精品解析：河南省漯河市召陵区实验中学2026春阶段性巩固与提高期末考试卷 八年级数学(RJ)

2026春阶段性巩固与提高期末考试卷 八年级数学（RJ） 测试范围：全册 注意事项： 1．校本教研，内部资料，严禁外传． 2．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 3．请用水笔按要求答在试卷上或答题卡上． 4．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，其中是变量的是（ ） A. a，t，y B. y C. t，y D. a，y 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 矩形的对角线长为，其中一边长为，则该矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数的图象与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 为落实双减，某校某班为了确定每名学生每天所能完成的数学做题量，老师随机抽查了该班9名学生在某一天中各自完成数学作业的题量（单位：道），具体如下：7，8，8，9，10，12，14，17，19．根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的（ ） A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 7. 如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 8. 国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形中，为上一点，连接 于点 ，连接 ，设 ，若，则 一定等于（ ） A. B. C. D. 10. 如图①，在中，，点是边的中点，点 是边上一动点，设，图②是关于的函数图象，其中是图象中的最低点，那么的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 13. 点在一次函数的图像上，当时，，则a的取值范围是____________． 14. 如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是______． 15. 如图，在矩形中，，，有一动点P以的速度沿着B-C-D的方向移动，连接 ，将沿 折叠得到，则经过__________，点落在边所在直线上． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长． 18. 根据气象研究，在最接近地球表面的对流层内，从海平面向上每升高，气温降低，而在对流层之上的平流层下层（又称同温层）内，气温基本保持不变．已知海平面气温为，设海拔处气温为． （1）当时，请直接写出在对流层内y与x之间的函数关系式 ； （2）已知我国南海海域对流层高度为，我空军某部飞行员在驾驶J－20战斗机在南海海域巡逻，根据仪表显示，机舱外温度为时，战机巡航海拔高度为，求此时该战机下方海面气温； （3）在（2）的条件下，若战机继续攀升至海拔 处，求此时机舱外温度． 19. 如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端 处， （1）如图1，求木杆折断之前的高度； （2）如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 20. 为了以赛促练，强健体魄，八年（1）班组织了一场 跳绳比赛．参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人同台竞技．赛后，对两组的成绩进行了收集、整理、描述与分析，部分信息如下所示： a．两组成绩（单位：次）统计如下： 甲组：144，132，136，162，132，136，144，115，123，144； 乙组：125，138，149，128，138，134，128，133，146，148． 甲、乙两组数据的四分位数（单位：次）如下表： 组别 甲组 132 136 144 乙组 m n 146 请根据以上信息完成下列问题： （1）求表中m，n的值； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，图中A，B哪个反映的是甲组的成绩？ （3）请你根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 21. 问题：探究函数的图象与性质．小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）如表是x与y的几组对应值，m的值为 ； x … 0 1 2 3 4 … y … 2 m 0 0 1 … （2）在如图平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为； ②当时，y随x的增大而增大； ③函数图象关于直线对称． 小明得出的结论中正确的是 ．（只填序号） （4）已知直线与函数的图象有两个交点，直接写出方程组的解为 ． 22. 如图，直线：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线：交于点C，且OA＝8． （1）求直线的解析式： （2）若与y轴交于点D，求△BCD的面积， （3）在线段上BC是否存在一点E，过点E作轴与直线CD交于点F，使得四边形OBEF是平行四边形？若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由． 23. 数学课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． （1）【操作判断】 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．根据以上操作，填空：图2中与的数量关系是__________；四边形的形状是__________； （2）【迁移探究】 小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板边长为 ，过程如下：将三角板按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由；若能，请求出的长； （3）【拓展应用】 在（2）的探究过程中，当为等腰三角形时，的长是________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春阶段性巩固与提高期末考试卷 八年级数学（RJ） 测试范围：全册 注意事项： 1．校本教研，内部资料，严禁外传． 2．本试卷共6页，三大题，满分120分，测试时间100分钟． 3．请用水笔按要求答在试卷上或答题卡上． 4．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 一根蜡烛原长a厘米，点燃后燃烧时间为t分钟，所剩余蜡烛的长为y厘米，其中是变量的是（ ） A. a，t，y B. y C. t，y D. a，y 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的定义，在一个变化过程中，不断变化的量是变量，蜡烛燃烧，剩余长度在变化，时间在变化，从而确定答案． 【详解】因为蜡烛燃烧，剩余长度在变化，时间在变化， 所以变量是时间t分钟，剩余蜡烛的长为y厘米， 故选C． 【点睛】本题考查了函数的变量，熟练掌握函数变量的意义是解题的关键． 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简二次根式，再根据同类二次根式的定义即可得出答案． 【详解】A．，与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； C．，与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； D．，与是同类二次根式，能合并，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 3. 矩形的对角线长为，其中一边长为，则该矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，根据勾股定理可求出的长，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，矩形，对角线，， ∴， 在中，， ∴该矩形的面积为， 故选：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理的综合，掌握以上知识是解题的关键． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同类二次根式的概念、二次根式减法、乘法及除法法则计算可得． 【详解】解：A．3与2不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误； B．，此选项计算错误； C．，此选项计算正确； D．，此选项计算错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 5. 一次函数的图象与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数与y轴的交点坐标，一次函数与y轴的交点的横坐标为0，据此求出当时y的值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴一次函数的图象与y轴的交点坐标为， 故选A． 6. 为落实双减，某校某班为了确定每名学生每天所能完成的数学做题量，老师随机抽查了该班9名学生在某一天中各自完成数学作业的题量（单位：道），具体如下：7，8，8，9，10，12，14，17，19．根据抽样的数据，老师将每名学生标准做题量定为10道，其依据是统计数据中的（ ） A. 方差 B. 众数 C. 中位数 D. 平均数 【答案】C 【解析】 【分析】先分别计算出各选项对应统计量的值，再结合题意判断确定标准做题量的依据即可． 【详解】解：∵这组数据已按从小到大排列，共9个数据， ∴中位数为第5个数据，即； 众数为出现次数最多的 ， 平均数为： ， 方差反映数据的波动程度，不能作为确定标准做题量的依据， 老师将标准定为道，代表大约一半学生可以达到该标准，因此依据是统计数据中的中位数． 7. 如图，四边形的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形是平行四边形（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法，逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由，，根据“两组对边分别相等的四边形为平行四边形”可以判定四边形是平行四边形，故A不符合题意； B．由，不能判定四边形是平行四边形，故B符合题意； C．由，，根据“两组对边分别平行的四边形为平行四边形”可以判定四边形是平行四边形，故C不符合题意； D．由， ，根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”可以判定四边形是平行四边形，故D不符合题意． 8. 国庆假期间，妍妍与同学去玩寻宝游戏，按照藏宝图，她从门口A处出发先往东走9km，又往北走3km，遇到障碍后又往西走7km，再向北走2km，再往东走了4km，发现走错了之后又往北走1km，最后再往西走了1km就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图（见解析），过点作于点，先分别求出 的长，再利用勾股定理即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 则，， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键． 9. 如图，在正方形中，为上一点，连接 于点 ，连接 ，设 ，若，则 一定等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正方形性质及全等三角形判定与性质等知识点，过点C作 于G，由四边形是正方形，利用 证得，得出，结合，推出 ，即是等腰直角三角形，，再运用三角形外角性质即可得出答案，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】过点C作 于G， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 10. 如图①，在中，，点是边 的中点，点 是边上一动点，设，图②是关于的函数图象，其中是图象中的最低点，那么的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，当P与B重合时，由图②可得，，作A关于直线的对称点，连接交于P，交于K，连接，此时，、 、共线，最小，即最小，根据 ，，、关于对称，可证是等边三角形，在中，得，，在中，，即可得答案． 【详解】解：当P与B重合时，由图②知，， ∵点E是边 的中点， ∴ ， ∴ ， 作A关于直线的对称点，连接交于P，交于，连接，如图： 此时， ∴， 而、 、共线，最小，即最小， ∵ ， ∴， ∵、关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵E是 中点， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 在中，，， 在中，， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若二次根式有意义，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得： ， 故答案为： ． 12. 若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数． 【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是， 即该正多边形的边数是8， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等． 13. 点在一次函数的图像上，当时，，则a的取值范围是____________． 【答案】a＜2 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，建立不等式计算即可． 【详解】∵当时，， ∴a-2＜0， ∴a＜2， 故答案为：a＜2． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 14. 如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是______． 【答案】3 【解析】 【分析】将y＝3代入一次函数解析式求出x值，由此即可得出点E的坐标为（3，3），进而可得出△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，根据平移的性质即可得出点A与其对应点间的距离． 【详解】解：当时，， 点的坐标为， 沿轴向右平移 个单位得到， 点与其对应点间的距离为 ， 即点移动的距离是3． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及坐标与图形变换中的平移，将y＝3代入一次函数解析式中求出点E的横坐标是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，有一动点P以的速度沿着B-C-D的方向移动，连接 ，将沿 折叠得到，则经过__________，点落在边所在直线上． 【答案】或7 【解析】 【分析】分两种情况：①当点P在上，点在边上时，由折叠和勾股定理即可求解；②当点P在上，点在边的延长线上时，同理即可求解． 【详解】解：①当点P在上，点在边上时， ∵四边形为矩形，， ∴，， 根据折叠的性质可得，， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∵动点P以的速度沿着B-C-D的方向移动， ∴运动时间； ②当点P在上，点在边的延长线上时， ∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， 根据折叠的性质可得，， 在中，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴动点P走过的路程为， ∵动点P以的速度沿着B-C-D的方向移动， ∴运动时间． 综上，经过或点落在边所在直线上． 故答案为：或7． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理，读懂题意，学会利用分类讨论思想和数形结合思想解决问题是解题关键． 三、解答题（共8题，共75分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用二次根式混合运算法则计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式以及完全平方公式，能够熟练应用运算法则和掌握公式的应用是解题的关键． 17. 如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E、F在AC上，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若AD＝2，∠AOB＝120°，求AB的长． 【答案】（1）见解析 （2）6 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定即可求出答案．（2）根据矩形的性质以及含30度角的直角三角形的性质即可求出答案． 【小问1详解】 解：在矩形ABCD中， ∴OA＝OB＝OC＝OD， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 【小问2详解】 由（1）可知：OA＝OB， ∵∠AOB＝120°， ∴∠DBA＝30°， ∵AD＝， ∴AB＝AD＝6． 【点睛】本题考查矩形，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及平行四边形的判定，本题属于基础题型． 18. 根据气象研究，在最接近地球表面的对流层内，从海平面向上每升高，气温降低，而在对流层之上的平流层下层（又称同温层）内，气温基本保持不变．已知海平面气温为，设海拔处气温为． （1）当时，请直接写出在对流层内y与x之间的函数关系式 ； （2）已知我国南海海域对流层高度为，我空军某部飞行员在驾驶J－20战斗机在南海海域巡逻，根据仪表显示，机舱外温度为时，战机巡航海拔高度为，求此时该战机下方海面气温； （3）在（2）的条件下，若战机继续攀升至海拔 处，求此时机舱外温度． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了列函数解析式，理解题意，列出相应的函数关系式是解题关键． （1）根据题意直接列出函数关系式即可； （2）根据题意得出，代入即可求解； （3）结合（2）中结果及题意代入求解即可； 【小问1详解】 解：依题意，从海平面向上每升高，气温降低， 当时，关于之间的关系式为； 【小问2详解】 根据题意得：战机巡航海拔高度为，即， 关于之间的关系式为； ∴, ∴海面气温为； 【小问3详解】 由（2）得关于之间的关系式为， 当时，， ∵对流层之上的平流层下层（又称同温层）内，气温基本保持不变， ∴战机继续攀升至海拔 处，此时机舱外温度为． 19. 如图，一根木杆在离地面的B处折断，木杆顶端C落在离木杆底端 处， （1）如图1，求木杆折断之前的高度； （2）如图2，若此木杆在D处折断，木杆顶端C落在离木杆底端处，求的长． 【答案】（1）木杆折断之前的高度是 （2）的长是 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟记勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理列出直角三角形的三边关系，即可求出的长； （2）根据（1）的结论结合勾股定理列式求解． 【小问1详解】 解：在中，，， ， 根据勾股定理：，， 答：木杆折断之前的高度是． 【小问2详解】 解：设的长为，则， 在中，根据勾股定理： ，解得：． 的长是． 20. 为了以赛促练，强健体魄，八年（1）班组织了一场 跳绳比赛．参赛学生被分为甲、乙两组，每组10人同台竞技．赛后，对两组的成绩进行了收集、整理、描述与分析，部分信息如下所示： a．两组成绩（单位：次）统计如下： 甲组：144，132，136，162，132，136，144，115，123，144； 乙组：125，138，149，128，138，134，128，133，146，148． 甲、乙两组数据的四分位数（单位：次）如下表： 组别 甲组 132 136 144 乙组 m n 146 请根据以上信息完成下列问题： （1）求表中m，n的值； （2）根据四分位数可绘制如下的箱线图，图中A，B哪个反映的是甲组的成绩？ （3）请你根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈你对两组成绩的看法． 【答案】（1）128，136 （2）A （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查了中位数和四分位数，掌握中位数的计算方法是解答本题的关键． （1）先将乙组数据从小到大排序，再计算出下四分位数和中位数即可； （2）根据箱线图和甲乙两组数据特征分析即可； （3）根据箱线图比较两组数据可知甲组成绩比较分散，即可得出结论． 【小问1详解】 解：将乙组的成绩从小到大排列为125，128，128，133，134，138，138，146，148，149， 所以，， 故答案为：128，136； 【小问2详解】 解：从表中可知，甲组的四分位数是， 而图中左边的箱线图（标记为A）的箱子下边缘在132、中位数在 136、上边缘在 144，并且其整体范围从约 115 到 162，与甲组数据对应， 因此A代表甲组的成绩． 【小问3详解】 解：甲组测试的成绩的方差更大， 理由如下：根据箱线图，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中，所以甲组测试的成绩的方差更大．（合理即可）． 21. 问题：探究函数的图象与性质．小明根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）如表是x与y的几组对应值，m的值为 ； x … 0 1 2 3 4 … y … 2 m 0 0 1 … （2）在如图平面直角坐标系中，描出表中各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； （3）小明根据画出的函数图象，得出了如下几条结论： ①函数有最小值为； ②当时，y随x的增大而增大； ③函数图象关于直线对称． 小明得出的结论中正确的是 ．（只填序号） （4）已知直线与函数的图象有两个交点，直接写出方程组的解为 ． 【答案】（1）1 （2）见解析 （3）①②③ （4） 【解析】 【分析】（1）将代入求解即可； （2）根据（1）中表格中的数据描点，然后连接即可； （3）根据（2）中的图象求解即可； （4）根据题意分两种情况讨论，分别解方程组求解即可． 【小问1详解】 当时，； 故答案为：1； 【小问2详解】 如图所示， 【小问3详解】 ①函数有最小值为，故正确； ②当时，y随x的增大而增大，故正确； ③函数图象关于直线对称，故正确； 故答案为：①②③． 【小问4详解】 ∵ ∴当时，即时， ∴，解得； ∴当时，即时， ∴，解得； 综上所述，方程组的解为，． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程的关系，能熟记一次函数的图象和性质，数形结合是解此题的关键． 22. 如图，直线：分别与x轴、y轴交于A、B两点，与直线：交于点C，且OA＝8． （1）求直线的解析式： （2）若与y轴交于点D，求△BCD的面积， （3）在线段上BC是否存在一点E，过点E作轴与直线CD交于点F，使得四边形OBEF是平行四边形？若存在，求出点E的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）20 （3）存在点E（，）使得四边形OBEF是平行四边形 【解析】 【分析】（1）先求出A点坐标，然后用待定系数法求解即可； （2）先求出B、D的坐标，从而求出BD，然后求出点C的坐标，根据求解即可； （3）设点E的坐标为（，），则点F的坐标为（m，2m-6），则，再由四边形OBEF是平行四边形，得到EF=OB=4，则，由此求解即可． 【小问1详解】 解：∵OA=8， ∴点A的坐标为（8，0）， ∴， ∴b=4， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵直线：与y轴交于点D，直线：与y轴交于点B， ∴点D的坐标为（0，-6），点B的坐标为（0，4）， ∴BD=10， 联立 ， 解得， ∴点C的坐标为（4，2）， ∴； 【小问3详解】 解：假设存在， 设点E的坐标为（，），则点F的坐标为（m，2m-6）， ∴， ∵四边形OBEF是平行四边形， ∴EF=OB=4， ∴， ∴， ∴点E的坐标为（，）， ∴存在点E（，）使得四边形OBEF是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点，一次函数与几何综合，平行四边形的性质等等，熟知相关知识是解题的额关键． 23. 数学课上，老师让同学们以“三角板的平移”为主题开展数学活动． （1）【操作判断】 操作一：将一副等腰直角三角板两斜边重合，按图1放置； 操作二：将三角板沿方向平移（两三角板始终接触）至图2位置．根据以上操作，填空：图2中与的数量关系是__________；四边形的形状是__________； （2）【迁移探究】 小航将一副等腰直角三角板换成一副含角的直角三角板，继续探究，已知三角板 边长为 ，过程如下：将三角板按（1）中的方式操作，如图3，在平移过程中，四边形的形状能否是菱形，若不能，请说明理由；若能，请求出的长； （3）【拓展应用】 在（2）的探究过程中，当为等腰三角形时，的长是________． 【答案】（1），平行四边形 （2）菱形，理由见解析， （3）6或 【解析】 【分析】（1）①根据 ，都是等腰直角三角形，及正方形的判定即可求解；②运用全等三角形的判断和性质，平行四边形的判定方法即可求解； （2）根据菱形的判定方法即可求证； （3）根据等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质，分类讨论，图形结合即可求解． 【小问1详解】 解： ，都是等腰直角三角形， ， ， 四边形是正方形； 根据平移的性质可得，， 如图所示，连接，， ，都是等腰直角三角形， ， 将三角板沿方向平移（两个三角板始终接触）， ，，且， 在和中， ， ， ，且， 四边形是平行四边形， 故答案为：，平行四边形． 【小问2详解】 解：可以是菱形，理由如下： 如图所示，连接，， ，，， ，， 将三角板沿方向平移， ，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形． ，， 是等边三角形， ， ． 【小问3详解】 解：含角的直角三角板，即， 边长为， ， ①当时，为等腰三角形，如图所示， ，， ， ，且， ， 点是的中点， ； ②当时，为等腰三角形，如图所示， ，，， 在中，， 为等腰三角形，， ； ③当时，为等腰三角形，如图所示， 与“将三角板沿方向平移（两个三角板始终接触）”矛盾， 不存在； 综上所示，当为等腰三角形时，的长为或． 故答案为：6或． 【点睛】本题主要考查几何图形的变换-平移、旋转，正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等级知识的综合，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $