精品解析：2026年黑龙江哈尔滨市萧红中学校中考二模数学试卷

萧红中学九学年（下）数学学科·周阶梯 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 倒数是（ ）． A. 1 B. C. D. 0 2. 下列四个图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 中新网1月21日报导，河南省统计局公布2022年河南省GDP数据经国家统计局统一核算，2022年全省GDP初步核算数为61345.05亿元，按可比价格计算，比上年同期增长3.1%．数据“61345.05亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 方程的解为（　　） A. B. C. D. 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 下图是一组有规律的图案，第 1 个图案是由 4 个▲组成，第 2 个图案是由 7 个▲组成，第 3 个图 案是由 10 个▲组成，…，则第 个图案是由 6067 个▲组成（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 8. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 9. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ） A. B. 1 C. D. 10. 如图，在等腰直角中，， ，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿 方向向点 匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，连接 ，设运动时间为秒，的面积为（当点与点或点重合时，规定），则与之间的函数关系的图象为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是________． 12. 把多项式分解因式的结果是______________________ 13. 一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是________． 14. 不等式组的解集是____________． 15. 已知一条弧的半径为9，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为______． 16. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强 与汽缸内气体的体积成反比例， 关于 的函数图象如图所示．则反比例函数的解析式为__________． 17. 定义新运算“ ”，规定 ，则 ________． 18. 在中，，，，则 边长为______． 19. 如图，AB是的直径，AD是的切线，点C在上，， ，，则BC的长为______． 20. 如图，在正方形 中， ，点在边 上，点 在 上， ，交 于点，交 于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③；④ 的最小值为．上述结论中，正确的序号有_______． 三、解答题（21，22题每题7分，23，24每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 22. 如图为 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段 的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹．） （1）在图中，作出以 为腰， 为底边的等腰，并且等腰三角形的面积为； （2）在图中，在 边上取点，连接，使得； （3）在图中，作出的高 ，点 为垂足，并直接写出 的长． 23. 养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了部分学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x（分钟）进行了调查．现把调查结果分成A、B、C、D四组，如表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． 分组 A B C D x（分钟）的范围 0≤x＜10 10≤x＜20 20≤x＜30 30≤x＜40 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在______组内（填“A”或“B”或“C”或“D”）； （3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．（早锻炼：指学生在早晨7：00～7：40之间的锻炼） 24. 定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形． 在双直四边形中，，过点D作交 于点E， ， （1）如图1，请猜想和 之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，连接，作点D关于直线的对称点F，连接，，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出所有与互余的角． 25. 5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示： 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． （1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？ （2）营业厅计划再次购进A、B两种型号手机共30部，两种型号手机都需购进，若设购进A型号的5G手机n部，这30部手机的销售总利润为w元，则营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润？最大利润是多少？ 26. 如图1， 是圆 直径，交弦 于点，连接， ， ． （1）求证： ； （2）如图2，为弧 上一点， 为弧 上一点，连接，交于点 ，若弧 弧，求证： ； （3）如图3，在（2）的条件下，交 于点， ， ， ，连接，求的长． 27. 已知，在平面直角坐标系中，点 为坐标原点，抛物线 交轴于点，，交 轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点 是第一象限抛物线上一点，连接交 轴于点 ，设点 横坐标为，线段 长为 ，求 与的函数关系式； （3）如图2，在（2）的条件下， 为抛物线上一点，其横坐标为，连接 交 轴于点，直线交抛物线于点，过点作轴的垂线，交于点 ，交 于点，连接，若 ，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 萧红中学九学年（下）数学学科·周阶梯 一、单选题（每题3分，共30分） 1. 倒数是（ ）． A. 1 B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了学生对“倒数的意义”知识点的掌握情况，解答本题的关键是掌握倒数的意义：乘积是1的两个数叫做互为倒数．据此作答即可． 【详解】解：倒数是， 故选：C． 2. 下列四个图形中，既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称和中心对称的定义判断即可． 【详解】A：是中心对称但不是轴对称，错误； B：是中心对称但不是轴对称，错误； C：是中心对称但不是轴对称，错误； D：既是轴对称又是中心对称图形，正确 故答案选：D 【点睛】本题考查轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握基本的定义是解题关键． 3. 中新网1月21日报导，河南省统计局公布2022年河南省GDP数据经国家统计局统一核算，2022年全省GDP初步核算数为61345.05亿元，按可比价格计算，比上年同期增长3.1%．数据“61345.05亿”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法：用科学记数法表示较大的数时，注意中a的范围是，n是正整数，n与原数的整数部分的位数m的关系是，反过来由用科学记数法表示的数写出原数时，原数的整数部分的数位m比10的指数大1．（即） 【详解】解：亿= 故选C 【点睛】本题考查的是利用科学记数法表示绝对值较大的数，掌握该知识点是本题关键． 4. 七个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解∶由图可知∶该几何体的俯视图是． 5. 方程的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据解分式方程的步骤，先求出最简公分母，再根据等式的性质化简为整式方程，解整式方程，最后检验即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以最简公分母，得 ∴ 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 经检验是分式方程的解 ∴原分式方程的解为： 故答案为： 【点睛】本题考查了解分式方程的步骤，利用等式的性质将分式方程化为整式方程是解题的关键． 6. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点式形式，通过将给定的抛物线方程与顶点式对比，即可直接得出顶点坐标． 【详解】解：∵抛物线的解析式为， ∴顶点坐标为． 故选B． 7. 下图是一组有规律的图案，第 1 个图案是由 4 个▲组成，第 2 个图案是由 7 个▲组成，第 3 个图 案是由 10 个▲组成，…，则第 个图案是由 6067 个▲组成（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2022 D. 2023 【答案】C 【解析】 【分析】观察后推导出一般性规律，第 个图形有个三角形，计算求解即可； 【详解】解：观察发现： 第一个图形有个三角形； 第二个图形有个三角形； 第一个图形有个三角形； 第 个图形有个三角形； 当， 解得． 故选C． 【点睛】本题考查了图形类规律探究．解题的关键在于推导出一般性规律． 8. 如图，，直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和点 D、E、F，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据定理得出比例式是解答此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例，据此列式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 9. 如图，在▱ABCD中，AB=2，BC=3．以点C为圆心，适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P，Q为圆心，大于PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】∵由题意可知CF是∠BCD的平分线， ∴∠BCE=∠DCE． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB//CD， ∴∠DCE=∠E， ∴∠BCE=∠AEC， ∴BE=BC=3， ∵AB=2， ∴AE=BE-AB=1， 故选B． 【点睛】本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 10. 如图，在等腰直角中， ， ，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿 方向向点 匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，连接 ，设运动时间为秒，的面积为（当点与点或点重合时，规定），则与之间的函数关系的图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题是动点问题的函数图像，根据题意可得：，，，再由，可得出，运用二次函数的图像和性质即可判断答案．解题的关键是以动点问题为背景，研究三角形面积的变化，利用直角三角形面积等于两直角边乘积的一半求解即可． 【详解】解：∵在等腰直角中， ， ，点从点出发沿方向向点匀速运动，同时点从点出发沿 方向向点 匀速运动，点，的运动速度均为每秒个单位长度，运动时间为秒（当点与点或点重合时，规定）， ∴，，， ∴， ∴， ∴与之间的函数关系的图像为抛物线， ∵ ， ∴当时，． 故选：D． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 在函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为： ． 12. 把多项式分解因式的结果是______________________ 【答案】5(a-b)2 【解析】 【分析】先提取公因式5，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2-2ab+b2=（a-b）2． 【详解】解：5a2-10ab+5b2， =5（a2-2ab+b2）， =5（a-b）2． 故答案为5（a-b）2． 【点睛】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底． 13. 一个袋中装有两个红球、三个白球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出球的总数，再根据概率公式求解即可． 【详解】∵一个袋中装有两个红球、三个白球， ∴球的总数=2+3=5， ∴从中任意摸出一个球，摸到红球的概率=． 14. 不等式组的解集是____________． 【答案】 【解析】 【分析】求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律求出不等式组的解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得： ， ∴不等式组的解集是 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的解法是解题的关键． 15. 已知一条弧的半径为9，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为______． 【答案】 【解析】 【分析】把弧长公式进行变形，把已知数据代入计算即可得到答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是弧长的计算，解题的关键是正确掌握弧长的计算公式及其变形． 16. 在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强 与汽缸内气体的体积成反比例， 关于 的函数图象如图所示．则反比例函数的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：设 关于的函数解析式为， 由图象可把点代入得：， ∴ 关于的函数解析式为． 17. 定义新运算“ ”，规定 ，则 ________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据新定义给出的运算规则，将对应数值代入，按照有理数混合运算法则计算即可得到结果. 【详解】解： ． 18. 在中，，，，则边长为______． 【答案】7或17 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键，注意分类讨论．根据题意可以画出符合条件的图形，然后根据锐角三角函数即可解答本题． 【详解】解：在中，过点作 ，交于点 ，如图， ∴在中，， ，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ， ∴在中，由勾股定理得：，， ， 或， 故答案为：7或17． 19. 如图，AB是的直径，AD是的切线，点C在上，， ，，则BC的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】试题分析：根据圆周角定理可得∠C=90°，根据切线的性质可得∠OAD=90°，根据平行线的性质可得∠B=∠DOA，即可证得△OAD∽△BCA，最后根据相似三角形的性质求解即可. 【详解】∵AB是⊙O的直径，AD是⊙O的切线 ∴∠C=90°，∠OAD=90° ∵BC//OD ∴∠B=∠DOA ∴△OAD∽△BCA ∴ ∵AB=2，OD=3 ∴，解得 故答案为 【点睛】本题考核知识点：圆周角定理，切线的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质. 相似三角形的判定和性质是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中半径常见的知识点. 20. 如图，在正方形 中， ，点 在边 上，点 在 上， ，交 于点，交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③；④ 的最小值为．上述结论中，正确的序号有_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】通过证明推出 即可判断①；无法说明 ，即 不一定成立，即可判断②；如图：过G作 于K，过G作 于J，利用正方形的性质以及角平分线的性质定理可得 ，再利用三角形面积公式以及已知条件可判断③；如图：当三点共线时， 有最小值，再说明 ，最后运用勾股定理求得即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴ ， ． ∵ ， ∴， ∴ ，故①正确； 无法说明 ，即 不一定成立，即②错误； 如图：过G作 于K，过G作 于J， ∵四边形是正方形， ∴，即是的角平分线， ∴ ， ∵ ， 又∵ ， ∴，故③正确； ∵点C关于的对称点点A， ∴ ， ∴ ， 如图：当三点共线时， 有最小值 ， 由对称性可得， ∵ ， ∴ ， ∴，即 的最小值为． 综上，正确的是①③④． 三、解答题（21，22题每题7分，23，24每题8分，25-27题每题10分，共60分） 21. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 22. 如图为 的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上，分别在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留必要的作图痕迹．） （1）在图中，作出以为腰，为底边的等腰，并且等腰三角形的面积为； （2）在图中，在边上取点，连接，使得； （3）在图中，作出的高 ，点 为垂足，并直接写出 的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、格点作图等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由勾股定理以及三角形面积为确定点C，然后再顺次连接即可； （2）如图：确定格点D使得是等腰直角三角形，延长 与的交点F即为所求； （3）先确定点E，再连接与的交点为G，线段 即为所求．由求解即可． 【小问1详解】 解：如图：即为所求． 理由：，等腰三角形的面积为，即即为所求． 【小问2详解】 解：如图：点F即为所求． 理由： ，，， ∴， ∴是等腰直角三角形． 【小问3详解】 解：如图： 即为所求． 由网格可知：点E、F为格线的中点，连接与的交点为G，易得，即 即为所求． ∵点F为格线的中点， ∴ ∴， ∵， ∴，解得：． 23. 养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益，某中学为了了解七年级学生的早锻炼情况，校政教处在七年级随机抽取了部分学生，并对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x（分钟）进行了调查．现把调查结果分成A、B、C、D四组，如表所示，同时，将调查结果绘制成下面两幅不完整的统计图． 分组 A B C D x（分钟）的范围 0≤x＜10 10≤x＜20 20≤x＜30 30≤x＜40 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数落在______组内（填“A”或“B”或“C”或“D”）； （3）已知该校七年级共有1200名学生，请你估计这个年级学生中约有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．（早锻炼：指学生在早晨7：00～7：40之间的锻炼） 【答案】（1）见解析；（2）C；（3）840人 【解析】 【分析】（1）先根据A区间人数及其百分比求得总人数，再根据各区间人数之和等于总人数、百分比之和为1求得C区间人数及D区间百分比可得答案； （2）根据中位数的定义求解可得； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【详解】（1）40÷20%=200（人）， 200-20-40-60=80（人）， ∴C组有80人， 频数分布直方图如图所示： （2）由题意中位数是第100和101两人的平均数，在C组， 故答案为C； ​（3）1200×=840（人）， ∴估计这个年级学生中约有840人一天早锻炼的时间不少于20分钟． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24. 定义：在四边形中，如果有一个角是直角，且从这个直角顶点引出的对角线把对角分成的两个角中有一个是直角，那么这样的四边形叫做双直四边形． 在双直四边形中，，过点D作交于点E， ， （1）如图1，请猜想和之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，连接，作点D关于直线的对称点F，连接，，，在不添加任何辅助线的条件下，请直接写出所有与互余的角． 【答案】（1） ，理由如下： ∵， ， ∴ ， ∴ ， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴， ∴ ； （2），，， 【解析】 【分析】（1）证明即可证得 ； （2）先由，推出，即与互余；再由，在中，运用三角形内角和定理结合已知条件，推出 ，得出与互余以及与互余；由，推出C，B，F，E四点共圆，从而证得与互余． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即与互余； 由（1）可知，， ∴， 在中， ∵， 即， 由（1）可知，， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴ ， ∴， ∴， ∴与互余； 又∵，， ∴与互余； ∵点D关于直线的对称点为F， ∴ ，，， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， ∴C，B，F，E四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴与互余； 综上，与互余的角为：，，，． 25. 5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示： 型号 进价（元/部） 售价（元/部） A 3000 3400 B 3500 4000 某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元． （1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？ （2）营业厅计划再次购进A、B两种型号手机共30部，两种型号手机都需购进，若设购进A型号的5G手机n部，这30部手机的销售总利润为w元，则营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部 （2）营业厅购进A种型号的手机1部，B种型号的手机29部时获得最大利润，最大利润是14900元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，以及一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． （1）根据题意和表格中的数据，可以得到相应的二元一次方程组，从而可以求得营业厅购进A、B两种型号手机各多少部； （2）根据题意，可以得到利润与A种型号手机数量的函数关系式，根据一次函数的性质，即可求得营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少． 【小问1详解】 解：设营业厅购进A、B两种型号手机分别为a部、b部， 由题意得， 解得． 答：营业厅购进A、B两种型号手机分别为6部、4部． 【小问2详解】 解：设购进A种型号的手机n部，则购进B种型号的手机部， 由题意得， ∵， ∴w随n的增大而减小， ∴当时，w取得最大值，此时，， 答：营业厅购进A种型号的手机1部，B种型号的手机29部时获得最大利润，最大利润是14900元． 26. 如图1，是圆直径，交弦 于点 ，连接， ， ． （1）求证： ； （2）如图2，为弧上一点， 为弧上一点，连接，交于点 ，若弧 弧，求证： ； （3）如图3，在（2）的条件下，交于点， ， ， ，连接，求的长． 【答案】（1）证明：连接 ， ，， ， ，则 ， 又，， ， ； （2）证明：连接， ， ， ， ， 是圆直径， ， ，即； （3） 【解析】 【分析】（1）连接 ，通过证明即可求解； （2）由题可知，得到，再结合平行线的性质和直径所对圆周角等于 即可求解； （3）过 作，连接，易得四边形为等腰梯形，得到 ，再证明、，利用相似的性质，结合勾股定理计算边长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过 作，连接， ， ，又， 四边形为等腰梯形， ，， 由（1）知，， ，则，， ， ，又为直径， ， ， ， ，又， ， ，设半径为，， ，即，解得， ， ， ， ，即，解得， 则， ． 27. 已知，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线 交轴于点，，交 轴于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点 是第一象限抛物线上一点，连接交 轴于点 ，设点 横坐标为，线段 长为 ，求 与的函数关系式； （3）如图2，在（2）的条件下， 为抛物线上一点，其横坐标为，连接 交 轴于点 ，直线交抛物线于点，过点作轴的垂线，交于点 ，交 于点，连接，若 ，求的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）作轴于点，设，证明 ，求得，即可得到 ； （3）作轴于点，作轴于点，作 轴于点，表示出点，求得直线的解析式，表示出，得到，可求得，再求得点是的中点，利用三角形中位线定理求得，得到 ，求得，求得各点坐标，进而求解即可． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， ∵抛物线 交轴于点，， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为 ； 【小问2详解】 解：作轴于点，设， ∵，， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图，作轴于点，作轴于点，作 轴于点， ∵ 为抛物线上一点，其横坐标为， ∴， ∵ ， ∴， ∵， 设直线 的解析式为， ∴， ∴直线 的解析式为， 令，， ∴， ∵， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵，， 同理直线的解析式为 ， 联立得 ， 整理得 ， ∵点 是第一象限抛物线上一点， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴， ∴，， ∴ ， ∵ 轴， ∴点的横坐标为3， ∴当时，， ∴， ∵，， ∴点是的中点， ∵，， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， 解得或（舍去）， ∴，， 同理直线的解析式为 ， 当时，， ∴， 联立得 ， 解得（舍去）或， 当时，， ∴， ∴，， ∴的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $