精品解析：河北省邯郸市邯山区扬帆初中学校2025-2026学年九年级下学期6月中考模拟检测数学

远航扬帆初中2025—2026学年初三决胜中考定心考试 数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子的运算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，与交于点 ，和 关于直线对称，点，的对称点分别是点、、下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若x为实数，在“ ”的“”中添上一种运算符号（在“”中选择任一种）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1．下列说法中一定正确的是（　　） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 若甲再射击一次，一定会射中8环 C. 甲、乙成绩的众数相同 D. 甲、乙的总环数相同 6. 已知一元二次方程的两个根分别为a，b，且，则a，b两数在数轴上的位置表示正确的可能是（ ） A. B. C. D. 7. 图1是表面画有不同图案的正方体，其展开图如图2所示，则该正方体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则下列判断正确的是（ ） A. 的计算结果为 B. 当时， C. 当 时，的值为正数 D. 若是整数，则 或 9. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 10. 中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律，十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为，频率为 ，选取 组数对，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，，，分别在 、 上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 12. 在平面直角坐标系中，将由点向点的移动称为“交错移动”．例如，点经过两次“交错移动”，先移动到点，再移动到点．下列各点中，无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解： ________ 14. 若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣1）的值为_____． 15. 将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知 ， ， ，则剪去的这个角的度数为______． 16. 如图，将矩形按如下步骤折叠： ①左右折叠使边与重合，展开后得到折痕； ②将右侧的部分沿 折叠，使与重合，得到矩形； ③将边沿翻折至，使，分别落在线段 ，上，得到矩形，操作结束． 已知，若翻折得到的矩形的面积恰好为矩形面积的一半，则______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知 ， （1）若，，，求的值． 以下是佳佳同学的计算过程： 第一步 第二步 第三步 上面的计算过程有错误吗？如果有，请你指出是第几步错误，并求出正确的值； （2）若 ， ， ，当P的值大于7时，求x的取值范围 18. 化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 （1）甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______（填写下列选项字母） A．不等式的基本性质； B．加法交换律； C．分式的基本性质； D．乘法分配律 （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 19. 如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，． （1）求证： ． （2）若，，求的度数． 20. 某市体育中考分必考项目和自选项目．其中必考项目是长跑和跳绳；自选项目有足球、篮球和排球．每个考生除必考项目外，任选一项自选项目．考生嘉嘉和琪琪的体育中考各项成绩如下表： 考生 自选项目 长跑 跳绳 嘉嘉 90分 95分 95分 琪琪 95分 92分 93分 （1）嘉嘉同学三项成绩的众数为______分，琪琪同学三项成绩的中位数为______分； （2）如果体育中考按自选项目占 、长跑占 、跳绳占计算中考体育综合成绩，通过计算说明嘉嘉和琪琪体育综合成绩谁的更高； （3）利用列表格，求出考生嘉嘉和琪琪自选项目不同的概率． 21. 在某自动化智能工厂中，工业机器人在执行任务时会产生能耗．为优化能源管理，工厂建立了机器人单次连续工作时长与总能耗的动态模型，模型满足： 当时，机器人处于“启动与加速阶段”， 是 的正比例函数； 当时，机器人进入“恒速作业阶段”，能耗增长趋于平稳． 与 满足一次函数关系，且该函数在处与“启动与加速阶段”的函数连续（即时，两个阶段的总能耗相等）． （1）若 时，，求“启动与加速阶段” 关于 的函数解析式； （2）若时，总能耗为，求“恒速作业阶段” 关于 的函数解析式； （3）在（2）的条件下，工厂对机器人进行了技术改进．改进后，“恒速作业阶段”的新能耗系数比原能耗系数降低了 ，常数项 保持不变．若改进后某次连续工作中，原模型与新模型的总能耗差值为，求该机器人的工作时长． 22. 综合与实践 【情境】圆形纸板中画有圆内接矩形，沿线段 （点A，B都在圆上）裁剪后，得到如图12-1所示的图形，为了复原该圆形纸板，需要确定圆心的位置． 【探究】嘉嘉说：“若连接，则只需要再作出图中一条线段的垂直平分线，即可找到圆心的位置”． （1）结合嘉嘉的说法，应作线段_______（写出一条）的垂直平分线； 【操作】 （2）在【探究】的基础上，在图1中用尺规作图作出圆形纸板的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； 【拓展】 （3）将矩形绕圆心O旋转，点C，D、E始终在优弧上，连接，已知 ， ． ①如图2，当时，求点D到 的距离； ②当顶点D到 距离最大时，直接写出此时的长． 23. 如图，抛物线与轴交于点和点，与 轴交于点，顶点为点，抛物线 的顶点为点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）第一象限内一点到轴的距离为8，当抛物线经过点时，点也恰好落在上，求点的坐标； （3）记抛物线与相交于点，直线与的另一个交点为． ①试说明点的横坐标始终为定值，并求出这个定值； ②作直线，当直线与直线交于点时，直接写出的值． 24. 如图1和图2，在中，，，，，分别是 ， 上的点，将四边形 沿折叠，点，分别落在，处，且点始终在边上． （1）如图1，当点与点重合时，判断的形状，并说明理由； （2）如图2，当点恰好落在的延长线上时，求的长； （3）随点在边上位置的改变， ①直接写出的最小值； ②当是直角三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 远航扬帆初中2025—2026学年初三决胜中考定心考试 数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列图形中，线段MN的长度表示点M到直线l的距离的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：图B、C、D中，线段MN不与直线l垂直，故线段MN的长度不能表示点M到直线l的距离； 图A中，线段MN与直线l垂直，垂足为点N，故线段MN的长度能表示点M到直线l的距离．故选A． 2. 下列式子的运算结果是负数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用有理数的减法法则、加减混合运算法则进行计算即可得到解答，此题考查了有理数的减法、有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：A．，运算结果是正数，故选项不符合题意； B．，运算结果是正数，故选项不符合题意； C．，运算结果是负数，故选项符合题意； D．，运算结果是正数，故选项不符合题意． 故选：C． 3. 如图，与交于点，和 关于直线对称，点， 的对称点分别是点、、下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质．根据轴对称图形的性质即可判断B、C选项，再根据全等三角形的性质即可判断选项D． 【详解】解：由轴对称图形的性质得到，，， ∴， ∴B、C、D选项不符合题意， 故选：A． 4. 若x为实数，在“ ”的“”中添上一种运算符号（在“”中选择任一种）后，其运算的结果为有理数，则x不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对每个的分别代入四种运算，判断是否存在运算结果为有理数，若不存在则为所求． 【详解】解：A．当时，添上运算，得： ，结果为有理数，该项不符合题意； B．当时，添上运算，得： ，结果为有理数，该项不符合题意； C．当时，分别计算四种运算：添 ： ，是无理数；添：，是无理数；添 ：，是无理数；添：，是无理数；四种运算结果均为无理数，该项符合题意； D．当时，添上运算 ，得： ，结果为有理数，该项不符合题意． 5. 甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方差是1.1；乙射击成绩的平均数是8环，方差是1．下列说法中一定正确的是（　　） A. 甲的成绩比乙的成绩稳定 B. 若甲再射击一次，一定会射中8环 C. 甲、乙成绩的众数相同 D. 甲、乙的总环数相同 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查平均数，方差，解题的关键是掌握方差的意义和平均数的定义． 根据方差的意义和平均数的定义求解即可． 【详解】解：∵甲射击成绩的方差是1.1；乙射击成绩的方差是1， ∴乙的成绩比甲的成绩稳定，A选项错误； 若甲再射击一次，不一定会射中8环，B选项错误； 甲、乙成绩的众数不能确定，C选项错误； ∵各射击10次，甲射击成绩的平均数是8环，乙射击成绩的平均数是8环， ∴甲、乙的总环数相同，故D正确； 故选：D． 6. 已知一元二次方程的两个根分别为a，b，且，则a，b两数在数轴上的位置表示正确的可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，再由，可得，，且，即可求解． 【详解】解：∵a，b是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴，，且， ∴a，b两数在数轴上的位置表示为： ． 7. 图1是表面画有不同图案的正方体，其展开图如图2所示，则该正方体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正方体的表面展开图是一四一型，其中，带二点和四点图案的正方形是相对的面，带一点和三角形图案的正方形是相对的面，在还原展开图时，可以让四点图案的正方形固定为底面，把其他各面翻折回来，即可得到结论． 【详解】解：由正方体的表面展开图情况，让四点图案的正方形固定为底面，三角形为前面，把其他各面翻折回来，可知该正方体的俯视图是． 8. 已知，则下列判断正确的是（ ） A. 的计算结果为 B. 当时， C. 当 时，的值为正数 D. 若是整数，则 或 【答案】A 【解析】 【分析】先对原式因式分解，将除法转化为乘法约分得到化简结果，再结合分式有意义的条件逐个判断选项即可． 【详解】解： ，故A正确； 选项B：时原算式中两个分母均为0，无意义，故B错误； 选项C：当 时，，， ∴ ，为负数，故C错误； 选项D：若为整数，只需为整数，例如时，也为整数，故D错误． 9. 将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，按原图返回即可． 【详解】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD， 由折叠可知CA＝AB， ∴△ABC是等腰三角形， 又∵△ABC和△BCD关于直线BC对称， ∴CA＝AB=CD=BD， ∴四边形BACD是菱形， 故选：C． 【点睛】本题主要考查折叠的性质及学生动手操作能力：逆向思维也是常用的一种数学思维方式． 10. 中国古人用十二根长短不同的竹子做成律管，用它们分别吹出十二个标准音，称为十二律，十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为，频率为，选取组数对，在平面直角坐标系中进行描点，则下列描点正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，即，根据反比例函数的图象即可得到答案． 【详解】解：∵十二根竹管的管长和频率乘积为定值，设管长为x，频率为y， ∴， 即， 根据反比例函数的图象可知，只有选项D符合题意． 11. 如图，在中，，，，分别在、上，将沿折叠，使点落在点处，若为的中点，则折痕的长为（ ） A. B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又 为的中点可得，由相似的性质可得求解即可． 【详解】解：沿折叠，使点落在点 处， ，， 又∵， ∴， ∴， ， 又 为的中点，AE=AE' ∴， ， 即， ． 故选：B． 【点睛】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键． 12. 在平面直角坐标系中，将由点向点的移动称为“交错移动”．例如，点经过两次“交错移动”，先移动到点，再移动到点．下列各点中，无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了平面直角坐标系中点的特征，解一元一次不等式组，根据题意设初始点，第一次“交错移动”后为点，第二次“交错移动”后为点，……以此类推，根据“交错移动”方式确定前四次移动后的点坐标，得出规律，再根据无论经过多少次“交错移动”，都在y轴左侧列不等式，解不等式，即可解答． 【详解】解：设初始点，第一次“交错移动”后为点，第二次“交错移动”后为点，……以此类推， 根据题意，得 ， ， ，…… 由此可知，以后的点和前面的点开始重复． ∵“交错移动”点都在y轴左侧， ∴，，，， ∴，， 则满足条件的点为， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解： ________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用提公因式法分解因式，因式分解的方法主要包括：提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．直接利用提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14. 若m、n互为倒数，则mn2﹣（n﹣1）的值为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】由m，n互为倒数可知mn＝1，代入代数式即可． 【详解】解：因为m，n互为倒数可得mn＝1，所以mn2﹣（n﹣1）＝n﹣（n﹣1）＝1， 故答案为：1． 【点睛】倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数； 15. 将一个三角形纸片剪掉一个角后得到了如图所示的四边形，经测量可知 ， ， ，则剪去的这个角的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分别画出图形，根据三角形和四边形的内角和进行解答即可． 【详解】解：在四边形中，内角和等于． ∵ ， ， ， ∴ ． 若剪去的三角形与边 重合，如图（1）所示， ∴ ． 若剪去的三角形与边 重合，如图（2）所示， ∴ ． 综上所述，剪去的这个角的度数是或． 16. 如图，将矩形按如下步骤折叠： ①左右折叠使边与重合，展开后得到折痕； ②将右侧的部分沿 折叠，使与重合，得到矩形； ③将边沿翻折至，使，分别落在线段 ，上，得到矩形，操作结束． 已知，若翻折得到的矩形的面积恰好为矩形面积的一半，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】由折叠的性质得：，根据矩形的面积恰好为矩形面积的一半，可得，设，则，，，根据，列出方程，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵矩形的面积恰好为矩形面积的一半， ∴， 设，则，，， 根据题意得：， 解得：， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知 ， （1）若，，，求的值． 以下是佳佳同学的计算过程： 第一步 第二步 第三步 上面的计算过程有错误吗？如果有，请你指出是第几步错误，并求出正确的值； （2）若 ， ， ，当P的值大于7时，求x的取值范围 【答案】（1）佳佳的计算过程第一步错误，正确的值为 （2）的取值范围是 【解析】 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，开平方，按照计算法则计算即可解答； （2）根据题意列出不等式，解出即可解答． 【小问1详解】 解：佳佳的计算过程第一步错误，错误原因在于将计算成了，将计算成了 ， 由题意得， ； 【小问2详解】 解：当 ， ， 时，， 由题意得， 解得． 18. 化简，下面是甲、乙两同学的部分运算过程： 甲同学 解：原式 乙同学 解：原式 （1）甲同学解法的依据是______；乙同学解法的依据是______（填写下列选项字母） A．不等式的基本性质； B．加法交换律； C．分式的基本性质； D．乘法分配律 （2）请选择一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】（1）C；D （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据所给的解题过程即可得到答案； （2）甲同学的解法：先根据分式的基本性质把小括号内的分式先同分，然后根据分式的加法计算法则计算，最后根据分式的乘法计算法则求解即可；乙同学的解法：根据乘法分配律去括号，然后计算分式的乘法，最后合并同类项即可． 【小问1详解】 解：根据解题过程可知，甲同学解法的依据是分式的基本性质，乙同学解法的依据是乘法分配律， 故选：C；D； 【小问2详解】 解：甲同学的解法： 原式 ； 乙同学的解法： 原式 ． 19. 如图，点在同一直线上，点在的异侧，，，． （1）求证： ． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）证明： ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． （2）102° 【解析】 【分析】(1) 由利用等式的性质得，结合已知和，利用判定 ，得到对应角，再通过内错角相等证明 ． (2) 由全等性质得，结合求得，再利用三角形外角定理得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ． 20. 某市体育中考分必考项目和自选项目．其中必考项目是长跑和跳绳；自选项目有足球、篮球和排球．每个考生除必考项目外，任选一项自选项目．考生嘉嘉和琪琪的体育中考各项成绩如下表： 考生 自选项目 长跑 跳绳 嘉嘉 90分 95分 95分 琪琪 95分 92分 93分 （1）嘉嘉同学三项成绩的众数为______分，琪琪同学三项成绩的中位数为______分； （2）如果体育中考按自选项目占 、长跑占 、跳绳占计算中考体育综合成绩，通过计算说明嘉嘉和琪琪体育综合成绩谁的更高； （3）利用列表格，求出考生嘉嘉和琪琪自选项目不同的概率． 【答案】（1） ； （2）嘉嘉的体育综合成绩更高，说明如下： 嘉嘉的成绩： （分）， 琪琪的成绩： （分）， ， 嘉嘉的体育综合成绩更高； （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义作答即可； （2）根据加权平均数的定义列式计算即可； （3）先列表格，再用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：观察表格，嘉嘉同学的成绩出现最多的数是95分，故众数为95分， 琪琪同学的成绩按顺序排列，居于中间位置的数是93分，故中位数是93分； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：记自选项目足球为A，篮球为B，排球为C，列表得： A B C A A，A A，B A，C B B，A B，B B，C C C，A C，B C，C 由表格可得，所有等可能的结果共9种，其中嘉嘉和琪琪自选项目不同的结果共6种， ∴考生嘉嘉和琪琪自选项目不同的概率为． 21. 在某自动化智能工厂中，工业机器人在执行任务时会产生能耗．为优化能源管理，工厂建立了机器人单次连续工作时长与总能耗的动态模型，模型满足： 当时，机器人处于“启动与加速阶段”， 是 的正比例函数； 当时，机器人进入“恒速作业阶段”，能耗增长趋于平稳． 与 满足一次函数关系，且该函数在处与“启动与加速阶段”的函数连续（即时，两个阶段的总能耗相等）． （1）若 时，，求“启动与加速阶段” 关于 的函数解析式； （2）若时，总能耗为，求“恒速作业阶段” 关于 的函数解析式； （3）在（2）的条件下，工厂对机器人进行了技术改进．改进后，“恒速作业阶段”的新能耗系数比原能耗系数降低了 ，常数项保持不变．若改进后某次连续工作中，原模型与新模型的总能耗差值为，求该机器人的工作时长． 【答案】（1） （2） （3）该机器人的工作时长为 【解析】 【分析】（1）根据题意可知“启动与加速阶段” 是 的正比例函数，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意可知“恒速作业阶段” 与 满足一次函数关系 ，将代入，利用待定系数法求解即可； （3）先求出新模型的解析式为 ，根据原模型与新模型的总能耗差值为，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：设“启动与加速阶段” 关于 的函数解析式为 将 ，代入，得 解得 ∴“启动与加速阶段” 关于 的函数解析式为 ； 【小问2详解】 解：将代入，得 将代入 ，得， 解得， ∴“恒速作业阶段” 关于 的函数解析式为； 【小问3详解】 解：由（2）可知，原“恒速作业阶段”的解析式为， 改进后，新能耗系数 ， 新模型的解析式为 ， 根据题意，得 ， 解得， 答：该机器人的工作时长为． 22. 综合与实践 【情境】圆形纸板中画有圆内接矩形，沿线段（点A，B都在圆上）裁剪后，得到如图12-1所示的图形，为了复原该圆形纸板，需要确定圆心的位置． 【探究】嘉嘉说：“若连接，则只需要再作出图中一条线段的垂直平分线，即可找到圆心的位置”． （1）结合嘉嘉的说法，应作线段_______（写出一条）的垂直平分线； 【操作】 （2）在【探究】的基础上，在图1中用尺规作图作出圆形纸板的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； 【拓展】 （3）将矩形绕圆心O旋转，点C，D、E始终在优弧上，连接，已知 ， ． ①如图2，当时，求点D到的距离； ②当顶点D到距离最大时，直接写出此时的长． 【答案】（1） （答案不唯一，， ，，均可） （2）见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）依据圆心是圆内任意两条弦垂直平分线的交点，任选圆内一条弦，作它的垂直平分线，两线交点即为圆心． （2）以点C、点D为圆心，大于线段 长度的一半为半径画弧，两弧会在线段 两侧各交于一点，连接两个交点即可得到线段 的垂直平分线，该线与的交点即为圆心． （3）①利用矩形性质与勾股定理求出直径，得到圆半径；由垂径定理，结合勾股定理算出圆心到弦的距离；用面积法求出点D到的距离；根据 ，将两段距离相加，得到点D到的距离．②先确定圆半径，算出圆心到的距离； 分析得出到距离最大时，且过圆心； 证明三角形全等，结合等腰三角形性质推出； 多次利用勾股定理，分步计算线段长，最终求出． 【小问1详解】 解： 在矩形中，，且C、D、E、F在圆上 是圆的直径，圆心在的中点 圆心是圆内任意两条弦的垂直平分线的交点 作图中任意一条弦的垂直平分线，其与的交点即为圆心 ∴在图中可选择的线段有、 、、． 【小问2详解】 解：如图所示，点O即为所求； 【小问3详解】 ① 在矩形中， ， C、D、E、F在圆上，且 是圆的直径，半径为5 如图，记中点为圆心O，记中点为M，连接、， 由垂径定理可得 ， 在 中，设到的距离为 解得 ， 点到的距离为 ② 四边形是矩形 ，，． ，点、在上 是的直径． 在中，由勾股定理得： 为中点，半径 ． 过点作 ，垂足为，连接． 由垂径定理得：． ， ． 在中，由勾股定理得： 当点D到直线的距离最大时，矩形对角线经过圆心，且，即D、O、F、G四点共线，． ， 平分 （等腰三角形三线合一），即． ． ， ． 连接，在 和中： ． ． ∴， 即． ∴ 即平分 ． ， ∴是等腰三角形 （等腰三角形三线合一）． 设交 于点，由等腰三角形三线合一得： ， ． 在中，，，由勾股定理得： ， ． 在中， ，由勾股定理得： ． 23. 如图，抛物线与轴交于点和点 ，与轴交于点，顶点为点，抛物线 的顶点为点． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）第一象限内一点到轴的距离为8，当抛物线经过点时，点也恰好落在上，求点的坐标； （3）记抛物线与相交于点，直线与的另一个交点为． ①试说明点的横坐标始终为定值，并求出这个定值； ②作直线，当直线与直线交于点时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2） （3）①联立抛物线与的方程解得． 将代入中， 可得． 已知点，， 设直线的方程为， 将点、的坐标代入直线方程可得：， 解得， ∴直线的方程为． 联立直线与抛物线的方程， 解得或． ∵点的横坐标为， ∴点的横坐标为，即点的横坐标始终为定值． 因此，点的横坐标始终为定值； ②10 【解析】 【分析】（1）将点A、C坐标代入抛物线解析式，求出系数得到表达式，再利用顶点坐标公式算出顶点M坐标． （2）把点代入求出，确定解析式；根据点到x轴距离得到纵坐标，代入方程求解，结合象限条件取舍，得到点D坐标． （3）①联立两条抛物线解析式，求出交点P坐标；结合点C求出直线解析式，再联立直线与，解得两根，确定点Q横坐标为定值．②求出顶点，结合求直线解析式；将的横坐标分别代入两条直线，利用交点纵坐标相等列方程，解出k． 【小问1详解】 解：∵抛物线：与轴交于点，与轴交于点， 将点、的坐标代入抛物线方程可得： 解得 ∴抛物线的解析式为． 对于抛物线，其顶点坐标公式为， 在抛物线：中，，，， 则，． ∴顶点的坐标为． 因此，抛物线的解析式为，顶点的坐标为． 【小问2详解】 解：已知抛物线：经过点， 将点的坐标代入抛物线的方程可得：， 解得 ． ∴抛物线的解析式为． ∵点在第一象限内，且到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， 将代入抛物线的解析式中，可得， 解得或（舍去）． ∴点的坐标为． 【小问3详解】 ①略 ②已知抛物线：，其顶点的横坐标为，纵坐标为， ∴顶点的坐标为． 已知点，，设直线的方程为， 将点、的坐标代入直线方程可得： ， 解得， ∴直线的方程为． ∵直线与直线交于点，点的横坐标为， 将代入直线的方程中， 可得， 将代入直线的方程，可得． 因为点是直线与直线的交点， ∴， 解得 ． 因此，的值为10． 24. 如图1和图2，在中，，，，，分别是， 上的点，将四边形 沿折叠，点，分别落在，处，且点始终在边上． （1）如图1，当点与点 重合时，判断的形状，并说明理由； （2）如图2，当点恰好落在的延长线上时，求的长； （3）随点在边上位置的改变， ①直接写出的最小值； ②当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）为等腰三角形；理由见解析 （2） （3）①的最小值为4；②或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出 ，即可得出答案； （2）由平行四边形的性质可得，，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得， ，，求出，作交于点，则，解直角三角形得出，由勾股定理可得，从而得出，即可得出结果； （3）①过点D作于点G，解直角三角形得出，从而得出与 间的距离为4，根据当正好是与 间的距离时，最小，即可得出答案； ②分两种情况：当时，延长 交的延长线于点；当时，延长交于点 ，分别结合平行四边形的性质、折叠的性质、解直角三角形、相似三角形的性质以及勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：为等腰三角形；理由见解析； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 根据折叠可得：， ∴， ∴ ， ∴为等腰三角形； 【小问2详解】 解：∵在中，， ∴， ∵将四边形沿直线翻折，点，的对应点分别是点，， ∴， ，， ∴ ， ∴， ∴， 如图，作交于点，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①过点D作于点G，如图所示： 则 ， ∵，， ∴， ∴与 间的距离为4， ∵，分别是， 上的点， ∴当正好是与 间的距离时，最小，且最小值为4； ②当时，如图，延长 交的延长线于点， ∵四边形为平行四边形， ∴ ，，，， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，即， ∴，， ∴， ∵， ∴由折叠的性质可得， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，当时，延长交于点 ， ∵四边形为平行四边形， ∴ ，，，， ∵， ∴， ∴设，则， ∴， 由折叠的性质可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $