拓展点01 柯西不等式 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 以柯西不等式多维形式为核心，通过16道题构建"概念-应用-变式"的方法体系，强化数学推理与模型构建能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |柯西不等式（含反形式）|16题|二维/一般/向量/三角形式应用，最值求解与证明技巧|从特殊到一般构建不等式形式，通过正实数约束、等式条件等情境实现概念到解题的迁移|

拓展点01 柯西不等式 1. 柯西不等式的二维形式：若都是实数，则 ，当且仅当时，等号成立． 2. 柯西不等式的一般情形：，当且仅当时，等号成立． 3. 柯西不等式的向量形式：，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 4. 柯西不等式的三角形式： (1) (2) 5. 反柯西不等式： 1．已知正实数a，b满足，则的最小值为___________. 2．已知，则的取最小值时，为_____________. 3．（多选）设正实数满足，则以下说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为 4．已知，，求的最大值． 5．（多选）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．已知. (1)证明：； (2)已知，，求的最小值. 7．（多选）设实数a，b，c满足，，则（    ） A． B． C． D． 8．已知，求的最大值． 9．（1）若，且，则的最小值为________． （2）已知正实数满足，则的最小值为________． 10．已知，且满足，求的最小值为_______________. 11．已知正数满足，则的最小值为_________. 12．求函数的取值范围． 13．求函数（x，）的最大值． 14．若，则的最大值为______． 15．设、为正实数,且x+y=1.则的最小值为______. 16．设a，b，c为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 拓展点01 柯西不等式 1. 柯西不等式的二维形式：若都是实数，则 ，当且仅当时，等号成立． 2. 柯西不等式的一般情形：，当且仅当时，等号成立． 3. 柯西不等式的向量形式：，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立． 4. 柯西不等式的三角形式： (1) (2) 5. 反柯西不等式： 1．已知正实数a，b满足，则的最小值为___________. 【答案】/ 【难度】0.4 【知识点】条件等式求最值、柯西不等式求最值 【分析】将目标式转化为，应用柯西不等式求的取值范围，进而可得目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】由题设，，则， 又， ∴，当且仅当时等号成立， ∴，当且仅当时等号成立. ∴的最小值为. 故答案为：. 2．已知，则的取最小值时，为_____________. 【答案】 【难度】0.15 【知识点】柯西不等式求最值、条件等式求最值 【分析】利用柯西不等式求出的最小值，再根据等号成立的条件求出，进而可求出的值. 【详解】由柯西不等式得：， 则，则， 根据等号成立条件知，解得，，， 所以. 故答案为： 3．（多选）设正实数满足，则以下说法正确的有（   ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为4 D．的最小值为 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、柯西不等式求最值、条件等式求最值 【分析】对于A：利用消元法及配方法，即可得解；对于B：利用柯西不等式进行求解即可；对于C：利用消元法即可解决；对于D：利用基本不等式中“1的妙用”即可解决. 【详解】对于A：，， 所以当时，取得最小值，故A正确； 对于B： 即， 当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最大值为，故B正确； 对于C：，，故C错误； 对于D：， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 故选：AB. 4．已知，，求的最大值． 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】柯西不等式求最值、条件等式求最值 【分析】解法1：根据可得，再由可得即可求解的最值；解法2：根据柯西不等式法可得，再根据即可求解的最值. 【详解】解法1：由题意知，， 所以， 又因为， 所以，即， 所以． 解法2：柯西不等式法 ， 即，， 所以． 5．（多选）若非零实数满足，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】用一般形式的柯西不等式证明不等式、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】应用特殊值法判断A，由基本不等式判断B、C，应用柯西不等式判断D. 【详解】由时，满足，此时，A错， 由，有，当且仅当时取等号，B对， 由，当且仅当时取等号，C对， 由，则，当且仅当，即时取等号，D对. 6．已知. (1)证明：； (2)已知，，求的最小值. 【答案】(1) 由， 所以，当且仅当时取等号. (2) 【难度】0.85 【知识点】用柯西不等式求参数取值范围、柯西不等式证明 【分析】（1）根据题意，结合作差比较法，即可求解； （2）由（1）得，得到，进而得到答案. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可得，所以，即，当且仅当时取等号， 又由，解得或. 7．（多选）设实数a，b，c满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】用柯西不等式求参数取值范围 【解析】结合柯西不等式依次代换即可求解范围，对D，代换得关于的表达式，再利用重要不等式即可求解 【详解】对A，，，则， 即，解得，故A正确； 对B，，，，即，解得，故B错误； 对C，，则，即， 解得，故C错误； 对D，由判断，，则，即不能同时为负， 若一正一负，则； 若，，，， 又，化简得， 即，化简得，故D正确. 故选：AD 8．已知，求的最大值． 【答案】最大值为1 【难度】0.15 【知识点】柯西不等式求最值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】方法一：应用三角换元法，再结合三角函数值域及两角和正弦公式得出最大值；方法二：应用柯西不等式计算求解. 【详解】法一：（三角换元）令，，（，）， ， 当且仅当，或者，时等号成立，故最大值为1． 法二：（柯西不等式） ， 当且仅当，或时等号成立． 的最大值为1． 9．（1）若，且，则的最小值为________． （2）已知正实数满足，则的最小值为________． 【答案】 27 【难度】0.65 【知识点】柯西不等式求最值 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用权方和不等式求出最小值. 【详解】二元形式的权方和不等式：已知，则有：(当且仅当时取等号)； 一般形式的权方和不等式：设，实数，则(当且仅当时取等号)． （1），，则， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）是正实数，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为27. 故答案为： ；27 10．已知，且满足，求的最小值为_______________. 【答案】/0.4 【难度】0.4 【知识点】柯西不等式求最值 【分析】结合题意并利用柯西不等式求解即可. 【详解】由题意得， 则由柯西不等式得， 可得，解得， 当且仅当时取等，此时， 可得的最小值为. 故答案为： 11．已知正数满足，则的最小值为_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用柯西不等式求参数取值范围 【分析】根据分离常量法可得，结合权方和不等式计算可得，即，即可求解. 【详解】， ， 所以， 当且仅当即时等号成立， 所以，得， 所以或（舍去）， 即的最小值为. 故答案为： 12．求函数的取值范围． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】柯西不等式求最值、由导数求函数的最值（不含参）、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】先求出定义域，由柯西不等式得到，求导得到函数单调性，从而求出的最小值为2，得到答案. 【详解】由题意得，解得， 由柯西不等式得， 即，所以， 当且仅当，即时取等号， 又， 令得，即， 当得，当得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，，当时，， 所以的最小值为2， 所以的取值范围为. 13．求函数（x，）的最大值． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】柯西不等式、柯西不等式求最值 【分析】根据柯西不等式求解即可. 【详解】根据柯西不等式得 即， 当，时等号成立, 所以函数的最大值为． 14．若，则的最大值为______． 【答案】6 【难度】0.85 【知识点】柯西不等式求最值 【分析】由柯西不等式即可得到答案. 【详解】， 当且仅当，即时取“=”. 所以的最大值为6. 故答案为:6 15．设、为正实数,且x+y=1.则的最小值为______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】柯西不等式 【详解】由柯西不等式得， 当且仅当，即,时,等号成立. 16．设a，b，c为正数，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、基本不等式求积的最大值、柯西不等式求最值 【分析】利用待定系数法法结合基本不等式可求的最大值，也可以利用三角换元结合辅助角公式、正弦函数的性质可求最大值.我们也可以利用基本不等式把转化为关于的代数式，从而可求最大值. 【详解】解法一 根据题意，有 ， 其中，令， 解得， 于是， 等号当时取得，因此所求最大值为． 解法二 令，其中，则 ， 等号当时取得，因此所求最大值为． 解法三 根据题意，有 ， 等号当，且即时取得， 因此所求最大值为． 故选：A. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $