江苏苏州高新区实验初级中学2025－2026学年下学期初二数学期末模拟卷(二)

**基本信息** 初二数学期末模拟卷，以核心素养为导向，融合航天知识、助农计划等社会热点与赵爽弦图等数学文化，梯度设计基础、能力及创新题，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|一元二次方程定义、统计图表选择、菱形性质|基础概念辨析，如第4题对比菱形与平行四边形性质| |填空题|8/24|黄金分割、增长率方程、重心性质|结合生活情境，如第11题叶片黄金分割计算| |解答题|11/60|位似作图、矩形折叠、旋似变换|综合应用与创新，如24题折叠问题考察空间观念，26题赵爽弦图解方程体现数学文化|

实初教育集团初二数学期末模拟卷 (二) 班级： 姓名： 学号： 一、选择题.(本大题共8小题，每小题2分，共16分) 1.若方程 是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 ( ) A. m>2 B. m≠2 C. m>0 D. m≠0 2.下列说法正确的是 ( ) A.为了解某班学生本学年视力的变化情况，应采用扇形统计图 B.从5万名考生的成绩中抽取300名考生的成绩作为样本，样本容量是5万 C.为了解某班学生的身高情况，应采用普查 D.在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 3.青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是( ) A. 0.95 B. 0.90 C. 0.85 D. 0.80 4.下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是( ) A.对角线垂直 B.两组对边分别平行 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等 5. 如图, 已知直线l₁∥l₂∥l₃,直线m、n分别与直线l₁、l₂、l₃分别交于点A、B、C、D、E、F, 若DE=3,DF 的值为( ) A. C. B. D. =8, 则 6. 如图,菱形ABCD中, O为BD的中点, M为BC的中点, AM⊥BC, OM=2, 则AM的长为( ) A. B. C. D. 7.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=60cm，EF=30cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m, CD=10m, 则树高AB为( ) m. A. 5 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 8.如图,矩形ABCD 中,过对角线BD的中点O作BD的垂线交AD 于点 E,交BC于点F,P 是BD上一动点,若AB=4, CF=3, 则PA+PE的最小值为( ) 二、填空题.(本大题共8小题，每小题3分，共24分) 1 学科网（北京）股份有限公司 苏州高新区实验初级中学 2025-2026 学年第二学期数学 命题：阚丽波 校对：刘昊宇 9.把三角板切去一个角，使它成为四边形，这件事是 事件(填“确定”或“随机”). 10.已知两非零实数x、y，且 则 11.生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子.如图，点A、P、B在一条直线上, 点P是 AB 的黄金分割点(AP>PB), 如果AB长为8cm, 那么AP 的长为 12.近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益.已知农户甲2024年纯收入为2万元，经“助农计划”帮扶，到2026年农户甲的纯收入增长到3.92万元，设农户甲2024年到2026年纯收入的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为 . 13.设x₁，x₂是一元二次方程 的两根, 则(x₁-1)(x₂-1) = . 14. 已知AD为△ABC的中线, 点O为△ABC的重心,若AD=6, 则AO的长为 . 15. 如图, 梯形ABCD中, AB∥CD, ∠C=2∠A, CD=6, BC=5, 则AB= . 16.在平面直角坐标系xOy中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”.若点A(-1，-3)，把线段OA绕点O做“旋似”运动，点A的对应点是点B，当“旋似角”为90°、“旋似比”为 时， 点B的坐标为 . 三、解答题.(本大题共11小题，共60分) 17.解下列方程： (配方法)； (公式法). 18.如图, 在直角坐标系xOy中,△ABC的位置如图所示, A (-2,3), B (-3,1), C (-1,0). (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出△ABC的位似图形△A₁B₁C₁，使它与△ABC的相似比是2：1； (2)在(1)中，若点M(a，b)是边AB上一点，则点M对应的位似点M₁的坐标为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 苏州高新区实验初级中学 2025-2026学年第二学期数学 命题：阚丽波 校对：刘昊宇 19.某中学开展航天知识竞答活动，随机抽取了八年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理(满分为100分，将抽取的成绩在60~70分之间的记为A组，70~80分之间的记为B组，80~90分之间的记为C组，90~100分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值，例如A组包括70分不包括60分)，得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图.根据以上信息，解答下列问题： (1)学校抽取的八年级学生的人数是 ； 请把频数分布直方图补充完整； (3)学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数. 20.已知关于x的方程 有实数根. (1)求k的取值范围； (2) 等腰△ABC中,AB=AC=2,若AB、BC的长是一元二次方程 的两根，求BC的长. 21. 如图,在▱ABCD中,F是边DC的中点, 过点F作 , 交 AB 于点E. 连接ED、EC, 作( 交EF 的延长线于点 G,连接DG. (1)求证：四边形 DECG 是平行四边形； (2) 当DE平分∠ADC时,求证: 四边形DECG 是矩形. 3 学科网（北京）股份有限公司 苏州高新区实验初级中学 2025-2026学年第二学期数学 命题：阚丽波 校对：刘昊宇 22.如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门(不用铁栅栏),设矩形ABCD的宽AD为x米,矩形的长为AB(且AB>AD). (1)若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB； (2)在(1)的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米? 23. 如图, 在 中, 点 D, E分别在边AB,AC上,. (1) 求证: (2) 若DE=6,BC=10,求线段CD的长. 24. 在矩形纸片ABCD中,AB=6cm,BC=8cm. (1)将矩形纸片沿BD折叠，点A落在点E处(图1)，连接CE.设DE与BC相交于点F，求BF的长； (2)图(1)中的四边形BECD是怎样的四边形?请说明理由； (3)将矩形纸片折叠，使点B与点D 重合(图2)，求折痕GH的长. 25.如图，在平面直角坐标系中，已知 的两直角边OA，OB分别在x轴，y轴的正半轴上(OA<OB),且OA，OB 的长分别是一元二次方程 的两个根，线段AB的垂直平分线CD交AB 于点 C，分别交x轴,y轴于点 D, E. (1) 直接写出点A、B的坐标: A , B ; (2) 求线段AD的长; 4 学科网（北京）股份有限公司 苏州高新区实验初级中学 2025-2026学年第二学期数学 命题：阚丽波 校对：刘昊宇 (3)已知P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点，则在坐标平面内是否存在点M，使得以点C、P、Q、M为顶点的四边形是以5为边长的正方形?若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由. 26.阅读材料，并解决问题. 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以 35=0为例，构造方法如下： 首先将方程 变形为x(x+2)=35，然后画四个长为x+2，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为 ，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即 因此，可得新方程 因为x表示边长，所以2x+2=12，即x=5.遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根. (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程. -21=0(x>0) 的正确构图是 . (从序号①②③中选择) (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程 请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为 即x( ) =1; 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ，解得原方程的一个根为 . (3)【拓展应用】一般地，对于形如 的一元二次方程可以构造图2来解.已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数(求得方程的正根为 . 5 学科网（北京）股份有限公司 苏州高新区实验初级中学 2025-2026学年第二学期数学 命题：阚丽波 校对：刘昊宇 27. 特例研究: 在正方形ABCD中,AC,BD 相交于点O. (1) 如图1, 可以看成是 绕点A 逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为 ，k的值为 ； (2)如图2, 将 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到 (点O，B的对应点分别为点E，F)，使得点E落在OD上，点F落在BC上，求 的值； 类比探究： (3) 如图3, 在菱形ABCD中, O是AB的垂直平分线与BD的交点，将 绕点A 逆时针旋转，旋转角为α，并缩放得到△AEF(点O，B的对应点分别为点E，F)，使得点E落在OD上，点F落在BC上.猜想 的值是否与α有关，并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 一.选择题(共8小题) 1--4: BCBA. 5--8: BCBB 二.填空题(共8小题) 9. 随机. 10. 13. - 7. 14. 4. 15. 11. 三.解答题(共11小题) 18. 解: (1) 如图, △A₁B₁C₁即为所求. (2) 由题意得, 点M(a,b) 对应的位似点M₁的坐标为(-2a, -2b). 19.解: (1) 根据题意, B组有12人, 占30%, ∴12÷30%=40 (名); 答：学校抽取的八年级学生的人数为40. (2) D组有40-4-12-16=8 (人), 占总人数的 ∴m=20; 故答案为：20. 补全的频数分布直方图如图所示： (3) 由 (2) 知D组占总人数的20%, ∴估计达到优秀等级的人数为400×20%=80 (人). 20. 解: (1) k<2. (2) 将x=2代入原方程, 得: 4k-8+2=0, 解得: ∴原方程为 即(3x-2)(x-2) =0, 解得： ∴BC的长为 21. 证明: (1) ∵F是边DC的中点, ∴DF=CF. ∵CG∥DE, ∴∠DEF=∠CGF. 又∵∠DFE=∠CFG, ∴△DEF≌△CGF (AAS), 7 学科网（北京）股份有限公司 ∴DE=CG, ∵CG∥DE, ∴四边形DECG是平行四边形. (2) ∵ED平分∠ADC, ∴∠ADE=∠FDE. ∵EF∥AD, ∴∠ADE=∠DEF. ∴∠DEF=∠EDF, ∴EF=DF, ∵DF=CF, ∴CD=EG, 又∵四边形DECG是平行四边形， ∴平行四边形 DECG是矩形. 22.解: (1) ∵AD+BC-2+AB-2=40, AD=BC=x, ∴AB=-2x+44; (2)由题意得-2x+44>x,解得 由题意得(- 2x+44) ·x=192,即 解得 (舍去), ∴AD=6, ∴AB=-2×6+44=32. 答: AD长为6米, AB长为32米. 23. (1)证明: ∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B, ∵∠ACD=∠B, ∴∠ADE=∠ACD, ∵∠DAE=∠CAD, ∴△ADE∽△ACD; (2)解: ∵DE∥BC, ∴∠BCD=∠EDC, ∵∠B=∠DCE, ∴△CDE∽△BCD, 24.解: (1)由折叠可知∠ADB=∠EDB, 又∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠CBD, ∴∠EDB=∠CBD,故 BF=DF, 又∵DE=AD=8cm, BE=AB=6cm, 设BF=DF=x,则EF= (8-x) cm, 在 Rt△BEF中，由勾股定理可得 解得 即BF的长为 (2)由翻折可得△ADB≌△EDB, ∴AB=BE=DC, AD=ED=BC, 8 学科网（北京）股份有限公司 由(1)知BF=DF, 故BC-BF=ED-DF,即EF=CF, ∴∠FEC=∠FCE, ∴∠DBF+∠BDF=∠FEC+∠FCE, ∴2∠DBF=2∠FCE,即∠DBF=∠FCE, ∴BD∥CE,故四边形 BECD 是等腰梯形； (3)如图1所示,连接BD,则 BD被GH垂直平分,故GD=GB, DH=BH, 又由(1)中同理可证GD=DH, 故GD=GB=DH=BH,即四边形 BGDH为菱形, 设GD= xcm,则AG=FG= (8-x) cm, 在 Rt△DFG中，由勾股定理可得 解得 由勾股定理可得BD=10cm, 根据菱形的面积可得 故 25.解: (1)解方程 得x₁=6, x₂=8, ∵OA<OB, ∴A (6, 0), B (0, 8); (2)在Rt△AOB中, ∵∠AOB=90°, OA=6, OB=8, ∵线段AB的垂直平分线 CD交AB于点C， 在△ACD与△AOB中, ∵∠CAD=∠OAB, ∠ACD=∠AOB=90°, ∴△ACD∽△AOB, 即 解得 9 学科网（北京）股份有限公司 (3)在坐标平面内存在点 M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为5， ∴以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点Q与点B 或点A 重合.分两种情况： ①当点Q 与点B 重合时，易求 BM的解析式为 设 ∵B (0, 8), BM=5, 化简整理，得 解得x=±4, ②当点Q 与点A 重合时，易求AM的解析式为 设 ∵A (6, 0), AM=5, 化简整理，得 解得 ∴M₄(2, - 3), M₁(10, 3); 综上所述，所求点 M 的坐标为 26. 解: [理解应用] ∴x(x-4) =12, 将x(x-4) =12看作一个长为x, 宽为x-4, 面积为21的矩形, ∴很容易观察出构图是③， [类比迁移 第一步：将原方程变为 即 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程： 解得原方程的一个根为 故答案为： [拓展应用]由条件可知 10 学科网（北京）股份有限公司 ∴x(x+a) =b, ∴四个小矩形的面积各为b，大正方形的面积是 其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 由条件可知 解得: b=3, a=±2, 当a=2时, 方程的一个正根为1； 当a=-2时, 方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为: ±2, 3, 1或3. 27.解: (1) ∵四边形 ABCD是正方形, ∴AB=BC, ∠DAC=45°, ∠ABC=90°, ∵△ADC 可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到， ∴旋转角的度数为 (2) ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠OAB=45°, OA=OB, ∠AOB=90°, ∵将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF， 即∠EAO=∠FAB, 的值与α无关，理由如下： 由旋转的性质,可得∠BAF=∠OAE=α, 由菱形的性质，可得 ∵点O在AB的垂直平分线上, ∴AO=BO, ∵∠AOE=∠ABF, ∠OAE=∠BAF, ∴△AOE∽△ABF, 如图,过点 O作OM⊥AB于 M, 学科网（北京）股份有限公司 的值与α无关. 学科网（北京）股份有限公司 $实初教育集团初二数学期末模拟卷（二） 班级： 姓名： 学号： 一、选择题.（本大题共8小题，每小题2分，共16分) 1.若方程(m-2)x2-3x-2=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是() A.m>2 B.m≠2 C.m>0 D.m≠0 2.下列说法正确的是（) A.为了解某班学生本学年视力的变化情况，应采用扇形统计图 B.从5万名考生的成绩中抽取300名考生的成绩作为样本，样本容量是5万 C.为了解某班学生的身高情况，应采用普查 D.在抽样调查过程中，样本容量越小，对总体的估计就越准确 3青田林业局考查一种树苗移植的成活率，将调查数据绘制成统计图，则可估计这种树苗移植成活的概率约是( A.0.95 B.0.90 C.0.85 D.0.80 个成活的频率 D 0.95 .. 0.90… 0.85 B E D 0.80 2468101214移植数是（千棵）C (第3题) (第5题) (第6题) (第7题) 4.下列关系中，是菱形的性质但不是平行四边形的性质的是() A.对角线垂直 B.两组对边分别平行 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等 5.如图，已知直线l1∥l2∥3，直线m、n分别与直线l1、2、3分别交于点A、B、C、D、E、F,若DE=3,DF =8,则的值为()A号 B. c.5 AC 8 3 D号 6.如图，菱形ABCD中，O为BD的中点，M为BC的中点，AMLBC,OM=2,则AM的长为() A.√3 B. 2W3 C.2W3 D.⑤ 3 3 7.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB,他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平， 并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=6Ocm,EF=30cm,测得边DF离地面的高度AC =1.5m,CD=10m,则树高AB为()m. A.5 B.6.5 C.7 D.7.5 8.如图，矩形ABCD中，过对角线BD的中点O作BD的垂线交AD于点E,交BC于点F,P是BD上一动点， 若AB=4,CF=3,则PA+PE的最小值为()A.2V5B.√41 c.4红D.V4红 4 二、填空题.（本大题共8小题，每小题3分，共24分) 国送州高折区宾洽私：中至 2025-2026学年第二学期数学 命题：阚丽波 校对：刘吴宇 9.把三角板切去一个角，使它成为四边形，这件事是 事件（填“确定”或“随机”）. 10.已知两非零实数x、八，且之= 则x+y三 x 2 11.生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子.如图， 点A、P、B在一条直线上，点P是AB的黄金分割点(AP>PB),如果AB长为8cm,那么AP的长为 cm. D y B (第8题) (第11题) (第15题) 12.近些年某市出台的“助农计划”增加了广大农户的收益.已知农户甲2024年纯收入为2万元，经“助农计划” 帮扶，到2026年农户甲的纯收入增长到3.92万元，设农户甲2024年到2026年纯收入的年平均增长率为x,则根 据题意可列方程为 13.设x1,x2是一元二次方程x2-3x-5=0的两根，则(x1-1)（x2-1)= 14.己知AD为△ABC的中线，点O为△ABC的重心，若AD=6,则AO的长为」 15.如图，梯形ABCD中，AB∥CD,∠C=2∠A,CD=6,BC=5,则AB= 16.在平面直角坐标系xOy中，把一条线段绕其一个端点顺时针旋转，并把这条线段伸长或缩短，称这样的运动叫 作线段的“旋似”，经“旋似”运动后新线段和原线段的夹角为“旋似角”，新线段长和原线段长比值为“旋似比”.若 点A(-1,-3),把线段OA绕点O做“旋似”运动，点A的对应点是点B,当“旋似角”为90°、“旋似比”为 时，点B的坐标为 2 三、解答题.（本大题共11小题，共60分） 17.解下列方程：(1)x2+4x+2=0(配方法)： （2)3x2+2x-1=0（公式法). 18.如图，在直角坐标系xOy中，△ABC的位置如图所示，A（-2,3),B(-3,1),C（-1,0) y (1)以原点O为位似中心，在y轴右侧画出△ABC的位似图形△A1B1C1, 使它与△ABC的相似比是2：1： (2)在(1)中，若点M(a,b)是边AB上一点，则点M对应的位似点 M的坐标为 …………… 2 ②术州高新色宾险衫：中云 2025-2026学年第二学期数学 命题：阚丽波校对：刘吴宇 19.某中学开展航天知识竞答活动，随机抽取了八年级的部分同学，并对他们的成绩进行整理（满分为100分，将抽 取的成绩在60~70分之间的记为A组，70~80分之间的记为B组，80~90分之间的记为C组，90~100分之间的 记为D组，每个组都含最大值不含最小值，例如A组包括70分不包括60分)，得到如下不完整的频数分布直方图 与扇形统计图.根据以上信息，解答下列问题： (1)学校抽取的八年级学生的人数是 (2)m= 一，请把频数分布直方图补充完整： (3)学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校八年级共有400名学生，请估计八年级学生中航天知 识掌握情况达到优秀等级的人数. +人数（频数） 16 16 12 D m% B 4 30% 4 40% 0 V60708090100 成绩/分 20.已知关于x的方程2-4x+2=0有实数根。 (1)求k的取值范围： (2)等腰△ABC中，AB=AC=2,若AB、BC的长是一元二次方程2-4x+2=0的两根，求BC的长. 21.如图，在口ABCD中，F是边DC的中点，过点F作FE∥AD,交AB于点E.连接ED、EC,作CG∥DE,交 EF的延长线于点G,连接DG. D y (1)求证：四边形DECG是平行四边形： (2)当DE平分∠ADC时，求证：四边形DECG是矩形. G 3 ②艾州高折色宾险私饭中至 2025-2026学年第二学期数学 命题：阚丽波校对：刘昊宇 22.如图，利用一面足够长的墙，用铁栅栏围成一个矩形自行车场地ABCD,在AB和BC边各有一个2米宽的小 门（不用铁栅栏），设矩形ABCD的宽AD为x米，矩形的长为AB(且AB>AD). (1)若所用铁栅栏的长为40米，用含x的代数式表示矩形的长AB: (2)在(1)的条件下，若使矩形场地面积为192平方米，则AD、AB的长应分别为多少米？ 墙 D 23.如图，在△ABC中，点D,E分别在边AB,AC上，∠ACD=∠B,DE∥BC. (1)求证：△ADE∽△ACD: D (2)若DE=6,BC=10,求线段CD的长. 24.在矩形纸片ABCD中，AB=6cm,BC=8cm. (1)将矩形纸片沿BD折叠，点A落在点E处（图I),连接CE.设DE与BC相交于点F,求BF的长； F (2)图(1)中的四边形BECD是怎样的四边形？请说明理由： -D (3)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合（图2），求折痕GH的长. B B H （1) （2) 25.如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA,OB分别在x轴，y轴的正半轴上(OA<OB), 且OA,OB的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个根，线段AB的垂直平分线CD交AB于点C,分别 交x轴，y轴于点D,E. (1)直接写出点A、B的坐标：A B (2)求线段AD的长； 4 ©基州高折区实险私负中常 2025-2026学年第二学期数学 命题：阚丽波校对：刘吴宇 (3)己知P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点，则在坐标平面内是否存在点M,使得以点C、 P、Q、M为顶点的四边形是以5为边长的正方形？若存在，直接写出点M的坐标：若不存在，说明理由. C D01 A 26.阅读材料，并解决问题。 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以x2+2x 35=0为例，构造方法如下： 首先将方程x2+2x-35=0变形为x(x+2)=35,然后画四个长为x+2,宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼 成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为(x+x+2)2,还可表示为四个矩形与一个边长为2 的小正方形面积之和，即4x(x+2)+22=4×35+4.因此，可得新方程(x+x+2)2=144.因为x表示边长，所以 2+2=12,即x=5.遗憾的是这样的做法只能得到方程的其中一个正根. (1)【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程x2-4x -21=0（x>0)的正确构图是 .(从序号①②③中选择) x+2 x+2 x+2 x+2 2 图1 ① ② ③ 图2 (2)【类比迁移】小颖根据以上解法解方程2x2+3x-2=0,请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为x2 2x-1=0,即x( ）=1: 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形： 第三步：因此，根据大正方形的面积可得新的方程： ,解得原方程的一个根为」 (3)【拓展应用】一般地，对于形如x2+ax=b的一元二次方程可以构造图2来解.已知图2是由四个面积为3 的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数α=」 一，b= 一，求得方程的正 根为 ②兰州高折色宾险私饭中云 2025-2026学年第二学期数学 命题：阚丽波校对：刘吴宇 27.特例研究：在正方形ABCD中，AC,BD相交于点O (1)如图1，△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为 k的值为 (2)如图2，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O,B的对应点分别为点E,F), 使得点E落在OD上，点F落在BC上，求BP的值： OE 类比探究： (3)如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将△AOB绕点A逆时针 旋转，旋转角为α，并缩放得到△AEF（点O,B的对应点分别为点E,F),使得点E落在OD上，点F落在BC 上.猜想即的值是否与有关，并说明理由 OE D D E ⊙ B 图1 图2 图3 参考答案 一.选择题（共8小题） 1--4:BCBA. 5-8: BCBB 二.填空题（共8小题） 9.随机. 10.5 11.(4W5-4). 12.2（1+x)2=3.92. 13.-7. 14.4. 15.11. 16.(-2,3) 2’2 三.解答题（共11小题) 17.(1)x1=-2+W2,x2=-2-√2， (2)x1=-1,2=1 18.解：（1)如图，△A1B1C即为所求 y (2)由题意得，点M(a,b)对应的位似点M的坐标为(-2a,-2b). 19.解：(1)根据题意，B组有12人，占30%， ∴.12÷30%=40（名)： 答：学校抽取的八年级学生的人数为40. (2)D组有40-4-12-16=8（人)， 占总人数的日×100%=20%。 40 .m=20: 故答案为：20. 补全的频数分布直方图如图所示： (3)由(2)知D组占总人数的20%， ∴.估计达到优秀等级的人数为400×20%=80（人). 20.解：(1)k<2. ◆人数（频数） (2)将x=2代入原方程，得：4k-8+2=0,解得：k=3 16 16 :原方程为32-4x+2=0,即(3x-2)(x-2)=0, 12 12 8 解得：1=2妇=子 8 4 BC的长为2 0 V60708090100 成绩/分 21.证明：(1)，F是边DC的中点，∴DF=CF. .CG∥DE,∴.∠DEF=∠CGF. 又，∠DFE=∠CFG,.△DEF≌△CGF(AAS), 7 ∴.DE=CG, ,CG∥DE,∴.四边形DECG是平行四边形. （2),ED平分∠ADC,.∠ADE=∠FDE. EF∥AD,∴.∠ADE=∠DEF ∴.∠DEF=∠EDF,∴.EF=DF, .DF=CF,∴.CD=EG 又，四边形DECG是平行四边形， ∴.平行四边形DECG是矩形. 22.解：(1)，AD+BC-2+AB-2=40,AD=BC=x, ∴.AB=-2x+44: (2)由题意得-2x+44>x,解得x<4丝， 3 由题意得（-2x+44)x=192,即2x2-44x+192=0,解得x1=6,x2=16, :2=16>4丝（舍去， 3 AD=6,∴AB=-2X6+44=32 答：AD长为6米，AB长为32米. 23.(1)证明：.DE∥BC,.∠ADE=∠B, ,∠ACD=∠B,∴.∠ADE=∠ACD, ∠DAE=∠CAD,∴.△ADE∽△ACD: (2)解：：DE∥BC,∴.∠BCD=∠EDC, .'∠B=∠DCE,.△CDE∽△BCD 小器0品器c0=2压 24.解：（1)由折叠可知∠ADB=∠EDB, 又，AD∥BC,∴.∠ADB=∠CBD, ∴.∠EDB=∠CBD,故BF=DF, 又，DE=AD=8cm,BE=AB=6cm, 设BF=DF=x,则EF=(8-x)cm, 在△BEF中，由幻股定理可得=8-)246，解得x-2空即BF的长为2空 4 (2)由翻折可得△ADB≌△EDB, ..AB=BE=DC,AD=ED=BC, 由（1)知BF=DF, 故BC-BF=ED-DF,即EF=CF, ∴.∠FEC=∠FCE, ∴.∠DBF+∠BDF=∠FEC+∠FCE, ∴.2∠DBF=2∠FCE,即∠DBF=∠FCE,∴.BD∥CE, 故四边形BECD是等腰梯形： (3)如图1所示，连接BD,则BD被GH垂直平分， 故GD=GB,DH=BH, 又由(1)中同理可证GD=DH, 故GD=GB=DH=BH,即四边形BGDH为菱形， 设GD=xcm,则AG=FG=(8-x)cm, 在Rt△DFG中，由勾股定理可得x2=(8-x)2+62, 解得x=25 由勾股定理可得BD=10cm, 银据菱形的面积可得SHBD=BH4B, G 故GH=空×6x日5 25.解：（1)解方程x2-14x+48=0, B 得x1=6,x2=8, .OA<OB,A(6,0),B(0,8): 图1 (2)在Rt△AOB中，.∠AOB=90°，OA=6,OB=8, ∴AB=V0A2+0B2=10, ,线段AB的垂直平分线CD交AB于点C, AC=1AB-5. 2 在△ACD与△AOB中， ,'∠CAD=∠OAB,∠ACD=∠AOB=90°， ∴.△ACD∽△AOB, :.AD=AC,即AD=5 AB AO 10 6 解得AD=25 3 (3)在坐标平面内存在点M,使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为5， .AC=BC=-AB=5, 2 ∴.以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点Q与点B或点A重合.分两种情况： ①当点Q与点B重合时，易求BM的解折式为y一圣+8，设M,是+8， 41 .B(0,8),BM=5, (3x+8-8)2+x2=5, 4 化简整理，得x2=16, 解得x=±4， ∴.M2(4,11),M3(-4,5): ②当点Q与点A重合时，易求AM的解析式为y=三x-2 42 设M(x, ,A(6,0),AM=5, (3x-9)2+(x-6)2=52, o) 42 3M3 化简整理，得x2-12x+20=0, 解得x1=2,x2=10, .M4(2,-3),M1（10,3): 综上所述，所求点M的坐标为M(10,3),M(4,11),M（-4,5),M4（2,-3). 26.解：[理解应用]，x2-4x-21=0（x>0), .x(x-4)=12, 将x(x-4)=12看作一个长为x,宽为x-4,面积为21的矩形， ∴.很容易观察出构图是③， [类比迁移]2x2+3x-2=0, 第一步：将限方程变为x2号x-150,回z(x号)=1： 第二步：如图②，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形： 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：(x+x+2)2=4×1+(号)2，解得原方程的一个根为x=子 故答案为：x+号(xx+)2=4X1+), [拓展应用]由条件可知x2+ax=b, o ∴.x(xta)=b, ∴.四个小矩形的面积各为b,大正方形的面积是(x+x+a)2,其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的 面积，即4×b+a2, 由条件可知b=3,a2=4,解得：b=3,a=±2， 当a=2时，(x+x+2)2=4X3+4,.2x+2=4,x=1,方程的一个正根为1： 当a=-2时，(x+x-2)2=4×3+4,.2x-2=4,x=3,方程的一个正根为3； 综上所述，方程的一个正根为1或3， 故答案为：±2,3,1或3， 27.解：(1)，四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠DAC=45°，∠ABC=90°， AC=VAB2+BC2V2AB2=V2AB. ,△ADC可以看成是△AOB绕点A逆时针旋转并放大k倍得到， “旋转角的度数为∠D4C=45°，k=AC=V2超=√2， ABAB (2),四边形ABCD是正方形，∴.∠OAB=45°，OA=OB,∠AOB=90°， ∴AB=√A02+B02=V2A02=V2A0, 将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF, △AEF∽△AOB,A想-An ,∠EAF=∠OAB=45°， AO AB :AE=0 ∠EAF-∠OAF=∠OAB-∠OAF,即∠EAO=∠FAB, AF AB △OEA△BFM,:B即=8-V2A0=√2： OE AO AO (3)BF的值与无关，理由如下： OE 由旋转的性质，可得∠BAF=∠OAE=, 由菱形的性质，可得∠ABD=∠CBD=受∠AC=30°， .点O在AB的垂直平分线上，∴AO=BO, ∴.∠OAB=∠OBA=30°，∴.∠AOE=∠OAB+∠OBA=60°=∠ABC, ,∠AOE=∠ABF,∠OAE=∠BAF,∴.△AOE∽△ABF, ..BF_AB OE AO 如图，过点O作OM⊥AB于M, :A0=B0,AM受B, :∠0%B=30,0I20, AM-a0202402-号A0)290. 2 ∴AB=2AI=V3A0, :B即-A930=V3, 、E OE AOAO :BF的值与无关。 OE