期末高频考点(2) 图形的相似-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级数学下册（苏科版2012）

期末高频考点 期末高频考点(2) 图形的相似 一、选择题 1.(2024·哈尔滨)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,点E在AB上，EF∥AD交CD于 点F.若AE:EB=1:2,DF=3,则FC的长为 () A.6 B.3 C.5 D.9 D (第1题) (第2题) (第3题) (第4题) 2.如图，在□ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD交于点F.若SADr：S△ABr=4:25,则 DF:BF等于 () A.2:5 B.2:3 C.3:5 D.3:2 3.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格 线的交点上，设△ABC的周长为C1,△DEF的周长为C2,则C：C2等于 () A.1:√2 B.1:4 C.2:1 D.4:1 4.(2024·德州)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC,垂足为D,AE平分∠BAC, 分别交BD、BC于点F、E.若AB:BC=3:4,则BF:FD等于 () A.5:3 B.5:4 C.4:3 D.2:1 二、填空题 点.221·云南如图，AB与CD交于友0.且AC∥Bm若8+8+品-，则品的值 为 (第5题) (第6题) (第7题) (第8题) 6.如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E.若 BF:FD=3:1,BC=8,则CE的长为 7.新定义：若等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），则称这个等腰三 角形为“精准三角形”.如图，△ABC是“精准三角形”，AB=AC=2,CD⊥AB,垂足为D, 则BD的长为 8.(2024·苏州)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=5,AC=10,点D、E分别在边AC、 AB上，AE=√5AD,连接DE,将△ADE沿DE翻折，得到△FDE,连接CE、CF.若 △CEF的面积是△BEC面积的2倍，则AD的长为 《137 课时提优计划作业本数学九年级下册(SK版))) 三、解答题 9.如图，在△ABC中，AB=AC,点D、E分别在边BC、AC上，且DC=DE. (1)求证：△ABC∽△DEC. (2)若AB=5,AE=1,DE=3,求BC的长. 10.如图，已知正方形ABCD和正方形BGFE,点G在边AB的延长线上，连接CG,交EF 于点H,点E在边BC上，连接AE并延长，交CG于点K. (1)求证：△ABEp△CKE. (2)求证：BE=FH·AB. 11.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D是边AC的中点，△ABC∽△DEC,AC=2,BC=4. (1)求证：DE∥AB. (2)如图2，将△DEC绕，点C顺时针旋转，旋转角为α(0°<a<90°)，连接AD、BE. ①求架的值： ②若A、D、E三点共线，求∠DEB的度数. A D C 图1 图2 12.如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E,BE交AD于点F, AB=AD. (1)求证：△BFD∽△CAB. (2)求证：AF=DF. (3需的值为 (直接写出结果，不需要写出解答过程) 138》a-b+c=-3, a=1, 得c=-2,解得b=2,.抛物线的表达式为y= (a+b+c=1, c=-2, x2+2x-2..点Q(m,n)在抛物线上，.n=m2+2m-2, .m2+2m一n=2.5.C解析：观察图像可知，抛物线开口 向下，即a<0,对称轴在y轴右侧，即b>0,与y轴交于其正 半轴，即c>0,则abc<0,故①正确；方程ax2十bx十c十1=0 的根是y=ax2+bx十c的图像与直线y=一1的交点横坐标， ,y=ax2十bx十c的图像与直线y=一1有2个交点，∴.方程 a.x2十bx十c十1=0一定有两个不相等的实数根，故②正确；由 图像可知，当x=一1时，y0,即a一b十c0,故③错误；由图 像可知，抛物线的对称轴为直线x=一会<1，则一6>2，即 2a十b0,故④正确；由图像可知，当x>1时，y<0,∴.am2+ bm十ca十b+c,即m(ma+b)<a+b(m为常数，且m>1), 故⑤正确.综上所述，正确的结论是①②④⑤，共4个. 6.y=(x一2)2+37.≤号且≠1解析：抛物线y= (k-1)x2-x+1与x轴有交点，.-4ac=(-1)2-4× (-1)×1≥0，解得≤号.又：k-1≠0，∴k≠1.综上所述， 及的取值范围是≤且≠1.8.一3≤<1解析：二 次函数y=(x一1)2-3中a=1>0,∴.当x=1时，y有最小值 -3,当x=3时，y有最大值为(3-1)2一3=1，.当0<x<3 时，y的取值范围是一3≤y<1.9.1<x<4解析：，不等 式a.x2+(b-k)x十c-t<0的解集就是a.x2+bx+c<kx+t 的解集，.不等式的解集可以看作是在A、B之间的图像（抛 物线在直线下方)对应的自变量的取值范围.又，点A的横坐 标为1，点B的横坐标为4，∴.当1<x<4时，ax2+bx十c< x十t,即ax2+(b-k)x十c-t0.10.23.5解析：令x= 0,则y品×36-号=15，∴A0,15):令y=0,则0=(x 8 62-号，解得a=4,=8,BC4,0).C(8,02.抛物线的 对称轴为直线x=6,点A关于抛物线对称轴对称的点为D, ∴.D(12,15).如图，作点D关于y轴对称的点H,连接CH交 y轴于点E,交⊙C于点F,则DE=EH,H(-12,15),此时 DE+EF=EH十EF=HF,为最小值.，CH= √(8+12)2+15=25，.DE+EF的最小值为HF=CH C℉=25-1.5=23.5. D OBC衣 11.(1)把A(-2,0)、B(1,0)代人y=-x2+bx+c,得 一4一2b十c=0:解得{0二2’(2)由(1)知，二次函数表达 1-1+b+c=0, 式为y=一x2-x+2,设点P的坐标为(m,-m2一m十2). :△PAB的面积为6，AB=1-(-2)=3,÷S8=AB· 1p=合×3X1-m-m+2引=6，∴m2+m-21=4,即 m2十m一2=4或m2十m一2=一4，解得m=一3或m=2, 点P的坐标为(-3，-4)或(2，-4).12.(1)1000 解析：1200-2×(200-100)=1000（元），∴.当乙种水稻种 课时提优计划作业本·数 5 植面积为200亩时，乙种水稻田的每亩平均收益为1000元. (2)设种植乙种水稻x亩，总收益为y元.①当x≤100时，y 800(400-x)十1200x=400x十320000,400>0，.当x 100时，y有最大值，最大值为360000；②当x>100时，y= 800(400-x)+[1200-2(x-100)]x=一2x2+600x+320000= -2(x-150)2+365000,-2<0,.当x=150时，y有最大 值，最大值为365000.，365000>360000，∴.当种植乙种水 稻150亩，甲种水稻250亩时，总收益最大，最大总收益为 365000元.13.(1)将(3,0)、(0，一3)代入y=x2+bx+c, 得9十36+c=0”解得b一？：抛物线的函数表达式为 (c=-3, c=-3, y=x2一2x一3.(2)如图1，设直线AC的函数表达式为y= 十m将(3,0、0，一3)代人，得肤十m0解得 k-1,。“直线AC的函数表达式为y=x一3.设点P(, m=-3, t-2t-3),则点D(t,t-3),.PD=t-3-(一2t-3) -P+3=-(-是)°+是“-1<0，当=号时，PD有 最大值，为是，此时点P的坐标为（号，一）】 (3)存在.理 由如下：如图2，①当∠ACP=90°时，由(2)知，直线AC的函 数表达式为y=x一3，故直线CP的函数表达式为y=一x 3联立2.解得 1v=-4剪 (不符合题意， 舍去)，∴.点P的坐标为(1，一4)；②当∠PAC=90时，设直线 AP的函数表达式为y=一x十n,将A(3,0)代入，得一3十n= 0,解得n=3,故直线AP的函数表达式为y=一x十3，联立 《2一2x一3，m相'或，=0不符合题意，舍去)， y=-x+3, ∴点P的坐标为（一2,5）.综上所述，符合条件的点P的坐标 为(1，-4)或（一2,5）. 图1 图2 期末高频考点(2)图形的相似 1.A解析：在四边形ABCD中，AD∥BC,EF∥AD, ∴AD/EP/BC,語-，即号-亮，解得PC=6 2.A解析：，四边形ABCD是平行四边形，.CD∥AB, ∴∠EDF=∠ABF.:∠DFE=∠BFA,∴△DEFn△BAF DF)2 4.DF2 A家万中万：3.A解析：在西 方形网格中，每个小正方形的边长均为1，.BC=2,DE=2, AB=√/12+12=√2，AC=√/12+32=√10，EF=/22+22= 2g.0--2w》-号-方祭2e 祭-需-方提-器-茶-言AAIADEF, 且相似比为方号-方4A解折：AB:BC-3:4, 学·九年级下册(SK版) .可设AB=3x(x>0),则BC=4x.:∠ABC=90°，∴.AC= √AB2+BC=5x.BD⊥AC,∴.∠ADB=∠ABC=90°. “∠BAD=∠CAB,∴△ABDD△ACB,A5=AP,:3z ·ACAB…5x 2AD=号x:AE平分∠BAC,∴∠BAF=∠DAr, 3x ∠AEB=∠AFD.'∠AFD=∠BFE,∴.∠BEF=∠BFE, .BE=BF.:'∠ABE=∠ADF=90°，∠BAE=∠DAF, △ABBn△ADF8骠-8-登=号 BF 5 6之3’。·FD3· 5.号 解析：，AC∥BD,.△AOC∽△BOD, 器+6品品“8器+0品子品 6.5解析：如图，过点D作DH∥AE,交BC于点H,则 器-册-1，器-邵=8，∴8既=是.BC=8CE 8x号9 7.5-?,5解析：如图，作△ABC的中线CM.:△ABC是 “精准三角形”，器-52“AB=2,CM=5-1.M 是AB的中点，AM=MB=2AB=1.令DM=x,则AD x+1.:CD2=CP-DP=AC-AD2,∴.(W5-1)2-x2= 公-c+1DN,解得x=253,即DM=23,Bm- 2 MB-DM-5-2/5 2 D 8号解析：AE=5AD,∴可设AD=x(x>0),则AE= √5x.,△ADE沿DE翻折，得到△FDE,∴.DF=AD=x, ∠ADE=∠FDE.如图，过点E作EH⊥AC于点H.设EF与 AC交于点M,则∠AHE=∠ACB=90°.又∠A=∠A, △AHBn△ACB畏=是-器：BC=5AC=10, ∴AB=√AC+BC=√02+5=5V5,.E理=4- 5 10 5.EH-2,AH-2x,DH-AH-AD-2-EH, 5√ .Rt△EHD是等腰直角三角形，∠HDE=∠HED=45°， .∠ADE=∠EDF=135°，∴.∠FDM=135°-45°=90°.在 〔∠FDM=∠EHIM=90°， △FDM和△EHIM中，3∠DF=∠HME, .'.△FDM≌ DF=EH, 课时提优计划作业本·数 5 △EHMCAAS),∴DM=MH=合，CM=AC-AD- DM=10-是，Sam=SAE+Saw=合CM,EH+ 合CM,DF=(10-号x)x+)=x(10-2),5a题= Sa度-Sac=号×10X5-7X10·x=25-5x:△CEF 的面积是△BEC面积的2倍，x(10-之x)=2(25-5x), 则3x-40z+100=0,解得4-9，=10（舍去），则AD 1 3 D MH 9.(1)证明：AB=AC,∴.∠B=∠C.,DC=DE,∴∠DEC= ∠C,∴.∠DEC=∠B.∠C=∠C,△ABC∽△DEC (2).AB=AC=5,AE=1,∴.CE=AC-AE=5-1=4. △ACn△DBC2瓷，即号=竖，C=号 3 10.证明：(1)，四边形ABCD和四边形BGFE是正方形， ∴.AB=CB,FG=BG=BE,∠ABE=∠CBG=90°，'.△ABE≌ △CBG(SAS),.∠BAE=∠BCG,即∠BAE=∠KCE.又 ,∠AEB=∠CEK,∴.△ABE∽△CKE.(2),FG∥BC, ∴∠KCE=∠FGH.∠BAE=∠KCE,∠BAE= ∠FGH.又：'∠ABE=∠F=90°，∴.△ABE∽△GFH, “器-器又：GF=BE,能-需BE=FH,A 11.(1)证明：：△ABC△DEC,∠B=∠DEC,∴.DE∥ AB②)D:△ABCo△DBC,∴瓷-瓷÷瓷-瓷 ·∠ACB=∠DCE=90°，.∠ACD+∠BCD=∠BCE+ ∠BCD.ZACD=∠E,△CDACE.0瓷 4=立·②如图，当A,D,E三点共线时，设AE交BC于点 21 O.,△ACD∽△BCE,.∠CAD=∠CBE.,∠AOC= ∠BOE,∴.∠BEO=∠ACO=90°，即∠DEB=90°. 12.(1)证明：，DE垂直平分BC,,.BE=CE,.∠C= ∠EBD.:AB=AD,.∠FDB=∠ABD,.△BFDO △CAB(2)证男：DE垂直平分BC,∴肥-合 ABPDACAB,.器器分FD-合ABAB= AD,∴FD=2AD,AF=DP(3)号解析：如图，过点 C作CH∥AD,交BE的延长线于点H.,DE垂直平分BC, ÷-CH∥A,△BDF△BCH,8器器 学·九年级下册(SK版) 5。 0-2:AF=D,部=子.：AD/HC,∠FAE= ∠HCE,∠AFE=∠CHE,∴△AEn△cHE,器-部 B D 期末高频考点(3)锐角三角函数 1.A2.B解析：如图，过点C作CD LAB,垂足为D.在 Rt△ADC中，由勾股定理得AC=√AD+CD=√32+4= 4 传送带 B (第2题) (第3题) 3.C解析：如图，过点B作BC垂直地面于点C.设BC= xm传送带和地面所成斜坡AB的坡度为1：2，∴.AC= 2xm.,AC+BC=AB2,,∴.(2x)2+x2=102,解得x=2√5， 即BC=2√5m,∴.物体离地面的高度为2√5m.4.B 解折：45<∠B<60,∴c0s60”<6c0sB<cos45,2< .5.A解析：在△ABC中，∠BAC=90°，AB= AC,∴.∠ABC=∠C=45°，BC=√2AC.又：D为边AC的中 点，∴AD=DC=AC.:DE⊥BC,∠CDE=∠C=45, DE=C=号DC=竖AG,m∠DBC=器 VAC-AC 宁6要解折：在R△ABC中，斜边 AB-5血A器-号BC-号×5- 4· 7.105° 解：smA-号+(sB号)}-0血A-=0， 2 asB-号=-0，mA=名，sB号又：∠A∠B为锐 角，.∠A=30°，∠B=45°，∠C=180°-∠A-∠B=180° 30°-45°=105°.8.号解析：如图，过点A作AD⊥BC于 点D,过点B作BELAC于点E.在R△BEC中，6sC-瓷， ∴.CE=BC·cosC=3,∴BE=√BC-CE=√6-3z= 33.在Rt△BEA中，AE=√AB-BE=√(2W7)2-(33)2= 1,AC=AE+EC=1+3=4.在R△ADC中，osC=C2, AC' 课时提优计划作业本· 5 .CD=AC·cosC=2,∴.AD=√AC-CD=√42-22= 25.∴BD=BC-CD=6-2=4.在R△BAD中，mB=品 23-5 421 D 9或35解析：在等边三角形ABC中，AB=AC=BC, ∠C=60°.如图1，当点D在线段CA上时，AB=2AD,∴.AD= CD,.BD⊥AC,.∠BDC=90°，.∠DBC=30°， tam∠DBC=号：如图2，当点D在线段CA的延长线上时， 过点D作DE⊥BC于点E,,AB=2AD,.设AD=x,则 AB=BC=CA=2x,.'.CD=CA+AD=2+x=3x..DE BC,∴∠DEC=90,∴∠CDE=30,CE=合CD=是， DE=3,BE-BC-CB-=2z-号x=宁，an☑DBC- 噩-3.综上所述，n∠DBC的值为号或3。 3 E 图1 图2 10.1解析：如图，延长CD交AB于点E,过点E作EG⊥ BC于点G,过点D作DF⊥AB于点F.,∠B=∠C=30°， ∴∠CEA=∠B+∠C=60°，BE=CE.,EG⊥BC,∴.BG= 0-号0=专×8=4，E=9-有=89 3 3 2 ∴AE=AB-BE=45-85-49:∠BDA=10 3 ∠CEA-∠A=180°-60°-30°=90°，∠A=30°，∴.AD=AE· as30-5×9=2在R△AFD中，：∠A=30DF= 3 合AD-号×2=1，即点D到AB的距离为1 11.(1),AD是边BC上的高，∠ADB=∠ADC=90°.在 R△ADB中，amB-品=合，AD=2,BD=4,由勾股 定理得AB=√JAD+BD=√22+4=2√5，∴.cos∠BAD= 学·九年级下册(SK版) 6-