预习03 直线与平面的夹角、二面角（2知识点+7题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教B版2019）

预习03 直线与平面的夹角、二面角 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 直线与平面所成的角 （1）定义 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于．因此，直线与平面所成的角α的范围是． （3）判断方法 若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解． （4）利用空间向量求解 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 知识点2 二面角 （1）二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． （2）用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 【题型1 传统方法求直线与平面的夹角】 1．如图所示，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为平面， 所以为直线与平面所成的角， 在中，. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故选：A 2．已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为 . 【答案】 【详解】取的中点，连接，因为为等边三角形，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 因为正三棱柱的各条棱长都是2， 所以， 所以， 所以直线与平面所成角的正切值为， 故答案为：. 3．在正三棱台中，分别为棱的中点，，四边形为正方形，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知，延长必交于一点， 由可知，分别是的中点， 又点为线段的中点，所以， 因分别为棱的中点，则， 又四边形为正方形，所以，所以， 由于三棱锥为正三棱锥，因此三棱锥为正四面体， 因此直线与平面所成的角即为直线与平面所成角， 取的中心为，连接，则平面， 所以为直线与平面所成角， 设正四面体的棱长为 ， 在中，，， 在中，， 故直线与平面所成角的正弦值为. 故选：B 4．如图，在边长为2的菱形中，，平面，，E，F分别是和的中点，求与平面所成角的正弦值． 【答案】 【详解】过A作于H，连接 ∵平面，平面， ∴，又平面， ∴平面. ∴为与平面所成的角， 在边长为2的菱形中， ，∴为正三角形，又， ∴H为中点，. ∵，∴， ∴. 故与平面所成角的正弦值为. 5．如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m． (1)求证：； (2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）由，可知， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面， 所以． （2）由题知， 因为，所以， 过点P作于点M，连接EM， 由，则， 因为，，，平面，， 所以平面PFC，因为平面，所以， 因为，平面BCFE， 所以平面BCFE，则为直线PE与平面BCFE所成的角， 在中，， 所以直线PE与平面BCFE所成角的正弦值为． 6．如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）如图，连接，因为为的中点，是等边三角形， 所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. （2）由（1），平面，则是直线与平面所成角， 又，且，， ， 因为平面，平面，所以， 所以为直角三角形，为直角， 在中，，，则， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【题型2 利用空间向量求直线与平面的夹角】 7．如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为 . 【答案】 【详解】解法一：如图所示，设是的中点，连接， 则，故与平面所成的角相等， 设为的中点，连接，则， 因为，所以， 因为平面，平面， 所以， 又，，平面，且， 所以平面，又平面 所以平面平面， 因为平面平面， 所以点在平面上的射影， 过点作于点， 因为，平面平面，平面， 所以平面，则即为与平面所成的角． 设，则，由此可得，，则， 由平面，平面，所以， 在中，， 则由等面积法得，， 故，即直线与平面所成角的正弦值为． 解法二：如图所示，过点作平面，垂足为，连接， 则为与平面所成的角． 设，则，则， ，，， 因为，所以， 由解法一得，， 由可得，代入数据得， 故． 解法三（补体法）：如图所示，以平面为底面，为高，将原几何体补成长方体（为该长方体的体对角线）． 设是的中点，则，点在平面上， 又平面，平面， 所以平面平面， 因为平面平面， 所以点在平面上的射影必在上， 过点作于点， 因为，平面， 所以平面， 因此即为与平面所成的角， 设，则，， 在中，． 解法四（向量法）：因为底面，底面， 所以， 又因为，是的中点，所以， 如图所示，以为原点，分别以直线为x轴、y轴、z轴， 建立空间直角坐标系， 设，则，，， 可得，，，， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则由，得，取，得， 设直线与平面所成的角为，则． 8．在四棱柱中，平面ABCD，，，点E，F满足，，则直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为 . 【答案】 【详解】如图，以A为坐标原点，AB、AD、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 故，，， 由，， 所以， 由题知是平面ABCD的一个法向量， 设直线EF与底面ABCD所成角为，则， 即直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为 故答案为： 9．如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为 . 【答案】 【详解】设，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设，，，又， 所以， 则，，， 即， 所以， 设平面的一个法向量为， 又，， 则， 取， 设直线MN与平面所成角为，， 当时，N与上的重合，直线MN在平面内，不合题意， 当时， ， 令，则， 则，时，有最小值6， 所以当，即，即时 故答案为： 【点睛】方法点睛，在求线面角的的正弦值问题时，一般采用空间直角坐标系来完成，所以建系设线段长是本题的关键.关于动点问题，一般我们采用向量共线的方法设出动点坐标，然后借助空间向量的夹角求得线面角. 10．如图，三棱柱中，，，，，平面平面. (1)若，求三棱锥外接球的半径； (2)若平面与平面夹角的正弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：在中，因为， 由余弦定理得，即， 即，解得，则，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为，所以两两垂直，且， 则三棱锥的外接球等价于三棱锥补成的一个长方体的外接球， 设三棱锥的外接球的半径为，可得， 所以， （2）解：由（1）知两两垂直， 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 设平面的法向量为，则， 取，则，所以， 设平面与平面所成的角为， 因为平面与平面夹角的正弦值为，即，则， 则，解得，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角的正弦值. 11．如图，在三棱柱中，是的中点，、均为边长为的正三角形，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）如图，取的中点，连接、， 因为、均为边长为的正三角形， 所以，，且， 同理可得， 又因为，故，所以， 又因为，、平面，所以平面． 又因为平面，所以平面平面． （2）因为平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 由得， ，，， 设是平面的一个法向量， 则，令，则， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【题型3 已知线面角求其他】 12．在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 取中点，因为是棱的中点，故， 又平面，平面，则平面， 故平面即为平面 ， ， 设平面的一个法向量为，即， 令则，即为平面的一个法向量， 线面角的正弦值为. 故选：C 13．在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 设底面正方形边长为， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，可取， 所以， 因直线与平面所成角的余弦值为， 故直线与平面所成角的正弦值为， 所以，解得 故正四棱柱的体积为， 故选：B. 14．如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 【答案】 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，设， ， 设为平面的一个法向量， 可得，即，令，则， 所以， 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得，或舍去， 所以，. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求解. 15．已知正方体的棱长为1，点，分别是线段，上的两个动点，若与底面所成角的度数为，则线段长度的取值范围是 . 【答案】 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 所以，，，，， 由题意可设，，其中， 所以， 显然为平面的法向量， 所以， 化简得， 显然（否则矛盾）， 从而，解得， ， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在上的最小值为，最大值为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于得到，，由此即可得解. 16．如图，棱长为2的正四面体中，为直线上的动点，满足. (1)若，证明：平面平面； (2)若直线与平面所成夹角为，求线段的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）取中点中点，连， 由正四面体，可得， 因为， 所以，所以，所以. 由，可得，所以， 所以，所以. 又因为，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面. （2）方法一： 由（1），，平面， 所以平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面平面，作，垂足为，平面， 则平面， 所以即为直线与平面所成线面角的平面角，即， 因为，所以平面， 所以，所以， 所以. 方法二： 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 过点且与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 设，则， 设平面的法向量为， 则，设，则，， 所以为平面的一个法向量， 设直线与平面所成夹角为， 所以，解得， 当时，，， 当时，，， 所以. 17．如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，点M为棱PD上一点，，O为AC的中点. (1)证明：平面平面MAC. (2)已知，，点N在棱BC上，且，若直线PN与平面MAC所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接BO，DO， 因为，，所以，， 所以B，O，D三点共线，即， 因为，所以，因为PO，平面PBD， 且，所以平面PBD， 因为平面MAC，所以平面平面MAC. （2）由题意得，所以，因为，所以， 又因为，，所以，即， 由（1）知，，所以BD，AC，PO两两相互垂直， 以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，则， 因为，所以，则， 设，所以，则， 设为平面MAC的一个法向量，则 即 取，得，，则， 设直线PN与平面MAC所成角为，则， 整理得，解得或（舍去）， 所以. 【题型4 传统方法求二面角】 18．已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， ，则，，， 因平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：C 19．在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】取的中点为，连接，如下图所示： 因为为等边三角形，，所以，且； 又为等腰直角三角形，，所以，且； 由二面角定义可得即为二面角的平面角， 在中，，，， 由余弦定理可得； 又，所以， 即二面角的大小为. 故选：A 20．如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为 .    【答案】 【详解】因为平面，平面，平面， 所以，，所以是二面角的平面角. 又，则，即二面角的大小是. 故答案为：. 21．如图，在多面体ABCED中，为等边三角形，．点为BC的中点，平面平面ABC. (1)求证：平面BCE； (2)设点为BE上一点，且，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：因为平面平面ABC，且平面平面， 平面ACED， 故平面ABC， 因为平面ABC，所以． 又为等边三角形，为BC的中点，故， 因为， 平面BCE， 故平面BCE. （2）由于平面平面BCE，故， 因为为等边三角形，为BC的中点，故， 所以为二面角的平面角. 因为， 故， 所以， 故二面角的余弦值为. 22．在等腰梯形ABCD中，，，，点E为AD中点（如图1）．将沿BE折起到的位置，点O，F分别为BE，DE的中点（如图2）．      (1)求证：平面平面； (2)当四棱锥体积最大时，求平面和平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由题意，且，则四边形是平行四边形.， 则，又四边形为等腰梯形，则， 由，可得是等边三角形. 如图1，连接， 注意到，，则四边形是平行四边形， 又由，则四边形是菱形，所以是等边三角形， 如图2，由为中点，则，且； 因为平面，平面，， 所以平面，又平面，所以平面平面； （2）当四棱锥体积最大时，则可得平面，所以， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 由（1）易得平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值． 【题型5 利用空间向量求二面角】 23．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意两个边长均为1的正方形与正方形所在的平面互相垂直. 可得， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 在平面上，直线方程为，可设， 在平面上直线方程为，设，因此得， 由得， 则，所以， 当且仅当时，取得最小值，此时分别是的中点， ，，，，， 设平面的一个法向量， 则，取得， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以，由图可知，二面角的平面角为钝角. 所以二面角的平面角的余弦值为. 故选：A 24．如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，，，M为BC的中点，，，．则平面PCD与平面QAB夹角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，，，， 在中，由余弦定理可得， 所以，所以，所以． 又因为，，平面， 所以平面，因为平面，所以． 由于，所以四边形为平行四边形，所以． 又，所以，所以． 因为，所以， 又，，平面， 所以平面，则面． 取中点，连接，由面，面， 则面面，面面， 由得多面体为三棱柱， 设，多面体的体积为， 由题意得，四边形为平行四边形，故，， 则 ， 解得． 由得. 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，    则，． 则平面的一个法向量，且， 设平面的一个法向量，则即取． 设平面PCD与平面QAB的夹角为，则， 所以，即平面与平面夹角的正弦值为． 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是通过线线、线面关系的转化证明平面且面，利用等体积法求出的长，建立空间直角坐标系求解即可得到结果. 25．（多选）如图，为平面与平面的交线，点在平面上，点在平面上．以为原点建立空间直角坐标系，轴已经给出，平面的两个法向量，，平面的两个法向量，，则二面角为（   ）    A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】根据题意作图：    设二面角为， 则根据二面角定义可知，， ，，. 故选：BC. 26．如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 【答案】/ 【详解】连接交于， 在正四棱锥中，可得平面， 以为坐标原点， 分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系 ，如图所示，因为底边，侧棱，则高， 所以，可得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，则， 所以二面角的余弦值为. 故答案为：. 27．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，，，，． (1)证明：平面平面ABCD. (2)求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2). 【详解】（1）证明：取棱CD的中点G，连接EG， 因为，故， 又，， 所以四边形为平行四边形，则， 因为，所以，所以，故， 因为四边形ABCD是矩形，所以， 因为AD，平面ADE，且， 所以平面ADE， 因为平面ABCD， 所以平面平面ABCD. （2）取棱BC的中点M，AD的中点O，连接OM，则OA，OM，OE两两垂直， 以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向， 如图建立空间直角坐标系， 则，，， 则，， 设平面BCF的法向量为， 则，则， 令，可得， 所以为平面BCF的一个法向量， 平面ADE的一个法向量为． 设平面ADE与平面BCF所成的角为， 则． 即平面ADE与平面BCF所成角的余弦值是. 28．已知四棱锥中，二面角为直二面角，，，M为棱上一点. (1)证明：； (2)若M为中点，求二面角的正弦值； (3)若平面，点N在平面上，若直线与平面所成角为，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【详解】（1）由，得，二面角为直二面角，即平面平面， 而平面平面，平面，故平面. 因为平面，所以，又， ，平面，，故平面， 又平面，故. （2）过点S作于点O，连接，由，得. 又，故四边形为平行四边形， 因为，所以，即，故，，两两垂直， 以O为坐标原点，，，所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 故，，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，故为平面的一个法向量， 设平面的法向量的，则 令，则，，故为平面的一个法向量， 则，二面角的正弦值为. （3）若平面，平面，平面平面，则， 由（2）知，故M与O点重合，因为N在平面上， 设，p，，，则， 因为，，，则，， 设平面的法向量，则， 令，则，，故为平面的一个法向量， 故，整理得， 又，故， 由，故， 当且仅当时等号成立，取得最小值为. 【题型6 已知二面角求其他】 29．如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则线段AQ长度的最小值是（ ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】以为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 因为已知是四边形内部一点，所以设， 其中且（即点在平面内部）， 则， 因为轴平面，所以平面的法向量可取， 又因为， 设平面的法向量为， 则，即， 由题易得，令，则， 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以， 即，解得， 所以， 当时，， 所以线段AQ长度的最小值是. 故选：A. 30．四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（ ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【详解】在四面体中，，，则是二面角的平面角，如图， ， 而，，， ， 因为平面与平面的夹角为，则当时，， 当时，， 所以的值可能为和. 故选：D. 31．如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则 . 【答案】 【详解】由二面角的平面角的定义知， 所以. 由，得. 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 32．在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为 ． 【答案】1 【详解】四棱锥的底面是正方形，底面， 建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，， 设平面和平面的法向量分别为， 则，令，得； ，令，得， 依题意，解得，所以. 故答案为：1 33．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，经过的平面分别交，于，两点. (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，平面，平面， 故平面，而平面，平面平面， 故，而平面，平面， 故平面. （2） 取的中点为，的中点为，连接， 因为，，故四边形等腰梯形， 故，而，故，而平面平面， 而平面平面，平面， 故平面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，故， 等腰梯形中，，则， 故， 设，则， 故，故，， 设平面的法向量为，则， 取，而平面的法向量为， 故，故或（舍）. 此时，，同理，故， ， 故梯形的高为， 故梯形的面积为， 而，故到平面的距离为， 故四棱锥的体积为. 34．如图，DE是正的一条中位线，O为线段DE的中点，，将沿DE折起，得到四棱锥，且平面平面ABED． (1)证明：平面ABED； (2)R为棱PB上一点（不包括端点），若平面AOR与平面AOB夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）（1）连接CO． 因为DE为正的中位线，O为DE的中点， 所以，所以， 因为平面平面ABED，平面平面，平面PDE， 所以平面ABED． （2）延长CO交AB于点F，则F为AB的中点， 所以，，所以，， 由（1）可知平面ABED，所以OD，OF，OP两两垂直， 以O为原点，OD，OF，OP所在直线分别为x，y，z:轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设，则， 所以，所以． 设平面AOR的法向量为， 则， 取，得，，所以． 由（1）可知平面AOB，所以为平面AOB的一个法向量． 设平面AOR与平面AOB的夹角为， 则． 化简得，解得或（舍），所以. 35．如图，在等腰直角三角形中，A，D分别为的中点，，将沿折起，使得点R至点P的位置，得到四棱锥. (1)若M为的中点，求证平面； (2)若平面平面，点E在线段上，平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)1或3 【详解】（1）证明：如图，取的中点N，连接，则，且.因为A，D分别为的中点， 所以，且.所以且，所以四边形为平行四边形. 所以.又平面，平面，所以平面. （2）因为平面⊥平面，平面平面，， 所以平面，又，所以两两垂直.如图， 以A为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系.设， 则，， 所以，.设为平面PDE的法向量， 则，令，解得，所以 又平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为θ， 则，解得或，故或. 【题型7 夹角的探索性问题】 36．如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. (1)①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； (2)设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)选条件②，证明见解析； (2)存在，或. 【详解】（1）取AB中点O，连接，因为为棱的中点， 所以，又，则， 若，又，，、平面， 则平面，又平面， 所以有，又①②③④四个条件中， 条件②能使，故选条件②： 证明：，O为中点，所以有， 又，，、平面， 所以平面，又平面， 所以； （2）因为，所以，即为正三角形， 取AB中点O，则有，则由（1）可知平面， 所以是二面角的平面角，故， 设，则， 则点P到底面的距离为，点P在底面的投影落在直线上且与距离为， 以O为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 所以， 分别设平面和平面的一个法向量为， 则，， 取，， 则， 则. 解得或，满足题意， 所以存在点E使得二面角的余弦值等于，当时，；当时，. 【点睛】关键点睛：解决第（2）问的关键是正确建立适当的空间直角坐标系，正确表示点P的坐标. 37．如图，在三棱锥的平面展开图中，，． (1)求的余弦值； (2)在三棱锥的棱上是否存在点，使得平面和平面所成角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，或. 【详解】（1）在中，因为，所以，所以， 在中，因为， 所以，所以． 又因为， 在中，由余弦定理得. （2）因为，即平面， 所以平面，平面内作， 以为原点，、、为、、轴正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示，则，， 设，故， 设平面的法向量，则， 取，则，易得平面的法向量 则平面和平面所成角的余弦值，解得或， 当或时，平面和平面所成角的余弦值为. 38．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱上的动点. (1)若为中点，证明：平面； (2)若，在线段上是否存在点使得面与面夹角余弦值为，若存在，求出点位置，若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）连接，交于点， 因为底面为矩形，故为的中点， 又因为为的中点， 所以， 又平面，平面， 所以平面. （2）底面为矩形，所以， 平面，又平面， ， 如图，以为原点，所在直线为轴、轴，轴建立空间直角坐标系， 由题意得，， 设，设， 所以，可得， 所以， ，，， 设面的法向量为， 则， 取，则， 为平面的一个法向量， 设面的法向量为， 则， 取，则， 可取， 设面与面夹角为， 则， 化简得，即， 解得或（舍）， 所以在线段上存在点使得面与面夹角余弦值为，此时，即点为（靠近点）的三等分点. 39．如图在四棱锥中，，，，，，，是的中点. (1)试在上确定点的位置，使、、、四点共面，并证明； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得半平面与半平面所成二面角的余弦值为，若存在，求，若不存在，说明理由. 【答案】(1)为中点，证明见解析 (2) (3)存在， 【详解】（1）取中点，连接、， 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，则，所以，当为的中点时，、、、四点共面. （2）取中点，连接、， 因为，，则，所以，， 则为等腰直角三角形，所以，，且， 因为，，为的中点，则且， 所以，四边形为平行四边形，所以，， 又因为，所以，则， 因为，则，所以，，， 因为，、平面，所以，平面， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 所以，点到平面的距离为. （3）假设在棱上存在点满足题设条件， 设点，，， 设平面的一个法向量为，则  ， 取，则，，故， ，， 设平面的一个法向量为，则， 取，则，，故， 设半平面与半平面所成二面角的平面角为，为锐角， 所以， 所以，即，（舍去）， 此时，，则， 故在棱上存在点，当时， 半平面与半平面所成二面角的余弦值为. 40．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. (1)求线段的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在， 【详解】（1）由底面平面， 故，又底面是矩形，故， 故AD、AB、PA两两垂直， 故可以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、， 设，则， 则， 由，则， 解得，即； （2）， 设平面的一个法向量， 因为，可得， 令，则，所以， ， 设平面的一个法向量， 可得， 令，则，所以， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）（3）设， 则， 因为与平面所成角的正弦值为，设AN与平面所成角， 所以， 所以所以或， 因为所以，所以. 一、单选题 1．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，二面角的平面角为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【详解】解法一：过点作交于点，连接，分别取线段、的中点、， 连接、、，如下图所示： 因为四边形为正方形，则， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以，， 在正四棱锥中，，，， 所以，所以， 因为，，，所以，故， 所以为等腰三角形，且为锐角，因为，故， 因为，为的中点，所以， 因为，，、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 因为，故， 因为，，，所以，则， 故为等腰三角形，且为锐角，由二面角的定义可知， 因为四棱锥的底面是正方形，即， 因为，所以， 由余弦定理可得，， 故， 因为余弦函数在上为减函数，故，故选：A. 解法二：分别取线段、的中点、，连接、、，如下图所示： 因为，为的中点，所以， 因为，，、分别为、的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，则， 因为，故， 故为等腰三角形，且为锐角，由二面角的定义可知， 过点在平面内作，垂足为点， 因为，，，、平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，、平面，所以平面， 故与平面所成的角即为二面角的平面角， 则与之间的比较就可以看作与平面所成的线面角和直线与直线所成的角之间的比较， 由于在平面内，故由最小角定理得. 故选：A. 2．已知圆台的上､下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆台的母线长为，则圆台的表面积，即， 故圆台的高为， 根据线面角定义求出母线与底面所成角， 所以圆台的母线与底面所成的角的正切值为． 故选：D． 3．已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方法一：如图2，分别取，，的中点，连接， 则，， 从而或其补角为异面直线与所成的角，易知,， 则由余弦定理得， 从而直线与直线夹角的余弦值为，故选：D． 方法二：以为坐标原点，过且与平面垂直的直线为轴，，所在直线分别为轴，轴，建立空间直角坐标系，如图3， 则，，，，，，， 故所求两直线夹角的余弦值为， 故选：D． 4．如图，在直三棱柱中，，，，E是的中点，则直线AB与平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意知CA，CB，两两垂直，以，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量为， 因为，， 所以令，得， 因为，所以， 故直线AB与平面所成角的正弦值为．    故选：D. 5．如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】以为坐标原点，建系如图， 因为二面角的平面角大小为， 所以的轨迹是过点的一条直线， 又因为Q是四边形ABCD内部一点（包括边界）， 所以的轨迹是过点的一条线段， 设以的轨迹与轴的交点坐标为， 由题意可得, 所以, 因为平面，所以平面的一个法向量为, 设平面的法向量为， 所以令则 所以， 因为二面角的平面角大小为， 所以，解得， 所以当在线段BC上时，面积最大，最大值为， 所以面积的取值范围是， 故选:D. 二、多选题 6．直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】ABD 【详解】根据向量表示的线线，线面的位置关系可知，AB正确； 设直线与平面所成角为，则，所以，故C错误； 若，则，所以，故D正确. 故选：ABD 7．如图，正方体，下列说法正确的是（    ） A．点P在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变 B．点P在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变 C．点P在直线上运动时，二面角的大小不变 D．点P在直线上运动时，三棱锥的体积不变 【答案】CD 【详解】如图，以为原点，建立如图空间直角坐标系，不妨设. 则,，，，，，. 所以，，，， 因点在直线上运动，那么，则. 则； 对于A：因为不是定值，故A错误； 对于B：因为，，即，， 又，平面，所以平面， 所以为平面的法向量， 所以不是定值，故B错误； 对于C：设平面的法向量为. 则，令，则. 又平面的法向量为， 设二面角为，则，为定值， 所以二面角的大小不随点在上的运动而改变，故C正确； 对于D：因为，因为的面积为定值， 根据正方体的性质可知，平面，平面，所以平面. 所以当点在直线上运动时，点到平面的距离， 即三棱锥的高不变，所以三棱锥的体积不变，故D正确. 故选：CD 三、填空题 8．如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为 ：二面角的大小为 . 【答案】 【详解】由题意，在长方体中， 四边形是边长为的正方形，且与平面所成角为， 所以平面， 因为平面, 所以, 故与平面所成角为, 所以为等腰直角三角形，且, 所以. 又因为,且平面平面, 所以二面角为. 故答案为：①；②. 9．如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为 . 【答案】 【详解】以为坐标原点，以为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，正方体的棱长为，则， ， . ， 解得（舍去）. 故答案为：. 10．在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 . 【答案】/0.4 【详解】因为底面，平面， 所以，， 又底面是边长为1的正方形， 所以， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，故， 设平面的法向量为， 则， 解得，令，则，故， ， PB与平面PCD的夹角正弦值为. 故答案为： 11．如图，在长方体中，，，点在棱上．若二面角的大小为，则的坐标为 ，点到平面的距离 【答案】 【详解】设，平面的法向量为． 由题可知，，，，则，．易知平面的一个法向量为． ∵为平面的法向量，∴， 令，则，又二面角的大小为， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴，，又，∴． 故答案为：； 四、解答题 12．如图，在长方体中，，为的中点，求二面角的正切值. 【答案】 【详解】过作于，则，且为中点， ∵是长方体，故平面， ∴平面，过作于，连结，则（三垂线定理） 我们也可以通过空间垂直的转化证明如下： 证明：因为平面，而平面，故， 而，平面，故平面， 而平面，故. 故为二面角的平面角. ∵，故，∴ ， 而，在中，， ∴所求二面角的正切值为. 13．如图，在三棱锥中，，，，点E为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【详解】（1）取中点，连接，则， 因为，所以， 因为为中点，所以， 因为平面，所以平面， 又平面，所以． （2）因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面， 又平面，所以， 由（1）知，所以两两垂直． 以点为坐标原点，直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的一个法向量，则有，即， 令，则，，所以． 设直线与平面所成的角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 14．在如图所示的几何体中，平面是的中点，． (1)求证:平面； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：取的中点G，连接， 因为F是的中点，所以， 因为，所以． 又因为，所以四边形是平行四边形，所以， 在中，，，有， 因为平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又因为，所以平面． （2）由题可知直线两两垂直，则以C为原点，直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，不妨设， 则， 所以，设是平面的一个法向量， 则， 令，得，， 所以是平面的一个法向量，， 平面的一个法向量为，设二面角的大小为， 则， 所以， 所以二面角的正弦值为． 15．如图，在四棱柱中，四边形为菱形，，，，是侧棱上的一点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)1 【详解】（1）连接，设的交点为，连接； 因为，，所以与全等，所以， 因为底面为菱形，所以，且为的中点，所以, 因为平面，所以平面，又平面，所以. （2）因为四边形是边长为2的菱形，且, 所以，. 因为，且为的中点，所以. 因为，所以,所以，. 由（1）知，因为，平面，所以平面; 设点C到平面的距离为， 因为，所以,解得. 因为平面，所以点到平面的距离为. （3）因为直线与平面所成角的正弦值为，所以,即. 过E作平面,垂足为F,连接，则点在的延长线上, ,从而, 设,则； 因为四边形为菱形,且,所以,所以, 由余弦定理可得, 则,解得,故. 16．如图，在直三棱柱形状的木料中，是棱的中点，过上底面内一点E在上底面所在平面内作一条直线与垂直.    (1)画出直线说明作法和理由； (2)当E为重心时，求直线l与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）如图所示，连接，在上底面过点作直线即可， 因为面，所以，    根据作法知， 又因为在平面上， 所以平面， 所以. （2）依题两两垂直 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， ， ∴，∴， ∴直线l的一个方向向量为，    设为平面的法向量， ，即，可取， 从而， 所以直线l与平面夹角的正弦值为. 17．直三棱柱中，，，点E在棱上，． (1)证明：； (2)若平面平面，点Q是上异于点B的动点． （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）证明：由直三棱柱得平面， 又平面，所以， 设，连接，同理可得， 由， 在中，， 所以，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以， 又，平面，所以平面， 又平面，所以． （2）（i）证明：由直三棱柱得， 又平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以， 又平面，平面，所以平面． （ii）以点为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则, 所以， 因为，所以设，则， 设平面的一个法向量为， 由，取，则， 设直线与平面所成角为， 则， 因为，所以， 所以． 18．如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点. (1)求证：； (2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正切值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，且三棱锥的体积为 【详解】（1）在图①中，由题意可知，四边形为正方形，且， 在②中，，，且，、平面， 所以平面， 因为，所以平面，因为平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. （2）由（1）知，平面， 因为平面，所以平面平面， 因为、平面，所以，， 所以，二面角的平面角为，即， 因为，所以为等边三角形，所以， 取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，且， 设为的中点，则可以以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 则，，，， 设，则， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， 记直线与平面所成角为，则， 由可得， 则， 即，， 因为，解得，故， 所以. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 预习03 直线与平面的夹角、二面角 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 直线与平面所成的角 （1）定义 一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角． （2）规定 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角等于；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角等于．因此，直线与平面所成的角α的范围是． （3）判断方法 若直线与平面斜交，可在斜线上任取一点作平面的垂线，找出直线在平面内的射影，从而确定出直线和平面所成的角，一般转化到直角三角形、等边三角形中求解． （4）利用空间向量求解 设直线l与平面所成的角为θ，l的方向向量为，平面α的法向量为，则 注意：①范围为；②直线与平面所成的角等于其方向向量与平面法向量所成锐角的余角． 知识点2 二面角 （1）二面角的概念 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形． 画法 记法 二面角或 二面角的平面角 ①；②；③， 则二面角的平面角是． （2）用向量运算求平面与平面所成的角 平面与平面相交，形成四个二面角，把不大于的二面角称为这两个平面的夹角．设平面α与平面β的夹角为θ，两平面的法向量分别为，则 注意：①范围为；②两平面的夹角是两法向量的夹角或其补角． 【题型1 传统方法求直线与平面的夹角】 1．如图所示，在正四棱柱中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 2．已知正三棱柱的各条棱长都是2，则直线与平面所成角的正切值为 . 3．在正三棱台中，分别为棱的中点，，四边形为正方形，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在边长为2的菱形中，，平面，，E，F分别是和的中点，求与平面所成角的正弦值． 5．如图1，已知在中，，，，E，F分别是AB，AC上的点，，将沿EF翻折至，连接PB，PC，得到如图2所示的四棱锥，若平面PEF与平面PBC相交于直线m． (1)求证：； (2)当时，求直线PE与平面BCFE所成角的正弦值． 6．如图，在四面体中，是等边三角形，平面平面，点为棱的中点，，，． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【题型2 利用空间向量求直线与平面的夹角】 7．如图所示，在三棱锥中，，，是的中点，且底面，则直线与平面所成角的正弦值为 . 8．在四棱柱中，平面ABCD，，，点E，F满足，，则直线EF与底面ABCD所成角的正弦值为 . 9．如图，在正方体中，M为线段BD的中点，N为线段上的一动点含端点，则直线MN与平面所成角的正弦值的最大值为 . 10．如图，三棱柱中，，，，，平面平面. (1)若，求三棱锥外接球的半径； (2)若平面与平面夹角的正弦值为，求直线与平面所成角的正弦值. 11．如图，在三棱柱中，是的中点，、均为边长为的正三角形，且. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【题型3 已知线面角求其他】 12．在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 13．在正四棱柱中，侧棱，直线与平面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于（   ） A． B． C． D． 14．如图，在长方体中，，，点为线段的中点，点是棱上一点，若直线与平面所成角的正弦值为，则 ． 15．已知正方体的棱长为1，点，分别是线段，上的两个动点，若与底面所成角的度数为，则线段长度的取值范围是 . 16．如图，棱长为2的正四面体中，为直线上的动点，满足. (1)若，证明：平面平面； (2)若直线与平面所成夹角为，求线段的长度. 17．如图，在四棱锥P-ABCD中，，，，点M为棱PD上一点，，O为AC的中点. (1)证明：平面平面MAC. (2)已知，，点N在棱BC上，且，若直线PN与平面MAC所成角的正弦值为，求的值. 【题型4 传统方法求二面角】 18．已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ） A． B． C． D． 19．在四面体中，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，斜边，，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 20．如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为 .    21．如图，在多面体ABCED中，为等边三角形，．点为BC的中点，平面平面ABC. (1)求证：平面BCE； (2)设点为BE上一点，且，求二面角的余弦值. 22．在等腰梯形ABCD中，，，，点E为AD中点（如图1）．将沿BE折起到的位置，点O，F分别为BE，DE的中点（如图2）．      (1)求证：平面平面； (2)当四棱锥体积最大时，求平面和平面的夹角的余弦值． 【题型5 利用空间向量求二面角】 23．如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．动点M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且．当MN的长最小时，二面角的平面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 24．如图，在体积为5的多面体ABCDPQ中，底面ABCD是平行四边形，，，M为BC的中点，，，．则平面PCD与平面QAB夹角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 25．（多选）如图，为平面与平面的交线，点在平面上，点在平面上．以为原点建立空间直角坐标系，轴已经给出，平面的两个法向量，，平面的两个法向量，，则二面角为（   ）    A． B． C． D． 26．如图，在正四棱锥中，底边，侧棱，为侧棱上一点，若平面，则二面角的余弦值是 . 27．如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，，，，． (1)证明：平面平面ABCD. (2)求平面ADE与平面BCF所成角的余弦值． 28．已知四棱锥中，二面角为直二面角，，，M为棱上一点. (1)证明：； (2)若M为中点，求二面角的正弦值； (3)若平面，点N在平面上，若直线与平面所成角为，求的最小值. 【题型6 已知二面角求其他】 29．如图，在四棱锥中，已知：平面，，，，已知是四边形内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则线段AQ长度的最小值是（ ） A． B．2 C． D．4 30．四面体中，，，，，，平面与平面的夹角为，则的值可能为（ ） A．5 B． C． D． 31．如图，二面角的大小为是棱上两点，，且，，则 . 32．在四棱锥中，底面是正方形，底面，若二面角的大小为，则的值为 ． 33．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，经过的平面分别交，于，两点. (1)证明：平面； (2)若二面角的大小为，求四棱锥的体积. 34．如图，DE是正的一条中位线，O为线段DE的中点，，将沿DE折起，得到四棱锥，且平面平面ABED． (1)证明：平面ABED； (2)R为棱PB上一点（不包括端点），若平面AOR与平面AOB夹角的余弦值为，求的值． 35．如图，在等腰直角三角形中，A，D分别为的中点，，将沿折起，使得点R至点P的位置，得到四棱锥. (1)若M为的中点，求证平面； (2)若平面平面，点E在线段上，平面与平面夹角的余弦值为，求线段的长. 【题型7 夹角的探索性问题】 36．如图，在三棱锥中，二面角的大小为，，为棱的中点. (1)①②③④从上述四个条件中，选出一个能证明的选项，并证明； (2)设，点为上一点，是否存在点使得二面角的余弦值等于？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由. 37．如图，在三棱锥的平面展开图中，，． (1)求的余弦值； (2)在三棱锥的棱上是否存在点，使得平面和平面所成角的余弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 38．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面为棱上的动点. (1)若为中点，证明：平面； (2)若，在线段上是否存在点使得面与面夹角余弦值为，若存在，求出点位置，若不存在，说明理由. 39．如图在四棱锥中，，，，，，，是的中点. (1)试在上确定点的位置，使、、、四点共面，并证明； (2)求点到平面的距离； (3)在棱上是否存在点，使得半平面与半平面所成二面角的余弦值为，若存在，求，若不存在，说明理由. 40．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面，为边CD的中点，且. (1)求线段的长； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上（不含端点）是否存在点，使直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．已知四棱锥的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段上的点（不含端点），设与所成的角为，二面角的平面角为，则（    ） A． B． C． D．无法确定 2．已知圆台的上､下底面半径分别是1和2，且该圆台的表面积为，则圆台的母线与底面所成的角的正切值是（    ） A． B． C． D． 3．已知直三棱柱的棱长均为2，则异面直线与夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在直三棱柱中，，，，E是的中点，则直线AB与平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 5．如图，在四棱锥中，已知：平面ABCD，，，，已知Q是四边形ABCD内部一点（包括边界），且二面角的平面角大小为，则面积的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．直线的方向向量为，平面的法向量，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则直线平面 B．若，则直线平面 C．若，则直线与平面所成角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 7．如图，正方体，下列说法正确的是（    ） A．点P在直线上运动时，直线与直线所成角的大小不变 B．点P在直线上运动时，直线与平面所成角的大小不变 C．点P在直线上运动时，二面角的大小不变 D．点P在直线上运动时，三棱锥的体积不变 三、填空题 8．如图，长方体中，是边长为1的正方形，与平面所成的角为，则棱的长为 ：二面角的大小为 . 9．如图所示，在棱长为的正方体中，是棱的中点，，若异面直线和所成角的余弦值为，则的值为 . 10．在四棱锥中，底面，底面是边长为1的正方形，，则直线PB与平面PCD所成角的正弦值为 . 11．如图，在长方体中，，，点在棱上．若二面角的大小为，则的坐标为 ，点到平面的距离 四、解答题 12．如图，在长方体中，，为的中点，求二面角的正切值. 13．如图，在三棱锥中，，，，点E为的中点. (1)求证：； (2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值. 14．在如图所示的几何体中，平面是的中点，． (1)求证:平面； (2)求二面角的正弦值． 15．如图，在四棱柱中，四边形为菱形，，，，是侧棱上的一点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. (3)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长度. 16．如图，在直三棱柱形状的木料中，是棱的中点，过上底面内一点E在上底面所在平面内作一条直线与垂直.    (1)画出直线说明作法和理由； (2)当E为重心时，求直线l与平面所成的角的正弦值. 17．直三棱柱中，，，点E在棱上，． (1)证明：； (2)若平面平面，点Q是上异于点B的动点． （i）证明：平面； （ii）求直线与平面所成角的正弦值的取值范围． 18．如图①所示，四边形是直角梯形，，，且，为线段的中点.现沿着将折起，使点到达点，如图②所示；连接、，其中为线段的中点. (1)求证：； (2)若二面角的大小为，则在线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正切值为？若存在，求三棱锥的体积；若不存在，请说明理由. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$