第03讲 集合基本运算-2026年初升高数学衔接

第03讲 集合基本运算 基●础●知●识 一、交集 1、文字语言：对于两个给定的集合，由属于又属于的所有元素构成的集合，叫做的交集，记作，读作“交” 2、符号语言：且 3、图形语言：阴影部分为 4、性质：，如果，则 5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集函数轴，不同集合高度画不同. 二、并集 1、文字语言：对于两个给定的集合，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，读作“并" 2、符号语言：或 3、符号语言：阴影部分为 4、性质：，如果，则. 5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性三、补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集记法：全集通常记作. 2、补集 （1）文字语言：如果给定集合是全集的一个子集，由中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集，记作. （2）符号语言：且 （3）符号语言： （4）性质：. 【注意】并不是所有的全集都是用字母表示，也不是都是，要看题目的. 四、利用交并补求参数范围的解题思路 1、根据并集求参数范围：， 若有参数，则需要讨论是否为空集； 若有参数，则 2、根据交集求参数范围： 若有参数，则需要讨论是否为空集； 若有参数，则 五、区间及相关概念 1、一般区间的表示：设是两个实数，而且，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集 可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”. 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 题●型●破●译 题型01 交集概念与运算 【典例01】已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 【变式01】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式02】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 题型02 并集概念与运算 【典例01】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【变式01】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【变式02】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 题型03 补集概念与运算 【典例01】已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式01】已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【变式02】已知全集，集合，则（    ） A． B． C．或 D．或 题型04 交并补混合运算 【典例01】设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【变式01】已知集合， (1)求； (2)求. 【变式02】已知全集，集合，， (1)求，； (2)求． 题型05 根据集合运算求参数 【典例01】设全集为，，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【变式01】设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【变式02】设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 题型06 容斥原理求运用 【典例01】《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【变式01】广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 【变式02】某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 题型07 韦恩图应用 【典例01】已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式01】集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式02】已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 题●型●巩●固 1.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2.已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 3.已知集合，，则（    ） A．或 B． C．或 D．或 4.已知集合，则（    ） A． B． C． D． 5.已知集合，全集，则（    ） A． B． C． D． 6.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 7.已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 8.若集合，，则（   ） A． B． C． D． 9.设全集，，，则（ ） A． B． C． D． 10.在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 11.集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校某班主任为了了解学生喜欢篮球运动和足球运动人数进行了统计，其中喜欢篮球运动的人数有18人，喜欢足球运动的人数有14人，既喜欢篮球运动又喜欢足球运动有7人，问只喜欢篮球运动的人数是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 12.全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 13.已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C．或 D． 14.已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 15.已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16.设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 17.已知集合. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 18.已知集合，，设全集. (1)求； (2)若，求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 集合基本运算 基●础●知●识 一、交集 1、文字语言：对于两个给定的集合，由属于又属于的所有元素构成的集合，叫做的交集，记作，读作“交” 2、符号语言：且 3、图形语言：阴影部分为 4、性质：，如果，则 5、解题思路：单个数字交集找相同，不等式的交集函数轴，不同集合高度画不同. 