1.2.4 二面角【考点突破+强化训练】讲义-2026年新高二数学暑假预习人教B版选择性必修第一册

1.2.4 二面角 知识点1几何法求二面角的大小 1.二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.如图所示，其中，直线l称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面，如图中的α，β. 2.二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角. 3.二面角的范围：[0，π]. 4.两个平面所成的角 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小. 知识点2二面角与面积之间的联系 已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S'，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝.  知识点3向量法求二面角的大小 设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，α1与α2所成角的大小为θ. θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉， sin θ＝sin〈n1，n2〉. 【注意】(1)若求两个平面的夹角，直接利用公式cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. (2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角. 知识点4利用坐标法求二面角的步骤 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图.用坐标法解题的步骤如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系. (2)求法向量：在建立的坐标系下求或找两个平面的法向量n1，n2. (3)计算：设n1与n2所成锐角为θ，cos θ＝. (4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ. 考点一　利用几何法求二面角的大小 考点二　利用空间向量求二面角的大小 考点三　已知面面角求其他量 考点一　利用几何法求二面角的大小 1．（25-26高一下·江苏连云港·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，，为的中点． (1)证明：平面； (2)过，，作四棱锥的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积； (3)求二面角大小的正切值． 【答案】(1)因为平面，平面，所以. 又，，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以. 因为，为的中点，所以. 又，平面，所以平面 (2) 如图，过E作，交于F，连接，则截面为四边形， 理由如下： 因为，，所以，所以，，，四点共面， 从而过，，的截面为四边形. 截面面积为； (3) 【分析】（1）由，，结合线面垂直的判定证明即可； （2）作，得出，从而得出截面，再由梯形的面积公式得出截面面积； （3）过作于，过作于，连接，进而可证为二面角的平面角，计算求解即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）知平面，所以， 又，，，所以四边形为直角梯形， 其面积. （3）过作于，过作于，连接. 因为平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为四边形是直角梯形，且， 所以四边形为矩形，所以，， 在直角三角形中，，由勾股定理得， 所以， 因为，所以， 在直角三角形中，，所以， 在直角三角形中，，所以， 所以二面角大小的正切值为． 2．（25-26高一下·全国·期末）如图，中，，，分别是、边上的动点，且，将沿折叠，将点折至点的位置，得到四棱锥． (1)求证：； (2)若为中点，且，求二面角的余弦值. 【答案】(1)，，， 将沿折叠，可得， 又，平面，平面，平面， 平面，； (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据线面垂直的性质即可得证； （2）先说明二面角的平面角为，再利用余弦定理解即可. 【详解】（1）略 （2）∵平面，平面， ∴，， 二面角的平面角为， 由为中点，， 在中，由余弦定理得，， 所以二面角的余弦值为. 3．（25-26高一下·广西百色·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角所成角的余弦值. 【答案】(1)证明：因为，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面. (2)证明：因为，所以， 又，所以在中，，所以， 又平面，平面，所以， 又，所以平面，又平面， 所以平面平面. (3) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）利用面面垂直的判定定理证明即可； （3）利用二面角的定义先找出角，然后利用公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）平面，平面，所以， 又，所以为二面角所成角， 因为平面，平面，所以， 在中，由，则， 所以. 4．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正四棱锥为，底面为正方形，侧面为等腰三角形，记为底面中心， 则底面，底面，故， 则为侧棱与底面所成角， ，设，则底边长， 侧棱长， 取中点，连接，由为等腰三角形可得， 故即为该四棱锥侧面与底面的二面角的平面角， ， 又底面，底面， ，是直角三角形， ． 考点二　利用空间向量求二面角的大小 5．（25-26高二下·江苏镇江·期中）如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为．为下底面圆周上一点，，为的中点，连接． (1)证明：平面； (2)若在下底面以为圆心，以为半径的圆上存在一点，使得． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)在圆台中，，分别为上下底面的圆心，有平面，由于平面，所以．且，，平面，，所以平面． (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）先利用平面证得，再由线面垂直的判定定理即可得证； （2）由圆台体积求出其高度，建系后求出相关点的坐标. （ⅰ）利用和向量共线求出点的坐标，即可求出的值；（ⅱ）根据（ⅰ）建的坐标系，求出两平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由圆台体积公式可得解得． 由于，，两两相交且垂直， 则以为一组正交基底建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，， 因为的中点，则． （ⅰ）设，则． 则，， 由于，即存在,使得, 即，解得，，，即， 所以半径． （ⅱ）由于平面， 不妨设平面的一个法向量． 设平面的一个法向量， 有，即，故可取． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 6．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：取中点，连接， 因为分别为的中点，所以，且， 又底面为正方形，且E为AB中点，所以，且， 则,故四边形为平行四边形，则， 因为平面， 平面，所以平面； (2)． 【分析】（1）取中点，求证，利用线面平行的判定定理证明； （2）以点为坐标原点建系，利用法向量求夹角. 【详解】（1）略 （2）以点为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间坐标系， 则，，，， 故，，， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 则， 由图可知，平面与平面所成角为锐角， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 7．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法1，利用长方体的线面垂直性质找出二面角的平面角，再通过直角三角形的边角关系计算得到二面角的余弦值；法2，建立空间直角坐标系，分别求出二面角两个半平面的法向量，通过计算法向量的夹角余弦值得到二面角的余弦值. 【详解】法1：长方体中侧棱底面，因此，且， 所以二面角的平面角就是. 由题意，矩形中，，，， 由勾股定理得斜边. 在中，，即二面角的余弦值为. 法2：在长方体中，以为原点， 分别以、、方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系， 设侧棱，结合已知，， 得，，，， 而二面角的两个半平面为面和面， 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，得； 而，，设是平面的法向量， 则，取，解得，，即， 该二面角为锐角，设为，则. 8．（2026·宁夏内蒙古·模拟预测）在平面四边形中，，，将沿AC翻折至. (1)设，三棱锥的各个顶点都在球的球面上. （i）证明：平面平面； （ii）求球的半径； (2)求二面角的余弦值的最小值. 【答案】(1)（i）证明：在中，由，得， 所以， 且，即， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； （ii）. (2). 【分析】（1）（i）通过证明平面，证得平面平面； （ii）建立空间直角坐标系，利用向量法列方程，由此求得球的半径； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，进而求得其最小值. 【详解】（1）（i）略. （ii）以A为原点，分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 则，设球心，半径， 则， 所以， 解得，所以球O的半径为； （2）在平面中，过P作于G，在平面中，过G作， 因平面,则平面. 则由（1）， 设，以G为原点，分别为x轴和y轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则点在平面内， 则， 所以， 设平面一个法向量为，则， 即，取， 则得； 平面的一个法向量为，则， 即，取，则得， 所以， 令，则由得，则， 于是 ， 当且仅当即时等号成立， 所以二面角的余弦值的最小值为. 9．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，已知. (1)已知，求异面直线与夹角的余弦值； (2)已知，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，利用面面角的向量求法及同角的三角函数关系求解即可. 【详解】（1）直三棱柱中，平面， 因为平面，所以，. 因为，所以，即两两垂直. 以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 设直线与的夹角为， 则， 即异面直线与夹角的余弦值为. （2）取，中点，，连接， 中，，， 则为等边三角形，所以. 直三棱柱中，易知平面， 因为平面，所以，，则两两垂直. 以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 设平面与平面的夹角为， 则， 又，所以， 即平面与平面夹角的正弦值为. 10．（25-26高一下·四川广安·期中）如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点．将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时． ①求证：平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)①由题设，易知是边长为4的正方形，且，， 由平面， 则平面，因平面，则， 又，平面， 则平面， 由平面，则， 又，为的中点，则， 由平面， 则平面； ② (2) 【分析】（1）①由题设及线面垂直的判定和性质得，进而得平面，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证；②先应用等体积法求到平面的距离，再根据线面角的定义求其正弦值； （2）构建空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求二面角正弦值的范围. 【详解】（1）①略； ②由平面，平面，则，且， 同理可得，则，故， 由， 设到平面的距离为，由可得， ，而， 所以直线与平面所成角的正弦值为； （2）由上分析，平面，且,则可建立如下图所示的空间直角坐标系， 依题意，,因为的中点，则， 又因，则， 所以， 若是平面的一个法向量， 所以，故可取， 因为轴平面，则可取为平面的一个法向量， 则， 设,因，则，且, 令，因在上单调递增，故， 则，故，则, 也即,则，即， 因，故得 即二面角的正弦值的取值范围为. 考点三　已知面面角求其他量 11．（2026·江西南昌·三模）如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，. (1)求异面直线与所成角； (2)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长. 【答案】(1)； (2)1. 【分析】（1）先证明直线，，两两垂直，再以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，即可得解； （2）由（1）所建空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，结合二面角的余弦公式，即可求解. 【详解】（1）连接，，由直线为圆台的轴，得，延长线交于一点， 又平面平面，平面平面，平面平面， 所以， 由，，得， 则，而， 因此，所以直线，，两两垂直， 以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，所以，， 则，所以， 所以异面直线与所成角为； （2）由（1）得，，， 设平面与平面的法向量分别为，， 则，即，取，得，， 故平面的一个法向量为， 又，即，取，得， 故平面的一个法向量为， 由二面角的余弦值为， 得，解得， 所以圆台的高的长为1. 12．（2026·天津南开·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面和平面夹角的大小为？若存在，并求出的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由面面垂直的性质得出线面垂直，进而得出线线垂直； （2）由已知是直角三角形，根据等积法，求出平面ABC上的高，结合空间向量夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）∵，为的中点 ∴， 又∵平面平面，平面平面，平面， ∴平面， ∵平面， ∴； （2）分别取、的中点为F、G，连结、， ∵为的中点，是边长为1的等边三角形， ∴是直角三角形，，，， ∵、的中点为F、G， ∴，，， 由（1）得，是三棱锥底面的高，是直角三角形， ∵，∴， 以O点为坐标原点，分别以、、所在的直线为轴， 如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，，， 设是平面的一个法向量， 则，即， 令，则，，，， ， ∴直线和平面所成角的正弦值等于； （3）在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为. 设， 由（2）知，，， ，， ， 是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 即， 取，，， ∵平面和平面夹角的大小为， ∴， 即， 整理得， 解得，或（舍去）， 所以，，， 所以，在棱上存在点，使平面和平面夹角的大小为，. 13．（2026·吉林长春·模拟预测）如图所示，在长方体中，点M，N分别是直线，上的动点． (1)若M，N分别为线段，的中点，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求． 【答案】(1)取中点，连接， 因为为线段的中点，点是中点，所以， 又平面，平面，所以平面 同理，因为为线段，点是中点，所以， 又平面，平面，所以平面 因为平面，所以平面平面， 又平面，平面，所以平面. (2) 【分析】（1）根据面面平行的性质证明线面平行即可. （2）设，根据空间向量法求解二面角的平面角的余弦值，计算求得结果. 【详解】（1）略 （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设， 由，得， ； 设平面的法向量为，则，令，所以， 设平面的法向量为，则，令，所以， 因为二面角的余弦值为 ，可知二面角的平面角为锐角， 所以，即， 当时，，即，解得， 此时二面角的平面角为钝角，舍掉. 当时，，即，解得， 此时二面角的平面角为锐角，因此. 14．（2026·吉林长春·三模）如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为线段和上的动点，且，其中.    (1)求四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比； (2)若二面角的大小为，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）取中点，结合锥体和柱体的体积公式运算求解； （2）建系并标点，求平面和平面的法向量，利用空间向量求二面角，列式求解即可. 【详解】（1）在正三棱柱中，取中点， 则四棱锥的体积， 正三棱柱的体积， 四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比为. （2）在正三棱柱中，取的中点，连结， 因为，且， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以，且平面， 所以平面，且， 故以为坐标原点，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，    则， 因为，则， 可得 设平面的一个法向量为，则， 令，则，可得， 由题意可知：平面的一个法向量为， 因为二面角的大小为， 则， 整理得，解得. 15．（25-26高二下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，交于点，，，点是棱的中点，连接． (1)求证：平面； (2)若平面平面，平面与平面的夹角的余弦值，求线段OP的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）利用菱形对角线中点与三角形中位线性质，证明线线平行，进而推导线面平行； （2）先证线面垂直建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合面面角的余弦值公式列方程，解得高的长度． 【详解】（1）因为底面是菱形，所以是中点， 因为是的中点，所以， 又因为平面， 平面， 所以平面． （2） 因为，是的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又，所以两两垂直， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 因为菱形的边长为2，，所以，， 所以，， 设，所以，， 设为平面的一个法向量， 由，得，所以， 取，，，所以， 因为，，，平面， 所以平面，所以平面的一个法向量为， 平面与平面的夹角的余弦值为， 所以，所以， 所以，所以，因为，所以． 所以线段OP的长为． 16．（2026·江苏无锡·三模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. (1)证明：； (2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)由，为的中点，得，而平面平面， 平面平面，平面，则平面，又平面， 所以. (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）作出二面角的平面角，利用给定角的大小及平行线分线段成比例定理求出，进而求出体积. 【详解】（1）略 （2）由是边长为1的等边三角形，得，则， 作交于点，由平面，得平面，而平面， 则，过作于，连接，平面， 因此平面，又平面，则，为二面角的平面角， 即，由，得， 而，则，，， ，， 所以三棱锥的体积. 19．（25-26高一下·广东惠州·阶段检测）如图，在长方体中，，，点E在棱上移动. (1)证明：平面； (2)当为的中点时，求点到平面的距离； (3)当二面角的正切值为时，求的值. 【答案】(1)在长方体中，有平面， 又平面，， 又， 四边形为正方形，， 又，，平面， 平面. (2) (3) 【分析】（1）先证明，再证明，最后得到平面. （2）利用等体积法计算即可. （3）先找出二面角的平面角，然后利用正切值为求出的长度，最后得到的值. 【详解】（1）略 （2）设点到平面的距离为， 在中，，， 故， 而， 又， ， ，即点到平面的距离为. （3）过作于，连， 由平面，得，且， 可得平面，则， 为二面角的平面角， 设，，则， 由，得， ，解得， 此时，得， 即当二面角的正切值为时，. 20．（2026·湖北武汉·二模）如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 【答案】(1) 证明：在内任取一点P，过点P作于， 因为平面平面，平面平面，所以平面， 又平面，所以. 过作于，同理可得， 又平面，平面，， 所以平面. (2)2 【分析】（1）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，线线垂直，证明出线面垂直； （2）作出辅助线，得到二面角的平面角，根据正切值得到各边长，求出三棱锥的体积. 【详解】（1）略 （2）过点作于，由平面平面， 平面平面知平面. 又平面，所以 再过点作于，连接， 因为 ， 平面， 则平面， 所以即为二面角的平面角. 所以， 又，故为等边三角形， 所以，， 故， 又中，，所以，故， 所以，又为等边三角形，故， 所以三棱锥的体积. 1．（25-26高一下·天津河东·阶段检测）在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到所求二面角的平面角，结合勾股定理即可求解. 【详解】如图所示，连接，设，    因为正方体，所以，， 所以就是平面与平面所成二面角， 设正方体的边长为，则，，， 所以，故C正确. 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则侧面与底面所成二面角的正切值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【详解】如图所示，连接交于点，则为正方形的中心. 连接，则平面，所以. 取的中点，连接， 则，且. 因为平面，所以. 由，得； 所以为侧面与底面所成二面角的平面角. 所以. 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作下底面的垂线，垂足为，过作，垂足为，就是二面角的平面角，解三角形求其余弦值. 【详解】已知轴截面等腰梯形中，上底，下底，腰长为， 因此圆台的高（即等腰梯形的高） 为下底圆的直径，故下底圆半径， 因为在下底圆周上，是直径，所以， ，在中，， 过作下底面的垂线，垂足为（在轴截面上，故在直径上）， 得，且下底面， 过作，垂足为，连接， 则就是二面角的平面角， 因为的面积， 其中（为下底圆心），是到的距离， 又， 所以，解得， 在中，， 因此二面角的余弦值. 4．（25-26高二下·云南玉溪·期中）如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理得，可知平面与平面所成的角为，利用直角三角形的性质求解即可. 【详解】直三棱柱，平面平面，平面平面，，平面，得平面， 平面，平面，所以， 由，，得， 直三棱柱的体积为，所以 又，可知平面与平面所成的角为， 因为，所以平面与平面所成的角为. 5．（2026·广东肇庆·二模）在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二面角的大小求出的值，证明成立，则三棱锥为正方体的一个角，据此求出外接球的半径便可得到表面积． 【详解】取的中点，连接， 因为， 所以， 所以就是平面与平面的夹角， 设，则，则， 即，解得， 所以，即， 同理，，将三棱锥放置在如图的正方体中， 由正方体的外接球的直径为正方体的对角线长知， 三棱锥外接球的直径， 所以三棱锥外接球的表面积． 故选：B． 6．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据空间中，点线面的位置关系，以及二面角的性质，求出各线段的长度，进而求出结果. 【详解】    如图所示，作中点，连接，    如图所示，作出矩形的平面图形，过点作垂直于于， 由题意可得，所以，且， 所以，则， 因为二面角的大小为， 可知面面，因为，所以面，所以, 由勾股定理可知. 故选：A. 7．（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角余弦值． 【详解】由题意知两两垂直， 则以为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系． ∴，， 由， 设平面的法向量， 则，取，得， ， 设平面的法向量， 则，取，得， 设平面与平面所成锐二面角为， 则， ∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 8．（25-26高二下·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律及夹角公式列式求解. 【详解】设二面角的大小为，由， 得，， 则， 而，由对角线与所成角的余弦值为，得， 解得，又，解得， 所以二面角的大小为. 9．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，二面角的平面角就是向量与的夹角，进而得与的夹角为，再根据数量积定义求解即可. 【详解】因为，为的中点，所以， 因为， 所以二面角的平面角就是向量与的夹角，为， 因为向量与方向相反， 所以与的夹角为 ， 因为，， 所以 10．（25-26高二上·山西运城·期中）（多选）在四面体中，，若四面体的体积为，则（    ） A．二面角的大小可能为 B．二面角的大小可能为 C．的值可能为5 D．的值可能为 【答案】AD 【分析】利用体积先求点到平面的距离，然后可得二面角，再根据，结合二面角即可求出. 【详解】在四面体中，， 且体积， 解得，即点到平面的距离为， 由题可知，记为二面角的平面角， 则，即二面角的大小为或，故A正确，B错误；    ， ， 因为，所以， 当时，， 当时，故C错误，D正确． 故选：AD 11．（2026·河南新乡·三模）（多选）如图，在四棱锥中，底面，E，F分别为棱AB，AD上的动点，且满足，则（    ） A．直线SC与平面SAB所成角的正弦值为 B．平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为 C．四棱锥的体积为2 D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】根据体积公式计算后可判断C的正误，根据向量法可求线面角的正弦值判断A，根据向量法可求面面角的余弦值判断B，根据空间距离公式可求外接球的球心坐标后求出半径，再结合表面积公式计算后可判断D的正误. 【详解】在四边形中，，故， 所以四边形为直角梯形，故其面积为， 因为平面，所以为四棱锥的高， 故四棱锥的体积为，故C正确； 因为平面，，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故而平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为，故， 故A正确； 又，设平面的法向量为， 则即，取， 设平面与平面所成的角为，则， 故B错误； 设，， 由可得， 故的面积为， 当且仅当时等号成立，故当且仅当时，三棱锥的体积最大， 此时，设三棱锥外接球的球心为， 则， 整理得，解得，故， 三棱锥外接球的表面积为，故D正确. 12．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】利用两个平面所成角的余弦公式求解. 【详解】，则， 又因为，， 所以. 13．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    【答案】/ 【分析】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，易得平面的法向量为，求出平面的法向量为，使用向量夹角公式即可求解. 【详解】以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图：    则有， 且有， 易得为平面的法向量， 设平面的法向量为，， 则有，令，则， 则， 即平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为， 故答案为：. 14．（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，．沿AC把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为________． 【答案】 【分析】以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解二面角即可. 【详解】以点 为坐标原点，平面 为 平面， 方向分别为 轴的正方向， 建立空间直角坐标系，则 ， 在矩形 中，作 于 于 于 ，则 为 在平面 上的射影. 因为 ，所以 . 所以 ，所以 ， ， 所以 ，所以 ， 设平面 的法向量为 . 则 ，令 ，则 ， 因为平面 的一个法向量为 ， 所以 . 由图可知二面角 为锐角. 所以二面角 的余弦值为 . 15．（2026·湖南岳阳·三模）在棱长为2的正方体中，点在表面上运动（含端点），且满足，当二面角的正切值为时，三棱锥的体积为______． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用求点的轨迹，再利用二面角的正切值求出点的坐标，最后利用棱锥的体积公式计算即可. 【详解】以为原点，分别以所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． 因为正方体棱长为2，所以， 设动点， 由得：，得， 即动点的轨迹为线段端点为和， 由于侧面，故且，因此二面角的平面角为， 根据题意，，结合轨迹条件，得即点坐标为． 又因为，所以． 16．（25-26高三下·北京·阶段检测）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)因为二面角 为直二面角，即平面 平面 ， 又平面平面，，即 ，且 平面，所以 平面 . 因为平面，所以 . 由题意知，是由 翻折得到，且 ,所以，即， 又因为 ，平面，所以 平面. (2) 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明 平面，从而得到，结合 即可证明结论； （2）取 中点，建立空间直角坐标系，求出平面 与平面 的法向量，利用向量夹角公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）在中，，所以， 分别取 的中点，连接. 因为 ，所以. 又因为平面平面 ，平面 平面，平面 ， 所以平面 .又因为，所以. 以 为坐标原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 在中，，所以 . 则, 所以， 设平面的法向量为，则，即， 取，得， 又因为平面的一个法向量为， 设平面与平面所成角为， 则， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 17．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； (3)若存在一点，且，求与平面夹角的余弦取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线段长度结合余弦定理确定形状，借助线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用面面夹角的向量公式和同角三角函数的基本关系计算即可. （3）利用线面角的向量求法结合同角三角函数的基本关系得到，再构造函数并结合导数得到取值范围即可. 【详解】（1）由题意可知为等边三角形，， 由余弦定理可知， 即为等腰三角形，取中点E，连接， 易知三点共线， 即，又平面， 而平面，所以， 因为平面，所以平面； （2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系， 则， 所以，设平面与平面的夹角为， 设平面的一个法向量为，即， 令，解得， 易知平面的一个法向量为，所以， 由同角三角函数的基本关系得， 则平面与平面夹角的正弦值为. （3）由题意得， 则，，设平面的一个法向量为， 即，令，解得， 而存在一点，设，且， 设，则，则， 解得，可得， 则，设与平面夹角为， 可得， 由同角三角函数的基本关系得， 令，则， 而，此时，可得在上单调递减， 而，，则，故. 18．（2026·四川眉山·模拟预测）如图三棱锥中，是边长为2的等边三角形，中且． (1)若是的中点，且，求证：平面平面； (2)在（1）的条件下求三棱锥外接球的表面积； (3)设二面角的大小为，求的最小值． 【答案】(1)在等边中，是的中点， ，又且平面， 平面，又平面， ，又且平面， 平面，又平面， 平面平面. (2) (3) 【分析】（1）先证明平面，从而得到，结合可得平面，故平面平面； （2）根据（1）中的条件，将三棱锥补全为正三棱柱，得到外接球球心即为两个底面的中心连线的中点，使用勾股定理计算即可得到半径，进而得到表面积； （3）以的中点为原点，平行于为轴方向，为轴方向，垂直于平面向上为轴方向，建立坐标系，设从轴逆时针转到的角度为（从左侧看），利用空间向量法得到平面和平面的法向量，得到夹角表达式，最后利用变量代换求得最小值. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，且为等边三角形， 故可将三棱锥补全为正三棱柱，三棱柱的高， 则三棱锥的外接球就是三棱柱的外接球， 外接球的球心为等边三角形和的中心连线的中点， 半径， 所以三棱锥外接球的表面积为； （3）取的中点为原点，平行于为轴方向，为轴方向， 垂直于平面向上为轴方向，建立如图所示的坐标系， 设从轴逆时针转到的角度为（从左侧看）， 则，，，， ，， 设是平面的一个法向量， 则有， 取，则  ，指向三棱锥外， 设是平面的一个法向量， 则有， 取，则，  指向三棱锥内， 得， 令， 则，   当，即时取等号， 所以的最小值为． 19．（2026·浙江·三模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，． (1)求四棱锥的体积； (2)设点为过P，A，C，D这四个点的外接球的球心，求异面直线BC与OD所成角的余弦值； (3)设点M是底面ABCD的一点，且平面ABP与平面MBP的夹角为，求线段AM的最小值. 【答案】(1)4 (2) (3) 【详解】（1）因为，， 所以四棱锥的底面为直角梯形， 又因为平面ABCD， 所以四棱锥的体积为：. （2）因为平面ABCD，， 所以可将三棱锥补成长方体，则过四点的外接球即为长方体的外接球， 所以为长方体体对角线的中点， 以为原点，建立如图空间直角坐标系，则 ，，，，， 所以， 设异面直线BC与OD所成角为， 所以. 所以异面直线BC与OD所成角的余弦值为. （3）设，则，， 由题意平面ABP的法向量， 设平面MBP的法向量为， 所以， 令，则，， 所以， 因为平面ABP与平面MBP的夹角为， 所以， 整理得， 所以， 所以当时，， 所以． 20．（2026·贵州毕节·三模）“阳马”一词出自《九章算术·商功》，它是指底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在阳马中，平面，，，，点在棱上，且. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见详解 (2)存点，使得二面角的余弦值为，且点为线段的中点，理由见详解. 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出两平面法向量，计算两个平面法向量数量积为0即可证明. （2）利用向量法求出平面法向量，利用向量法表示出二面角的大小，建立方程求解分析即可. 【详解】（1）证明：因为四边形为矩形，且平面， 所以以点为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，则， 又，在棱上，，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则，令，则，所以， 因为，所以，所以平面平面. （2）存在点，使得二面角的余弦值为，且点为线段的中点，理由如下： 设点在线段上，且，则， 当时，重合，得不到二面角不满足题意， 当时，重合，此时二面角即为， 因为平面，即平面，且平面， 所以平面平面，即二面角为直二面角，不满足题意，所以， 由， 所以，所以， 设平面的一个法向量为，由， 则， 令，则，所以， 由（1）知平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则 ，即或， 当时，解得：，当时，无解，故， 即，所以存点，使得二面角的余弦值为，此时点为线段的中点. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.4 二面角 知识点1几何法求二面角的大小 1.二面角的定义：平面内的一条直线把一个平面分成两部分，其中的每一部分都称为一个半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角.如图所示，其中，直线l称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面，如图中的α，β. 2.二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱上任取一点O，以O为垂足，分别在半平面α和β内作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB所成的角称为二面角的平面角.二面角的大小用它的平面角大小来度量，即二面角大小等于它的平面角大小.特别地，平面角是直角的二面角称为直二面角. 3.二面角的范围：[0，π]. 4.两个平面所成的角 两个平面相交时，它们所成角的大小，指的是它们所形成的四个二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小. 知识点2二面角与面积之间的联系 已知平面β内一个多边形的面积为S，它在平面α内的射影图形的面积为S'，平面α和平面β所成的二面角的大小为θ，则cos θ＝.  知识点3向量法求二面角的大小 设n1，n2分别是平面α1，α2的一个法向量，α1与α2所成角的大小为θ. θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉， sin θ＝sin〈n1，n2〉. 【注意】(1)若求两个平面的夹角，直接利用公式cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝. (2)若求二面角，需要判断要求的是锐二面角还是钝二面角. 知识点4利用坐标法求二面角的步骤 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是二面角的大小，如图.用坐标法解题的步骤如下： (1)建系：依据几何条件建立适当的空间直角坐标系. (2)求法向量：在建立的坐标系下求或找两个平面的法向量n1，n2. (3)计算：设n1与n2所成锐角为θ，cos θ＝. (4)定值：若二面角为锐角，则为θ；若二面角为钝角，则为π－θ. 考点一　利用几何法求二面角的大小 考点二　利用空间向量求二面角的大小 考点三　已知面面角求其他量 考点一　利用几何法求二面角的大小 1．（25-26高一下·江苏连云港·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，，为的中点． (1)证明：平面； (2)过，，作四棱锥的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积； (3)求二面角大小的正切值． 2．（25-26高一下·全国·期末）如图，中，，，分别是、边上的动点，且，将沿折叠，将点折至点的位置，得到四棱锥． (1)求证：； (2)若为中点，且，求二面角的余弦值. 3．（25-26高一下·广西百色·期中）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，，平面. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求二面角所成角的余弦值. 4．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 考点二　利用空间向量求二面角的大小 5．（25-26高二下·江苏镇江·期中）如图，在圆台中，已知上、下底面半径分别为1和2，体积为．为下底面圆周上一点，，为的中点，连接． (1)证明：平面； (2)若在下底面以为圆心，以为半径的圆上存在一点，使得． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求平面与平面夹角的余弦值． 6．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，在四棱锥中，是边长为4的正方形，平面，分别为的中点． (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面所成角的余弦值． 7．（25-26高二下·浙江·阶段检测）在长方体中，，，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·宁夏内蒙古·模拟预测）在平面四边形中，，，将沿AC翻折至. (1)设，三棱锥的各个顶点都在球的球面上. （i）证明：平面平面； （ii）求球的半径； (2)求二面角的余弦值的最小值. 9．（2026·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，，，为的中点，已知. (1)已知，求异面直线与夹角的余弦值； (2)已知，求平面与平面夹角的正弦值. 10．（25-26高一下·四川广安·期中）如图1，在直角梯形中，，，，，为的中点．将沿翻折，使点到点的位置，且，得到如图2所示的四棱锥，若为的中点，是棱上动点． (1)当为的中点时． ①求证：平面； ②求直线与平面所成角的正弦值． (2)若，求二面角的正弦值的取值范围． 考点三　已知面面角求其他量 11．（2026·江西南昌·三模）如图，已知圆台，，，均为母线，四边形为圆台的轴截面，且，. (1)求异面直线与所成角； (2)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长. 12．（2026·天津南开·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点，是边长为1的等边三角形，且． (1)证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； (3)在棱上是否存在点，使平面和平面夹角的大小为？若存在，并求出的值． 13．（2026·吉林长春·模拟预测）如图所示，在长方体中，点M，N分别是直线，上的动点． (1)若M，N分别为线段，的中点，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求． 14．（2026·吉林长春·三模）如图，正三棱柱的所有棱长均为2，点分别为线段和上的动点，且，其中.    (1)求四棱锥的体积与正三棱柱的体积之比； (2)若二面角的大小为，求的值. 15．（25-26高二下·北京·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，交于点，，，点是棱的中点，连接． (1)求证：平面； (2)若平面平面，平面与平面的夹角的余弦值，求线段OP的长． 16．（2026·江苏无锡·三模）如图，在三棱锥中，平面平面为的中点. (1)证明：； (2)若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 19．（25-26高一下·广东惠州·阶段检测）如图，在长方体中，，，点E在棱上移动. (1)证明：平面； (2)当为的中点时，求点到平面的距离； (3)当二面角的正切值为时，求的值. 20．（2026·湖北武汉·二模）如图三棱锥中，，平面平面，平面平面. (1)证明：平面； (2)若二面角的正切值为2，求三棱锥的体积. 1．（25-26高一下·天津河东·阶段检测）在正方体中，平面与平面所成二面角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西忻州·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，则侧面与底面所成二面角的正切值为（    ） A． B．1 C． D．2 3．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·云南玉溪·期中）如图，直三棱柱，平面平面，，，直三棱柱的体积为，则平面与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 5．（2026·广东肇庆·二模）在三棱锥中，，平面与平面夹角的余弦值为，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）如图，矩形中，，，为边的中点.将沿直线翻折至位置，使得二面角的大小为，则（   ）      A． B． C．4 D．8 7．（2026高三·全国·专题练习）已知直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交于点，则平面与平面所成锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·江苏泰州·期中）设正方形与正方形的边长都是1，若对角线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·江苏南京·期中）在三棱锥中，，，为的中点，且，，若二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·山西运城·期中）（多选）在四面体中，，若四面体的体积为，则（    ） A．二面角的大小可能为 B．二面角的大小可能为 C．的值可能为5 D．的值可能为 11．（2026·河南新乡·三模）（多选）如图，在四棱锥中，底面，E，F分别为棱AB，AD上的动点，且满足，则（    ） A．直线SC与平面SAB所成角的正弦值为 B．平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为 C．四棱锥的体积为2 D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 12．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知平面，的法向量分别为，，则平面和所成角的余弦值为______． 13．（25-26高二上·山东聊城·期末）如图，在长方体中，，点E，F分别在上，且，则平面ABCD与平面AEF夹角的余弦值为__________.    14．（25-26高二下·江苏连云港·阶段检测）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，，．沿AC把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为________． 15．（2026·湖南岳阳·三模）在棱长为2的正方体中，点在表面上运动（含端点），且满足，当二面角的正切值为时，三棱锥的体积为______． 16．（25-26高三下·北京·阶段检测）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，，．将沿翻折至，使得二面角为直二面角． (1)证明：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值． 17．（25-26高二下·湖南株洲·阶段检测）已知四棱锥中，平面，，，. (1)证明：平面； (2)若，求平面与平面夹角的正弦值； (3)若存在一点，且，求与平面夹角的余弦取值范围. 18．（2026·四川眉山·模拟预测）如图三棱锥中，是边长为2的等边三角形，中且． (1)若是的中点，且，求证：平面平面； (2)在（1）的条件下求三棱锥外接球的表面积； (3)设二面角的大小为，求的最小值． 19．（2026·浙江·三模）如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，． (1)求四棱锥的体积； (2)设点为过P，A，C，D这四个点的外接球的球心，求异面直线BC与OD所成角的余弦值； (3)设点M是底面ABCD的一点，且平面ABP与平面MBP的夹角为，求线段AM的最小值. 20．（2026·贵州毕节·三模）“阳马”一词出自《九章算术·商功》，它是指底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在阳马中，平面，，，，点在棱上，且. (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求点的位置，若不存在，请说明理由. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $