课时作业9 函数的零点与方程的解-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数零点与方程解的转化，通过定义辨析、存在性判断、个数探究及参数范围问题，构建“概念-性质-应用”三阶方法体系，培养数学眼光与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|1题|零点定义法（解方程）|从零点定义出发，明确零点与方程解的等价关系| |存在性判断|2题|零点存在定理+单调性分析|结合函数单调性，利用端点值符号判断零点存在区间| |个数问题|3题|数形结合（函数图象交点）|将零点个数转化为函数图象交点问题，培养几何直观| |参数范围|5题|函数性质（单调性/对称性）+值域分析|通过函数性质转化参数问题，提升数学建模与运算能力|

课时9 函数的零点与方程的解 一、单选题 1．函数f(x)＝(3x－27)ln (x－1)的零点为(　 ) A.2，3 B．2 C.(2，0) D．(2，0)，(3，0) 2．(2026·吉林长春市质检)函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间是(　　) A. B.(1，2) C.(2，e) D.(2，3) 3、（2026·北京西城区一模）函数f(x)=3x|log2x|-1的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 4、(2026·湖南衡阳市高三月考)若函数有唯一零点，则实数（    ） A．2 B． C．4 D．1 5．（2026·浙江绍兴市高三期末）已知函数f(x)=log2(x+3)+4x+a在(-1，1)内有零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(-6，3) B.(-∞，-6)∪(3，+∞) C.[-6，3] D.(-∞，-6]∪[3，+∞) 6. (2026·山东青岛市模拟)已知函数f(x)＝3x－.若存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C．(－∞，0) D. 二、多选题 7．已知函数f(x)＝b·ax(a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象过点A(1，6)，B(3，24).下列结论正确的有(　 　) A.a＝2 B.b＝4 C.函数y＝f(x)－5仅有一个零点 D.若不等式ax＋bx－m≥0在x∈[1，＋∞)时恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5] 8、（2026·河北衡水市检测）已知函数， 令，则下列说法正确的有（    ） A．函数的单调递增区间为 B．当时，有3个零点 C．当时，的所有零点之和为 D．当时，有1个零点 9、（2026·陕西咸阳市模拟）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法正确的有（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．(2026·山东济南市模拟)已知函数f(x)＝则f(x)的零点为 ． 11、（2026春·上海高考）关于的方程的解集为 　　． 12．（2026·山西太原市期中）已知是函数的零点，则 . 四、解答题 13. 设函数f(x)＝(x>0). (1)作出函数f(x)的图象； (2)求当0<a<b，且f(a)＝f(b)时，＋的值； (3)若方程f(x)＝m有两个不相等的正根，求实数m的取值范围． 14.对于函数与，若存在，，使得 ，则称函数与互为“零点密切函数”．已知， ． （1）求函数的零点； （2）若函数与互为“零点密切函数”，求实数的取值范围． 课时9 函数的零点与方程的解参考答案 1．A【解析】由f(x)＝0，得(3x－27)ln (x－1)＝0，即3x－27＝0或ln (x－1)＝0，解得x＝3或x＝2，所以函数f(x)＝(3x－27)ln (x－1)的零点为2，3.故选A. 2．B【解析】f(x)=ln x-的定义域为(0，+∞)，又y=ln x与y=-在(0，+∞)上单调递增，所以f(x)=ln x-在(0，+∞)上单调递增，又f(1)=-1<0，f(2)=ln 2->0，所以f(1)f(2)<0.根据函数零点存在定理可得函数f(x)=ln x-的零点所在的大致区间为(1，2).故选B. 3、C【解析】函数f(x)=3x|log2x|-1的零点，即3x|log2x|-1=0的解，即|log2x|=的解，即y=|log2x|与y=图象的交点，如图所示， 从函数图象可知，y=|log2x|与y=有2个交点，即函数f(x)的零点个数为2.故选C. 4、A【解析】由，得，即函数的图象关于对称，要使函数有唯一的零点，则，即，得．故选A． 5．A【解析】y=log2(x+3)在(-1，1)上单调递增，y=4x+a是增函数，所以f(x)在(-1，1)上单调递增.因为f(x)在(-1，1)内有零点，所以解得-6<a<3.故选A. 6. B【解析】由f(x)＝3x－＝0，可得a＝3x－，令g(x)＝3x－，其中x∈(－∞，－1)， 由于存在x0∈(－∞，－1)，使得f(x0)＝0，则实数a的取值范围即为函数g(x)在(－∞，－1)上的值域．由于函数y＝3x，y＝－在区间(－∞，－1)上均单调递增，所以函数g(x)在(－∞，－1)上单调递增．当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－<g(－1)＝3－1＋1＝，又当x∈(－∞，－1)时，g(x)＝3x－>0，所以函数g(x)在(－∞，－1)上的值域为.因此实数a的取值范围是.故选B. 7． ACD【解析】依题意，解得a＝2(负根舍去)，b＝3，所以A正确，B错误；则f(x)＝3·2x，函数y＝3·2x－5在R上递增，当x＝0时，y＝3·20－5＝－2<0；当x＝2时，y＝3·22－5＝7＞0，所以函数y＝3·2x－5在R上有唯一零点，C正确； 不等式ax＋bx－m≥0在x∈[1，＋∞)时恒成立，即m≤2x＋3x在x∈[1，＋∞)时恒成立，函数y＝2x＋3x在[1，＋∞)上单调递增，最小值为21＋31＝5，所以m≤5，D正确．故选ACD. 8、BD【解析】的图象如下：由图象可知，的增区间为，故A错误； 当时，如图， 当时，与有3个交点，即有3个零点，故B正确； 当时，由可得（正值舍去），由可得，所以的所有零点之和为，故C正确； 当时，由B选项可知：与有1个交点，即有1个零点，故D正确.故选BCD. 9、ABD【解析】函数的图象开口向上，对称轴为直线，当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，方程的根是直线与函数图象交点的横坐标，方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点，在同一坐标系中作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，，，A，D正确； 显然，而，则，即，，，B正确； 显然，，C错误.故选ABD. 10．－1和1【解析】令f(x)＝0得或解得x＝1或x＝－1，所以f(x)的零点为－1和1. 11、【解析】因为．当时，令，得；当时，恒成立；当时，令，得．综上所述，方程的解集为，． 12．【解析】由题可知，，所以，令,则单调递增，且,所以，所以，所以. 13.【解】(1)函数f(x)的图象如图所示． (2)因为f(x)＝故f(x)在(0，1]上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增.由0<a<b且f(a)＝f(b)，得0<a<1<b，且－1＝1－，所以＋＝2. (3)由函数f(x)的图象可知，当0<m<1时，方程f(x)＝m有两个不相等的正根，即实数m的取值范围是(0，1). 14.【解】（1）由，得，所以，即 ，所以，解得，即函数的零点为． （2） ．由（1）得函数的零点为，又，所以 ．由函数与互为“零点密切函数”，得在上存在零点，即关于 方程（*）在上有解．令，则 所以，则方 程（*）变形为，关于的方程，即在 上有解.因为函数在上的值域为，所以，即， 即实数的取值范围是． . 学科网（北京）股份有限公司 $