江苏南通市如皋市长江高级中学2025-2026学年高一下学期数学冲刺期末小题练习7

**基本信息** 聚焦高一数学期末高频考点，以立体几何、解三角形、平面向量、三角函数为核心模块，通过基础判断、计算推理、综合应用题型，系统覆盖知识逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |立体几何|4题（2,8,10,11）|线面关系判断、体积计算、轨迹问题|从线面平行/垂直概念到空间几何体体积公式，再到动态轨迹综合应用| |解三角形|3题（3,5,13）|正余弦定理应用、范围问题|由边角关系建立方程，结合锐角三角形性质推导取值范围| |平面向量|4题（4,6,7,9）|投影向量、数量积、基底判断|从向量数量积定义到投影计算，再到向量共线与基底性质应用| |三角函数|2题（1,12）|化简求值、最值问题|通过三角恒等变换化简，结合函数性质求最值|

高一数学备课组 对核心概念及方法理解感悟内化 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习7 1.已知，则（   ） A． B． C． D．3 2．下列命题正确的个数为（    ） （1）如果直线，那么平行于经过的任何平面 （2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行 （3）如果直线，和平面满足，，那么 （4）如果直线，和平面满足，，，那么 A．1 B．2 C．3 D．4 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B．-2 C．或-2 D．或-2 5．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B．9 C． D．1 6.在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7（多选）．已知，，，，是平面向量，则下列选项中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则，可以作为平面内的一组基底 C．若，，则在上的投影向量为 D．若，，，则 8.（多选）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P是侧面内的动点不含边界，下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点P，使得平面 C．若正方体棱长为2，P为侧面的中心，则四棱锥的外接球体积为 D．若正方体棱长为2，O为线段A1D的中点，OP与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 9.已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 10.如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面，是的中点，则异面直线与所成角是 ________   11.用一张长，宽的矩形铁皮围成圆柱体的侧面，则这个圆柱体的体积=________ 12.若函数在时取得最小值，则的值为______. 13．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___________. 江苏省如皋市长江高级中学2025-2026学年度下学期高一数学冲刺期末小题练习7解析版 1.已知，则（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【详解】由题干 ，计算 ，得 所以.所以 2．下列命题正确的个数为（    ） （1）如果直线，那么平行于经过的任何平面 （2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行 （3）如果直线，和平面满足，，那么 （4）如果直线，和平面满足，，，那么 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】（1）如果直线，那么平行于经过的任何平面，错误， 理由如下：还有可能在经过的平面内； （2）如果直线与平面满足，那么直线与平面内的任何直线平行，错误， 理由如下：直线与平面内的直线平行或异面； （3）如果直线，和平面满足，，那么，错误， 理由如下：直线，还可能相交或异面； （4）如果直线，和平面满足，，，那么，正确，理由如下： 若，则存在使得，又，所以. 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，，，可得 ，所以，. 4．已知平面向量，，若在上的投影向量为，则的值为（    ） A． B．-2 C．或-2 D．或-2 【答案】D 【详解】由于在上的投影向量为, 又，所以，，解得或-2. 5．设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（    ） A． B．9 C． D．1 【答案】C 【详解】因为，由正弦定理可得， 且，即， 整理可得，所以. 6.在平面直角坐标系中，原点，已知，，是线段AB上的动点（含端点），且为的中点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图： 设（）， 则， 又，所以. 所以，（）. 所以当时，取得最小值，为；当时，取得最大值，为. 所以.故选：A 7（多选）．已知，，，，是平面向量，则下列选项中，正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则，可以作为平面内的一组基底 C．若，，则在上的投影向量为 D．若，，，则 【答案】BC 【详解】对于A：当，、不平行时，满足，，得不出，故A错误； 对于B：，，所以、不共线，、可作为平面内的一组基底，故B正确；对于C：因为，，所以， ， 所以在上的投影向量为，故C正确； 对于D：，，， ，故D错误． 故选：BC． 8.（多选）已知正方体ABCD－A1B1C1D1，点P是侧面内的动点不含边界，下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为定值 B．存在点P，使得平面 C．若正方体棱长为2，P为侧面的中心，则四棱锥的外接球体积为 D．若正方体棱长为2，O为线段A1D的中点，OP与平面所成角为，则点P的轨迹长度为 【答案】AC 【详解】对于选项A：因为平面平面， 可知点P到平面的距离为正方体棱长，设为， 所以三棱锥的体积为，故A正确； 对于选项B：因为为正方形，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得，同理可得：， 且，平面，可得⊥平面， 但点P是侧面内，即点P不与点C重合， 所以不存在点P，使得⊥平面，故B错误； 对于选项C：因为P为侧面的中心，，则， 又因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 由平面，可得，取的中点，可得， 又因为，可得，即， 可知三棱锥的外接球的球心为，半径， 所以三棱锥的外接球体积为，故C正确； 对于选项D：取的中点，连接， 可知∥，且，因为平面，则平面， 可知OP与平面所成角为，则， 可知点P在平面内的轨迹为圆（虚线所示）， 点P在侧面内的轨迹为四段圆弧（实线线所示）， 取的中点，则，即，则， 结合对称性可知：点P的轨迹长度为，故D错误；故选：AC. 9.已知，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】由于与的夹角为钝角，则且与不共线， ，，，解得且， 因此，实数的取值范围是，故答案为：. 10.如图，在直三棱柱中，底面是正三角形，侧棱底面，是的中点，则异面直线与所成角是 ________   【答案】 【详解】因为，且面，所以面，而因为面， 所以，又因为为正三角形，且为中点，所以， 且，因此面，而面， 所以，即异面直线与所成角为. 11.用一张长，宽的矩形铁皮围成圆柱体的侧面，则这个圆柱体的体积=________ 【答案】 【详解】设圆柱的底面半径为 ,若圆柱的高为，则，即，所以圆柱的体积，若圆柱体的高为 ，则，即，所以圆柱的体积，故答案为 或 . 12.若函数在时取得最小值，则的值为______. 【答案】 【详解】对于函数， 其中，，．当时，函数取得最小值， ∴，即，∴． 则，解得故答案为：． 13．已知锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是___________. 【答案】 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 整理可得：，即， 在锐角三角形中，，即，即， 又因为，得，所以， 所以， 因为，所以.故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $