课后作业16 函数的零点与方程的解-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 该练习通过基础-中档-拔高三层设计，以函数零点定义及判定为起点，逐步深化至性质综合与创新应用，有效培养数学抽象、逻辑推理及模型构建能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|零点定义、二分法步骤、零点存在性定理|直接考查核心概念，如单选1-3，强化数学抽象能力| |中档层|单调性应用、奇偶性与周期函数零点、参数范围|结合函数性质求零点，如单选4-5、7，提升运算推理能力| |拔高层|多函数零点比较、分段函数综合、新定义“不动点”、复合函数零点|综合创新情境，如多选9-11、填空14-16，发展模型意识与批判性思维|

课后作业(十六)　函数的零点与方程的解 说明：单项选择题每题5分，多项选择题每题6分，填空题每题5分，本试卷共84分 一、单项选择题 1．函数y＝(x－2)(2x＋1)的零点是 (　　) A．2 B．(2，0) C．－2 D．2或－1 2．用二分法求函数f (x)＝ex－x－2的一个正零点的近似值(精确度为0.1)时，依次计算得到如下数据：f (1)≈－0.28，f (1.5)≈0.98，f (1.25)≈0.24，f (1.125)≈－0.04，关于下一步的说法正确的是 (　　) A．已经达到精确度的要求，可以取1.1作为近似值 B．已经达到精确度的要求，可以取1.125作为近似值 C．没有达到精确度的要求，应该接着计算f (1.187 5) D．没有达到精确度的要求，应该接着计算f (1.062 5) 3．(2025·广东广州一模)函数f (x)＝2x3＋3x－7的一个零点所在的区间是 (　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 4．(2025·山西晋城三模)若函数f (x)＝－3x－x＋a在(0，1)内有零点，则实数a的取值范围为 (　　) A．(1，4) B．(－4，0) C．(0，4) D．(－∞，4) 5．(2026·河南郑州模拟)若定义域为R的奇函数f (x)满足f (x＋1)＝f (x)，则f (x)在(－2，2)内的零点个数至少为 (　　) A．5 B．6 C．7 D．8 6．(人教A版必修第一册P160复习参考题4T5(3)改编)已知函数f (x)＝2x＋x－的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为 (　　) A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．b>a>c 7．(2026·浙江绍兴模拟)已知函数f (x)＝x2＋a＋a2－4有唯一零点，则a＝ (　　) A．0 B．－2 C．2 D．±2 8．(2025·广东广州二模)已知函数f (x)＝若函数g(x)＝f (x)－a恰有2个零点，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，0) B．(0，1] C．(0，4] D．(4，＋∞) 二、多项选择题 9．已知函数f (x)＝|2x－1|－a，g(x)＝x2－4|x|＋2－a，则 (　　) A．当g(x)有2个零点时，f (x)只有1个零点 B．当g(x)有3个零点时，f (x)只有1个零点 C．当f (x)有2个零点时，g(x)有2个零点 D．当f (x)有2个零点时，g(x)有4个零点 10．对于函数f (x)，若在其定义域内存在x0，使得f (x0)＝x0，则称x0为函数f (x)的一个“不动点”，下列函数存在“不动点”的有 (　　) A．f (x)＝2x2＋ B．f (x)＝ex－3x C．f (x)＝ex-1－2ln x D．f (x)＝ln x－ 11．(2026·福建福州模拟)已知函数f (x)＝则 (　　) A．直线y＝与f (x)的图象有四个交点 B．f (x)有两个零点 C．直线y＝kx与f (x)的图象至多有两个交点 D．存在两点(a，b)，(－2－a，b)(a>0，b>0)同时在f (x)的图象上 三、填空题 12．函数f ＝___________． 13．函数f (x)＝ln＋x－1的所有零点之和为___________． 14．已知函数f (x)＝ 若实数a，b，c(a<b<c)满足f (a)＝f (b)＝f (c)，则a＋b＝___________；a＋b＋c的取值范围是___________． 15．关于函数f (x)＝其中a，b∈R，给出下列四个结论： 甲：5是该函数的零点； 乙：4是该函数的零点； 丙：该函数的所有零点之积为0； 丁：方程f (x)＝1有两个不等的实根． 若上述四个结论中有且只有一个结论错误，则该错误的结论是 (　　) A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 16．(多选)已知函数f (x)＝＋1的零点个数的说法中正确的是 (　　) A．当k>1时，有1个零点 B．当k＝－2时，有3个零点 C．当0<k<1时，有4个零点 D．当k＝－4时，有7个零点 课后作业(十六) 1．A　[令y＝(x－2)(2x＋1)＝0，因为2x＋1>1>0，所以x－2＝0，即x＝2．] 2．C　3．B 4．A　[易知函数f (x)＝－3x－x＋a在(0，1)内连续且单调递减， 又因为函数f (x)＝－3x－x＋a在(0，1)内有零点， 所以f (0)f (1)＝(a－1)(a－4)<0， 解得1<a<4，所以实数a的取值范围为(1，4)．故选A．] 5．C　[由f (x)是定义域为R的奇函数，可得f (0)＝0， 再由f (x＋1)＝f (x)，可得函数周期为1，所以f (－1)＝f (0)＝f (1)＝0． 在f (x＋1)＝f (x)中取x＝－， 得f ＝f ＝－f ， 所以f ＝0，f ＝0，f ＝0，f ＝0， 所以f (x)在(－2，2)内的零点个数至少为7．故选C．] 6．B　[令f (x)＝0，则有2x＝－x＋；g(x)＝0，则有lg x＝－x＋；h(x)＝0，则有x3＝－x＋； 在同一平面直角坐标系中分别作出函数y＝2x，y＝lg x，y＝x3及y＝－x＋的图象，如图所示， 由图象可知b>c>a．故选B．] 7．C　[由题知函数f (x)的定义域为R， f (－x)＝(－x)2＋a|－x|＋a2－4＝x2＋a|x|＋a2－4＝f (x)，所以函数f (x)为偶函数， 又因为函数f (x)＝x2＋a|x|＋a2－4有唯一零点，根据零点关于y轴对称，得出f (0)＝a2－4＝0，所以a＝±2， 当a＝2时，函数f (x)＝x2＋2|x|＝0有唯一零点，符合题意； 当a＝－2时，函数f (x)＝x2－2|x|＝0有零点0，2，－2，不符合题意，舍去．故选C．] 8．B　[易知当x≤0时，函数y＝ex单调递增，且y＝ex∈(0，1]； 当x>0时，函数y＝x－，易知y'＝1＋， 显然当a≥0时，y'>0恒成立，即y＝x－在(0，＋∞)上单调递增； 当x→0时，y→－∞；当x→＋∞时，y→＋∞， 此时函数f (x)的图象大致如图所示， 若函数g(x)＝f (x)－a恰有2个零点，即函数f (x)的图象与直线y＝a有两个交点， 由图可知a∈(0，1]； 当a<0时，根据对勾函数性质可知y＝x－＝x＋≥2，当且仅当x＝时，等号成立， 此时其图象大致如图所示， 显然函数f (x)的图象与直线y＝a没有交点，不合题意． 综上可知，实数a的取值范围是(0，1]．故选B．] 9．BD　[令f (x)＝0，g(x)＝0，得＝a，x2－4＋2＝a， 利用指数函数与二次函数的性质，在同一直角坐标系中画出y＝，y＝x2－4＋2的大致图象，如图所示， 由图可知，当g(x)有2个零点时，a＝－2或a>2， 此时f (x)无零点或只有1个零点，故A错误； 当g(x)有3个零点时，a＝2，此时f (x)只有1个零点，故B正确； 当f (x)有2个零点时，0<a<1，此时g(x)有4个零点．故C错误，D正确． 故选BD．] 10．BC　[对于A，f (x)的定义域为R，f (x)＝2x2＋＝x，则2x2－x＋＝0，由于Δ＝1－4×2×<0，故方程无实数根，故A错误； 对于B，f (x)的定义域为R，f (x)＝ex－3x＝x，记g(x)＝ex－4x，则g(x)的图象是连续不断的曲线，g(0)＝1>0，g(1)＝e－4<0，根据函数零点存在定理可知，g(x)在(0，1)内存在零点，故B正确； 对于C，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ex-1－2ln x＝x，由于f (1)＝e0－0＝1，所以x＝1是f (x)的一个不动点，故C正确； 对于D，f (x)的定义域为(0，＋∞)，f (x)＝ln x－＝x，令F(x)＝ln x－－x，x>0， 则F'(x)＝－1＝＝， 故当x>2时，F'(x)<0，F(x)单调递减， 当0<x<2时，F'(x)>0，F(x)单调递增， 故当x＝2时，F(x)取极大值也是最大值， 故F(x)≤F(2)＝ln 2－3<0，故f (x)＝ln x－＝x在(0，＋∞)上无实数根，故D错误． 故选BC．] 11．BD　[画出f (x)的图象，如图， A选项，在同一坐标系内画出f (x)与直线y＝的图象， 可知直线y＝与f (x)的图象有2个交点，A错误； B选项，f (x)有两个零点，即－2和0，B正确； C选项，由图象可得，可能有三个交点，故C错误； D选项，点(a，b)，(－2－a，b)(a>0，b>0)是关于直线x＝－1对称的两点， 因为a>0，b>0，故(a，b)是位于第一象限的点，(－2－a，b)位于第二象限， (－2－a，b)在f (x)＝x2＋2x，x<－2的图象上，要想满足(a，b)同时在f (x)的图象上， 只需g(x)＝x2＋2x，x>0与h(x)＝ex－1，x>0在第一象限内有交点， 因为g(1)＝3，h(1)＝e－1，故g(1)>h(1)， 又g(3)＝15，h(3)＝e3－1，故g(3)<h(3)， 两函数均在(0，＋∞)上单调递增，故一定存在x0∈(1，3)，使得g(x0)＝h(x0)，D正确．故选BD．] 12．(答案不唯一)　[函数f 的图象在区间(0，2)内连续不断，且“若f 在区间(0，2)内存在零点，则f (0)·f (2)<0”为假命题，可知函数f 满足在(0，2)内存在零点，且f (0)·f (2)≥0，所以满足题意的函数解析式可以为f ．] 13．2 14．2　 [6，7)　[由f (x)＝故f (x)在(－∞，1]和(2，＋∞)上单调递减， 在[1，2]上单调递增，且有f (1)＝0，f (2)＝1，f (0)＝1，f (4)＝1，f (5)＝0． 由f (a)＝f (b)＝f (c)，则0≤a<1<b≤2<4≤c<5， 当x∈[0，2]时，f (x)＝|x－1|，则f (x)的图象关于直线x＝1对称，故a＋b＝2，则a＋b＋c＝2＋c∈[6，7)．] 15．B　[当x∈[3.5，＋∞)时，f (x)＝b－x单调递减，故5和4只有一个是函数的零点． 即甲、乙中有一个结论错误，一个结论正确，故丙、丁均正确． 由所有零点之积为0，结合分段函数的性质，知必有一个零点为0， 则f (0)＝log22－a＝0，可得a＝1． ①若甲正确，则f (5)＝b－5＝0，则b＝5， 可得f (x)＝ 由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或5－x＝1，x≥3.5，解得x＝2或x＝4，方程f (x)＝1有两个不等的实根，故丁正确．则甲正确，乙错误； ②若乙正确，则f (4)＝0，即b－4＝0，则b＝4， 可得f (x)＝ 由f (x)＝1，可得log2(x＋2)－1＝1，0≤x<3.5或4－x＝1，x≥3.5， 解得x＝2，方程f (x)＝1只有一个实根，故丁错误，不满足题意． 综上，甲正确，乙错误．故选B．] 16．ABD　[令y＝0，得f ＝－1，设f ＝t，则方程f ＝－1等价于f ＝－1，函数y＝x2－kx＋1的图象开口向上，过点，对称轴为x＝． 对于A，当k>1时，画出函数f 的图象， ∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有1个根t＝，由f 可知，此时只有1个解，即函数y＝f ＋1有1个零点，故A正确； 对于B，当k＝－2时，画出函数f 的图象， ∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有1个根t＝，由f 可知，此时有3个解，即函数y＝f (f (x))＋1有3个零点，故B正确； 对于C，当0<k<1时，图象类似于选项A对应的图象，只有1个零点，故C错误； 对于D，当k＝－4时，画出函数f 的图象， ∵f ＝－1，此时方程f ＝－1有3个根，其中t1＝，t2∈(－1，0)，t3∈(－4，－3)，由f 可知，此时有3个解，由f ＝t2∈(－1，0)可知，此时有3个解，由f ＝t3∈(－4，－3)可知，此时有1个解，即函数y＝f ＋1有7个零点，故D正确．故选ABD．] 3/3 学科网（北京）股份有限公司 $