江苏省邗江中学2025-2026学年高一下学期期末模拟数学试卷

**基本信息** 高一年级期末模拟数学试卷以文化传承（太极八卦图）、生活应用（消防竞赛）为情境，通过基础巩固（如百分位数计算）、能力提升（如翻折立体几何）、创新应用（如概率与统计综合）的梯度设计，考查数学眼光（空间观念）、思维（推理能力）及语言（数据意识）。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|统计（百分位数）、向量（投影）、立体几何（圆柱）|第8题以正八边形八卦图考向量运算，体现文化传承| |填空题|3/15|概率（独立事件）、三角恒等变换|第14题翻折问题结合外接球，考查空间观念| |解答题|5/77|统计与概率（消防竞赛）、解三角形（面积与中线）、立体几何（二面角）|16题消防竞赛数据分析，19题翻折后二面角计算，综合考查数据意识与推理能力|

参考答案 题号 1 2 x 6 6 7 8 9 10 答案 C ⊙ c A D D D C ACD BCD 题号 11 答案 ABD 11 12. 4 13.v3 2sin 【详解】 osx=sinx+ 4π 9,可得 2sincossinxcoscosi 9 9 π.π】 2sin 4 -sinπ 2sin V3co 所以tanx= 9 9 3+g厂sing 9=5 cos 9 cos 9 cos 9 P 14.9 【详解】连接BD,交AC于点O,交AE于点F,连接PF,PO, 设正方形ABCD的边长为a, 因为ABCD为正方形，所以△ACD沿对角线AC折叠的过程中， 点D(即点P)在底面上的射影一直在直线BD上， 又点P在平面ABC上的射影在直线AE上， 所以点F即为点P在平面ABC上的射影，即PF⊥平面ABC, 因为FOC平面ABC,所以PF⊥FO, 因为0为对角线AC、BD的交点，所以O4=OA=0C=OD o4=oa=0-om-。 ，所以O为三棱锥P-ABC外接球的球心， 2 则三棱锥P-ABC外接球的半径r=OP=)a,则4r2=4πx人 2 =8π 2 解得a=2. 因为O为AC的中点，E为BC的中点，所以F为△ABC的重心， 则am-0m-92- 3， 在R△PFO中，PF-OP-Or-号，即三棱链P-ABC的高为 则楼P-AC的作颗少-apF-令22号-8 B 15.【详解】(1)AC=B+D=m+方 2,cF-债+列 6 391 4+×2x3x-9 2 6 2-2, 4C=Vm+=vm++2mi=4+9+2x2×3×号=19 ）2 4 3 +22 4 3 2 所以cos∠CMr=cosC,.EF=4C. 2 3V57 AC EF V19xV338 (0.010+0.015+0.020+0.025+m)×10=1 16.【详解】(1)由题知 ，解得m=0.030 估计本次竞赛的平均成绩为 (50×0.010+60×0.020+70×0.030+80×0.025+90×0.015)×10=71.5 (2)因成绩在45,5)、[S59内的学生人数之比为001：0.015=2：3， 则从成绩在45,5 内的学生中抽取2人，设为a,b, 从成统在59内的学生中轴取3人，设为5de, 设事件A=“从这5人中随机拍取2人，这2人成绩都在859时]内”， 则样本空间n={《a,b.(a,c.(ad.(ae).(,c.么d).么e.(ed).(c,e.(d,e} 则n(2)=10 事件A包合的基本事件有《e,,c)(a,e以，有a(4)=3。 P(A)= n(A)3 则 n(2)10, 故从这5人中随机抽取2人，这2人成绩都在[85,95]内的概率为10 (3)设4，A,分别表示事件甲在两轮答题中答对思，2题，8，品 ‘分别表示事件乙在 两轮答题中答对1题，2题， 则Pa)-5号会. 4216 (4)-5)25, P)-.a)--. 设1=“两轮活动甲、乙共答对3题”，则1=(4B,)(4B), 又48与48互斥，4与B,A与8分别相互独立， B 则P0=48)-P(4=P)P+P4P)-名2号-动 21 因此，甲、乙在两轮答题比赛中共答对3题的概率为50· 17,、f因）=m:n3sic0s=cosx3sm2x-1+c02=sim2x6} 2 2 由w-分m48副分m248副1 ea同4-g,24-84- 由 3, 其中c0sB 1 <B< 7,则2 sinB=4v3 , 7, 由0b·可得sm87x的 sin A 3=8 sin A sin B 2 由a=b+c2-2 bccosA,.则64+c2-8e=49, c2-8c+15=0 ，可得 所以c=3或c=5.cos B=4+C一b<0 2ac ,则a2+c2<b2,即c2<15, 综上，c=3,故三角形的周长为a+b+c=18: (②)2知im1=5 2,又△ABC的面积为23，则2 bcsinA=2y ,解得bc=8, 又E=(B+AC),则 E=4(a丽+aC2+2丽.aC)4e++2cosd）=4e+公+c) ≥2ac+be)-4 x3bc=6, 当且仅当b=c时，等号取到，所以A≥6→A正≥V6, 即△ABC边BC上中线AE长的最小值为N6 a b 5 =2 (3)由正弦定理可知：sinA sinC sinB√3 2 a+b+c=3+2sinB+2sinC=3+2sinB+2sin 因此有 (3 =+2sinB+2sin 2 cosB-2cos2 sinB 3 -3+2sinB+2x 2cosB+2×2sinB =3+3sinB+3cosB=2/3sinB++3 6 0<B<T 2 由于。 < 2元Dπ’T<B<<B+π2π 3 26 63 可得2 <sin B+ (26,因此a+b+c∈(3+V3,33] 3bcos A=asin B 18.【详解】(1)因为 ，所以根据正弦定理得V5 sin=sin4snB 化简得sin Bsin4-V5cosA)=0 因为sinB≠0，所以simA-V5cos4=0 所以m4=5,因为0<4<元，所以A=号 (2)如图， S.4BC=S.ABD+S.4CD 所以besin A=-2 eADsin∠BAD+bAD-sin∠CAD, 1 1 化简得：3bc=2c+2b①. 根据余弦定理得a2=b2+c2-2 bccosA=b2+c2-bc=4②， ①②联立方程组解得：(b+c-3c=(b+c-2b+c)=4 +e=2±4+4x4=1±N5 解得 ,又b+c>0,所以b+c=1+V5 所以△ABC的周长为+b+c=2+1+V5=3+V5 M D (3)令三角形ABC内切圆半径为h, 因为8uc=Saw+5aw+5w-cesn于5c 34 SM+CMS.CM=b 2 3 4 3bc 解得h=1,1 2b+.c+12b+2c+4: 2 2 元1 sin-= “62,所以 AM =2h=- 3bc 因为AM b+c+2. 根据余弦定理得：a=2+c2-2 becos A=-B2+d2-bc=(b+c}-3bc=4 a04,kw-9片9c. +-4=c≤9 解得2<b+c≤4， 0.25 综上，AM的取值范围为 3 19.【详解】(1)证明：在梯形ABCD中，AB/1CD,AB=BC=AD=2,CD=4,E 为CD的中点， 所以AB/ICE,且AB=CE=BC, 则四边形ABCE为菱形，所以AE=BC, 则AD=AE=DE=2,所以△ADE为等边三角形，翻折后△PAE为等边三角形，且 PA=PE=2, 因为F为M证的中点，放PF1LE,PF=5 同理，四边形ABED为菱形，△ABE为等边三角形， BF⊥AE,BF=V3 在△PFB中， PF=3 BF=3PB=6 ,又 ,则PF+BF=PB,所以PF⊥BF 因为AE∩BF=F,AE,BFc平面ABCE, 所以PF⊥平面ABCE. 又PFC平面PAE,故平面PAE⊥平面ABCE. PM 1 (2)(i)PC2 理由如下： 如图，连接AC,与BF,GE分别交于点O,N,连接PQ,MN. 因为F,G分别为AE,BC的中点，四边形ABCE为菱形， 所以四边形BGEF为平行四边形，所以BF/GE 又BFC平面PBF,GE￠平面PBF,所以GEII平面PBF 因为G为BC的中点，所以GN为△BCQ的中位线，所以N为CQ的中点， 因为平面PBF1平面MEG,平面PBFA平面PAC=PO,平面MEGn平面PAC=MN, PM 1 所以PQIIMN,所以M为CP的中点，即PC=2 (i)由(2)(i)可知，点M的位置唯一确定，即M为PC的中点 由(I)可知，PF⊥AE,BF⊥AE,且PFOBE=F,PF,BFc平面PBF, 所以AE⊥平面PBF. 又AEIIBC,所以BC⊥平面PBF 又PBC平面PBF,则BC⊥PB, 所以C=B+ac-i而，则班=PC= 2 2 在△PEC中，PE=CE=2,PC=V0,则 M ME=CE-CM2 =6 , 又BE2=MB2+ME2,所以MB⊥ME 如图，过M作MH⊥BE于点H, √610 由等面积法可知，MH=MEMB_2X2-5 BE 2 4 在△PBE中， PE=BE=2 PB=6 ,则边PB上的高为 设点M到平面PBE的距离为d, 则=m=水m=hs8c×0×F-写2xx9; 32 22 3 3 = 15 以写×PBhd,所以 所以3×2 PB-h x10 5 2 设二面角P-BE-M的大小为a, d4 则sina=MH5 故二面角P-BE-M的正弦值为5 高一年级期末模拟数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在一个文艺比赛中，10位观众评委给同一名选手的打分依次为：82，84，80，93，85，87，89，88，91，88，这组数据的第80百分位数为（   ） A．88 B．89 C．90 D．91 2．若非零向量满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．已知圆柱的轴截面是面积为100的正方形，则该圆柱的侧面积为（    ） A． B．200 C． D． 4．已知袋子里有大小和质地完全相同的4个球，其中3个红球，1个黄球，从中不放回地依次随机摸出2个球，则两次都是红球的概率是（   ） A． B． C． D． 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．在中，角的对边分别是，若，则的面积为（    ） A． B．1 C．5 D． 7．四棱锥中，底面为边长为3的正方形，平面，与底面成角，，分别为棱，上靠近点的三等分点，则异面直线，所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 8．中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是（    ） A．若某人打靶时连续射击两次，则事件“至少一次中靶”与“两次都没中靶”是对立事件 B．若学校田径队有49名运动员，其中男运动员有28人，现按性别进行分层随机抽样，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，则女运动员应抽取8人 C．设一组数据的平均数为x，方差为：，若将这组数据的每一个数都乘以2得到一组新数据，则新数据的平均数为2x，方差为 D．设A和B是两个概率大于0的随机事件，若A和B相互独立，则A和B一定不互斥 10．中，内角，，的对边分别为，，，为的面积，且，，下列选项正确的是（    ） A． B．若，则有两解 C．若为锐角三角形，则取值范围是 D．若为边上的中点，则的最大值为 11．在棱长为2的正方体中，点满足，则下列结论正确的是（   ） A．当时， B．若且，则当取得最小值时， C．当时，平面截正方体所得的截面的面积为 D．若点在以的中点为球心，为半径的球面上，则点的轨迹的长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机事件A、B相互独立，且，则__________；__________． 13．已知是实数，若，则的值为 14．如图，在正方形中，为的中点，将沿直线折起至处，使得点在平面上的投影在直线上，若三棱锥外接球的表面积为，则三棱锥的体积为________.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．如图，在平行四边形中，，，，点满足，为的中点.记，. (1)用，表示，； (2)设，求的值. 16．某校为促进学生对消防知识及火场自救知识的学习，组织了《消防知识及火场自救知识》竞赛活动，对所有学生的竞赛成绩进行统计分析，制成如图所示的频率分布直方图（各区间分别为，，，，）． (1)根据频率分布直方图，估计本次竞赛的平均成绩；（每组数据用所在区间的中点值作代表） (2)按人数比例用分层随机抽样的方法从竞赛成绩在和内的学生中抽取人，再从这人中随机抽取人，求这人成绩都在内的概率； (3)从竞赛成绩在内的学生中选取甲、乙人，组队参加全市中学生消防知识答题比赛，每轮由两人各答一题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，每轮活动中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，求甲、乙两人在两轮答题比赛中共答对题的概率． 17．已知，，，设的内角，，所对的边分别为，，，且. (1)若，，求的周长； (2)若的面积为，为边的中点，求长的最小值； (3)若，求锐角周长的取值范围. 18．已知内角的对边为，点是的内心，若． (1)求角； (2)延长交于点，若，求的周长； (3)求的取值范围． 19．如图，在梯形中，，，，为的中点，将沿翻折至的位置，使点落在点的位置，且，，分别为，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若线段上存在点，使得平面平面， （i）猜想的值，并说明理由； （ii）求二面角的正弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $