江苏省泰州市姜堰区2025-2026学年八年级下学期期末数学模拟试卷

**基本信息** 本试卷以八下全册及九上一元二次方程为核心，通过黄金分割应用、斐波那契数列等文化情境，分层设计基础巩固（如二次根式化简）、能力提升（如平行四边形动态探究）、创新应用（如古代几何解法）题，考查数学抽象、推理与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/18|二次根式、一元二次方程定义、平行四边形性质|结合舞台主持黄金分割情境（第4题），考查应用能力| |填空题|10/30|统计样本容量、因式分解、斐波那契数列|融入赵爽几何解法（第16题），体现文化传承| |解答题|10/102|方程求解、统计图表分析、菱形性质、类比推广|设计动态几何探究（第26题），综合考查推理与空间观念|

江苏省泰州市姜堰区2025-2026学年八年级下学期期末数学模拟试卷 考察范围：八下全册+九上第二章一元二次方程（泰州市姜堰区学校已经学过） 一．选择题（共6小题，每题3分，共18分） 1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2﹣x（x+1）＝0 B．x2﹣x﹣2＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0 3．如图，取两根长度不等的细木棒AC，BD，将它们的中点重合固定（记为点O）．转动木棒AC，在∠AOD由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形ABCD，下列结论不一定成立的是（　　） A．AB＝CD B．BC∥AD C．∠BAD＝∠ABC D．∠BAD＝∠BCD 4．如图，线段AB上的一点P把AB分割为两条线段PA，PB，当满足时，则称点P是线段AB的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（BP的长为x米），则x满足的方程是（　　） A．（18﹣x）2＝18x B．x2＝18（18﹣x） C．x（18﹣x）＝182 D．（18﹣x）2＝18x2 5．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 6．如图，平行四边形EFGH的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上，QF∥AD，分别交EH、CD于点P、Q过点P作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N，若要求平行四边形EFGH的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（　　） A．四边形AFPM B．四边形MPQD C．四边形FBNP D．四边形PNCQ 二．填空题（共10小题，每题3分，共30分） 7．如果代数式有意义，那么x的取值范围是　 　 ． 8．为了解某校1000名学生的学习质量，从20个班中每班随机抽取5名学生进行调研，则此次抽样调查的样本容量为　 　 ． 9．若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有一个实数根是2．则另一个根是 　 　 ． 10．小明在地理课上知道了我国的五大名山（泰山，衡山，华山，恒山，嵩山）的海拔，课后他绘制统计图以便更清楚地表示五座山的高度，那么最适宜采用的是 　 　 统计图．（填“折线”、“条形”、“扇形”） 11．在实数范围内分解因式：4x2﹣2y2＝　 　 ． 12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线交BC于点E，连接DE．已知△DCE的周长是9cm，则平行四边形ABCD的周长是 　 　 cm． 13．已知（a2+b2+1）（a2+b2﹣2）＝0，则a2+b2的值是 　 　 ． 14．若关于x的方程的解是正数，则k要满足的条件是　 　 ． 15．斐波那契（约1175﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．请根据以上材料，通过计算，斐波那契数列中的第1个数为 　 　 ；第2个数为 　 　 ． 16．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为 　 　 ． 三．解答题（共10小题，共102分） 17．解方程 （1）； （2）． 18．先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根． 19．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黄球6个． （1）先从袋子中取出m个红球（m＞1且m为正整数），再从袋子中随机摸一个小球，将“摸出黄球”记为事件A． ①若事件A为必然事件，则m的值为 　 　 ； ②若事件A为随机事件，则m的值为 　 　 ． （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黄球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个黄球的频率在附近摆动，求m的值． 20．某校开展学生兴趣活动问卷调查，问卷中涉及的兴趣活动有书法、围棋、剪纸、绘画、阅读共五项，参与问卷调查的学生每人必选且只选一项．抽取其中一部分问卷进行整理，分别得到如下统计表和统计图： 学生的兴趣活动统计表 兴趣活动 书法 围棋 剪纸 绘画 阅读 人数 50 a b 20 40 （1）此次调查的样本容量为　 　 ，其中a＝　 　 ； （2）在扇形统计图中，求“剪纸”兴趣活动所对应扇形的圆心角的度数； （3）已知该校共有1200名学生，为使这些学生能够参加自己所喜爱的兴趣活动，该校计划设立5个用于开展不同兴趣活动的专用场地，每个专用场地最多可容纳300人．试问这样的设立计划能否满足所有有意向参加兴趣活动的学生同时进行学习的需求？请说明理由． 21．如图1，∠MON是锐角，点A，B分别在边OM，ON上． （1）利用无刻度直尺与圆规作图：在图1中的∠MON 的内部作一点C，使得四边形OACB是平行四边形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在图2中将▱OACB绕点C顺时针旋转，使得点B落在ON上的点D处，点A的对应点记作点E，点O的对应点记作点F．要求：仅用圆规作出点D，E，F，并简要说明点F的作图过程． 22．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米． （1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，门上方无板材，那么这个车棚的长和宽分别为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 解： （1）设与墙垂直的板墙的长度为x米，则与墙平行的板墙的长度为 　 　 米． 23．已知关于x的方程x2+px+25＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求p的值． （2）若方程的两个实数根分别为3+b与3﹣a，若a，b都为正整数，求证ab为偶数． 24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若BD＝8，AC＝4， ①求OE的长； ②求CE的长． 25．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程x2+px+q＝0的两个根分别为x1和x2， 那么x2+px+q＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2， 比较系数得x1+x2＝﹣p，x1x2＝q． 类比推广： （1）设x3+px2+qx+r＝0的三个根分别为x1，x2，x3，求x1x2+x2x3+x1x3的值． 问题解决： （2）若x3﹣5x2﹣12x﹣3＝0的三个根分别为x1，x2，x3，则++的值是 　 　 ． 拓展提升： （3）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，且abc＝，求正数b的最小值． 26．如图1，正方形ABCD的边长为4，连接BD，点E为线段BD上任意一点（点E不与B，D重合），过点E作HF∥AB分别交AD，BC于点H，F．点G为DE的中点，连接HG． （1）若BF＝1，则BE＝ 　 　 ，HG＝ 　 　 ； （2）如图2，连接AG，FG．求证：AG＝GF且AG⊥GF； （3）如图3，在（2）的条件下，设AG交HF于点K，延长AG交CD于点M，连接MF． ①探究DM，MF，BF之间的数量关系，并说明理由； ②若DM＝3，则FK＝ 　 　 ． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，进而得出答案． 【解答】解：A．＝2，不是最简二次根式，故此选项不合题意； B．，是最简二次根式，故此选项符合题意； C．＝，不是最简二次根式，故此选项不合题意； D．＝，不是最简二次根式，故此选项不合题意． 故选：B． 【点评】此题主要考查了最简二次根式，正确把握最简二次根式的定义是解题关键． 2．下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x2﹣x（x+1）＝0 B．x2﹣x﹣2＝0 C．ax2+bx+c＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：A．化简可得﹣x＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意； B．x2﹣x﹣2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意； C．ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意； D．x2﹣2y﹣1＝0，是二元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点评】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 3．如图，取两根长度不等的细木棒AC，BD，将它们的中点重合固定（记为点O）．转动木棒AC，在∠AOD由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形ABCD，下列结论不一定成立的是（　　） A．AB＝CD B．BC∥AD C．∠BAD＝∠ABC D．∠BAD＝∠BCD 【分析】判定四边形ABCD是平行四边形，推出AB＝CD，BC∥AD，∠BAD＝∠BCD，由平行线的性质推出∠BAD+∠ABC＝180°． 【解答】解：∵O是AC和BD的中点， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，BC∥AD，∠BAD＝∠BCD， 故A、B、D不符合题意； ∵BC∥AD， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， 故C符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查平行四边形的判定和性质，平行线的判定和性质，关键是掌握平行四边形的性质． 4．如图，线段AB上的一点P把AB分割为两条线段PA，PB，当满足时，则称点P是线段AB的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（BP的长为x米），则x满足的方程是（　　） A．（18﹣x）2＝18x B．x2＝18（18﹣x） C．x（18﹣x）＝182 D．（18﹣x）2＝18x2 【分析】若BP＝x米，则AP＝（18﹣x）米，根据黄金分割点的定义，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：若BP＝x米，则AP＝（18﹣x）米， 根据题意得：＝， 即（18﹣x）2＝18x． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据分式的运算法则化简后代入求值即可． 【解答】解：原式＝＝， 当即时， 原式＝， 故选：C． 【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 6．如图，平行四边形EFGH的四个顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上，QF∥AD，分别交EH、CD于点P、Q过点P作MN∥AB，分别交AD、BC于点M、N，若要求平行四边形EFGH的面积，只需知道下列哪个四边形的面积（　　） A．四边形AFPM B．四边形MPQD C．四边形FBNP D．四边形PNCQ 【分析】连接PG，FN，根据平行四边形的性质可得△FPG的面积＝▱EFGH的面积，再利用平行四边形的性质可得AD∥BC，从而可得QF∥BC，进而可得△FPG的面积＝△FPN的面积，然后再根据MN∥AB，可证四边形FBNP是平行四边形，从而可得△FPN的面积＝▱FBNP的面积，进而可得▱EFGH的面积＝▱FBNP的面积，即可解答． 【解答】解：连接PG，FN， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴△FPG的面积＝▱EFGH的面积， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵QF∥AD， ∴QF∥BC， ∴△FPG的面积＝△FPN的面积， ∵MN∥AB， ∴四边形FBNP是平行四边形， ∴△FPN的面积＝▱FBNP的面积， ∴▱EFGH的面积＝▱FBNP的面积， ∴若要求平行四边形EFGH的面积，只需知道四边形FBNP的面积， 故选：C． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二．填空题（共10小题） 7．如果代数式有意义，那么x的取值范围是x≥0且x≠1　 ． 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，即可求解． 【解答】解：由被开方数大于等于0，分母不等于0，可知：x≥0且x﹣1≠0， 解得：x的取值范围是x≥0且x≠1． 【点评】主要考查了二次根式的意义和分式的性质．二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．当二次根式在分母上时还要考虑分母不等于零，此时被开方数大于0． 8．为了解某校1000名学生的学习质量，从20个班中每班随机抽取5名学生进行调研，则此次抽样调查的样本容量为　100　 ． 【分析】样本容量是指样本中个体的数量，根据抽样方式计算得出． 【解答】解：根据题意可知，样本容量为20×5＝100． 故答案为：100． 【点评】本题考查了总体、个体、样本、样本容量，掌握总体、个体、样本、样本容量的定义是关键． 9．若关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0有一个实数根是2．则另一个根是 　﹣4　 ． 【分析】设另一个根为n，则n+2＝﹣2，求解即可． 【解答】解：一元二次方程x2+2x+a＝0有一个实数根是2， 设另一个根为n， 则n+2＝﹣2， 解得n＝﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题主要考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型． 10．小明在地理课上知道了我国的五大名山（泰山，衡山，华山，恒山，嵩山）的海拔，课后他绘制统计图以便更清楚地表示五座山的高度，那么最适宜采用的是 　条形　 统计图．（填“折线”、“条形”、“扇形”） 【分析】根据条形统计图，扇形统计图和折线统计图的特点来判断即可． 【解答】解：为了便于清楚地表示五座山的高度，那么最适宜采用的是条形统计图， 故答案为：条形． 【点评】本题考查统计图的选择，弄清统计图的特征是解题的关键． 11．在实数范围内分解因式：4x2﹣2y2＝　2（x+y）（x﹣y）　 ． 【分析】先提取公因式2，再利用平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式＝2（2x2﹣y2） ＝2（x+y）（x﹣y）， 故答案为：2（x+y）（x﹣y）． 【点评】本题考查实数范围内因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线交BC于点E，连接DE．已知△DCE的周长是9cm，则平行四边形ABCD的周长是 　18　 cm． 【分析】由平行四边形的性质推出OB＝OD，BC＝AD，CD＝AB，由线段垂直平分线的性质得到DE＝BE，因此△DCE的周长＝DC+BC＝9cm，即可得到平行四边形ABCD的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，BC＝AD，CD＝AB， ∵OE⊥BD， ∴OE垂直平分BD， ∴DE＝BE， ∴△DCE的周长＝DC+CE+DE＝CD+CE+BE＝DC+BC＝9cm， ∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝2×9＝18（cm）． 故答案为：18． 【点评】本题考查平行四边形的性质，线段垂直平分线的性质，关键是由平行四边形的性质推出OB＝OD，BC＝AD，CD＝AB，由线段垂直平分线的性质推出DE＝BE． 13．已知（a2+b2+1）（a2+b2﹣2）＝0，则a2+b2的值是 　2　 ． 【分析】设x＝a2+b2（x≥0），则原方程转化为（x+1）（x﹣2）＝0，由此求得答案． 【解答】解：设x＝a2+b2（x≥0），则原方程转化为（x+1）（x﹣2）＝0． 所以x+1＝0或x﹣2＝0． 所以x＝﹣1（舍去）或x＝2． 所以a2+b2＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 14．若关于x的方程的解是正数，则k要满足的条件是k＜且k≠1　 ． 【分析】根据题意，解分式方程，得到x＝4﹣3k，结合已知条件，得到k所满足的条件． 【解答】解：，（x≠1，x≠k）， 3（x﹣k）＝4（x﹣1）， x＝4﹣3k， ∵关于x的方程的解是正数， ∴4﹣3k＞0且4﹣3k≠1，4﹣3k≠k， ∴k＜且k≠1． 故答案为：k＜且k≠1． 【点评】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 15．斐波那契（约1175﹣1250）是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列（按照一定顺序排列着的一列数称为数列），后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰好是斐波那契数列中的数．斐波那契数列中的第n个数可以用表示（其中n≥1）．这是用无理数表示有理数的一个范例．请根据以上材料，通过计算，斐波那契数列中的第1个数为 　1　 ；第2个数为 　1　 ． 【分析】分别把1、2代入式子化简求得答案即可． 【解答】解：第1个数，当n＝1时， ＝（﹣） ＝× ＝1． 第2个数，当n＝2时， ＝[（）2﹣（）2] ＝×（+）（﹣） ＝×1× ＝1． 故答案为：1，1． 【点评】此题考查二次根式的混合运算与化简求值，理解题意，找出运算的方法是解决问题的关键． 16．我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载：构造大正方形ABCD的面积是（x+x+5）2，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得正数解．小刚用此方法解关于x的方程x2+mx﹣n＝0时，构造出同样的图形，已知大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，则关于x的方程x2+mx﹣n＝0的正数解为 　5　 ． 【分析】设矩形的宽为x，长为x+a，根据大正方形的面积为144，小正方形的面积为4，列出一元二次方程，求解即可． 【解答】解：设矩形的宽为x，长为x+a， ∵大正方形的面积为144，小正方形的面积为4， ∴（2x+a）2＝144，（x+a﹣x）2＝4， ∴2x+a＝12（负值已舍去），a＝2（负值已舍去）， ∴x＝5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 三．解答题（共10小题） 17．解方程 （1）； （2）． 【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）去分母得：2（2x﹣1）＝3（x﹣3）， 去括号得：4x﹣2＝3x﹣9， 移项合并得：x＝﹣7， 经检验x＝﹣7是分式方程的解； （2）去分母得：x﹣1+2x+2＝4， 移项合并得：3x＝3， 解得：x＝1， 经检验x＝1是增根，分式方程无解． 【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 18．先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x﹣3＝0的根． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解方程求出x的值，继而选择使分式有意义的x的值代入计算可得． 【解答】解：原式＝＝＝， 解x2﹣2x﹣3＝0， 分解因式得：（x+1）（x﹣3）＝0， ∴x+1＝0或x﹣3＝0， ∴x＝﹣1或x＝3， ∵x﹣3≠0， ∴x≠3， ∴x＝﹣1， 当x＝﹣1时， 原式＝． 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解 19．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黄球6个． （1）先从袋子中取出m个红球（m＞1且m为正整数），再从袋子中随机摸一个小球，将“摸出黄球”记为事件A． ①若事件A为必然事件，则m的值为 　4　 ； ②若事件A为随机事件，则m的值为 　2或3　 ． （2）先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黄球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个黄球的频率在附近摆动，求m的值． 【分析】（1）当袋子中全部为黄球时，摸出黄球才是必然事件，否则就是随机事件； （2）利用概率公式列出方程，求得m的值即可． 【解答】解：（1）①当袋子中全为黄球，即摸出4个红球时，摸到黄球是必然事件； ②∵m＞1，当摸出2个或3个红球时，摸到黄球为随机事件． 故答案为：①4；②2或3． （2）由题意得， 解得m＝2． 故m＝2． 【点评】本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝． 20．某校开展学生兴趣活动问卷调查，问卷中涉及的兴趣活动有书法、围棋、剪纸、绘画、阅读共五项，参与问卷调查的学生每人必选且只选一项．抽取其中一部分问卷进行整理，分别得到如下统计表和统计图： 学生的兴趣活动统计表 兴趣活动 书法 围棋 剪纸 绘画 阅读 人数 50 a b 20 40 （1）此次调查的样本容量为　200　 ，其中a＝　30　 ； （2）在扇形统计图中，求“剪纸”兴趣活动所对应扇形的圆心角的度数； （3）已知该校共有1200名学生，为使这些学生能够参加自己所喜爱的兴趣活动，该校计划设立5个用于开展不同兴趣活动的专用场地，每个专用场地最多可容纳300人．试问这样的设立计划能否满足所有有意向参加兴趣活动的学生同时进行学习的需求？请说明理由． 【分析】（1）根据“书法”兴趣活动的人数和所占百分比即可求得总人数，然后根据“围棋”兴趣活动人数所占的百分比求出a的值，再计算b的值即可； （2）用“剪纸”兴趣活动人数所占比例乘360°即可； （3）计算出“阅读”兴趣活动的学生人数即可得出答案． 【解答】解：（1）参加这次问卷调查的学生人数为：50÷25%＝200（人）， a＝200×15%＝30，b＝200﹣50﹣30﹣20﹣40＝60； 故答案为：200，30； （2）360°×＝108°； 答：“剪纸”兴趣活动所对应扇形的圆心角的度数为108°； （3）不能，理由如下： ∵喜爱“剪纸”兴趣活动的学生的人数1200×＝360＞300， ∴这样的设立计划不能满足所有有意向参加兴趣活动的学生同时进行学习的需求． 【点评】本题考查统计表、房形统计图，明确题意，数形结合是解答本题的关键． 21．如图1，∠MON是锐角，点A，B分别在边OM，ON上． （1）利用无刻度直尺与圆规作图：在图1中的∠MON 的内部作一点C，使得四边形OACB是平行四边形；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在图2中将▱OACB绕点C顺时针旋转，使得点B落在ON上的点D处，点A的对应点记作点E，点O的对应点记作点F．要求：仅用圆规作出点D，E，F，并简要说明点F的作图过程． 【分析】（1）分别以A，B为圆心，OB，OA为半径作弧两弧交于点C，连接AC，BC即可； （2）以C为圆心CB为半径作弧交NO于点D，CA的左侧作∠ACT＝∠BCD，在射线CT上截取线段CE，使得CE＝CA，分别以E，D为圆心，CD，CE为半径作弧，两弧交于点F，连接FD，EF即可． 【解答】解：（1）如图1中，四边形OACB即为所求； （2）如图2中，四边形CEFN即为所求． 方法：以C为圆心CB为半径作弧交NO于点D，CA的左侧作∠ACT＝∠BCD，在射线CT上截取线段CE，使得CE＝CA，分别以E，D为圆心，CD，CE为半径作弧，两弧交于点F，连接FD，EF即可． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意正确作出图形． 22．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米． （1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门，门上方无板材，那么这个车棚的长和宽分别为多少米？ （2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路，使得停放自行车的面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？ 解： （1）设与墙垂直的板墙的长度为x米，则与墙平行的板墙的长度为 　（26﹣2x+2）　 米． 【分析】（1）设与墙垂直的一面为x米，然后可得另两面则为（26﹣2x+2）米，然后利用其面积为80列出方程求解即可； （2）设小路的宽为a米，利用去掉小路的面积为54平米列出方程求解即可得到答案． 【解答】解：（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为（26﹣2x+2）米， 根据题意得：x（28﹣2x）＝80． 整理得：x2﹣14x+40＝0． 解得x＝4或x＝10， 当x＝4时，28﹣2x＝20＞12（舍去）． 当x＝10时，28﹣2x＝8＜12． 答：长为10米，宽为8米． 故答案为：（26﹣2x+2）； （2）设宽为a米，根据题意得：（8﹣2a）（10﹣a）＝54， a2﹣14a+13＝0， 解得：a＝13＞10（舍去），a＝1， 答：小路的宽为1米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，要结合图形求解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 23．已知关于x的方程x2+px+25＝0． （1）若方程有两个相等的实数根，求p的值． （2）若方程的两个实数根分别为3+b与3﹣a，若a，b都为正整数，求证ab为偶数． 【分析】（1）依据题意，由方程x2+px+25＝0有两个相等的实数根，从而Δ＝0，进而计算可以得解； （2）方程的两个实数根分别为3+b与3﹣a，由根与系数的关系得出（3+b）（3﹣a）＝25，得出3+b和3﹣a都为奇数，从而得出a和b都为偶数． 【解答】（1）解：∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝p2﹣100＝0， ∴解得p＝±10； （2）证明：∵方程的两个实数根分别为3+b与3﹣a， ∴（3+b）（3﹣a）＝25，a，b都为正整数， ∴3+b和3﹣a都为奇数， ∴a和b都为偶数， ∴ab为偶数． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式，解题时要熟练掌握并能力灵活运用根的判别式是关键． 24．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作BC的垂线，垂足为点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF． （1）求证：四边形AEFD是矩形； （2）连接OE，若BD＝8，AC＝4， ①求OE的长； ②求CE的长． 【分析】（1）根据菱形的性质得AD＝BC，AD∥BC，再结合CF＝BE得出四边形AEFD是平行四边形，然后根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”得出结论； （2）①根据直角三角形的斜边中线等于斜边一半得出答案； ②先根据菱形的性质得出，再根据面积相等求出，然后根据勾股定理得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵CF＝BE， ∴CF+CE＝BE+CE， ∴EF＝BC＝AD， ∴四边形AEFD是平行四边形． ∵AE⊥BC， ∴∠AEF＝90°， ∴平行四边形AEFD是矩形； （2）解：①∵四边形ABCD是菱形， ∴． 在Rt△ACE中，AC＝4， ∴； ②∵四边形ABCD是菱形，且AC＝4，BD＝8， ∴AC⊥BD，． 在Rt△BOC中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 解得：． 在直角三角形ACE中，由勾股定理得：AC2＝AE2+CE2， ∴， 解得：． 【点评】本题主要考查了矩形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 25．类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程x2+px+q＝0的两个根分别为x1和x2， 那么x2+px+q＝（x﹣x1）（x﹣x2）＝x2﹣（x1+x2）x+x1x2， 比较系数得x1+x2＝﹣p，x1x2＝q． 类比推广： （1）设x3+px2+qx+r＝0的三个根分别为x1，x2，x3，求x1x2+x2x3+x1x3的值． 问题解决： （2）若x3﹣5x2﹣12x﹣3＝0的三个根分别为x1，x2，x3，则++的值是 　49　 ． 拓展提升： （3）已知实数a，b，c满足a+b+c＝0，且abc＝，求正数b的最小值． 【分析】（1）设x3+px2+qx+r＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），展开求解可得结论； （2）利用（1）中结论解决问题； （3）ac是方程 的两根，根据不等式解决问题即可． 【解答】解：（1）根据学习材料提示得，x3+px2+qx+r＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3） ＝[x2﹣（x1+x2）x+x1x2]（x﹣x3） ＝ ＝， ∴﹣（x1+x2+x3）＝px1x2+x2x3+x1x3＝q， ∴x1x2+x2x3+x1x3 的值为q； （2）x3﹣5x2﹣12x﹣3＝0 的三个根分别为 x1，x2x3， ∵﹣（x1+x2+x3）＝p，x1x2+x2x3+x1x3＝q，x1+x2+x3＝﹣p＝5，x1x2+x2x3+x1x3＝﹣12， ∴， 故答案为：49； （3）∵a+b+c＝0，， ∴a+c＝﹣b，， ∵ac是方程 的两根， ∴， ∴． ∵b＞0， ∴b3﹣27≥0， ∴（b﹣3）（b2+3b+9）≥0， ， ∴b﹣3≥0，即b≥3， 正数b的最小值为3． 【点评】本题考查配方法的应用，非负数的性质，根与系数的关系，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26．如图1，正方形ABCD的边长为4，连接BD，点E为线段BD上任意一点（点E不与B，D重合），过点E作HF∥AB分别交AD，BC于点H，F．点G为DE的中点，连接HG． （1）若BF＝1，则BE＝ 　　 ，HG＝ 　　 ； （2）如图2，连接AG，FG．求证：AG＝GF且AG⊥GF； （3）如图3，在（2）的条件下，设AG交HF于点K，延长AG交CD于点M，连接MF． ①探究DM，MF，BF之间的数量关系，并说明理由； ②若DM＝3，则FK＝ 　　 ． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出BE＝BF＝，HG＝DH＝； （2）可证得△AHG≌△FEG，从而∠AGH＝∠FGE，AG＝FG，进而得出结论； （3）①连接AF，延长CD至W，使DW＝BF，可证得△ADW≌△ABF，从而∠DAW＝∠BAF，AW＝AF，进而证得△WAM≌△FAM，从而WM＝FM，进一步得出结论； ②设FM＝x，则BF＝FM﹣DM＝x﹣3，CF＝BC﹣BF＝7﹣x，CM＝CD﹣DM＝1，在Rt△CFM中，由勾股定理得方程（7﹣x）2+12＝x2，求得x的值，可证得FK＝FM＝． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝AB＝4，∠A＝∠ABC＝90°，∠CBD＝∠ADE＝45°， ∵HF∥AB， ∴∠DHF＝∠BFH＝90°， ∴四边形ABFH是矩形，BE＝BF＝， ∴AH＝BF＝1， ∴DH＝HE＝AD﹣AH＝3， ∵G为DE的中点， ∴HG⊥DE， ∴HG＝DH＝， 故答案为：，； （2）证明：在正方形ABCD和矩形ABFH中， ∴∠DBC＝45°，∠BFE＝∠AHF＝90°，AH＝BF， ∴∠FEB＝45°＝∠BEF， ∴∠FEG＝135°，EF＝BF＝AH， ∵HG⊥DE，HG＝DE＝EG， ∴∠BGH＝90°，∠EHG＝45°， ∴∠AHG＝∠AHF+∠EHG＝135°， ∴∠AHG＝∠FEG， 又∵AH＝EF，HG＝EG， ∴△AHG≌△FEG（SSS）， ∴∠AGH＝∠FGE，AG＝FG， ∴∠AGF＝∠BGH＝90°， ∴AG⊥FG； （3）解①：如图， MF＝BF+DM，理由如下： 连接AF，延长CD至W，使DW＝BF， 由（2）知， ∠AGF＝90°，AG＝GF， ∴∠MAF＝∠AFG＝45°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADW＝∠ADC＝∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AB， ∴∠DAM+∠BAF＝∠BAD﹣∠MAF＝45°，△ADW≌△ABF（SAS）， ∴∠DAW＝∠BAF，AW＝AF， ∴∠DAW+∠DAM＝45°， ∴∠WAM＝45°， ∴∠WAM＝∠MAF， ∵AM＝AM， ∴△WAM≌△FAM（SAS）， ∴WM＝FM， ∵WM＝DW+DM＝BF+DM， ∴MF＝BF+DM； ②设FM＝x，则BF＝FM﹣DM＝x﹣3，CF＝BC﹣BF＝7﹣x，CM＝CD﹣DM＝1， 在Rt△CFM中，由勾股定理得， CF2+CM2＝FM2， ∴（7﹣x）2+12＝x2 ∴x＝， ∴FM＝， 由①知， △WAM≌△FAM， ∴∠AMD＝∠AMF， ∵FH∥CD， ∴∠FKM＝∠AMD， ∴∠FKM＝∠AMF， ∴FK＝FM＝， 故答案为：． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $