课时作业3 函数的奇偶性与周期性-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 本同步练聚焦函数奇偶性与周期性，通过基础巩固、中档应用、综合提升三层设计，实现从概念辨析到性质综合应用的进阶，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|奇偶性定义判断、简单计算|以单选1（F(x)=f(x)+f(-x)奇偶性判断）为例，强化概念理解| |中档层|奇偶性与单调性结合、性质辨析|通过多选8（函数奇偶性判断）提升推理能力，结合图像分析（单选3）| |综合层|周期性与奇偶性综合应用|以填空12（周期函数计算f(2025)）、解答13（分段函数解析式）培养综合应用意识|

课时3 函数的奇偶性与周期性 一、单选题 1、(2026·北京海淀区质检)已知y=f(x)，x∈(-a，a)，F(x)=f(x)+f(-x)，则F(x)是(　　) A.是奇函数 B.是偶函数 C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，又不是偶函数 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≤0时，f(x)=x2-x，则f(1)=(　　) A.- B.- C. D. 3.函数f(x)=的图象大致为(　　) A B C D 4、已知函数f(x)满足对于任意的实数x，都有f(x＋2)＝－，且f(1)＝，则f(2 025)＝(　　) A.－1 B. 1 C.－ D. 5.(2026·重庆诊断)已知函数f(x)=2x-2-x+5，若f(m)=4，则f(-m)=(　　) A.4 B.6 C.-4 D.-6 6．（2026·河南开封市模拟）已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=2x- ，则不等式f(x)<0的解集为(　　) A.(-3，0)∪(0，3) B.(-3，3) C.(-∞，-3)∪(0，3) D.(-∞，-3)∪(3，+∞) 二、多选题 7．（2026·甘肃庆阳市宁县期中）已知函数在区间上是偶函数，在区间上是单调函数，且，则有（　　） A． B． C． D． 8、(2026·黑龙江哈尔滨市模拟)下列函数具有奇偶性的有(　　) A.f(x)=x+sin x B.f(x)=(x-1) C.f(x)=ln(-x) D.f(x)=2x+ 9、(2026·云南昆明市检测)函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，则有(　　) A.f(－1)＝－1 B.g(－1)＝－2 C.f(1)＋g(1)＝1 D.f(1)＋g(1)＝2 三、填空题 10．(2026·江西南昌市联考)若函数是偶函数，则__________． 11.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=x2-x，则f(x)=　　　　.  12、(2026·河北保定市调研)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(2 025)＝________． 四、解答题 13．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，且当0≤x≤1时，f(x)＝x.求： (1)f(π)的值； (2)当－1≤x≤3时，f(x)的解析式； 14．函数f(x)和g(x)具有如下性质：①定义域均为R；②f(x)为奇函数，g(x)为偶函数；③f(x)+g(x)=ex(常数e是自然对数的底数). (1)求函数f(x)和g(x)的解析式； (2)对任意实数x，(g(x))2-(f(x))2是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 课时3 函数的奇偶性与周期性参考答案 1、B【解析】因为F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，又x∈(-a，a)关于原点对称，所以F(x)是偶函数.故选B. 2．A【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(1)=-f(-1)=-.故选A. 3.A【解析】f(x)的定义域为R，因为f(-x)===f(x)，所以f(x)为偶函数，排除B，D.又因为f(x)≥0.故选A. 4、D【解析】由f(x＋2)＝－，得f(x)的周期T＝4，f(2 025)＝f(506×4＋1)＝f(1)＝.故选D. 5.B【解析】由题意知，函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，设g(x)=2x-，则g(x)的定义域为R，关于原点对称，f(x)=g(x)+5，因为g(-x)=-2x=-g(x)，所以g(x)是奇函数，由f(m)=g(m)+5=4，得g(m)=-1，所以f(-m)=g(-m)+5=-g(m)+5=1+5=6.故选B. 6．C【解析】函数f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)=2x-，作出函数的图象如图所示， 由图可知，当x<-3或0<x<3时，f(x)<0，所以不等式f(x)<0的解集为(-∞，-3)∪(0，3).故选C. 7．BD【解析】函数在区间上是单调函数，又，且，故此函数在区间上是减函数．由已知条件及偶函数性质，知函数在区间上是增函数． 对于选项A，，故，故A错误； 对于选项B，，故，故B正确； 对于选项C，，故C错误； 对于选项D，，故D正确．故选BD. 8、ACD【解析】对于选项A，f(x)的定义域为R，由f(-x)=-x+sin(-x)=-f(x)知，f(x)为奇函数； 对于选项B，令≥0，解得x≤-1或x>1，即函数f(x)的定义域为(-∞，-1]∪(1，+∞)，不关于原点对称，即f(x)为非奇非偶函数； 对于选项C，因为x2+1>x2，所以-x>0恒成立，即f(x)的定义域为R，又f(-x)+f(x)=ln(+x)+ln(-x)=0，故f(x)为奇函数； 对于选项D，f(x)的定义域为R，由f(-x)=+2x=f(x)知，f(x)为偶函数.故选ACD. 9、AC【解析】方法一：由f(x)－g(x)＝x3＋x2－1得f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2－1，又f(x)， g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以－f(x)－g(x)＝－x3＋x2－1.由得f(x)＝x3，g(x)＝－x2＋1. 对于选项A，f(－1)＝(－1)3＝－1，故A正确； 对于选项B，g(－1)＝－(－1)2＋1＝0，故B错误； 对于选项C和D，f(1)＋g(1)＝1－1＋1＝1，C正确，D错误.故选AC. 方法二：因为f(x)－g(x)＝x3＋x2－1，且f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，将x＝－1代入得 f(－1)－g(－1)＝－1，所以－f(1)－g(1)＝－1，即f(1)＋g(1)＝1，故C正确，D错误； 将x＝1代入得f(1)－g(1)＝1，又f(1)＋g(1)＝1，所以f(1)＝1，g(1)＝0，所以f(－1)＝－1， g(－1)＝0，故A正确，B错误.故选AC. 10．1【解析】因为为偶函数，定义域为，所以对任意的实数都有， 即，所以，由题意得上式对任意的实数恒成立，所以，解得,所以. 11.【解析】设x<0，则-x>0，则f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x.因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，则当x<0时，f(x)=-f(-x)=-x2-x.又f(0)=0，满足f(x)=x2-x，所以f(x)= 12、216【解析】由f(x＋4)＝f(x－2)，得f(x＋6)＝f(x)．故f(x)是周期为6的周期函数．所以f(2 025)＝f(6×337＋2)＝f(3)．因为f(x)为R上的偶函数，所以f(3)＝f(－3)．又当x∈[－3，0]时，f(x)＝，所以f(－3)＝6－(－3)＝216.从而f(3)＝216，故f(2 025)＝216. 13．【解】(1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)若－1≤x≤0，则0≤－x≤1，则f(－x)＝－x.因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－x＝－f(x)， 即f(x)＝x，－1≤x≤0，即当－1≤x≤1时，f(x)＝x.若1<x≤3，则－1<x－2≤1.因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(x－2)＝－(x－2)＝2－x，即当－1≤x≤3时，f(x)的解析式为f(x)＝ 14．【解】(1)由性质③f(x)+g(x)=ex，则f(-x)+g(-x)=e-x，由性质②知f(-x)=-f(x)，g(-x)=g(x)，故-f(x)+g(x)=e-x.则解得f(x)=，g(x)=. (2)由(1)可得[g(x)]2-[f(x)]2=-=-=1，故对任意实数x，(g(x))2-(f(x))2为定值，定值为1. . 学科网（北京）股份有限公司 $