第03讲 二次函数的性质（暑假预习讲义）新九年级数学新教材浙教版

第03讲 二次函数的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数的图象与性质 题型2 二次函数的增减性 题型3 二次函数的最值 题型4 二次函数的对称性 题型5 二次函数性质的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数的性质 开口方向 对称轴、顶点坐标 增减性 最大值、最小值 图象与坐标轴交点 数形结合 实际问题应用 1.掌握根据二次函数表达式求出图象的顶点坐标、对称轴以及与坐标轴交点坐标的方法，能画出二次函数的大致图象。 2.理解并掌握二次函数的增减性，能准确描述在对称轴两侧当自变量x增大时函数值 y 的变化趋势。 3.掌握二次函数最值的概念，会根据二次项系数 a 的正负判定函数的最大值或最小值，并能熟练计算最值及对应的自变量的值。 4.会利用二次函数的对称性与增减性，在不代入具体计算的情况下，熟练比较抛物线上多点对应的函数值大小。 5.经历将现实生活中的抛物线轨迹抽象为二次函数模型的过程，会结合自变量的实际取值范围，利用二次函数的性质解决求最大高度等实际应用问题。 学习重点：二次函数的图象性质，抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标的确定，二次函数增减性的判断，最大值或最小值的求法，以及利用图象关键要素画出二次函数的大致图象。 学习难点：理解二次函数图象的对称轴与增减性之间的关系，能根据 a 的符号和对称轴正确判断函数的变化趋势；会准确求出二次函数的最大值或最小值，并能在实际问题中结合自变量取值范围分析函数的性质。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的简易画法 1．一般方法 列表、描点、连线 2．简易画法：五点定形法 步骤： (1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴； (2)求抛物线与坐标轴的交点； 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 即时即练已知二次函数． (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)画出该函数的大致图象． 【答案】(1)与轴的交点坐标为和，与轴的交点坐标为 (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． （1）将、分别代入函数解析式，计算求解即可； （2）求出函数的对称轴，通过描点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解；令得，， 则与轴的交点坐标为， 令得， 解得或， 则与轴的交点坐标为和； （2）解：根据题意得，二次函数， 由（1）知，该函数图象经过点、和， 其对称轴为， 令，则， 则顶点坐标为， 因此，二次函数图象如下： 【易错提醒】 （1）当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图； （2）如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象。 知识点02 二次函数的最大（小）值 二次函数的最大（小）值 对于二次函数，在自变量的取值范围内，函数值满足（或)，且等号能成立，我们就说函数有最小值（或最大值）。 方法：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当时，． 即时即练已知二次函数y＝x2﹣6x+1，关于该函数在﹣1≤x≤4的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值8，最小值﹣8 B．有最大值8，最小值﹣7 C．有最大值﹣7，最小值﹣8 D．有最大值1，最小值﹣7 【答案】A 【分析】把函数解析式整理成顶点式解析式的形式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】∵y＝x2﹣6x+1＝（x﹣3）2﹣8， ∴在﹣1≤x≤4的取值范围内，当x＝3时，有最小值﹣8， 当x＝﹣1时，有最大值为y＝16﹣8＝8． 故选A． 【易错提醒】 （1）顶点处取最值的结论仅适用于自变量为全体实数的情况；若题目限定了 x 的取值区间，必须先判断对称轴是否在区间内，再结合开口方向与函数单调性，比较顶点和两个区间端点的函数值，最终确定最大值与最小值。 知识点03 二次函数的性质 1.二次函数的性质 根据二次函数的表达式，可以求出图象的顶点坐标、对称轴，以及图象与x轴、y轴的交点坐标等，由此能画出函数的大致图象，并得到这个二次函数的有关性质。 2．二次函数图象的特征与a、b、c及的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 备注 a a＞0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)。 a＜0 开口向下 b ab＞0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异中间0 ab＜0(a，b异号) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置 c＞0 与y轴正半轴相交 c＜0 与y轴负半轴相交 b2-4ac b2-4ac=0 与x轴有唯一交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 b2-4ac＞0 与x轴有两个交点 b2-4ac＜0 与x轴没有交点 即时即练1抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，需明确抛物线增减性的影响因素，抛物线增减性由开口方向和对称轴位置共同决定，根据二次函数性质分析各参数的作用即可得到结果； 【详解】解：∵抛物线的开口方向由决定，开口方向决定整体增减趋势；抛物线的对称轴为直线，对称轴位置由和共同决定；抛物线的增减性以对称轴为分界，因此增减性由共同决定；只决定抛物线与轴的交点位置，仅上下平移抛物线，不改变开口方向和对称轴位置，不影响增减性∴能决定抛物线增减性的是． 即时即练2已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】首先根据开口方向，对称轴和与y轴的交点位置判断出a，b，c的正负，然后结合图象逐项判断即可． 【详解】解：①∵二次函数图象开口向下 ∴ ∵二次函数的对称轴在y轴左边 ∴ ∴ ∵二次函数图象与y轴交于正半轴 ∴ ∴，故①错误； ②由图象可得，当时，，故②错误； ③由图象可得，当时，y随x的增大而增大，故③正确； 由二次函数图象的对称性可得，当时，，故④正确； 综上所述：正确的有2个． 【易错提醒】 （1）“左同右异”是判断b符号的核心规则：对称轴在y轴左侧，a、b同号；对称轴在y轴右侧，a、b异号；对称轴为y轴时b=0。 （2）的多结论判断题，要学会利用特殊值来求函数值，如当x=1时，函数值为a+b+c；当x=-1时，函数值为a-b+c；通过对应横坐标的图象位置，直接判断代数式的正负。 （3）判断区间内的增减性，必须以对称轴为唯一分界，不能直接用 x>0 或 x<0 判断。 （4）出现仅含 a、b 的代数式（如 2a+b、2a-b），直接结合对称轴公式推导：若对称轴为直线 x=1， 则，可得b=-2a，即2a+b=0；若对称轴为x=-1，则b=2a，即2a-b=0。 题型1 二次函数的图象与性质 【例1】二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 【例2】已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 【易错提醒】 （1）按“定 a→判 b→看 c”的顺序推导：先由开口方向确定a的正负，再用“左同右异”口诀结合a的符号判断b的符号，最后根据抛物线与 y 轴交点确定 c 的符号； （2）比较函数值大小时，结合开口方向，通过点到对称轴的水平距离直接判断大小，无需代入计算。 （3）解决多结论判断题，核心用好两个工具：一是特殊 x 值对应法，x=1、x=-1分别对应代数式a+b+c、a-b+c，结合图象对应点的纵坐标正负直接判定；二是对称轴公式联动法，由对称轴数值推导a与b的等量关系，代入即可验证含 a、b、c 的复合代数式。 【变式1-1】二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出二次函数与轴的交点坐标为，即可排除A选项，再分两种情况，分别分析对称轴的位置，即可得出结果． 【详解】解：在中，当时，，故二次函数与轴的交点坐标为，故A选项不符合题意； 当时，对称轴为直线，在轴的右侧，故B选项不符合题意； 当时，对称轴为直线，在轴的左侧，故C选项不符合题意，D选项符合题意． 【变式1-2】已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向上的抛物线的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，计算各点到对称轴的距离即可比较y的大小． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，，，，， ∴． 题型2 二次函数的增减性 【例3】在二次函数的图象上，y随x的增大而增大，则x的取值范围：（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质即可求解． 【详解】∵二次函数的开口向下， ∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大． ∵二次函数的对称轴是， ∴． 故选：A． 【例4】已知二次函数． (1)把这个二次函数化成的形式； (2)画出这个二次函数的图像，并利用图像直接写出当时，的取值范围为______；当______时，随的增大而减小；当时，的范围是______． 【答案】(1) (2)或，， 【分析】（1）将进行配方即可； （2）根据列表，描点，连线的步骤即可画出该函数图形，根据图象即可进行解答． 【详解】（1）解：根据题意可得：； （2）解：列表如下： x …… 0 1 2 3 4 …… y …… 3 0 0 3 …… 函数图形如图所示： 由图可知： 当时，的取值范围为或； 当时，随的增大而减小； 当时，的范围是； 故答案为：或；；． 【易错提醒】 （1）增减趋势与开口方向：对称轴左侧递减、右侧递增”仅适用于a>0（开口向上）的二次函数；若a<0（开口向下），则对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小。 （2）验证对称轴与区间的位置：面对带字母系数的解析式、或给定自变量范围的问题时，容易默认对称轴在区间内，或直接套用全域顶点结论。尤其是交点式、含参函数，必须先准确求出对称轴，再判断目标区间在对称轴的左侧、右侧，还是跨对称轴，否则极易算错最值与增减区间。 （3）边界法反推参数范围：已知某区间内函数单调，求参数取值范围时，直接让对称轴落在给定区间的外侧边界处，列不等式求解。例如：开口向上的函数在时单调递增，只需满足对称轴，即可解出对应参数范围。 【变式2-1】已知二次函数（a为常数，且），下列结论一定正确的是（ ） A．若，则时，y随x的增大而增大 B．若，则时，y随x的增大而减小 C．若，则时，y随x的增大而增大 D．若，则时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，求出对称轴再结合a的符号判断范围是解题关键． 令，求出x进而求出对称轴，再根据a的符号判断即可． 【详解】解：，解得或a， 对称轴为直线， A． 若，当时，时，y随x的增大而减小；时， 时，有y随x的增大而减小的情况，故此选项错误； B． 若，只有当时，则时，y随x的增大而增大成立，故此选项错误； C． 若，开口向下， ，图象完全在对称轴的左侧，则时，y随x的增大而增大，故此选项正确； D． 若，则时，y随x的增大而增大，故此选项错误； 故选：C． 【变式2-2】已知二次函数． (1)当点在二次函数的图象上，求此函数图象的对称轴； (2)在（1）的基础上，若，当时，求函数的最大值与最小值； (3)若该函数当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则的取值范围是_____． 【答案】(1)直线； (2)，； (3)． 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，掌握对称轴的公式和二次函数的增减性是解题的关键． （1）将代入，求出，再根据对称轴的公式求解即可； （2）将代入（1）中，求出解析式并配成顶点式，求出对称轴，根据，判断开口向上，求出最小值，再根据，将、代入解析式求出函数值并比较，即可求出最大值； （3）先求出二次函数的对称轴，根据，判断开口向上，判断二次函数的增减性，再结合题意得出，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上， ∴，解得：， ∴二次函数的解析式为， ∴此函数图象的对称轴为直线； （2）由（1）的二次函数的解析式为， ∵， ∴二次函数的解析式为， ∵， ∴时，有最小值，， ∵， ∴当时，，当时，， ∵， ∴当时，有最大值，， 综上，，； （3）∵二次函数的对称轴为直线， 又∵， ∴在直线的左边，随的增大而减小，在直线的右边，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ∴， 解得：． 题型3 二次函数的最值 【例5】二次函数（b为常数）的图象经过点，且对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为（ ） A．4 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】先将已知点代入函数解析式求出b的可能值，再根据对称轴位置筛选出符合条件的b，求出函数解析式，即可求解最值． 【详解】解：因为二次函数的图象经过点 所以 解得或 因为对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴公式为，本题中 所以 所以舍去，得 所以解析式为 配方得 因为 所以该二次函数的最小值为4． 【例6】在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的纵坐标相等，建立方程解答即可； （2）由（1）知，把二次函数转化为，结合函数的最大值为，确定a值即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象过点， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∴． （2）解：由（1）知， 故二次函数转化为， 则， ∵函数的最大值为， ∴二次函数图象开口向下，即，且， 整理，得， 解得或（舍去）， 故． 故抛物线的解析式为． 【易错提醒】 （1）二次函数顶点处取最值的结论仅适用于自变量为全体实数的场景。若题目限定了 x 的取值区间，必须先判断对称轴是否在区间内；若对称轴不在区间内，最值只会出现在区间端点，顶点函数值并非该区间的最值，这是区间最值题最高频的出错点。 （2）二次函数的常数项仅负责图象整体上下平移，不会改变函数值的落差。形如“最大值减最小值”的差值，只与二次项系数a、对称轴位置有关，与常数项无关，解题时易错误认为所有系数都影响差值。 （3）区间最值标准三步法 ① 求对称轴：用公式或配方法确定对称轴直线； ② 定位置：判断对称轴落在给定区间的左侧、内部、右侧； ③ 算最值：结合开口方向，分别计算顶点、区间两端点的函数值，比较后确定最大值与最小值。 【变式3-1】若函数在的最大值是，最小值是，则（ ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【答案】B 【分析】将二次函数配方后，分情况讨论对称轴与的位置关系，计算即可判断结果． 【详解】解：对二次函数配方得，，抛物线开口向上，对称轴为直线， 当，即 时，函数在，随着的增大而增大， ∴当时，有最小值，时，有最大值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数在，随着的增大而减小， 当时，有最大值，时，有最小值， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含； 当，即 时，函数最小值为顶点纵坐标，最大值在处取得， ， ，结果不含， 综上，所有情况的都只与有关，不含，因此与有关，与无关． 【变式3-2】在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． (1)求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． (2)当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． 【答案】(1)顶点坐标为，当时，随的增大而增大. (2)的值为或. 【分析】（1）把二次函数解析式化成顶点式即可求解； （2）结合开口方向以及函数的对称轴再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵二次函数， 化成顶点式为：， 故抛物线的顶点坐标为：，当时，随的增大而增大； （2）解：由（1）得：抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减少； 令，则， 解得：，， ∴抛物线与轴的交点为：，； ∵， ∴当时，则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴， 解得：或，（此时不符合题意，舍去） 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∴函数的最大值与最小值之和为，不符合题意舍去， 当时， 则函数取最大值，最大值为， 当时，函数取最小值，最小值为， ∵函数的最大值与最小值之和为， ∴ ， 解得：或，（此时不符合题意，舍去，） 综上：或. 题型4 二次函数的对称性 【例7】已知二次函数与轴的其中一个交点坐标为，该函数的对称轴为直线，则它与轴的另一个交点坐标为_____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是抛物线的对称性，根据抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称可得答案. 【详解】解：∵二次函数与轴的其中一个交点坐标为，该函数的对称轴为直线， ∴设另一个交点的横坐标为，则根据对称性有，解得，即它与轴的另一个交点坐标为， 故答案为：． 【例8】如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设抛物线与轴的另一个交点为，连接，，根据解析式求得的坐标，根据轴对称的性质得出，继而得出取得最小值，最小值为的长，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设抛物线与轴的另一个交点为，连接，， ∵，令， 即， 解得：， ∴, 令，解得， ∴， ∵点是对称轴上的一个动点， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 即， 故选：D． 【易错提醒】 （1）抛物线与 x 轴的两交点关于对称轴对称，记住 “两倍轴减已知点”：已知一个交点横坐标和对称轴h，另一个交点横坐标直接用计算，无需列方程，可快速口算。 （2）在对称轴上求动点使线段和最小的题型中，核心是利用“对称点到动点的距离相等”进行转化。 【变式4-1】如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（ ） A．0 B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的对称性，代数式求值，先求出点关于对称轴的对称点，代入抛物线解析式即可求解． 【详解】解：对称轴是直线， 点关于对称轴的对称点为，即， 将代入，得：， 故选：A． 【变式4-2】如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C，且抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式及A，B两点坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH的值最小，并求出点H的坐标； 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将代入抛物线解析式，求得c，从而求得抛物线解析式，令得一元二次方程，解方程，进一步求得结果； （2）点B是点A关于抛物线的对称轴的对称点，连接交对称轴即为点H，可求的解析式，将代入，求得H点纵坐标，进而求得H点坐标； 本题考查了求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是需要较强的计算能力． 【详解】（1）解：将点代入得 ∴， ∴抛物线的解析式是：， 令，即：， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵点在抛物线对称轴上， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，最小，此时点为与抛物线对称轴的交点， 设直线的解析式是：， ∴， ∴ ∴， 当时，， ∴． 题型5 二次函数性质的综合应用 【例9】已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①；②当时，一定有y随x的增大而增大；③当四边形为平行四边形时，；④若点D横坐标的最小值为，则点C横坐标的最大值为3，其中正确的是（ ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据顶点在线段上抛物线与轴的交点坐标为可以判断出的取值范围，得到①正确；当顶点运动到轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；令，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得，然后列出方程求出的值，即可判断③正确；当顶点在点时，能取到最小值，当顶点在点时，能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点的横坐标，判断出④正确． 【详解】解：点，的坐标分别为和， 线段与轴的交点坐标为， 又抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为， ，顶点在轴上时取“”，故①正确； 抛物线的顶点在线段上运动，开口向上， 当时，一定有随的增大而增大，故②错误； 令，则， ， 根据顶点坐标公式，， ，即， ， 四边形为平行四边形， ， ， 解得，故③正确； 若点的横坐标最小值为，则此时对称轴为直线，点的横坐标为，则， 抛物线形状不变，当对称轴为直线时，点的横坐标为3， 点的横坐标最大值为3，故④正确． 综上所述，正确的结论有①③④． 故选：D． 【例10】如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（ ） A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【分析】①由抛物线经过点，可得对称轴；②用待定系数法求出抛物线的函数关系式，再求其最大值即可；③由抛物线求得A、B、C的坐标，再求出BC，AC和AB，由勾股逆定理即可得到∠ACB是直角；④当OP⊥AC时，OP取最小值，根据等面积求得OP即可． 【详解】解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， 故①正确； 设抛物线关系式为：， ∵抛物线经过点， ∴-4a=2，解得：， ∴抛物线关系式为：， ∴当时，y有最大值， 故②错误； ∴点B坐标为（-1，0），点A坐标为（4，0）， ∴AB=5． 当x=0时，y=2， ∴点C坐标为（0，2）， ∴， ∵， ∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°， 故③正确； 当OP⊥AC时，OP取最小值， 此时根据三角形的面积可得， ∴， 解得OP=， ∴OP的最小值为． 故④正确； 故正确的有：①③④， 故选：D． 【易错提醒】 （1）当抛物线顶点沿水平方向运动时，对称轴位置随之变化，极易忽略对称轴的变动范围，错误判断函数的增减区间（如误认x>0时y一定递增）；同时在判断与y轴交点c的取值范围时，易忽略顶点位置对c的影响，出现方向性错误。 （2）在实际场景的抛物线问题中，易忽略坐标的实际正负含义（如下方着陆点纵坐标为负），代入解析式时符号出错；在几何综合题中，用勾股逆定理判断直角、等面积法求最短距离时，注意边长计算、平方运算要避免失误。 【变式5-1】如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中正确结论的序号是_______．（所有正确的序号都填上） 【答案】①② 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，二次函数的性质，坐标与图形的性质等知识．中令得：，得，从而判断①；中令得：，得，从而判断②；过点作轴，交于点，求出的函数关系式，得出点的坐标为，点的坐标为，再列出S关于m的函数关系式，最后求出其最大值，从而判断③． 【详解】解：∵抛物线与x轴相交于于点，， ∴令得：， 解得：， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与y轴相交于于点C， ∴令得：， ∴， ∴，故②正确； 过点作轴，交于点，如图1所示． 设直线的解析式为， 将、代入， 得，解得， 直线的解析式为． 点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动， 点的坐标为，则点的坐标为， ， ， 当时，面积取最大值，最大值为．故③错误， 故答案为：①②． 【变式5-2】2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，． 求： (1)该抛物线的函数表达式； (2)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离的长． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)的长约为米 【分析】（1）由抛物线的顶点可设出抛物线的顶点式，将点A的坐标代入即可得出结论； （2）根据勾股定理可得出和的长，进而得出点D的坐标，由的长为点D的横坐标减去的长可得出结论． 【详解】（1）解：∵抛物线最高点B的坐标为， ∴设抛物线的解析式为：， ∵， ∴，解得． ∴抛物线的解析式为：． （2）在中，，米， ∴米，米． ∴点D的纵坐标为， 令， 解得，， ∵D在对称轴右侧， ． 米， ∴的长约为米． A组 基础过关 1．抛物线经过点，则________． 【答案】/ 【分析】将已知点的坐标代入抛物线解析式，通过整理变形即可求出所求代数式的值． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得， 移项得， 等式两边同时除以，得． 2．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较三个点的距离即可得到结果． 【详解】解：抛物线解析式为，其中二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 三个点的横坐标到对称轴的距离为：，，， ， ． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度后，抛物线的顶点坐标为，则，的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方得到顶点式，确定原顶点坐标，再根据抛物线平移“左加右减自变量，上加下减常数项”的规律，结合平移后顶点为列方程求解． 【详解】解： ∴原抛物线的顶点坐标为 将抛物线向右平移2个单位长度，向下平移个单位长度后，新顶点坐标为 ∵平移后顶点坐标为 ∴列方程组得： 解得． 4．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 【答案】 【分析】先根据二次函数解析式确定开口方向和对称轴，利用开口向下的二次函数的性质，比较各点到对称轴的距离，即可得到函数值的大小关系． 【详解】解：二次函数中，， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ， ． 5．若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由二次函数图像开口向下得出，再根据对称轴在轴右侧推出，最后结合一次函数的特征，判断图像即可． 【详解】解：∵开口方向：抛物线开口向下， ∴， ∵从图中可知对称轴在轴右侧， ∴根据对称轴公式，得， ∵， ∴ ， 分析一次函数的图像： ，说明直线从左上到右下； ，说明直线与轴交于正半轴； 故符合这两个特征的是选项C． 6．关于x的二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与反比例函数的图象综合，先理解题意，再进行分类讨论，分别得出当时，则的开口方向向上，与轴的交点在正半轴，且经过第二、四象限；当时，则的开口方向向下，与轴的交点在正半轴，且经过第一、三象限；再结合选项，进行分析，即可作答． 【详解】解：当时，， 则的开口方向向上，与轴的交点在正半轴，且经过第二、四象限； 当时，， 则的开口方向向下，与轴的交点在正半轴，且经过第一、三象限； 观察四个选项，唯有C选项符合题意； 故选：C 7．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 8．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键在于根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点个数判断判别式的符号． 【详解】解：∵二次函数的图象的对称轴为直线，且对称轴在轴右侧，即， ∴； ∵二次函数的图象与轴有两个交点， ∴对应的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 综上，，，故选：D． 9．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 【答案】/ 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应的函数值越大， 分别计算三点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 10．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（ ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 【答案】C 【分析】此次实心球训练的成绩就是抛物线与轴交点的横坐标，即当时，求的值即可． 【详解】解：当实心球落地时，， 即， 解得，， 因为水平距离不能为负数， 所以舍去， 则此次实心球训练的成绩为米． B组 综合提升 11．已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数图象与x轴有交点，利用判别式大于等于0求出a的范围，再求出抛物线对称轴，结合开口方向和时，y随x的增大而增大的性质，得到对称轴的限制条件，最后取两个范围的交集得到结果． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴有交点， ∴， 解得：， 又∵当时，y随x的增大而增大，且抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴对称轴满足，解得， ∴a的取值范围是． 12．如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（ ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据二次函数的图像和性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵图像与轴交于点，对称轴为直线， ∴图像与轴的另一个交点为， ∴当时，，故正确； 由图像与轴交另一个点为， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故错误； ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为：， ∴， ∴，故正确； 由得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上可得：正确． 13．已知一个二次函数（、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（ ） A． B．该函数的最小值为 C．该函数图象不经过第三象限 D．该函数图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】先利用表格中的对应点求出二次函数的解析式，再根据二次函数的性质逐一判断各选项，找出错误结论即可． 【详解】解：由表格可知当时，，当时，； ∴， 解得， ∴二次函数解析式为， 、，结论正确，不符合题意； 、由，则函数开口向上， ∵对称轴为， ∴将代入得， ∴函数最小值为，结论正确，不符合题意； 、当时，，， ∴恒成立，函数与轴交点都在正半轴，图象不经过第三象限，结论正确，不符合题意； 、由选项得函数对称轴为直线，不是，结论错误，符合题意． 14．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 15．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象可得，根据二次函数的图象与轴有两个交点可得，继而得到一次函数的图象所在的象限，根据当时，，由函数图象可知，继而得到反比例函数所在的象限，继而得到答案． 【详解】解：∵二次函数的部分函数图象开口向上， ∴， ∵二次函数的部分函数图象顶点在轴下方，开口向上， ∴二次函数的图象与轴有两个交点，即， ∴一次函数的图象位于第一，二，三象限， ∵由二次函数的部分函数图象可知，当时，，即点在轴上方， ∴， ∴的图象位于第一，三象限．故图象正确的是D． 16．已知是不等于的常数，反比例函数与二次函数在同一坐标系的大致图象如图，则它们的解析式可能分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象位于第二、四象限判断出比例系数小于零，再根据二次函数图象开口向下，顶点坐标在轴坐标轴解答． 【详解】解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴比例系数小于0， 若，则反比例函数解析式为，二次函数解析式为； 若，则反比例函数解析式为，二次函数解析式为; 故仅选项A满足上述其中一种可能． 17．已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设， ， 由图象知，， ， y的图像开口向上，与y轴负半轴相交，选项D，不符合题意； 由图象知： 时，，，，选项C，不符合题意； 时，与相交，即， ∴时，，即与x轴交点是，选项B，不符合题意； 所以选A． 18．如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 【答案】③④ 【分析】对于①，由图可知，，，，则；对于②，结合图可知，当时，，则；对于③，利用对称轴公式进行计算即可；对于④，由和可得，则． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线过点和， ∴对称轴为直线，故③正确， ∴，即， ∵抛物线交轴于负半轴， ∴， ∴，故①错误， 由图可知，当时，， ∴，故②错误， ∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为③④． 19．已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． 【答案】(1) （ⅰ）；（ⅱ） (2) 成立，理由见解析 【分析】（1）（ⅰ）因为抛物线的函数值相等的两个点关于对称轴对称，所以取B、C两点横坐标的平均值即可得到对称轴；（ⅱ）因为抛物线开口向下，所以点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小，计算A、C两点到对称轴的距离，比较距离大小后即可判断函数值大小； （2）首先如果，那么代入可得到和的关系，进而求出抛物线的对称轴；再根据和，可确定的符号；之后计算的表达式，结合的条件和对称轴的位置，判断的符号，即可验证结论是否成立． 【详解】（1）（ⅰ）∵，且抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，点、， ∴对称轴为：； （ⅱ）到对称轴的距离：，到对称轴的距离：， ∵，开口向下， ∴点离对称轴越远纵坐标越小， ∵， ∴； （2）解：成立，理由如下： ∵，将代入抛物线得：， 整理得， ∴对称轴为：， ∵，开口向下， ∴当时，随增大而减小， 又∵ ， ∴， ∵， ∴异号， 结合得：， ∴． 20．在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值为 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标，直接设顶点式；把已知点代入解析式求出系数a，即可得到抛物线表达式． （2）设两点横坐标相同，分别写出P、Q坐标；用上方点纵坐标减下方点纵坐标列出线段的二次函数关系式；对二次式配方，结合开口方向与自变量取值范围，求出最大值． 【详解】（1）解：由题意，得该抛物线的顶点坐标为．点的坐标为． 设这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为， 将点代入，得 ， 解得， ∴这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式为； （2）解：∵点，分别在抛物线和抛物线上， ∴设点的坐标为（），点的坐标为， ． ，， ∴当时，的最大值为． C组 挑战突破 21．若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B． ①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点； ②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为． 其中正确的是 ___．（填序号） 【答案】①③ 【分析】①联立抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2，然后根据韦达定理可进行判断；②根据二次函数的增减性可直接进行判断；③根据图象平移可直接进行求解；④由题意画出函数图象，进而作点B关于y轴的对称点，作点C关于x轴的对称点，连接与x轴、y轴分别交于D、E两点，最后问题可求解． 【详解】解：联立抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2可得：， 其中， ∴此方程有两个相等的实数根， ∴抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且，开口向下， ∴根据抛物线的性质可知离对称轴越近，所对应的函数值越大， ∵点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上， ∴，故②错误； 由将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为： ，故③正确； 当m＝1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+2， ∴， 作点B关于y轴的对称点，作点C关于x轴的对称点，连接与x轴、y轴分别交于D、E两点，如图所示： ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，知最短，而BC长度一定， ∴此时四边形BCDE的周长为+BC最小， 由两点距离公式可得：， 故④错误； 综上所述：正确的有①③； 故答案为①③． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及轴对称，熟练掌握二次函数的图象与性质及轴对称是解题的关键． 22．如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的应用．结合图形得到动点P在各个拐点时S与t的值是解决本题的关键． 当点P在上时，易得，整理可得S与t的函数关系式，求得当时，t的值，即可求得当点P在点B时时，．进而根据图2中的顶点坐标为，用顶点式表示出图2中S与t的关系式，把代入可得a的值，进而取．求得t的值，得到点P在点A时面积为，进而求出t的值，则可以求得的长，根据勾股定理可得的长，则可求得的周长． 【详解】解：当点P在上时，在中，，， ． 当时，． 解得 (取正值)， ． 图2中的抛物线经过点． 由图象可知，图2中的抛物线顶点为． 设抛物线解析式为：． 将代入，得，解得：． ． 当时，， 解得或 (舍去)． ． 在中，由勾股定理得：． 的周长为． 故答案为；． 23．如图1是一个花坛，将其抽象为如图2所示的平面图，图2中花坛的外轮廓可看作由抛物线和线段组成，已知，是的中点，花坛的最大深度，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点、是花坛下方支架与花坛的两个接触点（即点、在抛物线上），且、关于轴对称，若点到水平地面的距离为，、两点之间的距离为，轴，求点到水平地面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先根据题意 点C的横坐标为，把代入，求出点C到的距离为，根据点到水平地面的距离为，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：，，， 设抛物线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵点、在抛物线上，且、关于轴对称，、两点之间的距离为， ∴点C的横坐标为， 把代入得：， ∴点C到的距离为， ∵轴， ∴， ∵点到水平地面的距离为， ∴点到水平地面的距离为． 24．如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，求出点P的坐标．再设抛物线L的解析式为：，将代入，求出a的值，即可求出抛物线L的解析式； （2）由“抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同”，可知，由此可得抛物线G的解析式为：，根据抛物线G经过点和点，运用待定系数法，将点和点代入抛物线G的解析式中，求出b和c的值，从而求出抛物线G的解析式； （3）由抛物线L的解析式，先写出平移后的解析式，再结合题意，将点A坐标与点B坐标分别代入平移后解析式中，求出k的值，最后结合函数图象分析出k的取值范围． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线L的顶点为，且经过原点，根据抛物线的对称性，点O与点P关于对称轴对称， 设， 则， 解得：， ∴点P的坐标为． 设抛物线L的解析式为：，将代入， 得：， 解得：， ∴抛物线L的解析式为：， 即． （2）解：∵抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同， ∴抛物线G的二次项系数与抛物线L的二次项系数相同， 即， ∴抛物线G的解析式为：， ∵抛物线G经过点和点， ∴将点和点代入抛物线G的解析式中， 得：， 解得：， ∴抛物线G的解析式为：． （3）解：∵抛物线L的解析式为：， ∴将其向右平移k个单位后，解析式为：， ∵，， ∴当平移后的抛物线经过点A时， 可得：， 解得：或． 同理，当平移后的抛物线经过点B时， 可得：， 解得：或． 结合图象分析，要使平移后的抛物线与线段有交点， 则k的范围为：． 25．如图，在边长为的正方形各边上取点（可与重合），使得四边形为正方形．设为，正方形的面积为． (1)关于的函数表达式是___________，自变量的取值范围是___________； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； (3)当 时，正方形面积有最小值___________． 【答案】(1)； (2)图见解析 (3)2；8 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的应用，全等三角形的性质与判定，求出函数解析式是解决本题的关键． （1）由正方形的性质得到，证明，得到，则，利用勾股定理得到，则； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形，四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； （2）解；如下图所示，函数图象即为所求； （3）解：， 当时，最小，最小值为8， 当时，正方形面积有最小值， 故答案为：，． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 二次函数的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 二次函数的图象与性质 题型2 二次函数的增减性 题型3 二次函数的最值 题型4 二次函数的对称性 题型5 二次函数性质的综合应用 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 二次函数的性质 开口方向 对称轴、顶点坐标 增减性 最大值、最小值 图象与坐标轴交点 数形结合 实际问题应用 1.掌握根据二次函数表达式求出图象的顶点坐标、对称轴以及与坐标轴交点坐标的方法，能画出二次函数的大致图象。 2.理解并掌握二次函数的增减性，能准确描述在对称轴两侧当自变量x增大时函数值 y 的变化趋势。 3.掌握二次函数最值的概念，会根据二次项系数 a 的正负判定函数的最大值或最小值，并能熟练计算最值及对应的自变量的值。 4.会利用二次函数的对称性与增减性，在不代入具体计算的情况下，熟练比较抛物线上多点对应的函数值大小。 5.经历将现实生活中的抛物线轨迹抽象为二次函数模型的过程，会结合自变量的实际取值范围，利用二次函数的性质解决求最大高度等实际应用问题。 学习重点：二次函数的图象性质，抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标的确定，二次函数增减性的判断，最大值或最小值的求法，以及利用图象关键要素画出二次函数的大致图象。 学习难点：理解二次函数图象的对称轴与增减性之间的关系，能根据 a 的符号和对称轴正确判断函数的变化趋势；会准确求出二次函数的最大值或最小值，并能在实际问题中结合自变量取值范围分析函数的性质。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 二次函数的简易画法 1．一般方法 列表、描点、连线 2．简易画法：五点定形法 步骤： (1)先根据函数解析式，求 和 ，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴； (2)求抛物线与 的交点； 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来． 即时即练已知二次函数． (1)求该函数图象与x轴、y轴的交点坐标； (2)画出该函数的大致图象． 【易错提醒】 （1）当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图； （2）如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象。 知识点02 二次函数的最大（小）值 二次函数的最大（小）值 对于二次函数，在自变量的取值范围内，函数值满足 （或 )，且等号能成立，我们就说函数有最小值（或最大值）。 方法：如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大(或最小)值，即当 时，． 即时即练已知二次函数y＝x2﹣6x+1，关于该函数在﹣1≤x≤4的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值8，最小值﹣8 B．有最大值8，最小值﹣7 C．有最大值﹣7，最小值﹣8 D．有最大值1，最小值﹣7 【易错提醒】 （1）顶点处取最值的结论仅适用于自变量为全体实数的情况；若题目限定了 x 的取值区间，必须先判断对称轴是否在区间内，再结合开口方向与函数单调性，比较顶点和两个区间端点的函数值，最终确定最大值与最小值。 知识点03 二次函数的性质 1.二次函数的性质 根据二次函数的表达式，可以求出图象的 、 ，以及图象与x轴、y轴的 等，由此能画出函数的大致图象，并得到这个二次函数的有关性质。 2．二次函数图象的特征与a、b、c及的符号之间的关系 项目 字母 字母的符号 图象的特征 备注 a 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，开口越小)。 开口向下 b 对称轴在y轴左侧 左同右异中间0 对称轴在y轴右侧 c 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置 与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 b2-4ac 与x轴有唯一交点 的正负决定抛物线与x轴交点个数 与x轴有两个交点 与x轴没有交点 即时即练1抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（ ） A． B． C． D． 即时即练2已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③当时，y随x的增大而增大；④，其中正确的个数有（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【易错提醒】 （1）“左同右异”是判断b符号的核心规则：对称轴在y轴左侧，a、b同号；对称轴在y轴右侧，a、b异号；对称轴为y轴时b=0。 （2）的多结论判断题，要学会利用特殊值来求函数值，如当x=1时，函数值为a+b+c；当x=-1时，函数值为a-b+c；通过对应横坐标的图象位置，直接判断代数式的正负。 （3）判断区间内的增减性，必须以对称轴为唯一分界，不能直接用 x>0 或 x<0 判断。 （4）出现仅含 a、b 的代数式（如 2a+b、2a-b），直接结合对称轴公式推导：若对称轴为直线 x=1， 则，可得b=-2a，即2a+b=0；若对称轴为x=-1，则b=2a，即2a-b=0。 题型1 二次函数的图象与性质 【例1】二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【例2】已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D．当或时， 【易错提醒】 （1）按“定 a→判 b→看 c”的顺序推导：先由开口方向确定a的正负，再用“左同右异”口诀结合a的符号判断b的符号，最后根据抛物线与 y 轴交点确定 c 的符号； （2）比较函数值大小时，结合开口方向，通过点到对称轴的水平距离直接判断大小，无需代入计算。 （3）解决多结论判断题，核心用好两个工具：一是特殊 x 值对应法，x=1、x=-1分别对应代数式a+b+c、a-b+c，结合图象对应点的纵坐标正负直接判定；二是对称轴公式联动法，由对称轴数值推导a与b的等量关系，代入即可验证含 a、b、c 的复合代数式。 【变式1-1】二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 题型2 二次函数的增减性 【例3】在二次函数的图象上，y随x的增大而增大，则x的取值范围：（ ） A． B． C． D． 【例4】已知二次函数． (1)把这个二次函数化成的形式； (2)画出这个二次函数的图像，并利用图像直接写出当时，的取值范围为______；当______时，随的增大而减小；当时，的范围是______． 【易错提醒】 （1）增减趋势与开口方向：对称轴左侧递减、右侧递增”仅适用于a>0（开口向上）的二次函数；若a<0（开口向下），则对称轴左侧y随x增大而增大，右侧y随x增大而减小。 （2）验证对称轴与区间的位置：面对带字母系数的解析式、或给定自变量范围的问题时，容易默认对称轴在区间内，或直接套用全域顶点结论。尤其是交点式、含参函数，必须先准确求出对称轴，再判断目标区间在对称轴的左侧、右侧，还是跨对称轴，否则极易算错最值与增减区间。 （3）边界法反推参数范围：已知某区间内函数单调，求参数取值范围时，直接让对称轴落在给定区间的外侧边界处，列不等式求解。例如：开口向上的函数在时单调递增，只需满足对称轴，即可解出对应参数范围。 【变式2-1】已知二次函数（a为常数，且），下列结论一定正确的是（ ） A．若，则时，y随x的增大而增大 B．若，则时，y随x的增大而减小 C．若，则时，y随x的增大而增大 D．若，则时，y随x的增大而减小 【变式2-2】已知二次函数． (1)当点在二次函数的图象上，求此函数图象的对称轴； (2)在（1）的基础上，若，当时，求函数的最大值与最小值； (3)若该函数当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，则的取值范围是_____． 题型3 二次函数的最值 【例5】二次函数（b为常数）的图象经过点，且对称轴在y轴左侧，则该二次函数的最小值为（ ） A．4 B． C．7 D． 【例6】在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为，求该二次函数的表达式． 【易错提醒】 （1）二次函数顶点处取最值的结论仅适用于自变量为全体实数的场景。若题目限定了 x 的取值区间，必须先判断对称轴是否在区间内；若对称轴不在区间内，最值只会出现在区间端点，顶点函数值并非该区间的最值，这是区间最值题最高频的出错点。 （2）二次函数的常数项仅负责图象整体上下平移，不会改变函数值的落差。形如“最大值减最小值”的差值，只与二次项系数a、对称轴位置有关，与常数项无关，解题时易错误认为所有系数都影响差值。 （3）区间最值标准三步法 ① 求对称轴：用公式或配方法确定对称轴直线； ② 定位置：判断对称轴落在给定区间的左侧、内部、右侧； ③ 算最值：结合开口方向，分别计算顶点、区间两端点的函数值，比较后确定最大值与最小值。 【变式3-1】若函数在的最大值是，最小值是，则（ ） A．与有关，且与有关 B．与有关，但与无关 C．与无关，且与无关 D．与无关，但与有关 【变式3-2】在直角坐标系中，已知抛物线的表达式为． (1)求抛物线的顶点坐标，并直接写出当满足什么条件时，随的增大而增大． (2)当时，函数的最大值与最小值之和为，求的值． 题型4 二次函数的对称性 【例7】已知二次函数与轴的其中一个交点坐标为，该函数的对称轴为直线，则它与轴的另一个交点坐标为_____． 【例8】如图，抛物线与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点是对称轴上的一个动点，连接，，则的最小值为（ ） A．2 B． C． D． 【易错提醒】 （1）抛物线与 x 轴的两交点关于对称轴对称，记住 “两倍轴减已知点”：已知一个交点横坐标和对称轴h，另一个交点横坐标直接用计算，无需列方程，可快速口算。 （2）在对称轴上求动点使线段和最小的题型中，核心是利用“对称点到动点的距离相等”进行转化。 【变式4-1】如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点，则的值为（ ） A．0 B． C．2 D．3 【变式4-2】如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴相交于点C，且抛物线经过点． (1)求此抛物线的解析式及A，B两点坐标； (2)在抛物线的对称轴上找一点H，使AH+CH的值最小，并求出点H的坐标； 题型5 二次函数性质的综合应用 【例9】已知，，抛物线顶点在线段上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①；②当时，一定有y随x的增大而增大；③当四边形为平行四边形时，；④若点D横坐标的最小值为，则点C横坐标的最大值为3，其中正确的是（ ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【例10】如图，已知抛物线经过点，，与y轴交于点，P为AC上的一个动点，则有以下结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线的最大值为；③；④OP的最小值为．则正确的结论为（ ） A．①②④ B．①② C．①②③ D．①③④ 【易错提醒】 （1）当抛物线顶点沿水平方向运动时，对称轴位置随之变化，极易忽略对称轴的变动范围，错误判断函数的增减区间（如误认x>0时y一定递增）；同时在判断与y轴交点c的取值范围时，易忽略顶点位置对c的影响，出现方向性错误。 （2）在实际场景的抛物线问题中，易忽略坐标的实际正负含义（如下方着陆点纵坐标为负），代入解析式时符号出错；在几何综合题中，用勾股逆定理判断直角、等面积法求最短距离时，注意边长计算、平方运算要避免失误。 【变式5-1】如图，已知抛物线与轴相交于点，与轴交于点．点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为．下列结论：①；②；③，其中正确结论的序号是_______．（所有正确的序号都填上） 【变式5-2】2022北京冬奥会自由式滑雪空中技巧比赛中，某运动员比赛过程的空中剪影近似看作一条抛物线，跳台高度为4米，以起跳点正下方跳台底端O为原点，水平方向为横轴，竖直方向为纵轴，建立如图所示平面直角坐标系．已知抛物线最高点B的坐标为，着陆坡顶端C与落地点D的距离为2.5米，． 求： (1)该抛物线的函数表达式； (2)起跳点A与着陆坡顶端C之间的水平距离的长． A组 基础过关 1．抛物线经过点，则________． 2．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，将抛物线（为常数）先向右平移2个单位长度，再向下平移个单位长度后，抛物线的顶点坐标为，则，的值分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 4．若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是_____．（用“”连接） 5．若二次函数的图象如图所示，则一次函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 6．关于x的二次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图象可能是（ ） A． B． C． D． 7．函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ） A．＞0， B．＜0， C．＞0， D．＜0， 9．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 10．如图，某男生掷实心球，实心球飞行高度（米）与水平距离（米）之间的函数关系式为，则该男生此次实心球训练的成绩为（ ） A．5米 B．7米 C．8米 D．9米 B组 综合提升 11．已知二次函数（a为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．如图，二次函数的图像与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，有下列四个结论：①；②；③；④若，则；下列选项正确的是（ ） A．②④ B．①③ C．①③④ D．①②③ 13．已知一个二次函数（、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如表： 则下列关于这个二次函数的结论错误的是（ ） A． B．该函数的最小值为 C．该函数图象不经过第三象限 D．该函数图象的对称轴是直线 14．如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（ ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 15．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ）． A． B． C． D． 16．已知是不等于的常数，反比例函数与二次函数在同一坐标系的大致图象如图，则它们的解析式可能分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 17．已知与是关于x的二次函数，函数图象如图所示，则函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 18．如图为二次函数的图象，其与轴交于和两点．①；②；③对称轴为直线；④：上述结论正确的有________（填序号）． 19．已知抛物线过，，，四点． (1)若． （ⅰ）求该抛物线的对称轴； （ⅱ）比较，的大小． (2)若，，判断是否成立，并说明理由． 20．在美丽的大自然里，有很多数学的奥妙，如图1是一株破土而出的幼苗．它的叶片上方轮廓和下方轮廓分别可以看作是抛物线的一部分．如图2，以地面为轴，以枝干所在直线为轴建立平面直角坐标系，两个叶片下方的轮廓可以看作抛物线的一部分．已知该轮廓的最低点的坐标为．右侧叶尖距离地面，与枝干的水平距离为． (1)求这两个叶片下方的轮廓所在抛物线的函数表达式； (2)若右侧叶片上方轮廓所在抛物线的函数表达式为，现在需要在右侧上方的轮廓上任意取一点，过点作轴的垂线交下方轮廓于点，求的最大值． C组 挑战突破 21．若抛物线y＝﹣x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，抛物线顶点为点B． ①抛物线y＝﹣x2+2x+m+1与直线y＝m+2有且只有一个交点； ②若点M（﹣2，y1）、点N（，y2）、点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3； ③将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得的抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+m； ④点A关于直线x＝1的对称点为C，点D、E分别在x轴和y轴上，当m＝1时，四边形BCDE周长的最小值为． 其中正确的是 ___．（填序号） 22．如图1，在中，，点在边上，动点在的边上沿方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为秒，正方形的面积为S．当点由点运动到点时，S是一个关于的二次函数，图象如图2所示，则的周长为________． 23．如图1是一个花坛，将其抽象为如图2所示的平面图，图2中花坛的外轮廓可看作由抛物线和线段组成，已知，是的中点，花坛的最大深度，，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点、是花坛下方支架与花坛的两个接触点（即点、在抛物线上），且、关于轴对称，若点到水平地面的距离为，、两点之间的距离为，轴，求点到水平地面的距离． 24．如图，一光点M从原点O出发，其路径为抛物线L的一部分，在点处达到最高，并落在x轴上的点P处，并在点P处向右侧弹起，路径为抛物线的一部分，其中抛物线G与抛物线L的开口方向和形状相同，线段的端点，． (1)直接写出点P的坐标，并求出抛物线L的解析式； (2)若抛物线G经过点，求抛物线G的函数解析式； (3)将抛物线L向右平移个单位长度使它与线段有交点，直接写出k的取值范围． 25．如图，在边长为的正方形各边上取点（可与重合），使得四边形为正方形．设为，正方形的面积为． (1)关于的函数表达式是___________，自变量的取值范围是___________； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； (3)当 时，正方形面积有最小值___________． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $