ★★【变式2】（2025·上海·模拟预测）若二次函数不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了轴上，那么新抛物线不可能经过第 象限． 【答案】三与四 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到二次函数的顶点坐标为，根据平移后新抛物线的顶点坐标在轴上，得到新抛物线不可能经过第三、四象限． 解：二次函数不经过第三象限， 抛物线顶点坐标为，顶点可能在第一、二、四象限，图像过一、二象限或一、二、四象限，开口向上， 平移后新抛物线的顶点坐标在轴上， 新抛物线不可能经过第三、四象限， 故答案为：三与四． 【考点3】二次函数y=ax²（a≠0）与y=a（x-h）²+k（a≠0）的象之间的平移关系 【题型七】求二次函数y=ax²（a≠0）和y=a（x-h）²+k（a≠0）图象之间平移关系 ★★【例题7】（2023九年级上·全国·专题练习）已知抛物线向右平移个单位长度后得到抛物线． （1）求、的值； （2）写出抛物线的对称轴及顶点坐标． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题主要考查函数图像的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”是解题的关键． （1）根据函数图像平移的性质，得到，即可得到答案； （2）根据顶点式解析式直接回答即可． 解：（1）解：抛物线向右平移个单位长度， 得到的抛物线解析式， 即， 又， 解得， ，． （2）解：抛物线的对称轴是，顶点坐标是． ★★【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）要得到抛物线，可以将抛物线（   ） A．向右平移个单位，再向下平移个单位 B．向左平移个单位，再向下平移个单位 C．向左平移个单位，再向上平移个单位 D．向右平移个单位，再向上平移个单位 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．根据平移的规律：左加右减，上加下减可得答案． 解：与相比较横坐标减， 是向右平移个单位， 与相比较函数值减， 是向下平移个单位， 故抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位得到， 故选：A． ★★【变式2】（2025·上海·模拟预测）若二次函数不经过第三象限，且其经过平移后顶点落在了轴上，那么新抛物线不可能经过第 象限． 【答案】三与四 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据题意得到二次函数的顶点坐标为，根据平移后新抛物线的顶点坐标在轴上，得到新抛物线不可能经过第三、四象限． 解：二次函数不经过第三象限， 抛物线顶点坐标为，顶点可能在第一、二、四象限，图像过一、二象限或一、二、四象限，开口向上， 平移后新抛物线的顶点坐标在轴上， 新抛物线不可能经过第三、四象限， 故答案为：三与四． 【拓展延伸】 【考点三】图象与性质综合 【题型八】求二次函数y=a（x-h）²（a≠0）和y=a（x-h）²+k（a≠0）图象与性质综合 ★★【例题8】（2024九年级上·上海·专题练习）点、 在二次函数 的图象上，要比较、的大小，只要把、两点的横坐标分别代入这个函数表达式进行计算即可．下面介绍另一种比较方法：在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方，由此即可比较这两点纵坐标的大小．如图，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，于是．试用上述方法解答下列问题：已知二次函数，当自变量分别取，， 时，对应的函数值分别为、、，则、、 的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．在开口向上的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的上方；在开口向下的二次函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的下方． 解：二次函数， 二次函数对应的抛物线开口向下， 在该函数图象上，到对称轴距离较大的点在到对称轴距离较小的点的下方， 当自变量分别取，， 时， ， ． 故答案为：． ★★【变式1】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）设函数，，直线与函数，的图象分别交于点，，得（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，理解题意，画出图象，数形结合是解题的关键．根据题意分别画出，的图象，继而根据图象即可求解． 解：如图所示，若，则， 故A选项错误； 如图所示，若，则或， 故B、D选项错误； 如图所示，若，则， 故C选项正确； 故选：C． ★★【变式2】（24-25九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线，点，，是抛物线上不同的三点． （1）若，直接写出a的值： （2）若对于任意的，都有，求a的取值范围． 【答案】（1）；（2）或 【分析】题目主要考查二次函数的性质及利用函数图象求解，理解题意，结合函数图象求解是解题关键． （1）根据题意得出对称轴为，结合题意得出，即可求解； （2）设点B、关于对称轴对称，分两种情况：当时，当时，分别作出相应草图，结合图象求解即可． 解：（1）解：∵抛物线 ∴对称轴为， ∵， ∴点，关于对称轴对称， ∴， 解得：； （2）设点B、关于对称轴对称， 当时，如图所示，点A在对应抛物线的下方且在的右侧， 点C一定在对称轴左侧且在点的上方， ∴， ∴； 当时，如图所示，点A在的右侧且在的下方， 点C一定在B、上方的抛物线上， ∴， ∴； 综上可得：或． 【题型九】二次函数y=a（x-h）²（a≠0）和y=a（x-h）²+k（a≠0）图象与性质与几何综合 ★★【例题9】（2025·甘肃陇南·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，． （1）求点，，的坐标， （2）在抛物线上是否存在一点，使？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），，；（2）存在，或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线上点的坐标的特征，抛物线与坐标轴的交点，一次函数，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）分别令，，利用解析式解答即可； （2）先求出，过点作所在直线于点，设，则，利用铅锤法得出，列式求解即可． 解：（1）解：令，得， 则， 令，得， 解得：，， ∴，； （2）解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，过点作所在直线于点， 设，则， 则， 则， 同理当点在抛物线上段时，， 当点在抛物线上点右侧时，， 综上，， 则， ∴， 即， 当时，解得，， 分别代入， 得，， 即点的坐标为或； 当时，由，无解； 综上所述，点的坐标为或． ★★【变式1】（24-25九年级上·福建厦门·期中）如图，已知二次函数的图象，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②当时，；③点的坐标为；④△周长的最小值是．正确的有 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，由图象及二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断①；进而由函数图象可知，当时，图象位于轴下方，即可判断②；把代入函数解析式求出的值即可判断③；作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴相交于点，可得△周长，此时△周长的最小，利用勾股定理求出得到△周长的最小值，即可判断④，掌握以上知识点是解题的关键． 解：∵由函数图象可得，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∴关于的方程的解是，，故①正确； 由函数图象可知，当时，图象位于轴下方， ∴当时，，故②正确； 把代入得，， 解得， ∴， 当时，， ∴点的坐标为，故③正确； 作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴相交于点，则，， ∴△周长，此时△周长的最小， ∵，， ∴， ∴△周长的最小值，故④错误； 综上，正确的有①②③， 故答案为：①②③． ★★【变式2】（24-25九年级上·天津·阶段练习）如图，抛物线与交于点，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于B，C两点，且D，E分别为顶点，则下列结论：①；②；③是等腰直角三角形；④当时，． 其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了二次函数的性质．把点A坐标代入，求出a的值，即可判断①；得到函数解析式，将代入，求出点C的横坐标，然后求出点E的坐标即可求出和的长，从而判断②；将代入，求出点B的坐标然后求出的长，利用勾股定理的逆定理即可判断③；求出两个二次函数图象另一个交点坐标，结合图象即可判断④． 解：抛物线与交于点， ∴， 解得：，故①正确； 将代入中，得 ， 解得：，， ∴点C的坐标为， ∴， ∵E是抛物线的顶点， ∴， ∴， ∴，故②错误； 将代入， 解得：，， ∴， 则， ∵点D是抛物线的顶点， ∴， ∴，， ∴在中，，， ∴是等腰直角三角形，故③正确； ∵联立， 解得：或， ∴两个抛物线的交点为和， 由图象可知：当时，，故④错误． 故答案为：①③． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$