期末质量检测2025-2026学年九年级下册数学鲁教版

**基本信息** 以新能源汽车、冬奥会、电动门等现实情境为载体，覆盖代数、几何、统计核心知识，通过基础巩固、综合应用、创新探究三级梯度，考查抽象能力、几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|无理数判断、轴对称图形识别、科学记数法（5397万）|结合运动图标、科技数据考查空间观念与数感| |填空题|5/20|因式分解、行程函数图像、圆与反比例函数综合|通过规律探究（点坐标循环）考查推理意识| |解答题|8/90|机器人效率计算（二元一次方程组）、冬奥会统计分析（数据意识）、电动门几何应用（模型意识）|项目式学习（电动门）与跨学科整合（物理变化概率），突出应用能力|

九年级数学第二学期期末质量检测 本试卷共5页，满分150分，考试时间120分钟。 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 下列各数中为无理数的是（ ） A. 2026 B. C. D. 2.体育运动图标，以其充分结合体育运动项目的特点，提炼核心元素，不拘泥于细节，重点捕捉创意灵感和大致形态，其简约大方，姿态优美的设计理念被大众所接受．下列运动图标中，是轴对称图形的是（     ） A．B．C．D． 3. 随着新一轮科技革命和产业变革逐步走向纵深，我国新能源汽车产业实现了快速发展，新能源汽车已经成为我们日常出行的重要交通工具．据预测，2026年底，我国新能源汽车保有量有望达到5397万辆，其中“5397万”用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 4. 如图，该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5．图①是共享单车实物图，图②是示意图．已知，，点，，三点在同一条直线上，且，，则的度数为（     ） A． B． C ． D． 6．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成，在课程学习中制作了如下四张除正面内容不同外，其余都相同的卡片，将四张卡片背面朝上，从中随机抽取两张，则抽到的卡片内容都是化学变化的概率是（   ） A． B． C． D． 7．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．如图1，在矩形中，，E是边上的一个动点，，交于点F，设，，图2是点E从点B运动到点C的过程中，y关于x的函数图象，则的长为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 9．如图，将边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°到正方形AEFG的位置，则图中阴影部分的面积为(   ) A． B． C． D． 第9题图 第10题图 10．如图，A，B两点在反比例函数的图象上，C、D两点在反比例函数的图象上，AC⊥x轴于点E，BD⊥x轴于点F，AC=2，BD=3，EF=，则=（　　） A．4 B． C． D．6 2、 填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11. 因式分解：___________． 12．已知和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于_____． 13. 小云和小涛分别从相距的A，B两地同时出发，相向而行．小云匀速步行，小涛在骑行的途中因修车耽误一段时间．若两人距A地的距离与时间的函数图象如图所示，则两人相遇的时间为______h． 14． 如图，OA在 x轴上，OB在y轴上，OA=8，AB=10，点C在边OA上，AC=2，P的圆心P 在线段BC上，且P与边AB，AO都相切．若反比例函数（k≠0）的图象经过圆心P，则k=________________． 15.如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分（1）计算：． （2） 先化简，再求值：，其中为不等式组的整数解， 17. 本小题分如图，在平行四边形中，对角线，交于点，过点作于点，延长到点，使，连接． (1) 求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，，求的长． 18.本小题分近年来，我区电商产业蓬勃发展，快递物流业务量持续攀升，某物流公司计划通过引进机器人提高快递物品分拣效率．我们将运用数学知识探讨机器人的工作效率和合理采购问题．素材信息： 素材类别 具体内容 工作效率数据 ①1台A型机器人和1台B型机器人同时工作6小时，可分拣9000件快递；②1台A型机器人先工作3小时后，再由1台B型机器人单独工作12小时，也可分拣完9000件快递． 采购价格信息 A，B两款机器人价格分别为：A型每台22万元；B型每台15万元． 请根据相关信息，解决下列问题： (1)1台A型机器人和1台B型机器人每小时各分拣多少件快递？ (2) 物流公司计划采购A，B两款机器人共35台，且每小时分拣快递总数量不少于万件，如何采购才能使采购机器人的总费用最少？最少是多少万元？ 19．(本小题10分)在年第届冬季奥林匹克运动会上，我国冰雪健儿勇夺枚金牌、枚银牌、枚铜牌，共枚奖牌，取得我国境外参加冬奥会历史最好成绩．为此，某学校为调查九年级学生对“冬奥会”知识的了解情况，进行了相关测试（百分制），从两班各随机抽取了名学生的成绩，并进行整理和分析．成绩得分用表示，共分成四组： A．． B．．C．．D．．下面给出了部分信息： 信息一：九年级（1）班名学生的成绩是96，80，96，86，99，98，94，100，89，82；九年级（2）班名学生的成绩在C组中的数据是94，90，92． 信息二：九年级（2）班抽取的学生成绩扇形统计图： 信息三：九年级两个班抽取的学生的部分统计量： 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级1班 92 96 47.4 九年级2班 92 94 100 50.4 根据以上信息，回答下列问题： (1)直接写出上述，的值：________，________； (2)九年级两个班共有名学生参加了此次测试，估计两班参加此次测试成绩优秀（）的学生总人数是多少？ (3)学校欲选派成绩更稳定的班级参加下一阶段的测试，你认为学校会选派哪一个班级？请说明理由． （4）从九年级1班3位男生和2位女生中随机抽2名去参加比赛，求一男一女的概率。 20．(本小题12分)如图，已知，是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点． (1)求反比例函数的解析式；(2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集； (4)在坐标轴上是否存在一点，使是直角三角形？直接写出点的坐标． 21.(本小题12分)【项目式学习】项目背景：许多住宅小区、停车场等地方均会安装电动门，以提升使用车库的便利性和安全性，围绕电动伸缩门，某校数学实践小组以“电动门”这一主题开展项目式学习． 1 如图1，是某小区的处于关闭状态的一电动门． 2 将图1状态下的电动门抽象成如图2所示的矩形，测量发现，，且与出入口相等，与地面的距离，，． 3 如图3，当有车辆来临，触发感应装置，电动门（矩形）自动抬起，变为四边形． 问题解决 (1)任务1：在抬起状态下，四边形的形状为___________； (2)任务2：如图3，当抬起的电动门的端点与的连线与平行时，求，两点间的距离； (3)任务3：如图4，当电动门抬起，且与水平方向的夹角为时，一辆高，宽的汽车从该入口进入时，汽车需要与保持的安全距离，此时，汽车能否安全通过，若能，请通过计算说明；若不能，说明理由．（参考数据：） 22. 本小题分如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点．点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点． (1)求这个二次函数的表达式； (2)若点仅在线段上运动，如图．求线段的最大值；若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 本小题分 （1）【探究发现】如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证： （2）【类比迁移】如图②，在矩形中，为边上一点，且将沿翻折到处，延长交边于点延长交边于点且求的长． （3）【拓展应用】如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，将沿翻折得到，直线交于点求的长． 九年级数学试题 第 页 共5页1 学科网（北京）股份有限公司 九年级数学第二学期期末质量检测 参考答案 本试卷共5页，满分150分。每题解法不同，若遇不同解法，按此解法分步骤赋分。 1、 选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1——5 DBCCD 6——10 BCADA 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.（m+3）(m-3) 12.3 13. 14.-5 15. 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.答案略 (1)实数计算5分：化简每项1分，最终结果1分 (2)分式化简求值5分：化简3分，解不等式1分，代值计算1分 17.（1）证明：∵，∴，....1分 平行四边形，且，，........2分 在和中，，，.......3分 ，，，.........4分 ∴四边形是平行四边形，又，四边形是矩形；..........5分 （3） 解：由1知：四边形是矩形， ，∴，，，7分 中，，，，........8分 ∴，又，，........9分 四边形是平行四边形，，．.........10分 18. （1）解：设A型、B型机器人每小时各分拣、件快递， 由题意：解得：......3分 答：A、B两种机器人每小时各分拣件、件快递；........4分 （2） 解：设采购A型机器人台，则B型为台， 由题意知： 解得，.........6分 设总费用为万元，∴，.......7分 ∵，∴W随a的增大而增大，当时，W最小，此时A、B分别为15台和20台， ∴W的最小值为：（万元），.....9分 答：采购A型15台，B型20台的费用最少，是630万元．.........10分 19. 【答案】(1)；........4分.(2)人(3)九年级（1）班的成绩更稳定， 理由见解析 【详解】（1）解：九年级（2）班C组占的百分比为，， ； 将九年级（1）班名学生的成绩按照从小到大的顺序排列：80，82，86，89，94，96，96，98，99，100； 位于第和位数据为和， 中位数； （2）解：样本中九年级（2）班测试成绩优秀（）的学生人数为（人）， 估计两班参加此次测试成绩优秀（）的学生总人数是（人）．........7分 （3）解：九年级（1）班的成绩更稳定， 理由： ，即九年级（1）班的方差小于九年级（2）班的方差， 九年级（1）班的成绩更稳定．......8分 （4）树状图2分，答案略 20.【答案】(1)(2)(3)或(4)存在，或或或 【分析】（1）先把代入求得m的值即可；（2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解；（3）图象法求出不等式的解集即可； （4）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为，且在反比例函数图象上，∴， ∴反比例函数的解析式为；.......2分 （2）解：∵点B的坐标为也在上，∴，∵都在一次函数的图像上,∴，解得， ∴一次函数的解析式为；......4分∵如图：设直线与y轴交于点C， ∴，∴，∴...6分 （3）解：由图象可知：的解集为：或；......8分 （4）只填写答案即可，每个1分.........12分 解： 当点P在x轴上，设点， ①如图2：若时，∵A的坐标为，∴点P的坐标为 如图3，当时， ∴，， ∵是直角三角形， ∴，即，解得， ∴点P的坐标为；当点P在y轴上时，设点，如图4：若时，∵A的坐标为，∴点P的坐标为； 如图5：当时，，∴， ∵是直角三角形，∴，即， 解得，∴点P的坐标为；综上可得点P的坐标为或或或． 21.【答案】(1)平行四边形(2)(3)汽车能安全通过，理由见解析 【详解】（1）解：根据题意可知，，，，∵四边形是矩形， ∴，，∴，，∴四边形是平行四边形；........3分 （2）解：如图，连接，过点作于点N， ∵，，∴，又∵，，∴，∴四边形是矩形，......5分 ∴，，在中，，，∴， ∴，即，两点间的距离为；........7分 （3） 解：汽车能安全通过．理由如下：在上取，，作于点F，交于点H，交于点G，即汽车与保持安全距离，汽车的宽， （4） ∴，依题意得：，，四边形是矩形， （5） ∴，，，在中，，...10分 ∴，∵汽车高度为，，∴汽车能安全通过．.....12分 22.【答案】(1)(2)，存在，点的坐标为或或 【分析】（1）把点、代入中求出，的值即可；（2）由点得，，从而得，化为顶点式，根据二次函数的图象与性质即可得到结论；易得到，则分为对角线和边，利用菱形的性质进行列式求解即可． 1） 解：把，代入中，得， 解得，；.....3分 2）解：设直线的表达式为，把， 代入得，，解得，． ......4分 点是轴上的一动点，且轴，，，                     ．.....5分 ，抛物线开口向下．又点在线段上运动，，......6分 ，当时，有最大值；    ......7分                  每个2分......12分，以下为详细解答轴，轴，即， 、是以、为顶点的菱形的边；如图所示，当为对角线时， ，是等腰直角三角形，，，，，轴，轴，即轴，点与点关于抛物线对称轴对称， ，对称轴为直线，点的坐标为，， ，； 如图所示，当为边时，则， ，，， ，， ， 解得或（舍去），，，； 如图所示，当为边时，则，同理可得，， 解得或（舍去），，，； 如图所示，当为边时，则，同理可得，解得（舍去）或（舍去）；如图所示，当为对角线时，，， ，x，轴，轴，这与题意相矛盾，此种情形不存在； 如图所示，当为对角线时，设，交于，轴，，，，这与三角形内角和为度矛盾，此种情况不存在； 综上所述，存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或或． 23．（1）见解析；（2）；（3）的长为或 【详解】证明：（1）将沿翻折到处，四边形是正方形，，，，，，；......3分 （2）解：延长，交于，如图：设，在中，，，解得，......4分，，， ，，即，，，，， ，，，即，，....6分 设，则，，， ，即，解得，的长为；.....7分 （3） （Ⅰ）当时，延长交于，过作于，如图： 设，，则，， ，，， 沿翻折得到，，，， 是的角平分线， ，即①，，，，， 在中，，②，联立①②可解得，；......10分 （Ⅱ）当时，延长交延长线于，过作交CD延长线于点，如图： 同理，，即， 由得：， 可解得，，综上所述，的长为或．.....13分 第 页 共5页1 学科网（北京）股份有限公司 $