上海市位育中学2025-2026学年高一下学期期末考试数学试卷

2025学年第二学期位育中学期末考试试卷 高一年级数学学科 （考试时间：100分钟 总分：100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1．是第_________象限角． 2．设是虚数单位，则复数的虚部为_________． 3．已知半径为2的扇形的圆心角为，则扇形面积为_________． 4．已知一简谐振动满足函数，则该振动的振幅为_________． 5．已知数列的通项公式为，则数列是严格_________数列．（填“增”或“减”） 6．已知向量，，则向量在向量上的投影向量的坐标为_________． 7．已知等比数列满足：，，则_________． 8．已知，则_________． 9．设是虚数单位，且复数满足，则的最大值为_________． 10．在在中，已知，．若此三角形有两解，则的取值范围为__________. 11．已知，若函数在上恰好存在2个不同的满足，则的取值范围为_________． 12．已知平面向量，，满足，，且，则的最小值为_________． 二、选择题（本大题共有4题，满分16分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得4分，否则一律得零分 13．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上严格减的是（ ） A． B． C． D． 14．若复数（为虚数单位），则在复平面内，复数对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．已知、为非零向量，则“”是“为锐角”的（ ） A．充分且必要条件 B．必要非充分条件 C．充分非必要条件 D．非充分非必要条件 16．对于数列，若存在，使得对任意，，有，则称为“有界变差数列”．有以下两个结论： ①若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是； ②若数列，均为“有界变差数列”，且，则数列是“有界变差数列”．则以下选项正确的是（ ） A．①是假命题，②是真命题 B．①是假命题，②是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是真命题，②是真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分42分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 17．（本题满分8分） 已知点，，，．若，，三点共线，求的值． 18．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分． 已知复数，其中是正实数，是虚数单位． （1）如果，求实数的值； （2）如果，是关于的方程的一个根，求和的值． 19．（本题满分8分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分． 在数列中，，，，． （1）证明数列为等比数列，并求的通项公式； （2）求． 20．（本题满分9分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分． 如图1所示，一直角走廊的宽度分别为和． （1）若一根长为的铁棒水平通过该直角走廊，铁棒过点且与两墙分别交于，两点（如图2），其中点，分别为直角走廊内侧、外侧直角拐点，且，．为了求能通过该直角走廊的铁棒的最大长度，小明同学想了两种方法． 方法1：设，得到关于的函数： 方法2：设，得到关于的函数； 请你选择其中一种方法，求出相应的函数，并指出铁棒的最大长度是函数的最小值还是最大值． （2）若直角走廊的宽度均设计为（如图3），现有矩形平板车，宽为1，长为（车高忽略），平板车可以灵活转动，并过点且与两墙分别交于，两点．为了求能通过该直角走廊的平板车长的最大值，请自行引入一个变量，并求出关于该变量的函数．（只求函数，不用求函数最值）． 21．（本题满分9分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分． 已知函数的定义域为．若存在周期均为的两个不同的偶函数和，使得，则称函数具有性质． （1）判断，是否具有性质，并说明理由； （2）已知函数具有性质，且不恒为0．设．证明：若为有限集，则中的元素个数为偶数． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $