期末应用题 长方体和正方体（专项练习）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦长方体和正方体的棱长、表面积、体积核心考点，通过公式应用与情境转化构建解题方法体系，逻辑链条从概念到应用层层递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |棱长计算|2题|总棱长公式L=12a，拼接后棱长减少规律|从正方体棱长特征到公式应用| |表面积计算|10题|分类计算（全表面积、无盖、侧面积），切割后表面积变化分析|从6个面到特殊面（如通风管、无盖容器）的拓展| |体积计算|10题|体积公式V=abh，单位换算，铸造问题体积不变原理|从规则体积到实际容积的应用| |不规则体积测量|3题|排水法（水面变化求体积）|转化思想，将不规则体积转化为规则长方体体积| |切割与拼接|3题|拼接减少棱长、切割增加表面积的规律分析|空间观念培养，几何直观的实际应用|

期末应用题 长方体和正方体（专项训练）-2025-2026学年五年级下册数学人教版 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 1．用一根108分米长的铁丝焊成一个最大的正方体框架（接口处忽略不计），若为这个框架的各个面贴上彩纸，至少需要多少平方分米的彩纸？ 2．一个长方体的牛奶包装盒，长7厘米，宽4厘米，高10厘米。做这样一个包装盒至少需要多少平方厘米的硬纸板？这个纸盒能装下268毫升的牛奶吗？ 3．在一张长25分米、宽20分米的长方形铁皮的四个角上各剪去一个边长是5分米的正方形，然后折成一个长方体无盖铁盒，这个铁盒的容积是多少？（铁皮厚度忽略不计） 4．包装蛋糕：一个长方体蛋糕盒长30厘米、宽25厘米、高20厘米，用丝带按“十”字捆扎（打结用25厘米），至少需要多长的丝带？ 5．一个长方体铁皮通风管从上面看如图1所示，从正面看如图2所示，制作这个通风管至少需要多少铁皮？ 6．笑笑、乐乐、洛洛和阳阳四人学习了有趣的测量后，张老师让他们尝试测量一个不规则物体的体积，他们进行的实验步骤如下： ①笑笑准备了一个长和宽都是8厘米，高是15厘米的长方体玻璃缸； ②乐乐往缸里倒入一些水，此时水面距离玻璃缸口5厘米； ③洛洛把一个红薯完全浸没入水中，此时水面高度是14立方厘米； ④阳阳把红薯取出，这时水面高度是10厘米。 你能根据以上信息，计算这个红薯的体积是多少吗？ 7．今年春晚舞台上有一个巨大的长方体LED显示屏（如图），长20米、宽0.5米、高15米。为了保证显示屏的散热和安装需要，工作人员要给这个显示屏除了与舞台接触的底面的其他五个面都安装散热装置，请问安装散热装置的面积是多少平方米？ 8．如图所示，有一个棱长为40厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同、棱长为2厘米的小正方体后。请问：挖后的表面积是多少平方厘米? 9．用两个正方体木块拼成一个长方体，棱长之和减少了24分米。这两个正方体木块原来的棱长总和是多少？ 10．一张长方形铁皮，长25分米，宽20分米。在这张长方形铁皮的四个角各切掉一个边长是5分米的正方形，然后折成一个长方体铁盒。这个铁盒的容积是多少升？ 11．乐乐做实验：上午9：00她往一个无盖长方体玻璃缸中（见左下图）注水，水的流量是5立方分米/分，到9：08停止注水。再将一个正方体铁块放入缸中，发现铁块没入水中，乐乐把实验过程的数据表示成右下图。 (1)这个长方体玻璃缸的占地面积是多少？ (2)铁块的体积是多少？ 12．某海岛战士为解决岛上淡水缺乏问题，和当地居民共同修建了一个长20米，宽12米，深1.8米的淡水蓄水池。这个蓄水池最多可蓄水多少立方米？ 13．把下图的木块平均分成两块，两块木块的表面积的和比原来木块的表面积增加了多少平方厘米？    14．顺丰快递的工作人员用尼龙绳加固一个长方体（如图），所用的尼龙绳总长是多少？（接头处忽略不计，单位：厘米） 15．“水立方”与“鸟巢”被称为2008北京奥运会的两大标志性建筑，你知道吗？在“水立方”内有一个国际标准的长方体游泳池，它的长是50米，宽25米，深2.5米。 (1)如果沿着游泳池走一圈，一共要走多少米？ (2)如果给游泳池的四周和池底铺上瓷砖，铺瓷砖的面积是多少平方米？ 16．五一节小林和爸爸去海边游玩，在海边捡到了一块漂亮的珊瑚石。这块珊瑚石的体积是多少呢？拿着珊瑚石，他想起了在数学课上学到的知识，于是找来了一个长方体的玻璃容器倒入一些水，把珊瑚石放入水中，测量出了几个数据（如下图）。请你帮小林算一算，这块珊瑚石的体积是多少？ 17．铺路队用80立方米的石粉来给一条宽8米的公路铺路，如果平均铺设8厘米厚，求用这些石粉能铺多长的公路？ 18．一块长8米的长方体钢材，它的横截面的面积是25平方分米，如果每立方米钢板重7.6吨，这块钢板重多少吨？ 19．聪聪送给明明一个生日礼物，并用彩带扎好（如图），蝴蝶结处的彩带长4厘米，要包装这个礼盒一共用彩带多少厘米？ 20．水上乐园新建了一个露天游泳池，长30米，宽25米，深1.8米。 （1）这个游泳池占地面积是多少平方米？ （2）给这个游泳池的底面和四周贴上瓷砖，贴瓷砖的面积是多少平方米？ （3）要使游泳池的水深1.2米，需要注入多少立方米的水？ 21．景德镇瓷器是江西省特产，被誉为“瓷之源、瓷之魂”。下图是一种包装盒，把这样的4盒景德镇瓷器放入一个礼品盒（上面无盖）。（礼品箱的厚度忽略不计） （1）做这个礼品箱至少需要多少平方厘米的纸板？ （2）这个礼品箱的体积最少是多少立方分米？ 22．一个长方体集装箱，长12米，宽和高都是24分米，平均每立方米装化肥0.5吨，这个集装箱共装这种化肥多少吨？ 23．在制作零件时，需要在一个长方体实心铁块的上面中心处挖一个深为3厘米的正方体凹槽（如图），待制作完成后把铁块完全浸没在装满水的容器中，这时会溢出多少毫升水？ 24．王老师要做一个无盖长方体玻璃鱼缸。请你观察下图，回答问题。（单位：分米） （1）帮王老师想一想，还需要一块什么样的玻璃，才刚好做好一个鱼缸。 （2）在鱼缸内注入144升水，水深大约几分米？（玻璃厚度忽略不计） （3）如果再往水里放入鹅卵石、水草和鱼，水面上升了5厘米。这些鹅卵石、水草和鱼的体积一共是多少立方厘米？ 25．一个长方体有一对面是正方形，它的展开图如下图所示，计算这个长方体的体积。 26．有一个棱长是60厘米的正方体钢块，把它铸造成一根长50厘米，宽30厘米的长方体钢柱。这根钢柱的高是多少米？ 参考答案 1．486平方分米 【分析】根据正方体的总棱长公式：L＝12a，据此求出正方体框架的棱长，再根据正方体的表面积公式：S＝6a2，据此代入数值进行计算即可。 【详解】108÷12＝9（分米） 9×9×6 ＝81×6 ＝486（平方分米） 答：至少需要486平方分米的彩纸。 【点睛】本题考查正方体的总棱长和表面积，熟记公式是解题的关键。 2．276平方厘米；能装下 【分析】已知长方体牛奶包装盒长7厘米，宽4厘米，高10厘米。根据长方体表面积公式S＝（ab＋ah＋bh）×2（a为长，b为宽，h为高），代入数据计算即可得到这个包装盒至少需要的硬纸板。根据长方体体积公式V＝abh（a为长，b为宽，h为高），把数据代入公式可得出纸盒的体积，然后再把单位换算为毫升，再比较即可。 【详解】（7×4＋7×10＋4×10）×2 ＝（28＋70＋40）×2 ＝（98＋40）×2 ＝138×2 ＝276（平方厘米） 7×4×10＝280（立方厘米） 1立方厘米＝1毫升 280立方厘米＝280毫升 280毫升＞268毫升 答：做这样一个包装盒至少需要276平方厘米的硬纸板，这个纸盒能装下268毫升的牛奶。 3．750立方分米 【分析】根据题意，折成的长方体铁盒的长是（25－5×2）分米，宽是（20－5×2）分米，高是5分米，根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，代入数据计算即可。 【详解】25－5×2 ＝25－10 ＝15（分米） 20－5×2 ＝20－10 ＝10（分米） 15×10×5 ＝150×5 ＝750（立方分米） 答：这个铁盒的容积是750立方分米。 【点睛】求出长方体铁盒的长、宽、高以及掌握长方体的体积（容积）计算公式是解题的关键。 4．215厘米 【分析】 如图所示，丝带的总长度＝长×2＋宽×2＋高×4＋打结处丝带的长度，把题目中的数据代入计算，即可求得。 【详解】30×2＋25×2＋20×4＋25 ＝60＋50＋80＋25 ＝110＋80＋25 ＝190＋25 ＝215（厘米） 答：至少需要215厘米长的丝带。 5．720平方厘米 【分析】观察图1，是长方体铁皮通风管的底部，因为通风管是上下贯通的，所以铁皮的面积不包括上下两个底面积，结合图2，长方体的长和宽为9厘米，高为20厘米，根据长方体的表面积公式，计算出4个侧面的面积即可得解。 【详解】9×20×2＋9×20×2 ＝360＋360 ＝720（平方厘米） 答：制作这个通风管至少需要720平方厘米的铁皮。 【点睛】此题的解题关键是灵活运用长方体的表面积公式求解。 6．256立方厘米 【分析】红薯的体积等于红薯取出前后水变化的体积，水的体积相当于长8厘米、宽为8厘米，高为（14－10）厘米的长方体的体积，长方体体积＝长×宽×高，据此列式计算。 【详解】8×8×（14－10） ＝64×4 ＝256（立方厘米） 答：红薯的体积是256立方厘米。 7．625平方米 【分析】根据题意，安装散热装置的面积是这个长方体上面和四周的面积之和。上面的面积＝长×宽，前后两个面的面积＝长×高×2，左右两个面的面积＝宽×高×2。 【详解】20×0.5＋20×15×2＋0.5×15×2 ＝10＋600＋15 ＝625（平方米） 答：安装散热装置的面积是625平方米。 8．9624平方厘米 【分析】在角上挖掉一个小正方体，表面积没有变化；在棱上挖掉一个小正方体，表面积会增加左右2个面；在面上挖掉一个小正方体，表面积会增加上下左右4个面。分别求出原来正方体的表面积和增加的面积，便可求出挖后的表面积。 【详解】40×40×6＋2×2×6 ＝9600＋24 ＝9624（平方厘米） 答：挖后的表面积是9624平方厘米 【点睛】分别确定在角上、棱上、面上各挖掉一个小正方体后表面积的变化情况是解答此题的关键。 9．72分米 【分析】正方体有12条棱，两个正方体拼成长方体后，棱长减少了8条，所以减少的24分米是8条棱长的长度，先求出每条棱长，再求两个正方体的棱长和。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： 24÷8＝3（分米）    3×12×2 ＝36×2 ＝72（分米） 答：这两个正方体木块原来的棱长总和是72分米。 10．750升 【分析】根折成的长方体的长是25分米减去两个5分米，宽是20分米减去两个5分米，高是5分米，然后根据计算容积即可。 【详解】（分米） （分米） （立方分米） 750立方分米＝750升 答：这个铁盒的容积是750升。 【点睛】本题考查的是长方体的体积（容积）计算，这里求出长方体的长、宽、高是求解问题的关键。 11．(1)20平方分米 (2)10立方分米 【分析】（1）用长方体玻璃缸的长乘宽即可求出占地面积； （2）放入铁块后水面高度是2.5分米，用玻璃缸的底面积乘水面的高度求出水和铁块的体积和，然后减去8分钟注水的体积即可求出铁块的体积。 【详解】（1）5×4＝20（平方分米） 答：这个长方体玻璃缸的占地面积是20平方分米。 （2）20×2.5－5×8 ＝50－40 ＝10（立方分米） 答：铁块的体积是10立方分米。 12．432立方米 【分析】根据长方体的容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可。 【详解】20×12×1.8 ＝240×1.8 ＝432（立方米） 答：这个蓄水池最多可蓄水432立方米。 【点睛】本题考查长方体的容积，熟记公式是解题的关键。 13．96平方厘米 【分析】根据题意可知，木块平均分成两块，表面积增加了2个长方形面，长方形的长为8厘米，宽为6厘米，根据长方形的面积公式，用6×8×2即可求出增加的表面积。 【详解】6×8×2＝96（平方厘米） 答：两块木块的表面积的和比原来木块的表面积增加了96平方厘米。 【点睛】本题主要考查了立体图形的切拼，注意表面积增加了哪些面。 14． 【分析】围绕在纸箱四周的尼龙绳长度是长方体的4个长、4个宽和4个高，据此将其计算出来，即是需要的长度。 【详解】 答：所用的尼龙绳总长是720cm。 【点睛】本题考查了长方体的特征，有一定的空间观念，能明确尼龙绳长的组成部分是解题的关键。 15．(1)150米 (2)1625平方米 【分析】（1）求沿泳池走一圈的长度，就是求泳池底面长方形的周长，根据长方形周长公式：周长＝（长＋宽）×2，将长50米、宽25米代入即可解答。 （2）求铺瓷砖的面积，是求长方体无盖时的表面积，根据无盖长方体表面积公式：表面积  ＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，把长50米、宽25米、深2.5米代入公式，分别求出池底和四周的面积再求和。 【详解】（1）（50＋25）×2 ＝75×2 ＝150（米） 答：一共要走150米。 （2）50×25＋（50×2.5＋25×2.5）×2 ＝1250＋（125＋62.5）×2 ＝1250＋187.5×2 ＝1250＋375 ＝1625（平方米） 答：铺瓷砖的面积是1625平方米。 16．96立方厘米 【分析】看图，放入珊瑚石后，水面上涨了（7－5）厘米。水面上涨部分的体积就是珊瑚石的体积。水面上涨部分形成了一个长方体，根据“长方体体积＝底面积×高”列式计算出珊瑚石的体积即可。 【详解】8×6×（7－5） ＝48×2 ＝96（立方厘米） 答：这块珊瑚石的体积是96立方厘米。 17．125米 【详解】8厘米=0.08米 80÷8÷0.08=125（米） 18．15.2吨 【分析】根据长方体体积＝底面积×高，求出这块长方体钢材的体积，再乘7.6吨，求出这块钢板重量。 【详解】25平方分米＝0.25平方米 0.25×8×7.6 ＝2×7.6 ＝15.2（吨） 答：这块钢板重15.2吨。 【点睛】此题是有关长方体体积的应用，解答时注意数量单位的统一。 19．106厘米 【分析】如图所示，要包装这个礼盒，需要的彩带的长度为礼盒的2个长，2个宽和4个高，加上蝴蝶结处长度4厘米，由此计算即可。 【详解】20×2＋15×2＋8×4＋4 ＝40＋30＋32＋4 ＝70＋32＋4 ＝102＋4 ＝106（厘米） 答：这个礼盒一共用彩带106厘米。 20．（1）750平方米；（2）948平方米；（3）900立方米 【分析】（1）求这个游泳池占地面积，只与游泳池的底面面积有关，与其它面的大小没有关系，利用长方形的面积计算即可解决； （2）给这个游泳池的底面和四周贴上瓷砖，所以只求5个面的总面积，根据长方体的表面积公式解答，即可求出贴瓷砖的面积； （3）需要注入多少立方米的水，根据长方体的体积公式解答。 【详解】（1）30×25＝750（平方米） 答：这个游泳池占地面积是750平方米。 （2）30×25＋30×1.8×2＋25×1.8×2 ＝750＋108＋90 ＝948（平方米） 答：贴瓷砖的面积是948平方米。 （3）30×25×1.2＝900（立方米） 答：需要注入900立方米的水。 【点睛】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 21．（1）1256平方厘米 （2）4.16立方分米 【分析】（1）将4个长10厘米、宽8厘米、高13厘米的长方体放入礼品盒中，则纸盒的最小尺寸是长20厘米、宽16厘米、高13厘米，由于礼品盒是无盖，则至少需要纸板面积＝（长×高＋宽×高）×2＋长×宽，据此计算得出答案； （2）根据长方体体积＝长×宽×高，计算可得出答案。 【详解】（1）根据题意将4个瓷器放入礼品盒中，则礼品盒的长为10×2＝20厘米，宽为8×2＝16厘米，高为13厘米。则至少需要纸板面积为： （20×13＋16×13）×2＋20×16 ＝（260＋208）×2＋20×16 ＝468×2＋20×16 ＝936＋320 ＝1256（平方厘米） 答：做这个礼品箱至少需要1256平方厘米的纸板。 （2）体积最少为： 20×16×13＝4160（立方厘米）＝4.16立方分米 答：这个礼品箱的体积最少是4.16立方分米。 22．34.56吨 【详解】24分米=2.4米 12×2.4×2.4×0.5=34.56（吨） 23．333毫升 【分析】容器中溢出的水的体积相当于铁块零件的体积，铁块零件的体积等于长方体实心铁块体积减去棱长为3厘米的正方体体积，根据长方体、正方体体积公式，找到对应数据计算求解即可。 【详解】15×6×4－3×3×3 ＝360－27 ＝333（立方厘米） 333立方厘米＝333毫升 答：这时会溢出333毫升水。 24．（1）一块长8分米、宽6分米的玻璃 （2）3分米 （3）24000立方厘米 【分析】（1）由于鱼缸无盖，共需5个面，观察后可知，还缺一个长8dm，宽6dm的底面； （2）根据长方体的容积（体积）公式：V=sh，那么h=V÷s，据此解答； （3）根据题意可知：放入鹅卵石后，上升部分水的体积等于这些鹅卵石的体积，根据长方体的体积公式：V=sh，把数据代入公式解答。 【详解】（1）答：还缺一块长8分米、宽6分米的玻璃 （2）144÷（8×6） ＝144÷48 ＝3（分米） 答：水深大约3分米。 （3）8dm=80cm，6dm=60cm 80×60×5 ＝4800×5 ＝24000（立方厘米） 【点睛】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 25．96立方分米 【分析】观察图形可知，长方体的宽和高相等，2条高＋1条宽＝12分米，用12÷3即可出宽或者高，也就是4分米，2条长＋2条高＝20分米，用（20－4×2）÷2即可求出长，然后根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出长方体的体积。 【详解】12÷3＝4（分米） （20－4×2）÷2 ＝（20－8）÷2 ＝12÷2 ＝6（分米） 6×4×4＝96（立方分米） 答：这个长方体的体积是96立方分米。 26．1.44米 【分析】根据正方体的体积公式求出正方体的体积，铸造成长方体钢柱后，但体积不变，用长方体的长乘宽计算出长方体的底面积，用正方体的体积除以长方体的底面积即可计算出钢柱的高。 【详解】60×60×60÷（50×30） ＝216000÷1500 ＝144（厘米） 144厘米＝1.44米 答：这根钢柱的高是1.44米。 【点睛】此题的解题关键是抓住体积不变，根据体积公式，用正方体的体积除以长方体的底面积即可求出长方体的高。 学科网（北京）股份有限公司 $