2025年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学二模试卷

2025年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学二模试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的绝对值是(    ) A. B. C. D. 2.在生物学中，许多生物的外形具有对称性，以下几种生物外形轮廓图，属于轴对称图形的是 A. B. C. D. 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.下面是由几个小正方体搭成的几何体，则这个几何体的左视图为(    ) A. B. C. D. 5.方程的解为(    ) A. B. C. D. 6.将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数解析式是(    ) A. B. C. D. 7.在中，用尺规作图，分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和作直线交于点，交于点，连接则下列结论不一定正确的是(    ) A. B. C. D. 8.如图，将绕点顺时针旋转得到，若点，，在同一条直线上，，则的度数是(    ) A. B. C. D. 9.如图，身高米的小宇站在塔高为米的防洪纪念塔附近，他的影长是米，若同一时刻，物体高度与其影长的比值相等，求此时防洪纪念塔的影长是米． A. B. C. D. 10.如图，在菱形中，，，动点从点出发，沿路线以每秒个单位的速度向终点运动，同时点从点出发，沿以每秒个单位的速度向终点运动设点的运动时间为秒，的面积为，则下列图象能表示与之间的函数关系的是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11.中国北斗卫星导航系统在全球范围内提供服务，据测算，单颗北斗卫星与地面控制中心之间的实时数据传输速率最高可达比特秒请将数据用科学记数法表示为______． 12.函数中自变量的取值范围是______． 13.不等式组的解集是______． 14.豫剧是国家级非物质文化遗产，因其雅俗共赏，深受大众喜爱正面印有豫剧经典剧目人物的三张卡片如图所示，它们除正面外完全相同把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面相同的概率为______． 15.若扇形的圆心角为，弧长为，则扇形的半径为______． 16.在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率赫兹与振动弦长米近似成反比例关系，即为常数，若振动弦长为米时，测得振动频率为赫兹，则的值为______． 17.定义新运算“”：、为非负整数，如：则______． 18.如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交直线于点，连结，则的度数是______． 19.如图，，点是射线上一动点，若，求的最小值是______． 20.如图，在中，，，垂足为点，点、为、上的点，连接、，，有如下结论： ； ； ； 若，则． 上述结论中，所有正确的结论的序号是______． 三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.本小题分 先化简，再求值：，其中． 22.本小题分 如图，在每个小正方形的边长均为的网格中，线段的端点、均在小正方形的格点上，仅用无刻度直尺按以下要求作图． 在图中画出以为一边的钝角三角形，点在小正方形格点上，且三角形的面积为． 在的条件下，在线段上取一点，连接，使，保留作图痕迹． 23.本小题分 学校为培养学生的文学鉴赏能力，开展了文学常识竞赛活动，学校随机抽取部分学生的竞赛答题情况，绘制成如图两幅不完整的统计图请根据调查的信息，解答下列问题： 在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ 请通过计算补全条形统计图； 全校共有名学生参加了此次竞赛，请你估计该校答对道的学生共有多少名． 24.本小题分 已知▱中，点是边中点，连接并延长交的延长线于点，连接、． 如图，证明：四边形为平行四边形； 如图，若，连接，，，则 ______， ______． 25.本小题分 五一期间，哈尔滨冰雪大世界举办“筝舞蓝天冰雪四季”首届风筝节，某商店计划推出两种特色纪念品：钥匙扣和徽章已知购买个钥匙扣和个徽章一共需要元，而个钥匙扣和个徽章总价为元． 钥匙扣和徽章的单价各是多少元？ 游客小张准备购买这两种纪念品共件送给朋友，他的预算不超过元，那么小张最多可以买几个徽章？ 26.本小题分 已知，内接于，，连接并延长，交于点． 如图，求证：； 如图，点在上，连接、，交于点，，求证：； 如图，在的条件下，点为的中点，连接交于点，点在上，连接交于点，，，，求的长． 27.本小题分 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点和点． 如图，求抛物线的解析式； 如图，点为第一象限抛物线上一点，连接、，延长交轴于点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式不要求写出自变量的取值范围； 如图，在的条件下，点为第一象限抛物线上点下方一点，连接，以为边作正方形，过点作轴于点，在轴上点左侧取一点，使得，过点作轴于点，并交抛物线于点，连接并延长至点，使得，过点作轴于点，连接，，将线段绕点逆时针旋转至，连接，延长交于点，交延长线于点，过点作于点，交于点，交于点若，：：，求点的横坐标． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 根据正数的绝对值是它本身解答即可． 此题主要考查了绝对值的性质，解题关键是掌握绝对值的性质． 【解答】 解：的绝对值为． 故选：． 2.【答案】  【解析】解：选项A、、的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3.【答案】  【解析】解：，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； B.，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； C.，此选项的计算错误，故此选项不符合题意； D.，此选项的计算正确，故此选项符合题意； 故选：． A.根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可； B.根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可； C.根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可； D.根据积的乘方法则进行计算，然后判断即可． 本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握合并同类项法则、同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和积的乘方法则． 4.【答案】  【解析】解：左视图有列，从左到右每列小正方形数目分别为，． 故选：． 找到从几何体的左边看所得到的图形即可． 此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置． 5.【答案】  【解析】解：去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， 故选：． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 6.【答案】  【解析】解：将二次函数图象向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得图象的函数解析式是：． 故选：． 利用二次函数平移规律求出即可． 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 7.【答案】  【解析】解：由作图可知，垂直平分线段， ，，， 故选项B，，D正确， 故选：． 利用线段的垂直平分线的性质判断即可． 本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8.【答案】  【解析】解：绕点顺时针旋转得到， ，，， ． ． 故选：． 由旋转得，，，可得再根据可得答案． 本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 9.【答案】  【解析】解：同一时刻物高与影长成正比例． ， ， 解得， 答：防洪纪念塔的影长是米． 故选：． 在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答． 本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：过点作于，过作于， 在菱形中，有，， ，， 当时，点在上，，为一次函数，图象为呈下降趋势的线段； 当时，再上，，为开口向上的二次函数， 故选：． 先根据点的位置求出函数的图象，再根据图象求解． 本题考查了动点问题的函数图象，掌握三角形的面积公式和函数的图象是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：． 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 12.【答案】  【解析】解：根据题意，有， 解可得； 故自变量的取值范围是． 故答案为：． 根据分式有意义的条件是分母不为；分析原函数式可得关系式，解可得自变量的取值范围． 本题主要考查了分式有意义的条件：分母不等于函数自变量的范围一般从三个方面考虑： 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为； 当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 13.【答案】  【解析】解：， 由得：， 由得：， 不等式组的解集为． 故答案为：． 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可． 此题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：把张卡片分别记为、、， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有种， 两次抽取的卡片图案相同的概率为． 故答案为：． 画树状图可得出所有等可能的结果以及两次抽取的卡片正面相同的结果，再利用概率公式可得答案． 本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：设扇形的半径为， 则， ， 所以扇形的半径为． 故答案为：． 根据弧长公式进行计算即可． 本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：将，代入， 得， 解得． 故答案为：． 将，代入，得到关于的方程并求解即可． 本题考查反比例函数的应用，掌握用代入自变量与函数值的方法计算比例系数是解题的关键． 17.【答案】  【解析】解： ， 故答案为：． 根据题意列出算式，再化简二次根式、计算乘法、减法即可． 本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则． 18.【答案】或  【解析】解：如图所示， ，， ， ， 当点在点的左侧时， ， ， ； 当点在点的右侧时， ， ， ； 由上可得，的度数是或， 故答案为：或． 根据等腰三角形的性质可以得到各内角的关系，然后根据题意，画出图形，利用分类讨论的方法求出的度数即可． 本题考查等腰三角形的性质、圆的性质，解答本题的关键是画出合适的辅助线，利用分类讨论的方法解答． 19.【答案】  【解析】解：延长，过点作于点，使， ，， ，， ， ，， ， ， 当时，有最小值， ， 故答案为：． 延长，过点作于点，使，由题意可得是含度的直角三角形，可求出三边长，根据是等腰直角三角形可得，当时，有最小值，即可求解． 本题主要考查了胡不归，特殊角的三角函数值，勾股定理，掌握以上性质是解题的关键． 20.【答案】  【解析】解：，，于点，点、为、上的点， ，，，， ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， 故正确； 作于点，则，， ，， ， ， ， ， ， ， 故正确； ，， ， ， 故正确； ， ， ， ，， ， ， ， ， 故错误， 故答案为：． 由，，于点，得，，，而，则，可证明≌，得，可判断正确；作于点，则，由，得，则，所以，则，所以，可判断正确；因为，所以，可判断正确；因为，所以，则，求得，，则，，所以，可判断错误，于是得到问题的答案． 此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 21.【答案】，原式．  【解析】解： ， 当时，原式． 先利用分式的除法法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 22.【答案】见解答．   见解答．  【解析】如图，钝角三角形即为所求． 如图，作线段的垂直平分线，交于点， 则点即为所求． 利用网格结合题意画图即可． 结合线段垂直平分线的性质，作线段的垂直平分线，交于点，则点即为所求． 本题考查作图应用与设计作图、线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23.【答案】共抽查了名学生；   图形见解答；   估计该校学生答对道的人数为名．  【解析】名， 答：共抽查了名学生； 答对道题的人数为人， 补全条形统计图如图所示： 名， 答：估计该校学生答对道的人数为名． 因为答对道的学生有人，所占百分比为，即可求出调查总人数； 求出答对道的学生人数，画出图形； 用全校总人数乘以答对道的学生所占百分比即可求得结果． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24.【答案】证明见解答过程；  ；．  【解析】证明：点是边中点， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ≌， ， ， 四边形是平行四边形； 解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， 点是边中点，， ， ， ， ， ； 在中，，， ， ； 故答案为：；． 根据平行四边形的性质、平行线的性质求出，，结合中点的定义、对顶角性质求出，，利用证明≌，根据全等三角形的性质求出，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得证； 根据平行四边形的性质、平行线的性质求出，，，，进而求出四边形是菱形，根据菱形的性质求出，结合题意求出，再解直角三角形求解即可． 此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、解直角三角形等知识，熟练运用有关性质是解题的关键． 25.【答案】钥匙扣的单价是元，徽章的单价是元；   小张最多可以购买个徽章．  【解析】设钥匙扣的单价是元，徽章的单价是元， 由题意得：， 解得：， 答：钥匙扣的单价是元，徽章的单价是元； 设小张可以购买个徽章，则购买个钥匙扣， 由题意得：， 解得：， 答：小张最多可以购买个徽章． 设钥匙扣的单价是元，徽章的单价是元，根据购买个钥匙扣和个徽章一共需要元，个钥匙扣和个徽章总价为元，列出二元一次方程组，解方程组即可； 设小张可以购买个徽章，则购买个钥匙扣，根据预算不超过元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 本题考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式． 26.【答案】见解析；   见解析；   ．  【解析】证明：连接、， ，，， ≌， ， ， ， ； 证明：设， ， ， ， ， ， ， ， ； 解：过点作于，过点作于点，连接，， 由得，，， ， ， ， 设，则，， ， ， ，，， ≌， ， ， ， ， ，， ，，， ≌， ，， 设， 又， ， ， ， ， 设，， 在中，， ， 解得， ， 设，则， ， ， ，， ， ． 连接、，证明≌，即可得出； 设，通过角度计算得出，得到； 过点作于，过点作于点，连接，，通过全等和相似，得出，的长度，最后利用勾股定理求出． 本题考查了圆的基本性质，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握圆的基本性质是解题的关键． 27.【答案】；  ；  ．  【解析】抛物线经过点和点， 将点和点代入抛物线解析式， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 过点作轴于点，作轴于点，如图， 点为第一象限抛物线上一点，点的横坐标为， ． ，． 点， ， ． ， ∽， ， ， ， 轴，轴，， 四边形为矩形， ， ； 过点作交于点，交于点，延长交于点，如图， ，， ，． 设， ，， 点，点， 点、点， ，，，， ，， ． ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， 线段绕点逆时针旋转至，由知：， ， ． ， 点是中点， ，， ， ：：． 四边形为正方形， ， 四边形为平行四边形， ， ， ，， ， 在和中， ， ≌， ． 设， ， ∽， ：：：， ， ，， ，， ，， 在中， ， ， 即， ， ∽， ， ， ， ， ， ， ， ， 横坐标． 利用待定系数法求解抛物线解析式即可； 过点作轴于点，作轴于点，利用点的坐标得到，，利用相似三角形的判定与性质求得，利用矩形的判定与性质求得，再利用三角形的面积公式解答即可； 过点作交于点，交于点，延长交于点，利用点的坐标得到，，设，利用的代数式表示出线段，，，，利用直角三角形的边角关系定理得到，则，利用等腰三角形的判定定理得到，利用全等三角形的判定与性质和旋转的性质得到；利用等腰三角形的三线合一的性质，平行四边形的判定与性质和全等三角形的判定与性质得到，利用全等三角形的判定与性质得到设，利用相似三角形的判定与性质得到，，利用直角三角形的边角关系定理和相似三角形的判定与性质得到，利用勾股定理求得，则，值可求，则横坐标． 本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，抛物线上点的坐标的特征，等腰直角三角形的判定与性质，正方形的性质，平行四边形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，平行线的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$