山东省泰安市泰山区2025--2026学年八年级第二学期期末考试仿真练习

**基本信息** 融合传统文化（窗棂菱形、黄金分割）与科技情境（工厂智能化生产），梯度设计考查数学抽象、几何直观及模型应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|二次根式、菱形性质、一元二次方程|结合传统建筑（窗棂）考查菱形计算| |填空题|5/20|同类二次根式、根与系数关系|以哪吒身高引入黄金分割应用| |解答题|9/90|相似三角形、方程应用、四边形综合|“圆融”雕塑测高（相似）、工厂增长率（方程）等真实问题，正方形折叠拓展考查推理能力|

山东省泰安市泰山区2026年八年级第二学期期末考试仿真练习 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）若，则的值为（   ） A． B． C．1 D．3 2．（本题4分）下列根式中，与是同类二次根式的是（） A． B． C． D． 3．（本题4分）“菱花窗镂映晴光，雪韵冰晶故事长”．我国传统建筑中的窗棂古典雅致，含蓄灵动．构成某幅窗棂的一个窗格可抽象成如图所示的菱形，测得，，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．（本题4分）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（本题4分）把一元二次方程化成的形式，则的值为（    ）． A． B． C． D． 6．（本题4分）如图，在矩形中，，，将沿翻折，使得点D落在边上的点F处，则的长是（   ） A．1 B．2 C．6 D．8 7．冬季流感频发，某小区有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有49人患了流感．设每轮传染中平均一个人传染了个人，则下列结论错误的是（   ） A．第1轮后个人患了流感 B．第2轮新增个人患流感 C．可列方程 D．可列方程 8．（本题4分）如图，在中，点D，E分别在和上，且，若，，则的长是（    ） A．1 B． C．2 D．3 9．（本题4分）如图，在平面直角坐标系中，和是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点B，的坐标分别为，，若点A的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（本题4分）如图，四边形是正方形，，P是正方形对角线上一点，，，E、F分别为垂足，若，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D．3 二、填空题（共20分） 11．（本题4分）最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 12．（本题4分）方程的两个根分别为，，则_____ 13．（本题4分）《哪吒之魔童闹海》上映后火爆全球，截至目前全球票房已破158亿．哪吒的可爱形象被众人所喜爱，而其各部分结构的长度设计都与黄金分割有关，如图，点B为的黄金分割点，已知哪吒在剧中的身高设定为，则其头部的长度是__________（结果保留根号）． 14．（本题4分）如图，在中，是中点，延长到，使，交于点，若，则的长度为______． 15．（本题4分）如图，矩形中，E是边上一点，将沿翻折，得到，延长交线段的延长线于点G，交线段于点O，若，，，则线段的长为_______． 三、解答题（共90分） 16．（本题8分）计算： (1)； (2) 17．（本题8分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 18．（本题9分）如图，菱形的对角线，相交于点O，且，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 19．（本题9分）已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数m的取值范围； (2)若一元二次方程的两个根和满足，求实数m的值． 20．（本题10分）如图，在中，为边上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（本题11分）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破，我国制造业发展迎来重大机遇．某工厂一车间借助智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产100个，6月份生产144个． 素材2 该厂生产的零件成本为30元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为40元/个时，月销售量为600个，在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率； 任务2 当零件的实际售价定为多少元时，每个月可以获得利润12250元？ 22．（本题11分）综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度，标杆，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 23．（本题12分）乔乔在解决问题：已知，求的值时，是这样想的：先将化简成不含分母的形式：，此时， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据乔乔的分析过程，解决下列问题： (1)分别化简：和； (2)若，请你求出的值． 24．（本题12分）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：； (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《山东省泰安市泰山区2026年八年级第二学期期末考试仿真练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B C A B C B A C 1．D 【分析】先根据给定的比例关系，设然，后将这些表达式代入所求的​ 中。最后化简表达式，得到具体数值，并匹配选项得解。 【详解】解：由，设，（为非零常数）， 将和代入，得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了比例的性质和代数式的化简方法，关键是利用比例设参数法​（即引入比例常数 k），将比例关系转化为代数表达式，再代入目标式化简求值． 2．D 【分析】本题考查同类二次根式，将二次根式化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式是同类二次根式．先将各选项的二次根式化为最简二次根式，即可判断解答． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式； B、，与不是同类二次根式； C、，与不是同类二次根式； D、，与是同类二次根式． 故选：D． 3．B 【分析】本题主要考查了菱形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题关键．设交于点，根据菱形的性质可得，，，在中，利用勾股定理可得的长度，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，设交于点， ∵四边形为菱形，，， ∴，，， ∴在中，， ∴． 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查算术平方根和二次根式的性质，逐一分析各选项的平方根与平方运算是否正确即可． 【详解】解：A．，故原选项计算结果错误，不符合题意； B．，故原选项计算结果错误，不符合题意； C．，计算正确，符合题意； D．，故原选项计算结果错误，不符合题意； 故选：C． 5．A 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程、二次根式的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用配方法把一元二次方程化成的形式，再结合题意可知，，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵一元二次方程化成的形式，   ∴，， ∴． 故选：A． 6．B 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理等，解题的关键是掌握折叠前后对应边相等． 根据矩形的性质及折叠的性质可得，，然后利用勾股定理求出的长，进而即可解答． 【详解】解：四边形是矩形， ∴，， 将沿翻折，点D落在边上F处， ∴， ∴在中， ， ． 故选：B 7．C 【分析】本题考查列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式和方程． 根据题意，列出代数式和方程，逐项进行分析即可． 【详解】解：每轮传染中平均一人传染人， 第一轮后患病人数为人，故A正确，不符合题意； 第一轮后有人，每人传染人， 第二轮新增加人，故B正确，不符合题意； 两轮后总患病人数为，且给定为49， 列方程，故C错误，符合题意，D正确，不符合题意； 故选：C． 8．B 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，根据题意易证，得，即可求解，掌握相似三角形的判定方法及性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵，则， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9．A 【分析】本题考查了求位似图形的坐标，正确求出位似比是解题关键．先根据点和点的坐标求出位似比，再根据位似图形的点坐标变换规律求解即可得． 【详解】解：∵和是以坐标原点为位似中心的位似图形，点的坐标为，点的坐标为， ∴与的位似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标为，即为． 故选：A 10．C 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，连接，由正方形的性质得出，由勾股定理求出，由全等三角形的判定与性质得出，由，得出四边形是矩形，由矩形的性质得出，即可得出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故选：C． 11．3 【分析】本题考查的是同类二次根式，熟知一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式是解题的关键．根据同类二次根式的定义进行列式，再解答即可． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得． 故答案为：3． 12．37 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形， 正确把握根与系数关系是解题关键，根据，结合可得答案． 【详解】解：∵是方程的两根， ， ， 故答案为：37． 13．/ 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为点B为的黄金分割点， 所以． 因为， 所以， 所以 故答案为：． 14． 【分析】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，取的中点，连接，由三角形中位线定理推出，，得到，判定，推出，于是得到． 【详解】解：取的中点，连接， ， 是的中位线， ，， 是中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15． 【分析】由矩形的性质得到，由平行线的性质可得，再证明，得到；证明，得到，则可证明，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 16．(1) (2) 【分析】（1）先化为最简二次根式，再利用二次根式加减法的运算法则求解； （2）先利用平方差公式、二次根式除法法则算乘除，再算二次根式的加减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．(1) (2) 【分析】（1）方程整理后可直接开平方求解即可； （2）移项后提取公因式，用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：方程为，移项，得， 开平方，得，解得； （2）解：方程为， 移项，得，变形得， 提取公因式得，整理得， 可得或，解得． 18．(1)证明∶， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形； (2) 【分析】（1）先推导出四边形是平行四边形，再根据菱形的性质，得到，则四边形是矩形，即可解答； （2）先推导出，，求出，，，进而根据矩形的性质，得到，，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ，， ， ，， ， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入即可解答． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得， 即当时，方程有两个实数根． （2）解：∵， ∴由根与系数的关系，得，． ∵， ． ， ． 解方程，得或． ∵， ． 20．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由两组对应角相等的三角形相似直接判定即可得到答案； （2）由（1）中得到，代入值计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：由（1）知， ∴， ， ∴， ． 21．任务1：平均增长率为；任务2：零件的实际售价定为65元时，每个月可以获得利润12250元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． 任务1：设平均增长率为a，根据题意，直接列方程求解即可； 任务2：设零件的实际售价定为x元，根据每个月可以获得利润12250元列出一元二次方程，求解即可． 【详解】解：任务1：设平均增长率为a，根据题意得： ， 解得，（舍去）， 答：平均增长率为； 任务2：设零件的实际售价定为x元，根据题意得， 解得， ∴当时，每个月可以获得利润12250元， 答：零件的实际售价定为65元时，每个月可以获得利润12250元． 22．[测高]雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． [测高]如图②，延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； [应用]延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则， ，求得， ，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：[测高]如图②，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴（负值舍去）， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 23．(1)， (2)3 【分析】本题主要考查了分母有理化、平方差公式和完全平方公式． （1）利用平方差公式进行分母有理化运算即可； （2）将x分母有理化得，再利用完全平方公式仿照题干解答即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 24．(1)， (2)证明见解析 (3)2或8 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得垂直平分，证明即可； （2）连接，证明，可得，，再证，可得，进而即可得证； （3）分两种情况讨论，点Q在线段上或延长线上，设，由题易得，，，则或12，进而分别在中，，在中，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O， 根据折叠的性质可得垂直平分， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：线段的长为2或8． 连接，设， ∵， ∴，， 在中，， 当点Q落在线段上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 当点Q在延长线上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 综上，线段的长为2或8． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $