第05讲 空间中的距离（6考点+过关检测）【暑假自学课】-2024年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019选择性必修第一册）

第05讲 空间中的距离 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解各种距离及其有关概念，凸显数学抽象的核心素养； 2．会用向量方法求各种距离．凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离：这两个点连线的线段长.可通过向量求空间中两点之间的距离. 知识点2 点到直线的距离 1.一条直线l与l外一点A确定一个平面.过A作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长被称作点A到直线l的距离.如果点A在直线l上，约定A到直线l的距离为0. 2.点到直线的距离是这个点与直线上点的最短连线的长度 知识点3 点到平面的距离 1给点空间中一个平面α及α外一点A，过A作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长度为点A到平面α的距离.如果点A是平面α内一点，约定点A到平面α的距离为0. 2.点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度. 3.如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝. 知识点4 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 1.定义：（1）当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离. （2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离. （3）与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段.两个平行平面之间的距离等于它们公垂线段的长. 2.距离求法： （1）用法向量求直线到平面的距离 首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化为直线上一点到平面的距离问题． （2）用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化为点到平面的距离问题． 考点一：求点到直线的距离 例1.（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【变式1-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二下·甘肃·期中）将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高三下·广东深圳·期中）在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 . 考点二：求点到平面的距离 例2.（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）如图，圆锥是由直角旋转而成，母线，底面圆的半径为1，D是AB的中点，为底面圆上的一点且， (1)求点到平面ABC的距离； (2)求直线CD与平面AOB所成的角的正弦值； (3)求点O到直线CD的距离， 【变式2-1】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 【变式2-3】（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，在四棱锥中，平面，分别是的中点，四边形是菱形，，．    (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离． 考点三：求直线到平面的距离 例3.（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别为，，，中点．    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离． 【变式3-1】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023上·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点． (1)求直线\到直线的距离； (2)求直线到平面的距离． 【变式3-3】（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点. (1)证明：； (2)求直线与平面的距离. 考点四：求平行平面之间的距离 例4.（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（22-23高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【变式4-2】（21-22高二上·浙江绍兴·期末）空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（20-21高二·全国·课后作业）在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离是 . 考点五：求异面直线之间的距离 例5.（23-24高二下·江苏南通·期中）已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 【变式5-1】（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2023上·贵州·高二校联考开学考试）定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体的棱长为是异面直线与的公垂线段，则的长为（  ）    A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 考点六：根据距离求其它量 例6.（2023上·河南·高二校联考期中）在（图1）中，为边上的高，且满足，现将沿翻折得到三棱锥（图2），使得二面角为.    (1)证明：平面； (2)在三棱锥中，为棱的中点，点在棱上，且，若点到平面的距离为，求的值. 【变式6-1】（23-24高二下·江苏泰州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·山西·三模）正方体的棱长为2，分别为的中点，为底面的中心，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2022上·贵州遵义·高二统考期中）在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，写出一个满足条件的的值： . 1．（2023上·浙江温州·高二校联考期中）如图，是棱长为1的正方体中，点P在正方体的内部且满足，则P到面的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（多选）（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）给出以下命题，其中正确的是（    ） A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，则 D．已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为 3．（多选）（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 4．（23-24高二下·福建龙岩·期中）已知点，平面的一个法向量为，点在平面外，则点到平面的距离为 . 5.（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为 . 6．（20-21高二·全国·单元测试）已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（    ） A． B． C． D． 7.（23-24高一下·广西·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 8．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中，，，． (1)求到平面的距离． (2)与平面平行吗？请说明理由． 9．（22-23高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 10．（21-22高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求： (1)直线与平面的距离； (2)平面与平面的距离． ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 空间中的距离 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．理解各种距离及其有关概念，凸显数学抽象的核心素养； 2．会用向量方法求各种距离．凸显数学抽象、数学运算、直观想象的核心素养. 知识点 1 空间中两点之间的距离 空间中两点之间的距离：这两个点连线的线段长.可通过向量求空间中两点之间的距离. 知识点2 点到直线的距离 1.一条直线l与l外一点A确定一个平面.过A作直线l的一条垂线段，这条垂线段的长被称作点A到直线l的距离.如果点A在直线l上，约定A到直线l的距离为0. 2.点到直线的距离是这个点与直线上点的最短连线的长度 知识点3 点到平面的距离 1给点空间中一个平面α及α外一点A，过A作平面α的一条垂线段，这条垂线段的长度为点A到平面α的距离.如果点A是平面α内一点，约定点A到平面α的距离为0. 2.点到平面的距离是这个点与平面内点的最短连线的长度. 3.如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝. 知识点4 相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离 1.定义：（1）当直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离. （2）当平面与平面平行时，一个平面内任意一点到另一个平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离. （3）与两个平行平面同时垂直的直线，称为这两个平面的公垂线，公垂线夹在平行平面间的部分，称为这两个平面的公垂线段.两个平行平面之间的距离等于它们公垂线段的长. 2.距离求法： （1）用法向量求直线到平面的距离 首先必须确定直线与平面平行，然后将直线到平面的距离问题转化为直线上一点到平面的距离问题． （2）用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行，这时可以在一个平面上任取一点，将两平面间的距离问题转化为点到平面的距离问题． 考点一：求点到直线的距离 例1.（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在上，且. (1)证明：平面； (2)当二面角的余弦值为时，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结，交于点，连结，利用相似比得，然后可得，根据线面平行判定定理即可得证； （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用二面角的向量公式求出，再由点到直线的距离的向量公式可得. 【详解】（1）连结，交于点，连结， 因为， 所以，又， 所以，所以，                                           因为面，面， 所以平面. （2）以为原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 设，，则，，，， 则，，                                     设平面的法向量为， 则，即， 令，可取，                          平面的法向量可取， 所以，得，                                            因为， 与同向的单位向量， 所以点到直线的距离为. 【变式1-1】（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可. 【详解】，， . 故选：A. 【变式1-2】（23-24高二下·甘肃·期中）将一块模板放置在空间直角坐标系中，其位置及坐标如图所示，则点A到直线BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用空间点到直线距离公式计算即得. 【详解】依题意，，， 所以点A到直线BC的距离. 故选：A 【变式1-3】（23-24高三下·广东深圳·期中）在长方体中，，点为侧面内一动点，且满足平面，则的最小值为 ，此时点到直线的距离为 . 【答案】 / 【分析】由题意，根据线面平行的判定定理和面面平行的判定定理可证得平面平面，由面面平行的性质确定点的轨迹为线段，且当取最小值时，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点线距离即可. 【详解】如图所示，因为且，故四边形为平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面， 同理可证平面，因为平面， 所以平面平面，因为平面，要使得平面， 则平面，因为平面平面， 故点的轨迹为线段，当取最小值时，，则为的中点， 则. 以为原点，的方向分别为，轴建立空间直角坐标系， 易知， 取， 则， 所以点到直线的距离为. 故答案为：； 考点二：求点到平面的距离 例2.（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）如图，圆锥是由直角旋转而成，母线，底面圆的半径为1，D是AB的中点，为底面圆上的一点且， (1)求点到平面ABC的距离； (2)求直线CD与平面AOB所成的角的正弦值； (3)求点O到直线CD的距离， 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意建立空间直角坐标，先求出平面ABC的一个法向量，再根据点到平面距离的向量计算方法即可解答； （2）先求出平面AOB的一个法向量和直线CD的方向向量，再根据直线与平面所成角的向量计算方法即可解答； （3）先求出，，再根据点到直线距离的向量计算方法即可解答. 【详解】（1）在所在平面内作， 由题意可得面OBC，因为面OBC，面OBC， 所以，， 以O为原点，以OM、OB、OA所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 由题意可得：，，， ， 则，， 设平面ABC的一个法向量， 则，即， 令，则 所以点到平面ABC的距离为. （2）设直线CD与平面AOB所成角为， 设平面AOB的一个法向量， 因为， 所以则，即， 令，则， 又因为， 所以. （3）因为，， 所以，， ， 所以. 【变式2-1】（23-24高二下·江苏连云港·阶段练习）在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，为棱上的一点，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，由点到平面的距离公式计算即可． 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则， 取，得， 所以点到平面的距离为， 故选：D． 【变式2-2】（23-24高二下·河南濮阳·阶段练习）如图，已知正方体的棱长为1，为棱的中点，则点到平面的距离为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，然后利用点到平面的距离公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 设平面的一个法向量为， , 则， 令，则. 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为. 故答案为：. 【变式2-3】（22-23高一下·广西南宁·期末）如图，在四棱锥中，平面，分别是的中点，四边形是菱形，，．    (1)证明：平面； (2)求点E到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由面面平行的判定定理和性质定理证明即可. （2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，由点到平面的向量公式求解即可. 【详解】（1）证明：取中点，连接， ∵在四棱锥中，平面，分别是的中点， 四边形是菱形，，． ∴， 平面，平面，所以平面， 同理平面，，， ∴平面， ∵平面，∴平面； （2）连接，由题意得，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图，    则，，， 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，取，则，得， ∴点E到平面的距离为：． 考点三：求直线到平面的距离 例3.（23-24高一下·重庆荣昌·阶段练习）在棱长为2的正方体中，E，F，M，N分别为，，，中点．    (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)直线到平面的距离为． 【分析】（1）连接，证明，进而得到平面； （2）易证明平面，点到平面的距离即直线到平面的距离，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）如图，连接交与点，，则是的中点， 因为分别是，的中点，所以， 又平面，平面， 所以平面.    （2）如图，以点为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得，， 所以， 所以点到平面的距离为， 又因为，，所以， 又平面，平面，所以平面， 所以点到平面的距离即直线到平面的距离， 所以直线到平面的距离为. 【变式3-1】（23-24高二上·湖南邵阳·阶段练习）在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则直线到平面的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】如图建立空间直角坐标系，则，， 所以, 设平面的法向量为，则 ，令，则， 因为，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离即为点到平面的距离， 所以直线到平面的距离为 . 故选：D.      【变式3-2】（2023上·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，F为线段的中点． (1)求直线\到直线的距离； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线到直线的距离； （2）转化为到平面的距离,利用点到平面的距离向量法可得答案. 【详解】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系， ，， 因为，所以，即， 所以点到直线的距离即为直线到直线的距离， ，， ，， 所以直线到直线的距离为； （2）因为，平面，平面，所以平面， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离， ,， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，可得， 所以到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 【变式3-3】（2024·广东·三模）如图，边长为4的两个正三角形，所在平面互相垂直，，分别为，的中点，点在棱上，，直线与平面相交于点. (1)证明：； (2)求直线与平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）首先证明平面，再由线面平行的性质证明即可； （2）连接,，以点为原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离公式求解即得. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以， 又平面，平面，则平面， 又平面，平面平面，所以. （2）由（1）知，平面， 则点到平面的距离即为与平面的距离， 连接,，由均为正三角形，为的中点，得， 又平面平面，平面平面平面， 于是平面，又平面，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，又，， 又，可得， 所以，，， 设平面的一个法向量为，则， 令，得， 设点到平面的距离为，则， 所以与平面的距离为. 考点四：求平行平面之间的距离 例4.（23-24高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 【变式4-1】（22-23高一·全国·课后作业）在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量，则，令得，故， 显然平面平面， 所以平面与平面之间的距离． 故选：A 【变式4-2】（21-22高二上·浙江绍兴·期末）空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得，，，设向量与向量、都垂直，由向量垂直的坐标运算可求得，再由平面平行和距离公式计算可得选项. 【详解】解：由已知得，，，设向量与向量、都垂直，则 ，即，取，， 又平面平面，则平面与平面间的距离为， 故选：A. 【变式4-3】（20-21高二·全国·课后作业）在棱长为的正方体中，平面与平面间的距离是 . 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，证明出平面平面，利用空间向量法可求得平面与平面间的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， 设平面的法向量为，，， 由，取，可得， 因为，平面与平面不重合，故平面平面， ，所以，平面与平面间的距离为. 故答案为：. 考点五：求异面直线之间的距离 例5.（23-24高二下·江苏南通·期中）已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 【答案】 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用，可求出两点的坐标，从而可求出答案. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设，， 所以,， 因为MN是异面直线AC与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以，， 所以点M是线段上靠近点的一个三等分点， 点N是线段上靠近点的一个三等分点， 且异面直线与间的距离为.    故答案为：. 【变式5-1】（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 【变式5-2】（2023上·贵州·高二校联考开学考试）定义：与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，公垂线被这两条异面直线截取的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段，两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离，公垂线段的长度可以看作是：分别连接两异面直线上两点，所得连线的向量在公垂线的方向向量上的投影向量的长度.如图，正方体的棱长为是异面直线与的公垂线段，则的长为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据即可求解. 【详解】   如图，以为坐标原点，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系. 由题意得， 则. 设异面直线与的公垂线的方向向量， 则，即，令，得，， 所以异面直线与之间的距离. 故选：C. 【变式5-3】（23-24高二下·江苏淮安·阶段练习）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折叠使得△ACD垂直于底面ABC，则异面直线AD与BC的距离为 ． 【答案】/ 【分析】利用垂直关系，建立空间直角坐标系，利用向量法求异面直线的距离. 【详解】取的中点，连结，， 由条件可知，平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 如图，以点为原点，为轴的正方向，建立空间直角坐标系， ，，，， ，，, 设与垂直的向量为，则 ，令，则，所以， 则异面直线AD与BC的距离为. 故答案为： 考点六：根据距离求其它量 例6.（2023上·河南·高二校联考期中）在（图1）中，为边上的高，且满足，现将沿翻折得到三棱锥（图2），使得二面角为.    (1)证明：平面； (2)在三棱锥中，为棱的中点，点在棱上，且，若点到平面的距离为，求的值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）由二面角定义确定为二面角的平面角，即，根据线面垂直的判定和性质证，再由已知证，最后根据线面垂直的判定证结论； （2）构建空间直角坐标系，向量法求点面距离得到关于的方程，即可求值. 【详解】（1）在题图2中，则为二面角的平面角，即， 又，面，所以平面， 由平面，所以， 题图1中及，所以， 在中，由余弦定理得， 又，所以. 又，面，所以平面. （2）以为坐标原点，以、、（）为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    在中，所以. 所以， 则，令，则， 由，则， 所以且，，， 设平面的法向量为，则， 取，所以，而 所以，解得或（舍去），故. 【变式6-1】（23-24高二下·江苏泰州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到平面距离的向量求法逐项检验可得答案. 【详解】对于A，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故A错误； 对于B，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故B错误；     对于C，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故C错误；     对于D，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故D正确. 故选：D. 【变式6-2】（2024·山西·三模）正方体的棱长为2，分别为的中点，为底面的中心，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量法求解点面距离，即可根据体积公式求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则, , 设平面法向量为， 则，取，则， 故到平面的距离为， 而, 故, 故， 故选：B 【变式6-3】（2022上·贵州遵义·高二统考期中）在空间直角坐标系中，，，，若点到直线的距离不小于，写出一个满足条件的的值： . 【答案】1（答案不唯一，只要即可） 【分析】计算，，根据点到直线的距离公式得到，解得答案. 【详解】因为，， 所以点到直线的距离， 解得. 故答案为：1（答案不唯一，只要即可） 1．（2023上·浙江温州·高二校联考期中）如图，是棱长为1的正方体中，点P在正方体的内部且满足，则P到面的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立合适的坐标系，利用空间向量求点面距离即可. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则，    ，所以， 设平面的一个法向量，所以， 令，即， 故P到面的距离. 故选：A 2．（多选）（22-23高二上·云南临沧·阶段练习）给出以下命题，其中正确的是（    ） A．直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与平行 B．直线的方向向量为，平面的法向量为，则 C．平面的法向量分别为，则 D．已知直线过点，且方向向量为，则点到的距离为 【答案】CD 【分析】由直线，线面平行，面面垂直的向量方法，空间距离的向量求法逐项判断即可. 【详解】对于A，由于直线的方向向量为，直线的方向向量为， 则，故直线和直线不平行，故A错误； 对于B，直线的方向向量为，平面的法向量为， 则，故B错误； 对于C，平面的法向量分别为， 则，故C正确； 对于D，由于，则，方向向量为， 所以，，故，故D正确. 故选：CD. 3．（多选）（23-24高二上·四川成都·阶段练习）已知正方体的棱长为1，点E、O分别是、的中点，P在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点A到直线BE的距离是 B．点O到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点P到直线AB的距离为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，用向量法直接求解可得． 【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系：    则,0,，,0,，,1,，,0,，,1,，,1,，． 所以，，则到直线的距离，故A不正确； 易知，又，，所以，则平面的一个法向量为，则点到平面的距离，故B正确； ，，．设平面的法向量为，则，所以，令，得，，所以，所以点到平面的距离．因为平面平面，所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，即为，故C正确； 因为，所以，，则，所以点到的距离，故D不正确． 故选：BC． 4．（23-24高二下·福建龙岩·期中）已知点，平面的一个法向量为，点在平面外，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用空间向量的距离公式，即可求解. 【详解】由点和，可得， 又由平面的一个法向量为，所以点B到平面PAD的距离为. 故答案为：. 5.（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）直线l的方向向量为，且l过点,则点到直线l的距离为 . 【答案】 【分析】利用空间中点到直线的距离公式计算即可. 【详解】，点到直线l的距离为. 故答案为：. 6．（20-21高二·全国·单元测试）已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得平面ABC的一个法向量，由求解. 【详解】因为点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2）， 所以， 设平面ABC的一个法向量为， 则，即， 令，得，则， 所以， 故选：C 7.（23-24高一下·广西·阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，分别是的中点，是边长为2的等边三角形，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等边三角形三线合一可得，再由侧棱垂直于底面可得面即可得出结论； （2）可由等体积法计算即可得出. 【详解】（1）法一:是等边三角形，且是中点 面，面 面，面，且 面 面 法二：取的中点，则面，可知两两垂直， 如图以为轴，为轴，为轴，则，，，； 所以，，则，即； （2）法一：由题可知：； 在中，，； 取中点，在中，， 边上的高为； ； 设点到平面的距离为，则， 解得，即点到平面的距离为． 法二：，，，， 设面的法向量为，； 设点到面的距离为， 故点到平面的距离为. 8．（23-24高二上·广东湛江·阶段练习）如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截而得到的，其中，，，． (1)求到平面的距离． (2)与平面平行吗？请说明理由． 【答案】(1)； (2)不平行，理由见解析. 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，再利用点到平面距离的向量求法求解. （2）由（1）中坐标系，求出，再利用空间位置关系的向量证明推理即得. 【详解】（1）显然直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，设， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，同理，即四边形为平行四边形，有， 即，解得，即，则， 设平面的法向量，则，取，得， 而，则点到平面的距离为. （2）由（1）知，，而平面的法向量为 由，得与不垂直， 所以与平面不平行. 9．（22-23高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可； （2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可. 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，                     设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面所的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 10．（21-22高二·全国·课后作业）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面，，、、分别是、、的中点．求： (1)直线与平面的距离； (2)平面与平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）证明出平面平面，可得出平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面的距离； （2）利用空间向量法可求得平面与平面的距离． 【详解】（1）解：因为平面，四边形为正方形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 因为、分别为、的中点，则， 平面，平面，平面， 因为且，、分别为、的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面， ，、平面，平面平面， 平面，平面， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得，， 所以，直线与平面的距离为. （2）解：因为平面平面，则平面与平面的距离为. 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