江苏省苏州市姑苏区2025-2026学年八年级下册期末数学模拟试卷

**基本信息** 立足苏科版八年级下册核心内容，融合统计概率、方程几何等模块，通过生活情境与创新题型考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|必然事件、方程根、分式性质等|如1题结合三角形内角和考必然事件，4题考查总体样本概念，夯实基础| |填空题|8/24|实数运算、阴影面积估算、因式分解拼图|10题用计算机模拟试验估算面积，体现数据意识；12题通过图形拼合考因式分解，培养几何直观| |解答题|11/82|统计分析、概率计算、几何变换、利润模型|20题结合软件使用调查考统计，25题以书店进货考利润模型（模型观念）；27题融合正方形旋转与生态情境，考查推理能力与应用意识|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：130分） 【答案】 1.   2.   3.   4.   5.   6.   7.   8.   9.   10.   11.   12.   13.   14.   15.   16.   17. 解： ； ．  18.     19. ；．  20.     全年级师生共人，其中经常使用“”和“豆包”的总人数为  21.    22. 【小题】 证明： ， 四边形 是平行四边形， 四边形 是平行四边形，  ，  ， 四边形 是矩形，  ， 四边形 是菱形； 【小题】 解：四边形 是矩形，  ， 四边形 是菱形，  ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ，  ， 设 与 间的距离为  ．  ．   23. 【小题】   【小题】   24. 【小题】 如图，分割如下： 【小题】 如图，过点作边的垂线，垂足为，则四边形是矩形，，设，则，，在中，，，，即，解得，即的长为．   25. 【小题】 解：设种图书的标价为元，则种图书的标价为元， 根据题意可得， 化简得：，解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则种图书的标价为：元， 答：种图书的标价为元，种图书的标价为元； 【小题】 设购进种图书本，种图书本，总利润为元，种图书的标价为元， 由题意得：解得：， 则总利润 故当时，时，总利润最大， 即种图书购进本，种图书购进本时，利润最大； 当时，，无论值如何变化，总利润均为元， 即购进、两种图书共本，种图书在到本之间，总利润不变，均为元； 当时，时，总利润最大， 即种图书购进本，种图书购进本时，利润最大．   26. 解：如图，四边形是矩形，，， ，， 、分别是、的中点， ，， ， ， ， 四边形是矩形， 为中点，为中点， ， ， ， 的长是． 证明：如图，连接，作于点，于点， ，， ， ，， ，，， ，， ， ， ∽， ， ， 设，， ，， ， ，，，， ， ， ． 解：如图，作于点，于点， ， 四边形是矩形， ， ， ∽， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 线段的值是．  27. 【小题】 【小题】 三条线段、、之间满足的数量关系为； 理由如下： 如图，过点作，且，连接、． 则． ． 四边形是正方形， ． ， 四边形是平行四边形． ． ． 在与中 ，    ． ，． ，， ． 在与中 ． ． 在中，由勾股定理得：， 即． 【小题】 如图，把矩形补成正方形，延长交于，连接，则． 四边形是矩形， ． ． ． ． ． 设，则， 四边形是正方形，， 由的证明知，． 在中，勾股定理得：， 即， 解得： 即的长为．   【解析】 1. 解：、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； C、掷一枚骰子，向上一面的点数是，是随机事件，不符合题意； D、购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意； 故选：． 根据事件发生的可能性大小判断． 本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2. 解：根据一元二次方程根的判别式逐项分析判断如下： A、由题意得， 方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； B、由题意得， 方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； C、由题意得，， 方程无实数根，故此选项符合题意； D、由题意得， 方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； 故选：． 利用判别式逐一判断即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 3. 【分析】 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质进行求解是解决本题的关键． 应用分式的基本性质进行计算即可得出答案． 【解答】 解：根据题意，、的值同时扩大倍， ． 所以分式的值不变． 故选：． 4. 解：该调查从个芯片中抽取个进行检测，只调查了部分个体，是抽样调查，不是全面调查，故A说法错误，不符合题意； 总体是个新型芯片的运行效率，不是个新型芯片本身，故B说法错误，不符合题意； 样本是被抽取的个芯片的运行效率，不是个芯片本身，故C说法错误，不符合题意； 样本容量指样本中包含的个体数目，本题抽取了个芯片，即样本容量是，故D说法正确，符合题意． 故选：． 根据调查分类，总体，样本，样本容量的定义逐一判断即可． 本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 5. 解：将整式展开得， 又， ， 将，代入得，符合条件， ， 故选：． 先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键． 6. 解：矩形纸片的边，， 设， 四边形是矩形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，即． 故选：． 设，根据折叠性质可知，用表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 本题考查翻折变换，正确进行计算是解题关键． 7. 解：过点作于点，如图所示： 平分， ， 直线于点， 于点，即， 又于点， 根据角平分线性质得：， 四边形是正方形， ，， ， 在中，， ， ， 直线， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 又， ， ， ， 的面积为：． 故选：． 过点作于点，根据角平分线性质得，证明和全等得，再证明，，进而由三角形的面积公式可得的面积． 此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 8. 解：连接，如图， 四边形为正方形， ，，，， 边顺时针旋转得到， ，， ， ， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， 点、在以为直径的圆上， ，， ， ，， ∽， ． 故选：． 连接，如图，先利用正方形的性质得到，，，，再根据旋转的性质得到，，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，所以，接着证明为等边三角形得到，于是可计算出，再利用圆周角定理可判断点、在以为直径的圆上，所以，，从而得到，然后证明∽，则利用相似比可得． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 9. ，，，解得，，． 10. 解：点落在不规则图案上的频率稳定在， 点落在不规则图案上的概率为． 估计阴影部分面积约为． 故答案为：． 根据频率估计概率解答即可． 本题考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11. 解：由条件可知，，即， ． 故答案为：． 根据一元二次方程的定义得出，由一元二次方程根与系数关系得出，整体代入即可得到答案． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程两根之和为，两根之积为． 12. 解：由图可得： 大长方形的面积为， 还可以表示为：， 因式分解为：， 故答案为：． 由图可知拼成的大长方形面积为，再进行因式分解即可． 此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是先求出大长方形的面积． 13. 解：原方程去分母得：， 该分式方程有增根， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 将原方程去分母后化为整式方程，再将增根代入后解得的值即可． 本题考查分式方程的增根，熟练掌握其定义是解题的关键． 14. 解：矩形中，，， ，，， ， 由作图过程知平分，则， ， ， 又， ≌， ，则， ， ∽， ，即， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 先根据矩形的性质以及勾股定理得到，，，再由作图过程知平分，进而证明≌，，则，再证明∽求得，然后利用勾股定理求解，再根据相似比，求得． 本题考查矩形的性质、勾股定理、角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题． 15. 解：过点作于点，连接，如图所示： ， 四边形是平行四边形，， ，， 点是的中点，且， ， 设，则， 由折叠性质得：，，， 在和中，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ，， ， ， ． ， ，， ， ， ． ， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的面积为：， ， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， ． 故答案为：． 过点作于点，连接，由平行四边形性质得，再由点是的中点得，设，则，由折叠性质得，，，在和中，由勾股定理得，进而得，再由平行线的性质可证明，进而得，继而可得平行四边形的面积为，则的面积为，然后根据可得的面积为， 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行四边形的性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，平行四边形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 16. 解：如图，连接并延长交于点，连接， 在菱形中，， ，， 是的中点， ， ≌， ， 是的中点， ， 要使有最小值， 即最小， 当时，最小， 过点作于点，此时点和点重合，，如图， 在菱形中，，，则， 点是的中点， ， ， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 连接并延长交于点，连接，根据三角形中位线定理可得，要使有最小值，即最小，当时，最小，过点作于点，此时点和点重合，然后利用含度角的直角三角形即可解决问题． 本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 17. 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可； 先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可． 18. 解： ； ． 先将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； 先计算二次根式除法，再利用完全平方公式展开平方项，最后合并同类项得到结果． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 19. 解：原式 ； ，， ， 原式． 将括号内的式子通分并计算，然后算除法，最后将符合题意的的值代入计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20. 本次被调查的师生共：人， 人， ； 故答案为：；； “”部分所对应扇形的圆心角度数是， 故答案为：； 人， 答：全年级师生共人，其中经常使用“”和“豆包”的总人数为． 用的人数除以的人数所占的百分比即可得到总人数，总人数的频率即可求出，用总人数减去的人数即可求出的人数，然后除以总人数，即可得出； 用乘所占比例可得答案； 全校人乘样本中和人数所占比例即可得到结论． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 21. 解：有，，，四张卡片， 抽到的卡片上是“中考必胜”的概率为； 故答案为：； 根据题意，列表如下： 由列表可知：共有种等可能的结果，其中他们抽到卡片刚好可以组成“中考必胜，一举夺魁”的结果共有种， 他们抽到卡片刚好可以组成“中考必胜，一举夺魁”的概率为． 由题意知，共有种等可能的结果，其中卡片上是“中考必胜”的结果有种，结合概率公式可得答案； 列表可得出所有等可能的结果以及抽到卡片刚好可以组成“中考必胜，一举夺魁”的结果，再利用概率公式可得答案． 本题考查了列表法或树状图法求概率，熟练掌握该知识点是关键． 22.   本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先由对角线互相平分的四边形 是平行四边形，再由矩形的性质得出 ，即可得出结论；  由矩形的性质得出 ，由菱形的性质得出 ，由勾股定理求出 ，则 ，设 与 间的距离为 ，然后由菱形的面积公式即可得出结果． 23.  略   的“对偶式”是，  而  又，． 解：，，，，  解得． 24.  略  略 25.   先设出两种图书的标价，再根据购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少本，建立分式方程，解方程并检验即可；   先设出购进每种图书的数量，通过题中“备注”中的条件列出一元一次不等式组求出种图书的数量应不少于，不多于本，再通过其利润表达式建立其关于的关系式，利用一次函数的性质分类讨论得出如何进货才能获得最大利润． 26. 先由三角形的中位线定理求得，再证明四边形是矩形，得，再求得，即可根据勾股定理求得； 连接，作于点，于点，则，即可推导出，，进而证明，再证明∽，得，所以，设，，根据勾股定理得，，则，所以，即可证明； 作于点，于点，则四边形是矩形，可证明∽，得，再由，，，得，则，所以，，得，则，而，由勾股定理得，，则． 此题重点考查矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 27.   由旋转的性质可得，证，从而得，则可得，从而可求得正方形的边长； 四边形是正方形， ，． 由旋转得：， ，，，． ． 、、在同一直线上． ，， ． ． 即． ． 在与中 ． ． ， ． ． 在中，由勾股定理得：， ． ． 故答案为：．   过点作，且，连接、，可证明，则可得，；再证明，可得，在中，由勾股定理即可得三条线段、、之间满足的数量关系；   把矩形补成正方形，延长交于，连接由，可求得、的长，设，则可得，由的证明知，，由勾股定理建立方程即可求得的值，即的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级下册+一元二次方程+相似三角形。。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）。 1.下列事件中，是必然事件的是(    ) A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是 D. 购买一张彩票，中奖 【答案】A  【解析】解：、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； B、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； C、掷一枚骰子，向上一面的点数是，是随机事件，不符合题意； D、购买一张彩票，中奖，是随机事件，不符合题意； 故选：． 根据事件发生的可能性大小判断． 本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 2.下列方程中，无实数根的方程是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据一元二次方程根的判别式逐项分析判断如下： A、由题意得， 方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； B、由题意得， 方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； C、由题意得，， 方程无实数根，故此选项符合题意； D、由题意得， 方程有两个不相等的实数根，故此选项不符合题意； 故选：． 利用判别式逐一判断即可． 本题考查了根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 3.将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值(    ) A. 扩大倍 B. 缩小到原来的 C. 保持不变 D. 无法确定 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质进行求解是解决本题的关键． 应用分式的基本性质进行计算即可得出答案． 【解答】 解：根据题意，、的值同时扩大倍， ． 所以分式的值不变． 故选：． 4.国内某芯片企业为测试自主研发的个新型芯片的运行效率，从中随机抽取个芯片进行质量检测下列说法正确的是(    ) A. 该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B. 个新型芯片是总体 C. 个芯片是抽取的一个样本 D. 样本容量是 【答案】D  【解析】解：该调查从个芯片中抽取个进行检测，只调查了部分个体，是抽样调查，不是全面调查，故A说法错误，不符合题意； 总体是个新型芯片的运行效率，不是个新型芯片本身，故B说法错误，不符合题意； 样本是被抽取的个芯片的运行效率，不是个芯片本身，故C说法错误，不符合题意； 样本容量指样本中包含的个体数目，本题抽取了个芯片，即样本容量是，故D说法正确，符合题意． 故选：． 根据调查分类，总体，样本，样本容量的定义逐一判断即可． 本题考查了总体、个体、样本、样本容量，熟练掌握这些数学知识是解题的关键． 5.若多项式可因式分解为，其中，，均为整数，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：将整式展开得， 又， ， 将，代入得，符合条件， ， 故选：． 先将因式分解后的式子展开，再与原多项式的各项系数对应相等，列出方程组求出整数、的值，最后计算的值． 本题主要考查了多项式的乘法运算、因式分解的意义以及解方程组，熟练掌握多项式乘法法则和对应项系数相等的方法是解题的关键． 6.如图，矩形纸片的边，，将这张纸片沿折叠，使点与点重合，则长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：矩形纸片的边，， 设， 四边形是矩形， ， 由折叠知，， ， ， ， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得，即． 故选：． 设，根据折叠性质可知，用表示，在中利用勾股定理列方程求解即可． 本题考查翻折变换，正确进行计算是解题关键． 7.如图，正方形的顶点在直线上，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，连接交于点若平分，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：过点作于点，如图所示： 平分， ， 直线于点， 于点，即， 又于点， 根据角平分线性质得：， 四边形是正方形， ，， ， 在中，， ， ， 直线， ， ， 在和中， ， ≌， ， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， 又， ， ， ， 的面积为：． 故选：． 过点作于点，根据角平分线性质得，证明和全等得，再证明，，进而由三角形的面积公式可得的面积． 此题主要考查了正方形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 8.如图，在正方形中，以点为旋转中心，将边顺时针旋转得到，连接，过点作的垂线交的延长线于点，连接、，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：连接，如图， 四边形为正方形， ，，，， 边顺时针旋转得到， ，， ， ， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， 点、在以为直径的圆上， ，， ， ，， ∽， ． 故选：． 连接，如图，先利用正方形的性质得到，，，，再根据旋转的性质得到，，则根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出，所以，接着证明为等边三角形得到，于是可计算出，再利用圆周角定理可判断点、在以为直径的圆上，所以，，从而得到，然后证明∽，则利用相似比可得． 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了正方形的性质． 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.若实数、满足，则          ． 【答案】  【解析】，，，解得，，． 10.如图，在边长为的正方形内部有一不规则图案图中阴影部分，为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图所示小亮由此估计阴影部分面积约为        ． 【答案】  【解析】解：点落在不规则图案上的频率稳定在， 点落在不规则图案上的概率为． 估计阴影部分面积约为． 故答案为：． 根据频率估计概率解答即可． 本题考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11.若一元二次方程的两个根分别为，，则代数式的值为        ． 【答案】  【解析】解：由条件可知，，即， ． 故答案为：． 根据一元二次方程的定义得出，由一元二次方程根与系数关系得出，整体代入即可得到答案． 本题考查了一元二次方程根与系数的关系和一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程两根之和为，两根之积为． 12.如图，将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解：      ． 【答案】  【解析】解：由图可得： 大长方形的面积为， 还可以表示为：， 因式分解为：， 故答案为：． 由图可知拼成的大长方形面积为，再进行因式分解即可． 此题主要考查因式分解的应用，解题的关键是先求出大长方形的面积． 13.若关于的分式方程有增根，则的值是        ． 【答案】  【解析】解：原方程去分母得：， 该分式方程有增根， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 将原方程去分母后化为整式方程，再将增根代入后解得的值即可． 本题考查分式方程的增根，熟练掌握其定义是解题的关键． 14.如图，在矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，则的长是        ． 【答案】  【解析】解：矩形中，，， ，，， ， 由作图过程知平分，则， ， ， 又， ≌， ，则， ， ∽， ，即， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：． 先根据矩形的性质以及勾股定理得到，，，再由作图过程知平分，进而证明≌，，则，再证明∽求得，然后利用勾股定理求解，再根据相似比，求得． 本题考查矩形的性质、勾股定理、角平分线的尺规作图、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，属于中档题． 15.如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，若，，则的面积为        ． 【答案】  【解析】解：过点作于点，连接，如图所示： ， 四边形是平行四边形，， ，， 点是的中点，且， ， 设，则， 由折叠性质得：，，， 在和中，，， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， ，， ， ， ． ， ，， ， ， ． ， 在四边形中，，， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的面积为：， ， ， 的边上的高与的边上的高相同， ， ． 故答案为：． 过点作于点，连接，由平行四边形性质得，再由点是的中点得，设，则，由折叠性质得，，，在和中，由勾股定理得，进而得，再由平行线的性质可证明，进而得，继而可得平行四边形的面积为，则的面积为，然后根据可得的面积为， 此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行四边形的性质，勾股定理，理解图形的翻折变换及其性质，平行四边形的性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 16.在菱形中，，，是中点，是上一动点，，是，的中点则的最小值为            ． 【答案】  【解析】解：如图，连接并延长交于点，连接， 在菱形中，， ，， 是的中点， ， ≌， ， 是的中点， ， 要使有最小值， 即最小， 当时，最小， 过点作于点，此时点和点重合，，如图， 在菱形中，，，则， 点是的中点， ， ， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 连接并延长交于点，连接，根据三角形中位线定理可得，要使有最小值，即最小，当时，最小，过点作于点，此时点和点重合，然后利用含度角的直角三角形即可解决问题． 本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分分解因式： ； ． 【答案】解： ； ．  【解析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． 先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可； 先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可． 18.本小题分计算： ； ． 【答案】    【解析】解： ； ． 先将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； 先计算二次根式除法，再利用完全平方公式展开平方项，最后合并同类项得到结果． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式混合运算的法则是解题的关键． 19.本小题4分 先化简，其中从，，中选取自己喜欢的数代入求值． 【答案】；．  【解析】解：原式 ； ，， ， 原式． 将括号内的式子通分并计算，然后算除法，最后将符合题意的的值代入计算即可． 本题考查分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 20.本小题6分 中国发展已进入全球第一梯队某校数学社团随机抽取了部分师生，对他们软件的使用情况进行了调查，主要有以下四个类别：经常使用“”；经常使用“豆包”；经常使用“元宝”；其他现将收集所得数据绘制成如下不完整的统计图表． 软件的使用情况统计表 类别 频数 频率 根据统计的信息，解答下列问题： ______，______； 在扇形统计图中，“”部分所对应扇形的圆心角的度数为______； 若该校共有师生共人，估计其中经常使用“”和“豆包”的总人数． 【答案】    全年级师生共人，其中经常使用“”和“豆包”的总人数为  【解析】本次被调查的师生共：人， 人， ； 故答案为：；； “”部分所对应扇形的圆心角度数是， 故答案为：； 人， 答：全年级师生共人，其中经常使用“”和“豆包”的总人数为． 用的人数除以的人数所占的百分比即可得到总人数，总人数的频率即可求出，用总人数减去的人数即可求出的人数，然后除以总人数，即可得出； 用乘所占比例可得答案； 全校人乘样本中和人数所占比例即可得到结论． 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． 21.本小题6分 陆港校园“我爱我”，心理游园活动中，主持人准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面印有中考祝福语的图案金榜题名中考必胜成功上岸一举夺葵，卡片背面保持完全相同将这四张卡片背面朝上，洗匀，随机抽取一张卡片，放回并洗匀，依次继续下去，本次活动邀请甲、乙、丙、丁四位同学参与，他们随机抽取一张卡片，即可获得相应卡片上的祝福徽章． 从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是“中考必胜”概率是______； 甲、乙两位同学从这四张卡片中各随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们抽到卡片刚好可以组成“中考必胜，一举夺葵”的概率是多少？ 【答案】   【解析】解：有，，，四张卡片， 抽到的卡片上是“中考必胜”的概率为； 故答案为：； 根据题意，列表如下： 由列表可知：共有种等可能的结果，其中他们抽到卡片刚好可以组成“中考必胜，一举夺魁”的结果共有种， 他们抽到卡片刚好可以组成“中考必胜，一举夺魁”的概率为． 由题意知，共有种等可能的结果，其中卡片上是“中考必胜”的结果有种，结合概率公式可得答案； 列表可得出所有等可能的结果以及抽到卡片刚好可以组成“中考必胜，一举夺魁”的结果，再利用概率公式可得答案． 本题考查了列表法或树状图法求概率，熟练掌握该知识点是关键． 22.本小题分 如图，四边形 是平行四边形，对角线 交于点， ，延长 到点，使 ，延长 到点，使 ，连接 和 ． 求证：四边形 是菱形； 若 ，求 与 间的距离． 【答案】(1)证明：∵ ， ∴四边形 是平行四边形， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ∵ ∴ ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， ∴四边形 是菱形；   (2)解：∵四边形AOBE" data-ext-data="{"source": "saber_editor"}" width="49" height="14" style="width:49px;height:14px;" alt="AOBE" title="latexImg" /> 是矩形， ∴ ， ∵四边形 是菱形， ∴ ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ∴ ， 设 与 间的距离为 ∵ ． ∴ ．   【解析】  本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 先由对角线互相平分的四边形 是平行四边形，再由矩形的性质得出 ，即可得出结论；  由矩形的性质得出 ，由菱形的性质得出 ，由勾股定理求出 ，则 ，设 与 间的距离为 ，然后由菱形的面积公式即可得出结果． 23.本小题分 定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：，所以与互为“对偶式”． 的“对偶式”是          ，的“对偶式”是          ． 已知，其中． 的“对偶式”的值是________； 利用“对偶式”的相关知识，求方程中的值． 【答案】(1)  ;  (2)8  【解析】 略   的“对偶式”是，  而  又，． 解：，，，，  解得． 24.本小题分 当我们遇到梯形问题时，我们常用分割的方法，将其转化成我们熟悉的图形来解决． 按要求对下列梯形分割分割线用虚线 分割成一个平行四边形和一个三角形 分割成一个长方形和两个直角三角形． 如图，在直角梯形中，，，，，，请你用适当的方法对梯形分割，利用分割后的图形求的长． 【答案】(1)如图,分割如下:   (2)如图,过点D作边BC的垂线,垂足为E,则四边形ABED是矩形,AD=BE,AB=DE.设AD=x,则BE=AD=x,CE=8-x,在RtDEC中,C=,EDC=,DE=EC,即4=8-x,解得x=4,即AD的长为.   【解析】 略  略 25.本小题10分 某书店为了迎接“读书节”决定购进两种新书，相关信息如下： 种别 种 种 进价元 备注 用不超过元购进两种图书共；．种图书不少于本； 已知种图书的标价是种图书标价的倍，若顾客用元购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少本，请求出两种图书的标价； 经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，种图书每本标价降低元销售，种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？ 【答案】(1)解：设种图书的标价为元，则A种图书的标价为元， 根据题意可得， 化简得：，解得：， 经检验：是原分式方程的解，且符合题意， 则A种图书的标价为：（元）， 答：A种图书的标价为27元，种图书的标价为18元；   (2)设购进A种图书本，种图书本，总利润为元，A种图书的标价为元， 由题意得：解得：， 则总利润 故当时，时，总利润最大， 即A种图书购进800本，种图书购进200本时，利润最大； 当时，，无论值如何变化，总利润均为6000元， 即购进A、B两种图书共1000本，A种图书在600到800本之间，总利润不变，均为6000元； 当时，时，总利润最大， 即A种图书购进600本，种图书购进400本时，利润最大．   【解析】  先设出两种图书的标价，再根据购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少本，建立分式方程，解方程并检验即可；   先设出购进每种图书的数量，通过题中“备注”中的条件列出一元一次不等式组求出种图书的数量应不少于，不多于本，再通过其利润表达式建立其关于的关系式，利用一次函数的性质分类讨论得出如何进货才能获得最大利润． 26.本小题10分 如图，在矩形中，点是对角线的中点，点是直线上一点，点是直线上一点，且，连接． 如图，若点在中点处，且，，求的长： 如图，若点在的延长线上，其他条件不变，求证：； 如图，若点在的延长线上，且，，，请直接写出线段的值． 【答案】解：如图，四边形是矩形，，， ，， 、分别是、的中点， ，， ， ， ， 四边形是矩形， 为中点，为中点， ， ， ， 的长是． 证明：如图，连接，作于点，于点， ，， ， ，， ，，， ，， ， ， ∽， ， ， 设，， ，， ， ，，，， ， ， ． 解：如图，作于点，于点， ， 四边形是矩形， ， ， ∽， ， ，，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 线段的值是．  【解析】先由三角形的中位线定理求得，再证明四边形是矩形，得，再求得，即可根据勾股定理求得； 连接，作于点，于点，则，即可推导出，，进而证明，再证明∽，得，所以，设，，根据勾股定理得，，则，所以，即可证明； 作于点，于点，则四边形是矩形，可证明∽，得，再由，，，得，则，所以，，得，则，而，由勾股定理得，，则． 此题重点考查矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 27.本小题10分 【问题提出】如图，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，且，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到易证，从而得到若，，则正方形的边长为          ； 如图，点，分别在正方形的边，上，且点，分别在，上，且，连接，猜想线段，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】年月日，中共中央、国务院生态环境保护督察工作条例的发布，对于全面推进美丽中国建设具有重要意义．为了保护生态环境，某集团每年都会种植植被．如图，矩形是该集团今年规划的植被种植区域的平面示意图，米，米，集团规划人员计划在边上取一点作为侧门的出入口，在边上取一点作为正门的出入口，按照设计要求，米．现要对正门外的小路进行装饰，需要知道小路的长以方便购买材料，请求出小路的长． 【答案】(1)12  (2)三条线段、、之间满足的数量关系为； 理由如下： 如图②，过点作，且，连接、．　 则． ． 四边形是正方形， ． ， 四边形是平行四边形． ． ． 在与中 ，    ． ，． ，， ． 在与中 ， ． ． 在中，由勾股定理得：， 即．   (3)如图③，把矩形补成正方形，延长交于，连接，则． 四边形是矩形， ． ． ． ． ． 设，则， 四边形是正方形，， 由（）的证明知，． 在中，勾股定理得：， 即， 解得： 即的长为．   【解析】  由旋转的性质可得，证，从而得，则可得，从而可求得正方形的边长； 四边形是正方形， ，． 由旋转得：， ，，，． ． 、、在同一直线上． ，， ． ． 即． ． 在与中 ． ． ， ． ． 在中，由勾股定理得：， ． ． 故答案为：．   过点作，且，连接、，可证明，则可得，；再证明，可得，在中，由勾股定理即可得三条线段、、之间满足的数量关系；   把矩形补成正方形，延长交于，连接由，可求得、的长，设，则可得，由的证明知，，由勾股定理建立方程即可求得的值，即的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：130分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材苏科版八年级下册+一元二次方程+相似三角形。。 第一部分（选择题共30分) 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题 目要求的)。 1.下列事件中，是必然事件的是() A.任意画一个三角形，其内角和是180° B.射击运动员射击一次，命中靶心 C.掷一枚骰子，向上一面的点数是6 D.购买一张彩票，中奖 2.下列方程中，无实数根的方程是() A.x2-2x=0 B.x2-2x-1=0C.x2+2x+3=0D.x2-x-3=0 3将分式中的x、y的值同时扩大2倍：则分式的值(） A.扩大2倍 B.缩小到原来的 C.保持不变 D.无法确定 4.国内某芯片企业为测试自主研发的1200个新型芯片的运行效率，从中随机抽取200个芯片进行质量检 测.下列说法正确的是() A.该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B.1200个新型芯片是总体 C.200个芯片是抽取的一个样本 D.样本容量是200 5.若多项式5x2-17x-12可因式分解为(x+a)(bx+3),其中a,b,c均为整数，则a+b的值是() A.9 B.-9 C.-1 D.1 6.如图，矩形纸片ABCD的边AB=4,BC=8,将这张纸片沿EF折叠，使点C与点A重合，则BE长为 () A.3 B.4 c.5 D.2W5 第1页，共9页 D B E 7.如图，正方形ABCD的顶点D在直线I上，分别过点A,C作直线I的垂线，垂足分别为E,F,连接CE 交AD于点G.若CD平分LECF,FD=8,则△DEG的面积为() A.16 B.32 C.48 D.64 F D G B E 8.如图，在正方形ABCD中，以点A为旋转中心，将边AD顺时针旋转30°得到AE,连接DE,过点B作 DB的垂线交DB的延长线于点P,连接BE、CR,则2的值为() A.√2 B.33 C23 D.43 2 3 3 A C 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.若实数a、b满足√a-2+|a+b-1=0,则ab= 10.如图1，在边长为20cm的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，信息技 术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上 第2页，共9页 的频率数据，结果如图2所示.小亮由此估计阴影部分面积约为cm2. 个频率 0.40-… 0.35 61002003004005006007008009001000试验次数 图 图2 11.若一元二次方程x2+3x-25=0的两个根分别为m,n,则代数式m2-3n+2的值为. 12.如图，将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解：一· ① ③ ④ 13.若关于x的分式方程号=。2x有增根，则m的值是一_· 14.如图，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8,以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC,BD于点 E,F,再分别以点E,F为圆心，大于号EF长为半径画弧交于点P,作射线BP,过点C作BP的垂线分别 交BD,AD于点M,N,则MN的长是一· N D M B E 15. 如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=4cm,AD=5cm,点E是边AD的中点，点F在边CD 上，连接EF.将纸片沿EF折叠，点D落在纸片上的点G处，连接AG,CG.若AG=3cm,GE//AB,则△CFG 的面积为cm2. E D G B 第3页，共9页 16.在菱形ABCD中，AB=4,∠D=60°，F是CD中点，E是BC上一动点，G,H是AE,BF的中点.则 GH的最小值为 H E 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题6分)分解因式： (1)3a2-6ab+3b2: (2)x2(m-2)+y2(2-m). 18.(本小题6分)计算： (1)V8+V32-V18: (2)V48÷V3+(W2-3)2+6V2. 19.(本小题4分) 先化简Q-马)-2”，其中x从1,2,3中选取自己喜欢的数代入求值. 20.(本小题6分) 中国A1发展已进入全球第一梯队.某校数学社团随机抽取了部分师生，对他们AI软件的使用情况进行了调 查，主要有以下四个类别：A经常使用“DeepSeek”;B.经常使用“豆包”；C.经常使用“元宝”；D.其 他现将收集所得数据绘制成如下不完整的统计图表， AI软件的使用情况统计表 第4页，共9页 类别频数频率 A 128 B a 0.4 C D 40 根据统计的信息，解答下列问题： (1)a= ，b=一 (2)在扇形统计图中，“D”部分所对应扇形的圆心角的度数为_： (3)若该校共有师生共2000人，估计其中经常使用“DeepSeek”和“豆包”的总人数. AI软件的使用情况扇形统计图 D A 32% B 21.(本小题6分) 陆港校园“5.25我爱我”，心理游园活动中，主持人准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面印有中 考祝福语的图案A金榜题名B中考必胜C成功上岸D一举夺葵，卡片背面保持完全相同将这四张卡片背 面朝上，洗匀，随机抽取一张卡片，放回并洗匀，依次继续下去，本次活动邀请甲、乙、丙、丁四位同学 参与，他们随机抽取一张卡片，即可获得相应卡片上的祝福徽章， (1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是“中考必胜”概率是」 (2)甲、乙两位同学从这四张卡片中各随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们抽到卡片刚 好可以组成“中考必胜，一举夺葵”的概率是多少？ A B C D 第5页，共9页 22.(本小题8分) 如图，四边形AOBE是平行四边形，对角线AB,OE交于点F,FO=FA,延长AO到点C,使CO=AO, 延长BO到点D,使DO=BO,连接AD,DC和BC. B (1①)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若0E=13,AC=24,求AD与BC间的距离. 23.(本小题8分) 定义：我们将(a+√b)与（√a-√而称为一对“对偶式”. 因为（√a+√⑤(Wa-√历）=(V@2-(万)2=a-b,可以去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶 式”来解决。 例如：(W15-x+√3-x(W15-x-V3-x=(√15-x2-(W3-x2=(15-x)-(3-x)=12,所 以V15-x+V3-x与V15-x-V3-x互为“对偶式”. (1)V7-√2的“对偶式”是，√21-x-√5-x的“对偶式”是 (2)已知V21-x-V5-x=2,其中x≤5. ①V21-x-√5-x的“对偶式”的值是 ②利用“对偶式”的相关知识，求方程V21-x-√5-x=2中x的值. 第6页，共9页 24.(本小题8分) 当我们遇到梯形问题时，我们常用分割的方法，将其转化成我们熟悉的图形来解决. (1)按要求对下列梯形分割.（分割线用虚线） ①分割成一个平行四边形和一个三角形； ②分割成一个长方形和两个直角三角形. (2)如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC,∠B=90°，AB=4cm,BC=8Cm,∠C=45°，请你用适当的 方法对梯形分割，利用分割后的图形求AD的长. D B 25.(本小题10分) 某书店为了迎接“读书节”决定购进A,B两种新书，相关信息如下： 种别 A种 B种 进价（元） 18 12 备注 1.用不超过16800元购进A,B两种图书共1000：2.A种图书不少于600本； (1)己知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A种图书的数 量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，请求出A,B两种图书的标价： 第7页，共9页 (2)经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A种图书每 本标价降低a元(0<α<5)销售，B种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？ 26.(本小题10分) 如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是直线AB上一点，点F是直线BC上一点，且 ∠EOF=90°，连接EF, (1)如图1，若点E在AB中点处，且AB=8,AD=6,求EF的长： (2)如图2，若点E在BA的延长线上，其他条件不变，求证：EF2-CF2=AE2: (3)如图3，若点E在AB的延长线上，且AE=AC,∠BAC=30°，BC=1,请直接写出线段EF2的值. E D D 0 B E B 图1 图2 图3 第8页，共9页 27.(本小题10分) D M E B 图① 图② 图③ (1)【问题提出】如图①，在正方形ABCD中，点N,M分别在边BC,CD上，连接AM,AN,MN,且∠MAN=45°， 将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE.易证△ANM≌△ANE,从而得到DM+ BN=MN.若CN=6,CM=8,则正方形ABCD的边长为： (2)如图②，点M,N分别在正方形ABCD的边CD,AB上，且BN=DM点E,F分别在BM,DN上， 且LEAF=45°，连接EF,猜想线段EF,BE,DF之间满足的数量关系，并说明理由； (3)【问题解决】2025年4月28日，中共中央、国务院生态环境保护督察工作条例》的发布，对于全面 推进美丽中国建设具有重要意义.为了保护生态环境，某集团每年都会种植植被.如图③，矩形ABCD是 该集团今年规划的植被种植区域的平面示意图，AB=600米，AD=800米，集团规划人员计划在边BC 上取一点N作为侧门的出入口，在边DC上取一点M作为正门的出入口，按照设计要求LMAN=45°，BN= 200米.现要对正门外的小路DM进行装饰，需要知道小路DM的长以方便购买材料，请求出小路DM的 长 第9页，共9页 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟试卷满分：130分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级下册+一元二次方程+相似三角形。。 第一部分（选择题共30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）。 1.下列事件中，是必然事件的是(    ) A. 任意画一个三角形，其内角和是 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 掷一枚骰子，向上一面的点数是 D. 购买一张彩票，中奖 2.下列方程中，无实数根的方程是(    ) A. B. C. D. 3.将分式中的、的值同时扩大倍，则分式的值(    ) A. 扩大倍 B. 缩小到原来的 C. 保持不变 D. 无法确定 4.国内某芯片企业为测试自主研发的个新型芯片的运行效率，从中随机抽取个芯片进行质量检测下列说法正确的是(    ) A. 该芯片企业采用的调查方式是全面调查 B. 个新型芯片是总体 C. 个芯片是抽取的一个样本 D. 样本容量是 5.若多项式可因式分解为，其中，，均为整数，则的值是(    ) A. B. C. D. 6.如图，矩形纸片的边，，将这张纸片沿折叠，使点与点重合，则长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，正方形的顶点在直线上，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，连接交于点若平分，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在正方形中，以点为旋转中心，将边顺时针旋转得到，连接，过点作的垂线交的延长线于点，连接、，则的值为(    ) A. B. C. D. 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.若实数、满足，则          ． 10.如图，在边长为的正方形内部有一不规则图案图中阴影部分，为测算阴影部分面积，信息技术强的小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图所示小亮由此估计阴影部分面积约为        ． 11.若一元二次方程的两个根分别为，，则代数式的值为        ． 12.如图，将下列四个图形拼成一个大长方形，再据此写出一个多项式的因式分解：      ． 13.若关于的分式方程有增根，则的值是        ． 14.如图，在矩形中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径画弧交于点，作射线，过点作的垂线分别交，于点，，则的长是        ． 15. 如图，在平行四边形纸片中，，，点是边的中点，点在边上，连接将纸片沿折叠，点落在纸片上的点处，连接，若，，则的面积为        ． 16.在菱形中，，，是中点，是上一动点，，是，的中点则的最小值为            ． 三、解答题：本题共11小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分分解因式： ； ． 18.本小题分计算： ； ． 19.本小题4分 先化简，其中从，，中选取自己喜欢的数代入求值． 20.本小题6分 中国发展已进入全球第一梯队某校数学社团随机抽取了部分师生，对他们软件的使用情况进行了调查，主要有以下四个类别：经常使用“”；经常使用“豆包”；经常使用“元宝”；其他现将收集所得数据绘制成如下不完整的统计图表． 软件的使用情况统计表 类别 频数 频率 根据统计的信息，解答下列问题： ______，______； 在扇形统计图中，“”部分所对应扇形的圆心角的度数为______； 若该校共有师生共人，估计其中经常使用“”和“豆包”的总人数． 21.本小题6分 陆港校园“我爱我”，心理游园活动中，主持人准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面印有中考祝福语的图案金榜题名中考必胜成功上岸一举夺葵，卡片背面保持完全相同将这四张卡片背面朝上，洗匀，随机抽取一张卡片，放回并洗匀，依次继续下去，本次活动邀请甲、乙、丙、丁四位同学参与，他们随机抽取一张卡片，即可获得相应卡片上的祝福徽章． 从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是“中考必胜”概率是______； 甲、乙两位同学从这四张卡片中各随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求他们抽到卡片刚好可以组成“中考必胜，一举夺葵”的概率是多少？ 22.本小题分 如图，四边形 是平行四边形，对角线 交于点， ，延长 到点，使 ，延长 到点，使 ，连接 和 ． 求证：四边形 是菱形； 若 ，求 与 间的距离． 23.本小题分 定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：，所以与互为“对偶式”． 的“对偶式”是          ，的“对偶式”是          ． 已知，其中． 的“对偶式”的值是________； 利用“对偶式”的相关知识，求方程中的值． 24.本小题分 当我们遇到梯形问题时，我们常用分割的方法，将其转化成我们熟悉的图形来解决． 按要求对下列梯形分割分割线用虚线 分割成一个平行四边形和一个三角形 分割成一个长方形和两个直角三角形． 如图，在直角梯形中，，，，，，请你用适当的方法对梯形分割，利用分割后的图形求的长． 25.本小题10分 某书店为了迎接“读书节”决定购进两种新书，相关信息如下： 种别 种 种 进价元 备注 用不超过元购进两种图书共；．种图书不少于本； 已知种图书的标价是种图书标价的倍，若顾客用元购买图书，能单独购买种图书的数量恰好比单独购买种图书的数量少本，请求出两种图书的标价； 经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，种图书每本标价降低元销售，种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？ 26.本小题10分 如图，在矩形中，点是对角线的中点，点是直线上一点，点是直线上一点，且，连接． 如图，若点在中点处，且，，求的长： 如图，若点在的延长线上，其他条件不变，求证：； 如图，若点在的延长线上，且，，，请直接写出线段的值． 27.本小题10分 【问题提出】如图，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，，且，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到易证，从而得到若，，则正方形的边长为          ； 如图，点，分别在正方形的边，上，且点，分别在，上，且，连接，猜想线段，，之间满足的数量关系，并说明理由； 【问题解决】年月日，中共中央、国务院生态环境保护督察工作条例的发布，对于全面推进美丽中国建设具有重要意义．为了保护生态环境，某集团每年都会种植植被．如图，矩形是该集团今年规划的植被种植区域的平面示意图，米，米，集团规划人员计划在边上取一点作为侧门的出入口，在边上取一点作为正门的出入口，按照设计要求，米．现要对正门外的小路进行装饰，需要知道小路的长以方便购买材料，请求出小路的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $