第二章 第5节 函数的奇偶性、周期性（含解析）2027届高中数学（通用版）一轮复习练习

**基本信息** 本练习通过基础巩固、中档综合、拔高拓展三层设计，覆盖函数奇偶性与周期性的概念理解、性质应用及抽象推理，助力一轮复习中数学抽象与逻辑推理能力的递进培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|奇偶性定义、简单性质应用|单选题1-3直接考查奇偶性判断与定义域分析，填空题13-14聚焦奇偶性与最值关系，夯实概念理解| |中档|奇偶性与周期性综合、单调性结合|单选题4-7结合周期性求值与不等式求解，多选题11-12综合奇偶性与函数性质判断，培养推理能力| |拔高|抽象函数周期推导、综合计算|单选题8-10涉及抽象函数周期证明，解答题18融合周期推导与区间解析式求法，提升数学建模与运算能力|

第5节函数的奇偶性、周期性 一、单选题 1.(2026·北京西城区模拟)给出下列函数中是偶函数的为() Ax)=(x-1)月 B.fx)=2 Cfx)=x+x Df=Inx 2若偶函数的定义域为R,当x∈[0，+∞)时，w单调递增，则-/7)，)，-3)的大小 关系是() Am>-3)>-V7) Bm>-7)>-3) Cm-3)-V7) D)-V7)-3) 3.设x为偶函数，当x∈(0，十∞)时，)=x一1，则使x)0的x的取值范围是() A.(xkx-1) B.{x-1<x<0} C.{xr<-1或1} D.{x1<<0或x>1} 4.已知函数)满足：x∈R,w)x十6)=2，且4)=1，则2026)=() A.1 B.2 C.3 D.4 5.(2026·金华调研)已知函数x)=(e+e )sinx一2在[一2,2]上的最大值和最小值分别为M,W, 则M+N=() A.-4 B.0 C.2 D.4 2x-1 6.(2023:新高考Ⅱ卷)若)=(6x+ln2x+1为偶函数，则a=() A.-1 B.0 c D.1 7.(2026泰安模拟)定义在R上的奇函数)在(0，十∞)上单调递增，且3=0， 则不等式 X-2 ≤0的解集为() am,0, 02 am, 片馆2 8.(2026新余模拟)已知函数w)的定义域为N,且3)=-5,17)=3，x十1)=x)十x十2)，则 2026)=() A.5 B.-5 C.2 D.-2 9.(2025·青岛三模)已知函数x)的定义域为R,x十)一x一)=21一))，1)=1，则2 025)=() A.-1 B.0 c.1 D.2 10.(2026成都模拟)设x)是定义在R上的奇函数，且当心0时，x)=2一3，则一2)=() A.1 B时 C.-1 n-号 二、多选题 11.(2025·汉中二模)若函数x)=xx2-1,则() A3)=V6 Bx)的最小值为0 Cw是奇函数 Dx)的定义域为（一∞，一1]U[1,+∞） 12.(2025·辽宁名校联考)己知函数x)的定义域为R,且x)是奇函数，x+1)是偶函数，则() A0)=1 Bx)是周期函数 Cx+3)为偶函数 Dx十5)为奇函数 三、填空题 13.已知函数)=x十n(x+1一x)-5x∈[一2026,2026])的最大值为M,最小值为m,则M什 m= ax +b 14函数)=X十1是定义在R上的奇函数，则满足条件的一组a,b的值可以是a= b= 15.(2026大庆模拟)已知定义域为R的函数x)满足x+1)+x一1)=3，且1)=一1，则2024) +2025)+2026)= 16.若函数x)=1og4(2x+1)十(x十a)满足x+x=x)十x,则a= 四、解答题 17.已知函数fx)是R上的奇函数，当x≥0时，x=x+x (1)当x<0时，求x)的解析式； (2)若1+a)+2)>0,求实数a的取值范围 18.设x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有x十2)=一x).当x∈[0,2]时，x=2x -x2. (1)求证：x)是周期函数， (2)当x∈[2,4]时，求)的解析式， (3)计算0)+1)+2)+…+2026. 第5节函数的奇偶性、周期性 一、单选题 1.(2026·北京西城区模拟)给出下列函数中是偶函数的为() Ax)=(c-1)月 Bx)=2 Cfx)=x+x D.fx=Inx 答案C 解析A中，x)=(x一1)的定义域为R,且一x)卡x),一x≠一，故为非奇非偶函数； B中，x)=2的定义域为R,且一x)≠x),一x)≠一x),故为非奇非偶函数； C中，)=x+x的定义域为R,且-x)=(-)4+(一x)=x), 所以x)为偶函数， D中，函数定义域为(0，+∞)，非奇非偶函数. 2若偶函数的定义域为R,当x∈0，+∞)时，单调递增，则-/7)，)，-3)的大小 关系是() Aπ>-3)>-V7 B)>术-V7>≥-3) Cm-3)-V7) D)-V7)-3) 答案A 解析因为是偶函数， 故-V7)=7),-3)=3), 又因为当x∈[0，十∞)时，x)单调递增， 由V7<3<π可得π)>3)>V7), 即m)-3)>-V7) 3.设)为偶函数，当x∈(0，+∞)时，)=x一1，则使x)>0的x的取值范围是() A.{xkx-1) B.{x-1<r<0} C.{xx<-1或x>1} D.{x1<<0或x>1} 答案C 解析，当x∈(0，十∞)时，x)=x一1单调递增， 又为偶函数， 故可以作出x)的图象如图所示 由图象可知，若x)>0,则x<一1或x>1, 4.已知函数fx)满足：Hx∈R,x)x+6)=2,且4)=1，则2026)=() A.1 B.2 C.3 D.4 答案B 解析根据题意，x)x十6=2， 2 显然田≠0，所以x+6=fx, 2 2 所以x+12)=fx+6)2=w), f(x) 所以函数x的一个周期为12， 2 所以2026)=12×168+10)=10)=f4=2. 5.(2026·金华调研)已知函数x)=(e+e0snx一2在[一2,2]上的最大值和最小值分别为M,N, 则M十N=() A.-4 B.0 C.2 D.4 答案A 解析令g(x)=x)十2=(e十e)sinx,其定义域为R, 因为)在[一2,2]上的最大值和最小值分别为M,N, 所以g(x)在[一2,2]上的最大值和最小值分别为M什2，N+2. 因为g(-x)=(ex+e9sin(-x)=一(ex+e)sinx=一gx), 所以g(x)为奇函数，g)的图象关于原点对称， 所以gx)在[一2,2]上的最大值和最小值互为相反数， 即M+2十N+2=0,所以M+N=一4，故选A. 2X-1 6.(2023·新高考Ⅱ卷)若=(+a2x+1为偶函数，则a=() A.-1 B.0 c D.1 答案B 2x-1 解析法一 设g)=ln2x+1' 易知的定义城为-0，u}十， -2x-1 2x十1 2x-1 且g(-0=l血2x+1=l血2x-1=-血2x+i=-8, 所以gx)为奇函数. 2x-1 若=(c+an2x+1为偶函数， 则y=x十a也应为奇函数，所以a=0,故选B. 2x-1 法二因为y=(x+aln2x+1为偶函数， -1)=(a-1)1n3, 1 1)=(a+1)m3=-(a+1n3, 所以(a一1)1n3=一(a十1)1n3,解得a=0(经检验，此时x)为偶函数)，故选B. 7(2026奉安模树定义在R上的奇所效网布0，十)上单调递筑，且-0，则不等式 ≤0的解集为() am,p0,司 3g u 2 专咖安 答案D 解析由函数x)为奇函数，且在(0，+∞)上单调递增， 则函数)在（一∞，0）上单调递增， 三大-相=0,0=0. 则函数)的大致图象如图所示，由图可得， 当e号0u信+，网0， 由当x∈(-∞，2)时，x2<0; 当x∈(2，+∞)时，x-2>0, 则不等式0的为行小2 8.(2026新余模拟)已知函数x)的定义域为N,且3)=一5,17)=3，x+1)=x)十x+2),则 2026)=() A.5 B.-5 C.2 D.-2 答案D 解析由题意得fx+2)=x+1)-,用x+1代替x,得x十3)=fx+2)-fx+1) 两式相加，得x十3)=一x), 所以x十6)=一x十3)=)， 所以函数x是以6为周期的周期函数 因为17)=3，所以5)=17)=3， 又因为5)=一2)，所以2)=-3. 又因为2)=1)+3)，即-3=1)-5， 解得1)=2， 所以2026)=337×6+4)=4)=一1)=-2. 9.(2025·青岛三模)已知函数x)的定义域为R,fx+)一x一)=21一))，1)=1，则2 025)=() A.-1 B.0 c.1 D.2 答案C 解析令x=0,则y)一一y)=21)=2), )=一一)，)为奇函数， 令y=1,则x+1)一x一1) =21一x1)=21一x), 为奇函数， 1-x)=一x-1), x+1)=-x一1)， ∴x+2)=一x),∴x+4)=x), .x)的周期为4， .2025)=1)=1. 10.(2026成都模拟)设x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，x)=2x一3，则一2)=() A.1 B时 C.-1 n-4 答案C(2)A(3)2 解析因为x是定义在R上的奇函数，且当x>0时，x)=2x一3， -2)=-2)=一(22-3)=-1. 二、多选题 11.(2025汉中二模)若函数)=xx2-1,则() A3)=6 Bw的最小值为0 Cx)是奇函数 Dx)的定义域为(-∞，一1]U[1,十∞) 答案ACD 解析3)=3×V2=6,故A正确； 由x2-1≥0，得x∈(-∞，-1]U[1,十∞)，故D正确； 因为一2)0，所以x)的最小值不是0，故B错误； 因为-)=-xVx2-1=一x), 所以是奇函数，故C正确. 12.(2025·辽宁名校联考)已知函数x)的定义域为R,且x)是奇函数，x+1)是偶函数，则() A0)=1 B.x)是周期函数 Cx+3)为偶函数 D孔x十5)为奇函数 答案BC 解析法一对于A,B,因为x十1)是偶函数，所以x十1)=一x十1)，即（一x)=2十），又 )是定义在R上的奇函数，所以凡一x)=一x),0)=0, 于是2十x)=一x), 即4+x=-x+2)=x), 所以x)是以4为周期的周期函数，故A错误，B正确； 对于C,设g(w)=x+3), 则g(x)的定义域为R, 因为一x=2十x), 所以-x十3)=-1+x), 则g(一x)=孔一x十3)=一1十x)=x十3)，即gx)=g(一x),所以x十3)为偶函数，故C正确； 对于D,设h(x)=x十5)， 则h(x)的定义域为R, 因为孔一)=2十x, 所以-x+5)=x-3), 则h(一x)=一x+5)=x一3)=x+5), 即x)=h(一x),所以r十5)为偶函数，故D错误.故选BC. 法二对于A,)是定义在R上的奇函数， 所以O)=0,故A错误； 对于B,因为x十1)为偶函数，所以x)的图象关于直线x=1对称， 又x)是定义在R上的奇函数， 所以x的图象关于原点对称，所以x)是以4为周期的周期函数，故B正确； 对于C,由B知，x十3)=x+3-4)=x一1)， 由x十1)为偶函数得，一x十1)=x十1)，又x)是奇函数，所以一x一1)=一x十1)=一一x十 1)=x-1), 所以x一1)=x十3)为偶函数，故C正确； 对于D,x十5)=x十5一4)=x十1)为偶函数，故D错误.故选BC. 三、填空题 13.已知函数f=x+lm(x2+1-x)-5x∈[-2026,20261)的最大值为M,最小值为m,则M什 n= 答案一10 解析设gx)=e)十5=x+lm(Wx2+1-), 则gx)的定义域为[一2026,2026]， 则g6)十g(-x)=x+1n(√x2+1-)-x+ln(WX2+1+)=ln[(Wx2+1-x(√x2+1+.x]=n1=0, ·g(一x)=一g(x),即g(x是奇函数， 因此g(x)min十g(max=0. g(x)min-fx)min+5=m+5, g(x)mmx=x)mmx十5=M十+5， '·g(x)min十g(x)mx=1+5+M+5=0, 即M+m=-10 ax +b 14,函数)一ti是定义在R上的奇函数，则满足条件的一组a,b的值可以是a一一 b= 答案1（答案不唯一）0 ax +b 解析因为函数四-X十1是奇函数，x∈R, 所以0)=0，得b=0, -X 当a=1时，)=X千1，满足-)=X+1=一-术，即)为奇函数 15.(2026·大庆模拟)已知定义域为R的函数x)满足x+1)十x一1)=3，且1)=一1，则2024) +2025)+2026)= 答案2 解析由x+1)+x一1)=3， 令x+1代替x,可得x十2)=3一x), 则x+4)=3一x+2)=x), 所以x是以4为周期的周期函数， 可得2025)=1+506×4)=1)=一1， 由x+1)+x-1)=3,令x=2025, 则2026)+2024)=3， 所以2024+2025)+2026)=2. 16.若函数)=log4(2+1)十(x十)满足)十x=x)十x,则a= 答案-1 解析函数)满足xD十x=x)十x,则y=w)十x是偶函数， 24x+1 所以)-(-为+2x=0,即1og24十1+(4a+2x=2x+(4a+2r=0, 所以a=-1. 四、解答题 17.已知函数x是R上的奇函数，当x≥0时，x=x2+x (1)当<0时，求)的解析式； (2)若1+)+2a)>0,求实数a的取值范围 解(1)当x<0时，一x0, 则-)=（一x)}十（一x)=x2-x 又由x是R上的奇函数， 则x=一孔一)=一x十x 故)=一x2+x(<0) (2)当x≥0时， 12_-1 =x2+x=x+2一4 则)在[0，+∞)上单调递增， 又由x)是R上的奇函数， 则)在（一∞，0）上也单调递增， 故)在R上为单调递增函数，且人)为奇函数，又因为1十四十2)>0， 所以1+a>-2),所以a+1>-2a. 解得心-3， 1 即a的取值范围为3' 18.设)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x,恒有x十2)=一).当x∈[0,2]时，)=2x -x2 (1)求证x)是周期函数， (2)当x∈[2,4]时，求x的解析式， (3)计算0)+1)+2)+…+2026). (1)证明.x十2)=一x, .x+4)=一fx+2)=x) w)是周期为4的周期函数 (2)解当x∈[-2,0]时，一x∈[0,2]， 由已知得-x)=2(一x)-(-x)=-2x-x2 又)是奇函数， -y=-x=-2x-x2. .x)=x2+2x 又当x∈[2,4]时，x-4∈[-2,0]， .x-4)=(x-4)2+2x-4). 又)是周期为4的周期函数， w=x-4)=(x-4)2+2x-4) =x2-6x+8 从而求得x∈[2,4]时，x)=x2-6x+8. (3)解0)=0,1)=1,2)=0,3)=-1. 又x是周期为4的周期函数， ∴0)+1)+2)+3)=4)+5)+6)+7)==2020)+2021)+2022)+2023)=0， 0)+1)+2)++2026)=506×[0)+1)+2)+3]+f2024)+f2025)+2026) =0+2024)+2025)+2026) =0+0)+1)+2)=1.