二、并集 1、文字语言：对于两个给定的集合，由两个集合的所有的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，读作“并" 2、符号语言：或 3、符号语言：阴影部分为 4、性质：，如果，则. 5、解题思路：两个集合所有元素集中在一起，但是重复元素只写一次，要满足集合中的互异性三、补集 1、全集：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集记法：全集通常记作. 2、补集 （1）文字语言：如果给定集合是全集的一个子集，由中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集，记作. （2）符号语言：且 （3）符号语言： （4）性质：. 【注意】并不是所有的全集都是用字母表示，也不是都是，要看题目的. 四、利用交并补求参数范围的解题思路 1、根据并集求参数范围：， 若有参数，则需要讨论是否为空集； 若有参数，则 2、根据交集求参数范围： 若有参数，则需要讨论是否为空集； 若有参数，则 五、区间及相关概念 1、一般区间的表示：设是两个实数，而且，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示 定义 名称 符号 数轴表示 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 2、实数集 可以用区间表示为，“”读作“无穷大”，“”读作“负无穷大”，“”读作“正无穷大”. 3、特殊区间的表示 定义 符号 数轴表示 题●型●破●译 题型01 交集概念与运算 【典例01】已知集合，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得，故， 又，所以． 故选：D． 【变式01】已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以. 【变式02】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不等式， 解得，即。 绝对值不等式， 化简得或， 即或， 又因为，因此 所以. 题型02 并集概念与运算 【典例01】已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并运算的定义，结合已知条件，直接写出结果即可. 【详解】因为，，故. 故选：B. 【变式01】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】集合， 所以 【变式02】已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 则. 题型03 补集概念与运算 【典例01】已知集合，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，， 所以. 【变式01】已知全集，集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由， 所以或. 【变式02】已知全集，集合，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】因为，， 所以或. 题型04 交并补混合运算 【典例01】设集合 ，，，求： (1); (2); (3) 【答案】(1)； (2)； (3)或； 【详解】（1）由，，可得. （2）因为，，所以. （3）因为，或， 或. 【变式01】已知集合， (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）解不等式求出集合，根据交集、并集定义直接计算即可； （2）先求出两集合的补集，再由并集运算可得结果. 【详解】（1）易知，又， 所以； （2）易知或，； 因此或. 【变式02】已知全集，集合，， (1)求，； (2)求． 【答案】(1)，. (2)． 【分析】（1）利用集合并集、交集的定义求解即可； （2）利用补集、交集的定义求解即可. 【详解】（1）利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图． 则，. （2）依题意：或，或， 所以． 题型05 根据集合运算求参数 【典例01】设全集为，，集合． (1)若，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助补集与并集定义计算即可得； （2）由题意可得，再分与讨论即可得. 【详解】（1）根据题意可得：，则 （2） 若，有，解得； 若，，解得 综上所述：的取值范围为 【变式01】设全集，集合，集合. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1),; (2). 【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算. （2）根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以. 因为，所以或，所以. （2）因为. ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则解得. 综上所述，实数的取值范围是. 【变式02】设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 题型06 容斥原理求运用 【典例01】《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．高一（1）班共有30名同学，有15人观看了《南京照相馆》，有8人观看了《浪浪山小妖怪》，有14人观看了《长安的荔枝》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，没有人同时观看三部电影．只观看了《长安的荔枝》的人数为（    ） A．7人 B．8人 C．9人 D．10人 【答案】D 【分析】利用容斥原理，结合维恩图来进行个数计算即可. 【详解】设三个电影分别为：记观看《南京照相馆》的同学为集合，记观看《浪浪山小妖怪》的同学为集合，记观看《长安的荔枝》的同学为集合， 则根据题意：有15人观看了《南京照相馆》，记， 有8人观看了《浪浪山小妖怪》，记， 有14人观看了《长安的荔枝》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《浪浪山小妖怪》，记， 有3人同时观看了《南京照相馆》和《长安的荔枝》，记， 没有人同时观看三部电影．记， 设同时观看和的人数为（因无人看三部，就是只同时看、的人数）， 只看的人数：， 只看的人数： 要求的只看的人数： 由所有不重叠部分加和等于总人数30， 可得： ，解得， 因此只看的人数为人. 【变式01】广州奥林匹克中学第5届（总第35届）学校运动会于2024年11月7日至8日在车陂路校区和智谷校区同时举行，本届校运会，初中新增射击比赛项目，初一某班共有28名学生参加比赛，其中有15人参加田赛比赛，有14人参加径赛比赛，有8人参加射击比赛，同时参加田赛和射击比赛的有3人，同时参加田赛和径赛比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，只参加一项比赛的有（     ）人. A．10 B．12 C．14 D．19 【答案】D 【分析】设学生中同时参加径赛和射击的有人，应用容斥原理列方程求，进而求出只参加一项比赛的人数. 【详解】设学生中同时参加径赛和射击的有人， 由题意， 所以，则只参加一项比赛的有人. 故选：D 【变式02】某幼儿园老师给班上30位小朋友提供红、白、蓝三种颜色进行涂色练习，每位小朋友都至少选择其中一种颜色，其中有18人选择了红色，有9人选择了白色，有15人选择了蓝色，同时选择了红色、白色的有5人，同时选择了红色、蓝色的有5人，同时选择了三种颜色的有1人，则只选择了白色的小朋友有（   ） A．1人 B．2人 C．4人 D．3人 【答案】B 【分析】设只选择了白色的小朋友有人，由题意列出方程求解即可. 【详解】设只选择了白色的小朋友有人， 则同时只选择了白色、蓝色这两种颜色的小朋友有人， 只选择了蓝色的小朋友有人， 所以，解得. 故选：B 题型07 韦恩图应用 【典例01】已知集合，集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，， 所以阴影部分所表示的集合为 【变式01】集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 【变式02】已知全集，集合，则Venn图中阴影部分表示的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用韦恩图及集合的并集，补集计算求解. 【详解】阴影部分表示的是，因为，所以，即． 题●型●巩●固 1. 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解绝对值不等式，再根据集合的交集的定义可得. 【详解】由,解得或,所以或, 而，所以 2. 已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，， 所以 3. 已知集合，，则（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【详解】因为，所以或， 结合，所以或. 4. 已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合A，再根据并集的定义可得. 【详解】由不等式，可得；又因为，因此. 又因为，所以. 5. 已知集合，全集，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，根据补集的定义求解. 【详解】根据题意，，计算可得，所以 6. 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得，，故，故． 7. 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以. 故选项B正确. 8. 若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出集合的补集和并集，再结合交集运算求解即可. 【详解】因为集合，， 所以，则 又因为或，则， 所以 故选：D. 9. 设全集，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的交并补运算计算即可. 【详解】由，得，所以，则. 又， 所以，，，不是的子集. 故选：. 10. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优.若A电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于B电影，则称A电影不亚于B电影.已知共有10部微电影参展，如果某部电影不亚于其他9部，就称此电影为优秀电影，那么在10部微电影中，最多可能有多少部优秀影片.（    ） A．10 B．9 C．3 D．2 【答案】A 【分析】先考虑2部电影和3部电影的情况，进而可归纳得出只要满足任意两部电影的点播量高于，，，且专家评分高于，即得. 【详解】记这10部微电影为，. 先考虑2部电影的情况，若的点播量高于，且的专家评分高于， 则此时优秀影片数目最多，为2部； 然后考虑3部电影的情况，若点播量由高到低依次为电影，且专家评分由高到低依次为电影， 则此时优秀影片数目最多为3部； 以此类推，在10部微电影中，最多可能有10部优秀影片. 故选：A 11. 集合论是德国数学家康托尔（G.Cantor）于19世纪末创立的.在他的集合理论中，用表示有限集合中元素的个数，如：，则.若对于任意两个有限集合，有.我校某班主任为了了解学生喜欢篮球运动和足球运动人数进行了统计，其中喜欢篮球运动的人数有18人，喜欢足球运动的人数有14人，既喜欢篮球运动又喜欢足球运动有7人，问只喜欢篮球运动的人数是（     ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】应用交集及补集定义及计算求解. 【详解】设喜欢篮球运动的人组成集合，设喜欢足球运动的人组成集合， 喜欢篮球运动的人数有18人，所以. 既喜欢篮球运动又喜欢足球运动有7人，. 只喜欢篮球运动的人数是. 故选：B. 12. 全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象可知阴影部分表示的集合为，根据交集和补集的运算即可得出结果. 【详解】由集合，，得， 由图象可知阴影部分表示的集合为， 所以. 故选：C 13. 已知全集，集合或，那么阴影部分表示的集合为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】利用集合的交集、补集运算得到答案. 【详解】由图可知，阴影部分表示的集合为， 因为或，所以， 因为，所以， 故选：B. 14. 已知全集，集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得和，结合补集的运算，即可求得阴影部分表示的集合. 【详解】由全集，集合， 可得，所以阴影部分表示的集合为. 故选：C. 15. 已知集合，且，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由得或．又，所以，故． 16. 设全集，集合，，则集合中的元素个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据补集和交集的定义求出集合，即可得解. 【详解】因为全集，， 所以，， 又因为，故. 因此，集合中的元素个数为. 故选：B. 17. 已知集合. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)或． 【分析】(1)根据可知，列出不等式组即可求解． (2)分和两种情况讨论即可． 【详解】（1）∵，∴， ∴， ∴的范围是． （2）(i)若，则，即，此时满足； (ii)若，则， 若，则或，解得或， ∴或； 综上，或． 18. 已知集合，，设全集. (1)求； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合补集运算即可求出结果； （2）分集合和集合两种情况，结合，即可求出过结果 【详解】（1）解：因为或，所以； （2）解：由于， 当时，即时，即时，显然满足题意； 当时，即时， 则或，解得； 综上，实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $