内容正文:
2026年五十中学数学学科综合模拟题(五)
※考试时间60分钟 满分108分※
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分)
1. 现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性.下列美术字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 掷两个质地均匀的小正方体,小正方体的六个面上分别标有1到6的数字.下列事件是必然事件的是( )
A. 向上两面的数字和为5 B. 向上两面的数字和大于1
C. 向上两面的数字和大于12 D. 向上两面的数字和为偶数
3. 2025年“五一”期间,全国旅游市场火爆,据文化和旅游部数据中心统计,国内旅游消费超过1800亿元(1亿),同比增长 .将数据1800亿用科学记数法表示是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5. “漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器,在它内部盛一定量的水,水从壶下的小孔漏出,壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间.壶中水面高度 (单位: )随漏水时间(单位:)的变化规律如图所示(不考虑水量变化对压力的影响).水面高度从变化到所用的时间是( )
A. B. C. D.
6. 某校升国旗中队在新学期中招收新队员,初选20人入选,这20名队员的身高如下表:
身高()
173
174
175
176
人数(人)
3
7
6
4
则该批队员身高数据的中位数为( )
A. 174 B. 174.5 C. 175 D. 176
7. 由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格,菱形的顶点称为格点,点A,B,C都在格点上,,则( )
A. B. C. D.
8. 如图,在中,,是边上的点,将沿直线折叠,点的对应点恰好落在边上.若,则的大小是( )
A. B. C. D.
9. 如图,在中,.尺规作图操作如下:(1)以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交边于点M,N;(2)以点C为圆心, 长为半径画弧,交边于点;再以点为圆心,长为半径画弧,与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点;(3)过点画射线交边于点D.下列结论错误的为( )
A. B. C. D.
10. 如图,正方形的边长为,为边的中点,连接,过点作,垂足为,为上一点,且 ,则的长为( )
A. B. C. 3 D.
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11. 在标准大气压下,四种物质的凝固点如下表所示,其中凝固点最低的物质是_________.
物质
铁
酒精
液态氧
水
凝固点(单位:)
1535
0
12. 凸多边形的外角和与内角和之比为 ,则该多边形的边数为______.
13. 如图,正五边形 的边的延长线交于点F,则 的大小为________度.
14. 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,为等腰直角三角形.直角顶点A的坐标为,点B在反比例函数的图象上,则k的值为________.
15. 如图,在中,,点在边上, .若点在边上,满足,则 的长是_________.
三、解答题(本题共7小题,共63分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16. 计算、解不等式组
(1)计算:;
(2)解不等式组.
17. 宋代是茶文化发展的第二个高峰,宋代的饮茶主要以点茶为主,煎茶为辅,在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏.某网店销售两种点茶器具套装,已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元,花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍.
(1)求甲、乙两种点茶器具套装的单价.
(2)某学校社团开展茶文化学习活动,打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套,且经费预算不超过5000元,则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套?
18. 为传承国学经典,弘扬传统文化,学期初某中学启动了“品古典文学之美,悟中华文化之魂”经典诵读活动,学生根据自己的爱好从以下四本书中选择其中一本进行阅读:A.《论语》B.《楚辞》C.《西游记》D.《红楼梦》,为更好的了解学生选择阅读书目情况,通过抽样调查方式对部分学生进行问卷调查,根据调查所收集的数据进行整理,绘制了如下两幅不完整的统计图.根据以上信息,解答下列问题:
(1)学校此次被调查的学生总人数为_______人,并根据题意补全条形统计图;
(2)在扇形统计图中,所对应的圆心角度数是______;
(3)9年级1班选派甲、乙两位同学参加学期末全校组织的经典诵读汇报活动,请用画树状图或者列表法,求甲、乙两位同学选择同一种经典书籍进行汇报的概率.
19. 如图,将一张矩形纸片沿着对角线 向上折叠,顶点 落到点处,交于点,作,延长交线段于点.
(1)判断四边形的形状,并说明理由;
(2)若 ,,求四边形的面积.
20. 如图,四边形是由两块全等的直角三角板拼凑而成,其中点B在x轴的负半轴上,将四边形绕点O顺时针旋转,使得点B的对应点E落在y轴的正半轴上,反比例函数的图象经过点D,若点C的坐标为.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)连接,,,求 的面积.
21. 如图,在中, ,点E在斜边上,以 为直径的 与相切于点D,与相交于点F.
(1)求证:平分;
(2)若 ,求图中阴影部分的面积.
22. 如图1,平面直角坐标系中,有抛物线:.设抛物线与 轴相交于点,与 轴正半轴相交于点 ,且 .
(1)求 的值.
(2)如图2,将抛物线平移得到抛物线,使过点 和,求抛物线的解析式.
(3)设(2)中在 轴左侧的部分与在 轴右侧的部分组成的新图象记为.过点 作直线平行于 轴,与图象交于两点,如图3.
①过的最高点 作直线交于点(点 在点左侧),求的值;
②是图象上一个动点,当点与直线的距离小于4时,直接写出点横坐标 的取值范围.
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2026年五十中学数学学科综合模拟题(五)
※考试时间60分钟 满分108分※
一、选择题(本题共10小题,每小题3分,共30分)
1. 现实世界中,对称现象无处不在,中国的方块字中有些也具有对称性.下列美术字是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形,关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形.
利用轴对称图形的概念可得答案.
【详解】解:A、不是轴对称图形,故此选项不合题意;
B、不是轴对称图形,故此选项不合题意;
C、不是轴对称图形,故此选项不合题意;
D、是轴对称图形,故此选项符合题意;
故选:D.
2. 掷两个质地均匀的小正方体,小正方体的六个面上分别标有1到6的数字.下列事件是必然事件的是( )
A. 向上两面的数字和为5 B. 向上两面的数字和大于1
C. 向上两面的数字和大于12 D. 向上两面的数字和为偶数
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了事件分类.熟练掌握必然事件,不可能事件,随机事件的概念是解题的关键.必然事件指在一定条件下一定发生的事件;不确定事件即随机事件是指在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件;不可能事件指在一定条件下一定不发生的事件.
分析各选项中两骰子点数和的可能情况,判断是否必然成立.
【详解】选项A:和为5的可能组合有(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1),共4种,概率为,非必然事件.
选项B:两骰子最小点数为1,最小和为,因此和必定大于1,概率为1,是必然事件.
选项C:两骰子最大和为,无法超过12,概率为0,为不可能事件.
选项D:和为偶数的概率为,可能发生但不必然.
故选:B.
3. 2025年“五一”期间,全国旅游市场火爆,据文化和旅游部数据中心统计,国内旅游消费超过1800亿元(1亿),同比增长 .将数据1800亿用科学记数法表示是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较大的数.科学记数法的表示形式为的形式,其中,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于等于10时,n是正数;当原数的绝对值小于1时,n是负数.
【详解】解:将数据1800亿用科学记数法表示是.
故选:B.
4. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了合并同类项,同底数幂的乘法和除法,幂的乘方等运算,解题的关键是熟练掌握各运算法则.
根据以上运算法则逐项进行判断即可.
【详解】解:A. ,两项的指数不同,不是同类项,不能合并,故该选项错误,不符合题意;
B. ,同底数幂相乘,底数不变,指数相加,应为,故该选项错误,不符合题意;
C. ,幂的乘方,底数不变,指数相乘,且负号的平方为正,故该选项正确,符合题意;
D. ,同底数幂相除,底数不变,指数相减,应为,故该选项错误,不符合题意;
故选:C.
5. “漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器,在它内部盛一定量的水,水从壶下的小孔漏出,壶内壁有刻度.人们根据壶中水面的位置计算时间.壶中水面高度 (单位: )随漏水时间 (单位:)的变化规律如图所示(不考虑水量变化对压力的影响).水面高度从变化到所用的时间是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了函数图象,解答本题的关键是明确题意.根据题意求出“漏壶”的漏水速度,即可求出水面高度从变化到所用的时间.
【详解】解:“漏壶”的漏水速度为:,
水面高度从变化到所用的时间是,
故选:A.
6. 某校升国旗中队在新学期中招收新队员,初选20人入选,这20名队员的身高如下表:
身高()
173
174
175
176
人数(人)
3
7
6
4
则该批队员身高数据的中位数为( )
A. 174 B. 174.5 C. 175 D. 176
【答案】B
【解析】
【分析】先确定数据的总个数,再找到排序后中间位置的两个数据,计算平均数即可得到结果.
【详解】解:∵数据总个数为,是偶数
∴中位数为从小到大排列后,第10个和第11个数据的平均数,
∵从小到大排列,前3个数据为173,第个数据为174,第个数据为175
∴第10个数据为174,第11个数据为175,
∴中位数为 .
7. 由6个形状相同、大小相等的菱形组成如图所示的网格,菱形的顶点称为格点,点A,B,C都在格点上,,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设菱形的边长为a,先用a表示出与 ,并说明,从而可求得.
【详解】解:如图,取格点E,连接 , .
设菱形的边长为a,
∵由6个形状相同、大小相等的菱形组成的网格,,
∴,, ,
,
∴ 是等边三角形,是等边三角形,
∴,,,
同理可得:所在的小三角形为等边三角形且与全等,
∴,,
∴,
∴ 、 、 三点在同一条直线上,
∵是菱形的对角线,
∴(菱形的对角线平分每一组对角),
∴,
∴、都是直角三角形,
∴,
∴,
故选:A.
【点睛】本题考查了解直角三角形的相关计算,利用菱形的性质求线段长,求角的正切值,勾股定理与网格问题等知识,解题关键是掌握上述知识点并能运用求解.
8. 如图,在中,,是边上的点,将沿直线折叠,点 的对应点 恰好落在边 上.若,则的大小是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了折叠的性质、三角形内角和定理、等边对等角等知识.根据三角形内角和定理求出 ,由折叠得到,根据三角形外角的性质即可得到答案.
【详解】解:∵,,
∴,
∵将沿直线折叠,点 的对应点 恰好落在边 上.
∴,
∴
故选:C
9. 如图,在中,.尺规作图操作如下:(1)以点B为圆心,适当长为半径画弧,分别交边于点M,N;(2)以点C为圆心, 长为半径画弧,交边于点;再以点为圆心,长为半径画弧,与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点;(3)过点画射线交边于点D.下列结论错误的为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了等角对等边,三角形内角和定理,大角对等边,作与已知角相等的角的尺规作图,由作图方法可得,则由三角形内角和定理和等边对等角得到 , ,由大角对大边得到,再由可得.
【详解】解:由作图方法可得,故A结论正确,不符合题意;
∴, ,故B、C结论都正确,不符合题意;
∵,
∴,
∵,
∴,故D结论错误,符合题意;
故选:D.
10. 如图,正方形的边长为, 为边的中点,连接,过点作,垂足为,为上一点,且 ,则的长为( )
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】先利用正方形的性质和证明,推出,再利用勾股定理求出,即可求解.
【详解】解:∵四边形是正方形,
∴,,
∴,
∵,
∴,,
∴,
∴,
∴,
∵ 为边的中点, ,
∴ ,
∴,即,
∵ ,
∴,
∴,
∵,
得(负值舍去),
∴.
二、填空题(本题共5小题,每小题3分,共15分)
11. 在标准大气压下,四种物质的凝固点如下表所示,其中凝固点最低的物质是_________.
物质
铁
酒精
液态氧
水
凝固点(单位:)
1535
0
【答案】液态氧
【解析】
【分析】本题主要考查了有理数比较大小的实际应用,根据有理数比较大小的方法比较出四个物质凝固点的大小即可得到答案.
【详解】解:∵,
∴,
∴凝固点最低的物质是液态氧,
故答案为:液态氧.
12. 凸多边形的外角和与内角和之比为 ,则该多边形的边数为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据外角和与内角和之比为 ,任意凸多边形的外角和为,可得多边形内角和度数,结合内角和公式即可求解.
【详解】解:∵外角和与内角和之比为 ,
任意凸多边形的外角和为,
得多边形内角和为,
由边形内角和公式得,
解得.
13. 如图,正五边形 的边的延长线交于点F,则 的大小为________度.
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了正多边形外角和定理,三角形内角和定理,多边形外角和为360度,据此可求出的度数,再利用三角形内角和定理求解即可.
【详解】解:五边形 是正五边形,
∴,
∴,
故答案为:.
14. 如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,为等腰直角三角形.直角顶点A的坐标为,点B在反比例函数的图象上,则k的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、全等三角形的性质的运用,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.过A作轴于C,过B作 于D,证明,根据全等三角形的性质,可以得到点B的坐标,由点B在反比例函数的图象上,从而可以得到k的值.
【详解】解:如图,过A作轴于C,过B作 于D,则,
∵顶点A的坐标为,
∴, ,
∵是等腰直角三角形,
∴, ,
∴,
∴,
∴,
∴,,
∴点B的坐标为,
∵点B在反比例函数的图象上,
∴,
故答案为:.
15. 如图,在中,,点在边 上, .若点 在边上,满足,则的长是_________.
【答案】7或9##9或7
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一的性质,勾股定理等,熟练掌握知识点是解题的关键.过点A作,垂足为H,过点C作 ,垂足为G,则,利用勾股定理得出得长度,根据三角形面积公式得出长,设,则,表示出,利用勾股定理计算即可.
【详解】解:如图,过点A作,垂足为H,过点C作 ,垂足为G,则,
∵,
∴,
∴,
∵,即,
∴ ,
∴,
设,则,
∴,
∵,
∴在 中,,即,
解得,即,
解得 或9,
即或9,
故答案为:7或9.
三、解答题(本题共7小题,共63分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)
16. 计算、解不等式组
(1)计算:;
(2)解不等式组.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)先分别计算零指数幂、立方根、特殊角的三角函数值、去绝对值,再由二次根式乘法及加减运算计算即可;
(2)先分别解不等式组中的各个不等式,再由大小小大取中间即可得到答案.
【小问1详解】
解:
;
【小问2详解】
解:,
解不等式①得;
解不等式②得 ,
将不等式①②的解集在数轴上表示如下:
∴原不等式组的解集为.
17. 宋代是茶文化发展的第二个高峰,宋代的饮茶主要以点茶为主,煎茶为辅,在点茶的基础上升华为斗茶、分茶和茶百戏.某网店销售两种点茶器具套装,已知甲种点茶器具套装的单价比乙种点茶器具套装的单价少30元,花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍.
(1)求甲、乙两种点茶器具套装的单价.
(2)某学校社团开展茶文化学习活动,打算从该网店购进甲、乙两种点茶器具共30套,且经费预算不超过5000元,则学校最多可以购进乙种点茶器具套装多少套?
【答案】(1)甲种点茶器具套装的单价是148元,乙种点茶器具套装的单价是178元;
(2)学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套.
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
(1)设甲种点茶器具套装的单价是x元,则乙种点茶器具套装的单价是元,根据花2220元购进甲种点茶器具套装的数量是花1780元购进乙种点茶器具套装数量的1.5倍,列出分式方程,解方程即可;
(2)设学校购进乙种点茶器具套装m套,则购进甲种点茶器具套装套,根据经费预算不超过5000元,列出一元一次不等式,解不等式即可.
【小问1详解】
解:设甲种点茶器具套装的单价是x元,则乙种点茶器具套装的单价是元,
根据题意得:,
解得:,
经检验,是所列方程的解,且符合题意,
∴,
答:甲种点茶器具套装的单价是148元,乙种点茶器具套装的单价是178元;
【小问2详解】
解:设学校购进乙种点茶器具套装m套,则购进甲种点茶器具套装套,
根据题意得:,
解得:,
∴整数m的最大值为18,
答:学校最多可以购进乙种点茶器具套装18套.
18. 为传承国学经典,弘扬传统文化,学期初某中学启动了“品古典文学之美,悟中华文化之魂”经典诵读活动,学生根据自己的爱好从以下四本书中选择其中一本进行阅读:A.《论语》B.《楚辞》C.《西游记》D.《红楼梦》,为更好的了解学生选择阅读书目情况,通过抽样调查方式对部分学生进行问卷调查,根据调查所收集的数据进行整理,绘制了如下两幅不完整的统计图.根据以上信息,解答下列问题:
(1)学校此次被调查的学生总人数为_______人,并根据题意补全条形统计图;
(2)在扇形统计图中,所对应的圆心角度数是______;
(3)9年级1班选派甲、乙两位同学参加学期末全校组织的经典诵读汇报活动,请用画树状图或者列表法,求甲、乙两位同学选择同一种经典书籍进行汇报的概率.
【答案】(1)100,
补全条形图如下:
(2)
(3)
【解析】
【分析】本题考查条形图和扇形图得综合应用,列表法求概率,从统计表中有效的获取信息,是解题的关键:
(1)用的人数除以所占的比例求出总人数,进而求出 的人数,补全条形图即可;
(2)用360度乘以的人数所占的比例,求解即可;
(3)列出表格,利用概率公式进行计算即可.
【小问1详解】
解:(人),
,
【小问2详解】
;
故答案为:
【小问3详解】
甲
乙
共16种结果,符合条件的有4种,所以(甲乙选同一种书籍).
19. 如图,将一张矩形纸片沿着对角线 向上折叠,顶点 落到点 处,交于点,作,延长交线段于点.
(1)判断四边形的形状,并说明理由;
(2)若 ,,求四边形的面积.
【答案】(1)
解:由折叠的性质,得,
∵,
∴,
∴,
∴,
又∵,
∴,,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴ 和互相垂直平分,
∴四边形为菱形.
(2)四边形的面积为
【解析】
【分析】(1)由平行线的性质和翻折的性质,得出,结合,可得,同理可证,易得 和互相垂直平分,即可证出四边形为菱形;
(2)令,则,由,得,解出的值后,通过即可得出结果.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:令,则,
∴,
由,得,
解得,
∴.
20. 如图,四边形是由两块全等的直角三角板拼凑而成,其中点B在x轴的负半轴上,将四边形绕点O顺时针旋转,使得点B的对应点E落在y轴的正半轴上,反比例函数的图象经过点D,若点C的坐标为.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)连接,,,求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据题意得, ,由全等三角形的性质得,由旋转的性质得,,可得,故可得反比例函数的解析式;
(2)过点作 轴于点,延长交轴于点 ,可得四边形、是矩形,得,,,再运用分割法可求出 的面积.
【小问1详解】
解:∵的直角边在轴上,点C的坐标为.
∴, ,
∵,
∴,
由旋转的性质得,,,
∴点的横坐标为,纵坐标为,
∴点的坐标为,
又反比例函数的图象经过点D,
∴,
∴反比例函数的解析式为;
【小问2详解】
解:过点作 轴于点,延长交轴于点 ,可得四边形、是矩形,如图,
∴,,,,
∴,,
∴,
∴ 的面积
.
21. 如图,在中, ,点E在斜边上,以为直径的 与相切于点D,与 相交于点F.
(1)求证:平分;
(2)若 ,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)证明:连接,
与相切于点D,
,
即 ,
,
,
,
,
,
,
,
平分
(2)
【解析】
【分析】(1)根据圆的切线的性质可得,可进一步证明 ,再根据平行线的性质及等腰三角形的性质,即可证明结论;
(2)设与交于M,连接,先求出 ,,得到 ,进一步求得 ,,即可根据求解.
【小问1详解】
略
【小问2详解】
解:设与交于M,连接,
是 的直径,
,
,
,
即 ,
,
, ,
,
,
,
在 中,,
,
,
, ,
,
,,
.
22. 如图1,平面直角坐标系中,有抛物线:.设抛物线与轴相交于点,与 轴正半轴相交于点 ,且 .
(1)求 的值.
(2)如图2,将抛物线平移得到抛物线,使过点 和,求抛物线的解析式.
(3)设(2)中在 轴左侧的部分与在 轴右侧的部分组成的新图象记为.过点 作直线平行于轴,与图象交于两点,如图3.
①过的最高点 作直线交于点(点 在点左侧),求的值;
②是图象上一个动点,当点与直线的距离小于4时,直接写出点横坐标 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)① ;②,且
【解析】
【分析】(1)由题意得到,利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案;
(2)由平移性质及题中图象可知抛物线过,设抛物线的解析式为,利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案;
(3)①根据题意,得到,求解得出,,由两点距离公式求出,代值求解即可得到答案;②利用二次函数图象与性质,根据题意分类讨论求解即可得到答案.
【小问1详解】
解: ,
,
将代入,得;
【小问2详解】
解:由平移性质及题中图象可知抛物线过,
设抛物线的解析式为,
把代入,得,解得,
∴抛物线的解析式为;
【小问3详解】
解:①由(1)得,抛物线的解析式为,
抛物线顶点,
依题意,过点作直线平行于轴,则直线为;过的最高点作直线,则直线m为,
令,解得或,
∵点 在点左侧,
∴,,
∴,,
∴,
②点横坐标 的取值范围是,且.
由的图象及直线为可知,当时,,解得 或,则,
当点位于点左侧时,,
令,解得或(舍去),此时 的取值范围是;
由(2)得抛物线:,可得顶点坐标为,而直线l为,则顶点与直线的距离恰好为4,
当点在之间,且不与顶点重合时,与的距离小于4,此时 的取值范围是,且;
当点在之间时,均符合题意,此时 的取值范围是;
当点位于点 右侧时,,
令,解得或(舍去),此时 的取值范围是;
综上,点横坐标 的取值范围是,且.
【点睛】本题考查二次函数综合,涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象平移、二次函数图象与性质、两点距离公式等知识,熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键.
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