精品解析：上海交通大学附属中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

上海交通大学附属中学2024-2025学年第二学期 高一数学期末考试数学试卷 （本试卷共4页，满分150分，120分钟完成．答案一律写在答题纸上） 命题：唐翔 审核：杨逸峰 一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果） 1. 若直线：与直线：垂直，则实数的值等于________. 【答案】 【解析】 【分析】写出两直线斜率，由直线垂直得到斜率乘积为，建立方程后解出参数的值. 【详解】由题意知两直线斜率存在， ，， ， 解得. 故答案为： 2. 已知．若为偶函数，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的定义求出参数值. 【详解】函数的定义域为R，由为偶函数，得， 即，而不恒为0， 所以. 故答案为：0. 3. 函数的最小正周期为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式化简，再根据正弦函数的性质计算可得. 【详解】因为， 所以的最小正周期. 故答案为： 4. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据对数真数大于零以及二次根式有意义的条件列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 5. 已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 _____(结果用数值表示) 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的概念结合已知条件，求解即可得出答案. 【详解】由已知可得，向量 在向量 方向上的投影向量为， 所以有. 故答案为：. 6. 等差数列的前项和为，已知，，当最大时，的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，确定数列单调性即可求解. 【详解】令等差数列公差为，由，得， 则，解得，， 显然数列是递减数列，由，得，即数列前6项都为正，从第7项起为负， 所以最大时，的值是6. 故答案为：6 7. 已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c值是_____． 【答案】9 【解析】 【详解】由题意知函数在零点两侧同号，所以，解得． 8. 在区间上，函数与图象的公共点个数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出方程在的根即可. 【详解】依题意，，即，解得或， 而，因此， 所以函数与图象的公共点个数为3. 故答案为：3. 9. 若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，确定曲线表示的图形并作出，再利用直线与圆的位置关系求出范围. 【详解】由，得，则曲线表示以原点为圆心，1为半径的圆在及右侧部分， 直线恒过定点，斜率为，在同一坐标系内作出直线与曲线， 观察图象知，且，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 10. 设无穷等比数列所有奇数项之和为，则等比数列所有项的和的取值范围是___． 【答案】． 【解析】 【分析】根据给定条件，利用无穷等比数列所有项和公式，结合公比的范围分类求解. 【详解】设无穷等比数列的公比为，则， 由无穷等比数列所有奇数项之和为，得， 则该无穷等比数列所有项和为， 当时，，当时，， 所以所求范围. 故答案为：. 11. 已知向量与满足，且对，满足，则的最大值为________. 【答案】 【解析】 【分析】可先对两边平方，根据二次函数性质得到与的关系，再利用向量模长公式和基本不等式求解的最大值. 【详解】已知，两边平方可得. 展开得. 移项整理得. 因为对于，上式恒成立，所以二次函数的判别式. 即，进一步化简得，即. 因为一个数的平方是非负的，所以，即. 可得. 将代入上式得. 令，设（），，令. 将变形为. 由基本不等式（当且仅当时等号成立），这里，，则. 所以，即，当且仅当，时取等号. 故最大值是. 故答案为：. 12. 平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式，结合不等式的性质求出最小值. 【详解】点到直线的距离分别为， ，则距离之和为， ，当且仅当，即时取等号，此时，； ，当且仅当，即时取等号，此时，； ，当且仅当，即时取等号，此时，， 而，因此，所以所求最小值. 故答案为： 二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号） 13. “为锐角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合弧度制表示角的意义判断即可. 【详解】若为锐角，则，而，则可以为锐角，也可以为零角，还可以为负角， 所以“为锐角”是“”的充分而不必要条件. 故选：A 14. 点为圆外一点，则直线与该圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】利用点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法，结合点到直线的距离公式即可求解； 【详解】因点为圆外一点， 所以. 圆的圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为 ，即. 所以直线与该圆的位置关系为相交. 故选：A. 15. 复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一个锐角为的直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查复数运算与复平面几何意义，通过对等式变形分析复数关系，判断三角形形状. 【详解】依题意，，若，则（反之亦成立）， 则与原点重合，与已知能组成三角形矛盾，所以. 由，两边除以（），设，则方程变为： ，解得 由，得. 所以， ，故. 在中： ，，即（等腰）. 由勾股定理：， 而，故（直角）. 综上，是等腰直角三角形. 故选：C 16. 已知．有下列三个结论： ①存在在第一象限，在第三象限． ②存在在第二象限，在第四象限． ③存在在第一象限，在第四象限． 则（ ） A. ①②均正确 B. ①③均正确 C. ②③均正确 D. ①②③均不正确 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质、三角恒等变换、函数图像即可求解. 【详解】因为，， 所以， 令，，则，整理得，且方程有解， 有， 作函数图像: 则由图像可知存在，有， 所以当时，恒成立，则，, 因此一正一负， 说明当在第二象限时，在四个象限均可， 当时，成立， 此时，， 因此皆为负， 说明当在第一象限时，只能在第二象限或第四象限， 综上所述，②③正确，①错误. 故选：C 三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤） 17. 已知单位向量、满足，． （1）将、的数量积表示为关于的函数； （2）求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 【答案】（1），． （2）的最大值为，． 【解析】 【分析】（1）将原等式两边平方即可得到结果. （2）利用基本不等式的性质即可求得. 【小问1详解】 平方得． 化简得. 因为. 所以，化简得，解得. 所以，． 【小问2详解】 根据基本不等式的性质，所以． 当且仅当时取到等号，所以的最大值为． 此时，所以. 18. 已知，关于的实系数一元二次方程． （1）若方程的一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围； （2）方程的两根模均小于，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程实根分布列式求解. （2）求出方程的两个虚根，再结合已知列出不等式求解. 【小问1详解】 依题意，方程有两个不等实根，则，解得， 由方程的一个根大于，另一个根小于，得，解得． 所以实数的取值范围为． 【小问2详解】 依题意，， 当时，方程有两个实根，，对称轴为， 则，解得，因此； 当时，方程有两个共轭虚根，，， 由，得，因此， 所以实数的取值范围为. 19. 最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，距离分别为5km，.以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，位于第一象限． （1）求两个军事基地的长； （2）若要塞正北方向距离要塞10km处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地A开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行． 【答案】（1） （2）当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行 【解析】 【分析】（1）利用直线与圆相切求出点坐标，联立直线方程求出点坐标，利用两点的距离公式即可求解 （2）由题意得对恒成立，即对恒成立，然后对进行分类讨论，利用基本不等式即可求解． 【小问1详解】 则由题设得：，直线的方程为，， 由，且，解得，所以． 所以直线的方程为，即， 联立方程，解得，即， 所以， 即基地的长为． 【小问2详解】 设爆炸产生的爆炸波圆， 由题意可得，爆炸波生成小时后，飞行在线段上的点处， 则，，所以， 爆炸波不会波及飞行器的通行，即对恒成立． 所以，即， 当时，上式恒成立； 当时，整理得， 因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以在时，恒成立，亦即爆炸波不会波及飞行的通行． 当时，爆炸波不会波及飞行器的飞行． 20. 已知函数，其中． （1）当时，求方程的解集； （2）若是偶函数，当取最小值时，求函数的取值范围； （3）若是常数函数，求的值． 【答案】（1），或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，，求解方程即可； （2）的定义域为，由是偶函数得，展开并整理得，进而为正奇数，当取最小值即时，，化简，，利用换元法令，，将的值域问题转化为函数，且的值域即可. （3）因为，，若是常数函数，则，当时不是常数函数；当时，通过说明不是常数函数；证明当时成立；当时，通过，说明不是常数函数即可. 【小问1详解】 当时，， 由得：，解得，或， 即，或， 故所求方程的解集为，或； 【小问2详解】 的定义域为，由是偶函数得：，即： ， 所以， 从而，进而，所以为正奇数， 当取最小值即时，， 所以，， 令，，则，且， 所以函数的值域转化为，且的值域， 对称轴，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，取得最小值；当时，取得最大值； 又当时，，当时，； 故函数的取值范围为； 【小问3详解】 因为，，所以若是常数函数，则， ①当时，由（1）知，不是常数函数； ②当时，，此时，， 不是常数函数； ③当时， ， 所以，是常数函数； ④当时，，不是常数函数； 综上所述：． 21. 无穷数列．定义集合存在正整数，使得且，集合存在正整数，使得且． （1）已知，请直接写出集合、； （2）已知，，若，求的取值范围； （3）已知为无限集，求证：“是增数列”的充要条件是“且”． 【答案】（1），． （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由数列通项公式结合指数函数单调性，根据题意，可得答案； （2）由题意确定数列最大项，再根据集合的包含关系以及三角函数性质，建立不等式，可得答案； （3）根据充要条件的充分性和必要性，分别进行证明，利用假设法以及集合的定义，可得答案. 【小问1详解】 由题意可得下表： 由函数在上单调递增，则单调递减，单调递增， 所以，． 【小问2详解】 由于，故，从而为数列最大项． 反之，为数列最大项．任取，则存在，必然不是数列最大项， 故必有，从而，即． 所以的充要条件是为数列最大项． 由周期性，只需考虑的情况，利用单位圆可知， 故的取值范围． 【小问3详解】 （必要性）是增数列，任取且，下证，． 由单调性，一切，有，，故． 假设，则一切，有，由增数列，，从而． 此时，为有限集，矛盾． 故，从而． （充分性）任取且，则或，从而必不是数列最大项． 同理可知，，，…，均不是数列最大项，记这前项中最大项为， 因为不是数列最大项，故存在，使得，从而． 因为是任取的，从而，而，从而． 所以对任意，，所以，从而是增数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海交通大学附属中学2024-2025学年第二学期 高一数学期末考试数学试卷 （本试卷共4页，满分150分，120分钟完成．答案一律写在答题纸上） 命题：唐翔 审核：杨逸峰 一、填空题．（本题共12小题，前6题每小题4分；后6题每小题5分，共54分．请在横线上方填写最终的、最简的、完整的结果） 1. 若直线：与直线：垂直，则实数的值等于________. 2. 已知．若为偶函数，则_________． 3. 函数的最小正周期为________. 4. 函数的定义域为______. 5. 已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 _____(结果用数值表示) 6. 等差数列前项和为，已知，，当最大时，的值是______． 7. 已知函数有零点，但不能用二分法求解，则实数c的值是_____． 8. 在区间上，函数与图象的公共点个数为_______． 9. 若直线（常数）与曲线有两个不同的公共点，则的取值范围是_______． 10. 设无穷等比数列所有奇数项之和为，则等比数列所有项的和的取值范围是___． 11. 已知向量与满足，且对，满足，则的最大值为________. 12. 平面上有三点到直线（、不全为）距离之和的最小值为________． 二、选择题（本题共4小题，前2题每小题4分；后2题每小题5分，共18分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请填写符合要求的选项前的代号） 13. “为锐角”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 点为圆外一点，则直线与该圆的位置关系为（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定 15. 复数、分别对应复平面内的点、，若，则（其中为坐标原点），是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 有一个锐角为的直角三角形 16. 已知．有下列三个结论： ①存在在第一象限，在第三象限． ②存在在第二象限，在第四象限． ③存在在第一象限，在第四象限． 则（ ） A ①②均正确 B. ①③均正确 C ②③均正确 D. ①②③均不正确 三、解答题．（本大题共5小题，满分78分．请写出必要的证明过程或演算步骤） 17. 已知单位向量、满足，． （1）将、的数量积表示为关于的函数； （2）求函数的最大值及取得最大值时与的夹角． 18. 已知，关于的实系数一元二次方程． （1）若方程一个根大于，另一个根小于，求实数的取值范围； （2）方程的两根模均小于，求实数的取值范围． 19. 最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为5km，.以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，位于第一象限． （1）求两个军事基地长； （2）若要塞正北方向距离要塞10km处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地A开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行． 20. 已知函数，其中． （1）当时，求方程的解集； （2）若是偶函数，当取最小值时，求函数的取值范围； （3）若是常数函数，求的值． 21. 无穷数列．定义集合存在正整数，使得且，集合存在正整数，使得且． （1）已知，请直接写出集合、； （2）已知，，若，求的取值范围； （3）已知为无限集，求证：“是增数列”的充要条件是“且”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $