2.3 一元二次不等式与其它不等式解法 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 本专项训练以8类题型为框架，系统构建从基础求解到综合应用的知识逻辑链，通过问题情境培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不含参不等式|3题|直接求解与集合运算|概念生成：从具体不等式到解集表示| |含参不等式|4题|参数分类讨论与整数解|原理推导：参数对解集的影响分析| |三个“二次”关系|3题|二次函数、方程与不等式转化|综合关联：利用根与系数关系逆向求解| |其他不等式|5题|分式、绝对值不等式解法|应用拓展：转化为整式不等式求解| |R上恒成立|4题|判别式与参数范围确定|动态分析：函数最值与不等式关系| |区间恒成立|4题|区间内函数最值应用|条件限制：结合定义域的参数讨论| |区间有解问题|4题|存在性与命题真假判断|逻辑推理：正难则反思想应用| |根的分布|5题|根的位置与参数范围|数形结合：函数图像与零点位置关系|

§2.3 一元二次不等式与其它不等式解法·专项训练 目录 题型1：求不含参的一元二次不等式的解集 2 题型2：求含参的一元二次不等式的解集 3 题型3： 三个“二次”之间的关系 6 题型4：其他不等式的解法 8 题型5：一元二次不等式在R上恒成立 11 题型6：一元二次不等式在某区间上恒成立 14 题型7：一元二次不等式在某区间上有解问题 16 题型8：一元二次方程根的分布 19 题型1：求不含参的一元二次不等式的解集 【例1.1.】 设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、补集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式 【详解】由可得：，所以， 由，所以，所以. 【例1.2.】 一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】解不含参数的一元二次不等式 【分析】利用一元二次不等式的解法求解即可． 【详解】不等式即可化为， 解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 【例1.3.】 设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断命题的必要不充分条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先求解不等式的解集得到的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断关系. 【详解】由，得，即， 则“”是“”的必要不充分条件. 题型2：求含参的一元二次不等式的解集 【例2.1.】 解不等式． 【答案】当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，不等式的解集为 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】分、及进行讨论，结合一元二次不等式解法计算即可得. 【详解】原不等式可化为， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式可化为， 则当时，不等式可化为，解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 则不等式的解集为． 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 【例2.2.】 当时，关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】解含有参数的一元二次不等式 【分析】将原不等式转换为，在的前提下，比较和的大小即可得解. 【详解】时，， 不等式可化为， 因为，且， 所以，， 解原不等式，得， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 【例2.3.】 已知关于的不等式的整数解恰有4个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】先对不等式变形为，再根据不等式）的整数解恰有4个，对进行限制即可得出答案. 【详解】由，得，因为不等式）的整数解恰有4个，则或，所以或． 故选：． 【例2.4.】 已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或或； (2) 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、根据充分不必要条件求参数、具体函数的定义域、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）求定义域得集合，解不等式得集合，再由交集合的运算法则计算； （2）分，，解不等式得集合，根据充分条件的定义列不等式组求解． 【详解】（1）（1）由，解得且， 所以集合且， 不等式可化为 当时，不等式可化为为， 所以，故集合， 又或， 所以或或； （2）因为是的充分条件，所以是的子集， 又且， 当时，，满足题意， 当时，， 所以或，结合解得，， 当时，， 所以，得. 综上，实数的取值范围为. 题型3： 三个“二次”之间的关系 【例3.1.】 已知不等式的解集是,则不等式的解集是________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数 【解析】因为不等式的解集是,是方程的两个根,且,结合韦达定理,即可求得答案. 【详解】不等式的解集是 是方程的两个根,且, 根据韦达定理可得: 解得: 不等式:为 故不等式的解集:. 故答案为: . 【例3.2.】 已知不等式的解集为，且，则（    ） A．－1 B．1 C．3 D．－1或3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程的解集及其根与系数的关系 【分析】由二次不等式的解集，得相应一元二次方程的根，已知等式结合韦达定理求的值. 【详解】不等式的解集为，则和是方程的两根， 则，解得或， 有，，，， ， 即，解得. 故选：C 【例3.3.】 （多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、解含有参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】由不等式的解集为两根之间可判断A；由不等式的解集可知对应方程的根，从而得到之间的关系，可判断BCD. 【详解】关于x的不等式的解集为， 由不等式的解集为两根之间，得，故A正确； 由题意可知和4是方程的两根， 可得，解得， 对于B，，所以， 所以不等式的解集为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：AB． 题型4：其他不等式的解法 【例4.1.】 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】根据分式不等式及一元二次不等式的解法求解，再根据并集的定义即可求解． 【详解】由题知， 所以． 【例4.2.】 已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算、解不含参数的一元二次不等式、分式不等式、公式法解绝对值不等式 【分析】先解分式不等式和绝对值不等式求出集合A、B，再由交集定义即可得解. 【详解】解不等式，解得或， 所以集合或， 解得，即， 所以集合， 所以. 故选：B 【例4.3.】 设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、分式不等式 【分析】将分式不等式化为等价的二次不等式，根据“三个二次”的关系求解. 【详解】由不等式可得，等价于， 因为原不等式的解集是，所以是方程的两根， 所以，解得. 【例4.4.】 分式不等式的解集为______ 【答案】或或 【难度】0.85 【知识点】高次不等式 【分析】将分式不等式转为整式不等式（组），高阶不等式遵循：“奇次穿针引线，偶次穿而不过”的整体原则，得到不等式解集. 【详解】∵，∴， ∴或或. 故答案为：或或. 【例4.5.】 已知不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、分式不等式 【分析】将不等式化为，即的两个根为，且，代入求出，再利用分式不等式的解法即可求解. 【详解】不等式，即，即，可转化为， 因为不等式其解集为或， 所以且关于的方程的两个根为，， 所以 或，解得或（舍去）， 所以不等式，即，即，解得. 所以不等式的解集为. 故选：C. 题型5：一元二次不等式在R上恒成立 【例5.1.】 对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【详解】当时，恒成立，因此符合题意； 当时，由，恒成立， 得，解得， 所以a的取值范围是. 【例5.2.】 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据一元二次不等式恒成立问题，分，，三种情况讨论即可. 【详解】当时，显然有成立，符合题意； 当时，二次函数开口向上，故总存在，使得，故时不合题意； 当时，要使不等式对一切实数都成立，需使， 即，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 【例5.3.】 已知，若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】根据二次函数的图像和性质求解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 根据二次函数的图像和性质可得，，解得. 故答案为：. 【例5.4.】 已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、函数不等式恒成立问题 【分析】分类讨论先去绝对值符号，根据二次函数的对称性，依次讨论对称轴与端点的大小关系，结合最值求解一元二次不等式组即得. 【详解】令，即， 由题意可知在R上恒成立， ①若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（舍去）， 故得； ②若，即时， 要满足题意需， 整理得， 解得或，与前提矛盾舍去； ③若，即时， 要满足题意需， 整理得，解得或（，舍去）， 故得； 综上所述或 故 题型6：一元二次不等式在某区间上恒成立 【例6.1.】 恒成立，则实数a的最大值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、基本不等式求和的最小值 【分析】根据恒成立转化为在上恒成立，最后再应用基本不等式计算求解. 【详解】恒成立， 即 在上恒成立， 所以 在上恒成立， 又 当且仅当 即 时取等号，所以 则实数a的最大值为 故答案为：. 【例6.2.】 若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】首先不等式看成关于的不等式，再根据定义域，列式求解. 【详解】不等式整理为关于的一元一次不等式，恒成立， ，，得或， 所以的取值范围是. 故选：A 【例6.3.】 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】判断二次函数的单调性和求解单调区间、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】对二项式系数进行分类，结合二次函数定义的性质，列出关系式求解. 【详解】当时，不等式恒成立， 当时，满足不等式恒成立； 当时，令，则在上恒成立， 函数的图像抛物线对称轴为， 时，在上单调递减，在上单调递增， 则有，解得； 时，在上单调递增，在上单调递减， 则有，解得. 综上可知，的取值范围是. 故选：D. 【例6.4.】 不等式对于恒成立，则m的取值范围______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】由题意不等式对于恒成立，故只需结合基本不等式求得的最小值即可. 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，， 等号成立当且仅当，所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 题型7：一元二次不等式在某区间上有解问题 【例7.1.】 若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】应用分类讨论，结合对应二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】当，则，在上显然不成立， 当，则或，得或， 综上，实数的取值范围是. 故选：D 【例7.2.】 已知存在，使得成立，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】将问题转化为，结合二次函数的单调性即可得解. 【详解】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，， 则， 因为存在，使得成立， 所以，即，即，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 【例7.3.】 已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、根据全称命题的真假求参数 【分析】由题意得为真命题，令函数，讨论函数的对称轴，即可求得函数的最小值，建立不等式即可求得实数的取值范围. 【详解】由题意得命题的否定为真命题， 令函数，则函数对称轴， 当，即，函数最小值为， 由题意得，即.∴ 当，即，函数最小值为， 由题意得，即或，∴. ∴， 故选：A. 【例7.4.】 已知函数 (1)当时，解不等式， (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、解含有参数的一元二次不等式、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）分情况讨论二次不等式解的情况； （2）分离参数，结合对勾函数单调性可得取值范围. 【详解】（1）由已知，即， 因为，所以不等式化简可得， 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； 当时，，则不等式的解集为； （2）由已知不等式在上有解， 化简可得， 设，则， 又函数在上单调递增， 所以当时，， 所以， 即的取值范围是. 题型8：一元二次方程根的分布 【例8.1.】 已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、一元二次方程根的分布问题 【分析】转化为有两个不等正根为，根据韦达定理和根的判别式得到不等式组，求出答案. 【详解】设的两个不等正零点为， 即的两个不等正根为， 故，解得， 故的取值范围是. 故选：C 【例8.2.】 若关于的方程的两个不相等的实数根均小于，则实数的取值范围为________． 【答案】. 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】先根据判别式确定方程有两个不相等实根的条件，再结合二次函数的根分布和韦达定理，即可求解. 【详解】因为关于的方程的两个不相等的实数根， 所以，解不等式得， 设方程的两个根为，则根据韦达定理，可得，， 又方程的两个不相等的实数根均小于， 所以，展开得， 代入韦达定理的结果，得，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 故答案为： 【例8.3.】 已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】利用分解因式求出方程的两个根，再结合题意，列出不等关系求解即可. 【详解】方程，可得， 故方程的两个根分别为或. 由于两根一个比2大另一个比2小， 故,解得， 故答案为：. 【例8.4.】 已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】结合题意根据二次方程的性质，利用韦达定理列不等式求解. 【详解】因为方程，存在2个根， 所以， 解得或 设方程的两个根为，， 因为两根一正一负，所以，解得； 因为正根绝对值大于负根绝对值，所以，解得， 综上可得，. 故答案为：. 【例8.5.】 若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】一元二次方程根的分布问题 【分析】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题，即在上有两个不同的零点，结合二次函数图象与性质列出不等式组求解即可. 【详解】由题意可得命题“关于的二次方程在上有两个不同的解”是真命题， 令，则在上有两个不同的零点， 即，即，解得：．故的范围为． 故选：D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ §2.3 一元二次不等式与其它不等式解法·专项训练 目录 题型1：求不含参的一元二次不等式的解集 2 题型2：求含参的一元二次不等式的解集 2 题型3： 三个“二次”之间的关系 3 题型4：其他不等式的解法 3 题型5：一元二次不等式在R上恒成立 4 题型6：一元二次不等式在某区间上恒成立 4 题型7：一元二次不等式在某区间上有解问题 4 题型8：一元二次方程根的分布 5 题型1：求不含参的一元二次不等式的解集 【例1.1.】 设全集，集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 一元二次不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【例1.3.】 设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型2：求含参的一元二次不等式的解集 【例2.1.】 解不等式． 【例2.2.】 当时，关于x的不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知关于的不等式的整数解恰有4个，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 题型3： 三个“二次”之间的关系 【例3.1.】 已知不等式的解集是,则不等式的解集是________. 【例3.2.】 已知不等式的解集为，且，则（    ） A．－1 B．1 C．3 D．－1或3 【例3.3.】 （多选）已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的有（    ）． A． B．不等式的解集为 C． D． 题型4：其他不等式的解法 【例4.1.】 已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 【例4.3.】 设，若关于x的不等式的解集是，则a的值为______. 【例4.4.】 分式不等式的解集为______ 【例4.5.】 已知不等式的解集为或，则的解集为（    ） A． B． C． D． 题型5：一元二次不等式在R上恒成立 【例5.1.】 对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 【例5.2.】 若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D．或 【例5.3.】 已知，若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是__________. 【例5.4.】 已知函数，，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____________． 题型6：一元二次不等式在某区间上恒成立 【例6.1.】 恒成立，则实数a的最大值为______. 【例6.2.】 若不等式 对任意恒成立，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 当时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 不等式对于恒成立，则m的取值范围______. 题型7：一元二次不等式在某区间上有解问题 【例7.1.】 若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例7.2.】 已知存在，使得成立，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【例7.3.】 已知命题．若命题为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例7.4.】 已知函数 (1)当时，解不等式， (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 题型8：一元二次方程根的分布 【例8.1.】 已知函数有两个不相等的正零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例8.2.】 若关于的方程的两个不相等的实数根均小于，则实数的取值范围为________． 【例8.3.】 已知方程的两根一个比2大另一个比2小，则实数m的范围是 ____________ . 【例8.4.】 已知方程有一正根一负根，且正根绝对值大于负根绝对值，则实数m的取值范围是______. 【例8.5.】 若命题“关于的二次方程在上至多有一个解”是假命题，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $