精品解析：广东省广州市黄埔区华实初级中学2025～2026学年下学期九年级中考前模拟考试数学试卷

2025-2026学年第二学期九年级数学练习 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可． 【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方等运算，解题的关键是熟练掌握各运算法则． 根据以上运算法则逐项进行判断即可． 【详解】解：A. ，两项的指数不同，不是同类项，不能合并，故该选项错误，不符合题意； B. ，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，应为，故该选项错误，不符合题意； C. ，幂的乘方，底数不变，指数相乘，且负号的平方为正，故该选项正确，符合题意； D. ，同底数幂相除，底数不变，指数相减，应为，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 4. 如图， ，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据“两直线平行，同旁内角互补”，得到，再根据“两直线平行，内错角相等”，即可得到答案． 【详解】， ， ， ， ， ． 故选B． 5. 不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照一元一次不等式的解法步骤逐步化简，即可得到解集． 【详解】解：∵ ， 不等式两边同时除以 ，得， 移项得 ， ∴， 即原不等式的解集为． 6. 某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单的概率计算．需先确定所有可能的结果数及符合条件的结果数，根据，再求概率． 【详解】抽奖盒中有三个小球，分别标有10元、20元、30元． 随机摸出两个小球的所有可能组合共有3种： 1. 10元和20元，和为30元； 2. 10元和30元，和为40元； 3. 20元和30元，和为50元． 其中，和为50元的组合只有1种（20元和30元）． 因此，所求概率为：． 故选：C． 7. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点A与点B关于原点对称， ∴， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得： ， ∴； 故选A． 8. 如图，在中，， 是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识．根据三角形内角和定理求出 ，由折叠得到，根据三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． ∴， ∴ 故选：C 9. 如图，正方形 的顶点G在正方形 的边上，与交于点H，若 ，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质．证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵正方形 ， ， ∴， ∵正方形 ，， ∴， ∴， 由题意得， ∴， ∴，即， 解得， 故选：B． 10. 如图，在正方形 中，点 分别在 上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时， ；④当时，．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可以得到，即，，然后根据三线合一判断①，求出 的度数判断②；计算出 ，判断③；计算出 ，判断④解题． 【详解】解：∵ 是正方形， ∴，， 又∵ ∴， ∴，， ∴， ∴垂直平分，故①正确； ∵， ∴， ∵ ∴为等边三角形，故②正确； ∵ ∴， ∴ ∵ ，， ∴ ∴ ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， 故④正确； ∴正确的个数为个， 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 用科学记数法表示：________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻 (单位：)的函数表达式为，当 时，的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】将 代入中计算即可； 【详解】解：∵ ， ∴ 故答案为：4． 【点睛】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 13. 如果代数式有意义，那么的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 14. 一个扇形的圆心角为 ，扇形的半径为6，则扇形面积是________（结果用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：扇形面积是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求扇形面积公式，牢记公式是解题的关键． 15. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为： ． 16. 如图，在矩形 中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段 于点G，H，且是 的中点．若，则 的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，交于 ，过作于 ，求解 ，证明 是的中位线，可得，，，证明四边形是平行四边形，可得，而，，求解，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接，交于 ，过作于 ， ∵，， ∴ ， ∵矩形 ， ∴，， ∴，， ∵是 的中点， ∴ 是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，而，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题（共72分） 17. 解方程组：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 由① ②得，，解得 将代入①得，， 解得 ∴原方程组的解为． 18. 已知：如图，在平行四边形 中，点E，F分别在和上，且 ．求证：． 【答案】 证明：平行四边形 中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的性质，由 可得，再证四边形是平行四边形，推出 ，，等量代换即可得出． 【详解】略 19. 先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值．先把原式括号里的式子通分，然后根据约分的方法和分式的性质进行化简，最后代入计算． 【详解】解： 原式. 20. 某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； （3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； （4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 【答案】（1）50人 （2）8，144 （3）70 （4）576人 【解析】 【分析】本题考查频数分布表，扇形统计图，求中位数，利用样本估计总体等： （1）用B组人数除以所占百分比即为所求； （2）m等于总人数减去其它各组的人数，E组人数占总人数的比例乘以360度即为对应的圆心角的度数； （3）根据中位数的定义求解； （4）利用样本估计总体即可求解． 【小问1详解】 解： （人） 即随机抽取的学生人数为50人； 【小问2详解】 解：， 扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为：， 故答案为：8，144； 【小问3详解】 解：将50人成绩从低到高排序，第25和26人的平均分为中位数， ，， 第25和26人在D组，结合 D组数据可得第25和26人成绩均为70分， 抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为70分， 故答案为：70； 【小问4详解】 解：（人） 即估计此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数为576人． 21. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接 ． （1）求证： 与相切； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ，， ， 在 和中， ， ， ， 与相切； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用平行线的性质及等边对等角，通过等量代换可得，进而证明 ，推出，即可证明 与相切； （2）由 可推出 垂直平分，利用等面积法求出，进而求出，由圆周角定理得 ，最后用勾股定理解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接交 于点D， ， ，， 垂直平分， ，，， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ． 【点睛】本题考查切线的判定，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，在四边形 中，，，，分别是，，，的中点． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若，判断四边形 的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求四边形 的面积． 【答案】（1）见解析 （2）菱形，见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，且，即可证明四边形 是平行四边形； （2）根据三角形中位线的性质得到，，结合得到，即可证明四边形 是菱形； （3）作交 于点 ，求出，得到，利用勾股定理求出，然后利用菱形面积公式求解． 【小问1详解】 解：证明：，，，分别是，，，的中点， ，且，，且， ，且， 四边形 是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形 是菱形，理由如下： ，，，分别是，，，的中点， ，， 当时，， 由（1）得，四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形； 【小问3详解】 解：作交 于点 ，如图所示， ， 又， ． 又， ． 在中，， 四边形 是菱形， ， ． 23. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形 由支撑杆 垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形 可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2， ，求压杆端点到底座的距离； （2）使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 【答案】（1）压杆端点到底座的距离为 （2）即压杆端点到底座的高度为 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，矩形的性质，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点作于点，延长交 于点，根据题意可得，由，四边形 是矩形， ，可得，进而得到，然后根据，求出 ，最后根据，即可求解； （2）过点作于点 ，过点作于点，过点作于点，根据矩形的性质可得，，可推出，然后求出，结合进而得到，，可得，推出，，根据周角求出，进而根据三角函数求出 ，最后根据线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：如图2，过点作于点，延长交 于点， ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 即压杆端点到底座的距离为； 【小问2详解】 如图3，过点作于点 ，过点作于点，过点作于点， 四边形 是矩形， ，， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ，， ， ， ， ， 即压杆端点到底座的高度为． 24. 我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（ ） ②函数一定不是“对偶函数”；（ ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（ ） （2）若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 【答案】（1）①（√）；②（√）；③（×） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目中给出的“对偶点”， “对偶函数”的定义结合反比例函数，一次函数，二次函数的性质进行分析得出结果； （2）由题意可得，，得出从而求出，，得出两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，画出图形得出结果； （3）由题意可得，且时，有，整理得到，利用关于的一元二次方程必有实数根，分别根据判别式等于零和大于零求解即可． 【小问1详解】 解：，且，， ，， ，， ①函数（k是非零常数）的图象上，， 满足，，故①正确； ②由题意可得，， 则点与点且是一对“对偶点”， 函数的图像如下图： 函数中不存在“对偶点”，一定不是“对偶函数”，故②正确； 函数的图象如下图， 由题意可得，，则 ∴“对偶点”在反比例函数图象上， ∴函数的图象上存在一对“对偶点”， 至少存在两对“对偶点”说法错误，故③错误； 故答案为：①（√）；②（√）；③（×） 【小问2详解】 由题意可得，，点与点且是一对 “对偶点”，由于是“对偶函数”，则其图象上必存在一对“对偶点”． 从而有，两式相减可得，同理可得． 两个一次函数为，，由于，都是常数，且， 两个一次函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形是有公共直角顶点的分别位于二、四象限的两个等腰直角三角形，如下图所示 求得其面积之和； 【小问3详解】 由题意可得，且时，有， 以上两式相减可得， 从而将， 代入①整理可得， 此关于的一元二次方程必有实数根， 由于时，（不符合题意）． 从而必有，解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一次函数，反比例函数，二次函数的图形与性质，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握相关性质定理为解题关键． 25. 如图，在中，， ， 为线段上一点． （1）尺规作图，作点关于的对称点，连接 ，，并证明； （2）如图 ，当 由点运动到点过程中， 若线段 与线段交于点，当取最大值时，求的值； 在 上取一点，使得，连接， ，是否存在最小值，如存在请求出，若不存在请说明理由． 【答案】（1）解：如图，分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，点即为所求， 在和中， ， ∴； （2） ； 存在，最小值为． 【解析】 【分析】（）分别以为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，然后通过全等三角形的判定方法即可求证； （ ） 先证明，所以，则，设，则，所以，然后通过二次函数的性质即可求解； 作点关于的对称点，连接交于点，连接， 交于点 ，延长 交于点 ，连接，由勾股定理得，则，设，则，可证，所以证明，则，所以点在与夹角为的直线上运动，再得出，，即点在垂直平分线上运动，，则，故当点三点共线时，有最小值的长，即的最小值为． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵ ， ∴当时，取最大值， ∴此时； 如图，作点关于的对称点，连接交于点，连接， 交于点 ，延长 交于点 ，连接， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ，，， ∴， ∴， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∵； ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在与夹角为的直线上运动， ∴， ∴， ∴，即点在垂直平分线上运动， ∴， ∴， ∴当点三点共线时，有最小值的长， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期九年级数学练习 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图， ，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 某商场开展购物抽奖促销活动，抽奖盒中装有三个小球，它们分别标有10元、20元、30元，一次性随机摸出两个小球，摸出的两球上金额的和为50元的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 一个正比例函数的图象经过点和点，若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为 （ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是边上的点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，正方形 的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若 ，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 10. 如图，在正方形中，点 分别在 上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时， ；④当时，．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 用科学记数法表示：________． 12. 某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻 (单位：)的函数表达式为，当 时，的值为_______． 13. 如果代数式有意义，那么的取值范围是______． 14. 一个扇形的圆心角为 ，扇形的半径为6，则扇形面积是________（结果用表示）． 15. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 16. 如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段 于点G，H，且是 的中点．若，则 的长为_____________． 三、解答题（共72分） 17. 解方程组：． 18. 已知：如图，在平行四边形中，点E，F分别在和上，且 ．求证：． 19. 先化简，再求代数式的值，其中． 20. 某学校为了更好地开展学生体育活动，组织八年级学生进行体育测试（百分制），从中随机抽取了部分学生的成绩（成绩用x表示，单位：分），并对数据（成绩）进行整理，数据分为五组，下面给出了部分信息： a．抽取的学生体育测试成绩统计表和不完整的扇形统计图如下： 组别 成绩/分 人数（频数） A 1 B 5 C m D 16 E 20 b．D组的数据：60，60，61，62，62，63，63，66，67，67，70，70，71，74，75，79 请根据以上信息完成下列问题： （1）求随机抽取的学生人数； （2）统计表中的___________，扇形统计图中E组所对应扇形的圆心角为___________度； （3）抽取的八年级学生体育测试成绩的中位数为___________分； （4）若该校八年级共有800名学生参加了此次体育测试，请你估计该校八年级参加此次体育测试成绩达到60分及以上的学生人数． 21. 如图，是的直径，C为上一点，P为外一点，，且，连接 ． （1）求证： 与相切； （2）若，，求的长． 22. 如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点． （1）求证：四边形 是平行四边形； （2）若，判断四边形 的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若，，求四边形 的面积． 23. 如图1是一款订书机，其平面示意图如图2所示，其主体部分矩形由支撑杆 垂直固定于底座上，其中，，压杆，，使用过程中矩形可以绕点E旋转． （1）订书机不使用时，如图2， ，求压杆端点到底座的距离； （2）使用过程中，当点落在底座上时，如图3，测得，求压杆端点到底座的高度． （参考数据：，，结果精确到） 24. 我们约定：当满足，且时，称点与点为一对“对偶点”．若某函数图象上至少存在一对“对偶点”，就称该函数为“对偶函数”．请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”）： ①函数（k是非零常数）的图象上存在无数对“对偶点”；（ ） ②函数一定不是“对偶函数”；（ ） ③函数的图象上至少存在两对“对偶点”．（ ） （2）若关于x的一次函数与（都是常数，且）均是“对偶函数”，求这两个函数的图象分别与两坐标轴围成的平面图形的面积之和； （3）若关于x的二次函数是“对偶函数”，求实数a的取值范围． 25. 如图，在中，， ，为线段上一点． （1）尺规作图，作点关于的对称点，连接 ，，并证明； （2）如图，当由点运动到点过程中， 若线段 与线段交于点，当取最大值时，求的值； 在 上取一点，使得，连接， ，是否存在最小值，如存在请求出，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $