2025～2026学年人教版数学八年级下册期末巩固复习基础卷

**基本信息** 以元代玻璃托盏、跳绳长度等文化与生活情境为载体，覆盖二次根式、四边形、一次函数、数据统计等核心知识，通过折叠问题、箱线图分析等考查几何直观、数据意识与推理能力，适配八年级期末基础巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|正八边形角度（四边形）、箱线图分析（数据）|结合文化遗产（第2题）、生活函数关系（第5题）| |填空题|4/12|圆柱环绕最短路径（勾股定理）、方差计算（统计）|聚焦空间观念（第16题）、运算能力（第13题）| |解答题|8/72|心理健康课成绩分析（数据处理）、四边形综合证明（推理）|设置跨学科探究（第22题）、分层论证（第24题）|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田兔先乡笔 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 (基础卷) (考试时间：100分钟试卷满分：120分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：：人教版新教材八年级下册考试范围第19~24章。 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1.下列各式中，不是二次根式的是() A.2 B.V2x? c.2+i D.诉 2.如图1的玻璃莲花托盏，出土于甘肃省定西市漳县徐家坪，由普蓝色玻璃制成，半透明， 造型优美，色彩艳丽，工艺精湛，是迄今为止中国出土最完整的一套元代玻璃托盏。如图 2是玻璃莲花托盏茶托边沿的平面示意图，可抽象为正八边形ABCDEFGH,则∠ABC的 度数为() G 图1 图2 A.115o B.125° C.135° D.145° 试卷第1页，共24页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田兔先乡笔 3.已知一组数据：8、4、2、6、4、5、1、2，则这组数据的下四分位数为() A.3 B.2 C.6 D.5 4.小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，(1)(2)(3)(4) 处需要添加条件，则下列条件添加错误的是() D (1) 矩形 (2 A D A 平行 四边形 D 正方形 C (3) A 菱形 (4) B A.(1)处可填∠A=90° B.(2)处可填AD=BC C.(3)处可填AB=AD D.(4)处可填∠A=90 5.某公司员工工资y(元)与工作天数x（天)满足一次函数关系，已知工作5天得400 元，工作8天得580元，则工作10天可得() A.700元 B.710元 C.720元 D.730元 6.下列各式中，一定能成立的是（) A.Vx2-9=Vx+3.√x-3 B.Va-(Va) C.V2-2x+1=x-1 D.2.5}=(2.5 7.某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老 师从家到学校这一过程中所走的路程5（米）与时间t(分)之间的关系.下列说法错误的 是( S/米 1000 500 10 20257分 A.学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B.王老师吃早餐用10分钟 C.吃完早餐后的平均速度是100米/分钟 试卷第2页，共24页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 巴危先乡笔 D.王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 8.如图，将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的一点H重合(H不与端点C,D重 合)，折痕交AD于点E,交BC于点F,边AB折叠后与边BC交于点G.设正方形ABCD 的月长为m,。CG的局长为元则骨的值为《) B A.2 B.2 c.5+1 D.随H点位置的变化而变化 9.已知直线：y=+bk≠0)与直线：为=a-2a(a>0)交于精上一点，且直线经 过第一、二、四象限，则不等式x+b>0的解集为() A.x>2 B.X<2 C.x>-2 D.X<-2 10.小明用正方形制作了一个七巧板如图1所示，又用这副七巧板拼成了一个平行四边形 ABCD如图2，若正方形的对角线长是2，则该平行四边形的对角线AC的长是() ① 6 5 ⑧ 3 ⑥ ② ⑤ ① ② ⑦ ④ ③ ⑦ B 图1 图2 A. C.2V2 D.25 11.小聪新买了一条跳绳，如图，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩 住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲90°，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长 即合适长度.将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距 离约1.2米，则适合小聪的绳长为() 试卷第3页，共24页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 一1米 米 图1 图2 A.1.3米 B.2.2米 C.2.4米 D.2.6米 12.如图所示为根据A、B两地某月每天最低气温所绘制的箱线图，根据该图判断，下列 说法错误的是() 这个月每天的平均气温/℃ 20 15 10 0 A地 B地 A.该月A地每天最低气温的最小值低于B地 B.该月A地每天最低气温的中位数低于B地 C.该月A地每天最低气温的方差低于B地 D,该月A地每天最低气温的下四分位数低于B地 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13.某中学举行的五四青年节文艺比赛中，5名参赛选手的成绩分别是：8,7,8,7， 10,这5名选手的方差是一 14.将直线y=2x向上平移3个单位长度后经过点(，m),则m的值为 A,B,C 15.如图，正方形 的边长分别 为2+5,1和2-5 .则图中阴影部分的面积为 A B C 试卷第4页，共24页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 巴危先乡笔 16.如图，一圆柱形油罐的底面圆的周长为12m,高为5m,要以点A为底端环绕油罐做一 梯子，正好顶端在点A的正上方点B处，那么梯子最短需 m. 三、解答题（共8小题，满分72分） 17.(6分)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC,EF平分∠AED,CF平分∠BCD 若∠EDC=80°，求∠EFC的度数 18.(6分)在学习了“1.4三角形的中位线”后，某数学兴趣小组偶然接触到“梯形中位 线”的概念： 如图，在梯形ABCD中，AD‖BC;E、F分别是AB、CD的中点，连接EF,线段EF叫 做梯形ABCD的中位线， 这引起了该小组成员的兴趣，他们随后通过上网获悉梯形中位线具有“平行于梯形上下两 底且等于梯形上下两底长度之和的一半”的性质，于是想通过自己的思考来加以证明， 经过充分讨论，聪聪和明明打算通过做辅助线并结合己学的知识来加以证明，他们的大致 思路如下： 如图所示，连接AF并延长，与BC的延长线交于点G,… 请你按照他们的思路继续证明：EF川AD川BC,EF=(AD+BC)】 试卷第5页，共24页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 19.(8分)如图，在△ABC中，∠C=90°，点P、D分别在AC、AB上，连接PD, 作BD的垂直平分线EF交BC于点E,交BD于点F,连接DE,已知PD=PA.则DE与 PD垂直吗？请说明理由. 20.(8分)观察下列各式： @4-受-5-店 (1)根据你发现的规律填空： (2)请用n(n为正整数)来表示含有上述规律的等式： 并证明你的猜想. 21.(10分)某校组织阳光体育特色大课间活动，现需购买一批排球和跳绳.已知购进1 个排球和3根跳绳共花费40元，购进3个排球和2根跳绳共花费85元. (1)求购进的排球和跳绳的单价： (2)现需购买这两类运动设备共150件，并且购买费用不超过1200元，最多购买多少个排球？ 22.(10分)【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学 配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力.在开 设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了50名学 生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果。 【数据收集与整理】收集这50名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分 (满分100分，用x表示学生的分数)进行分组，分组如下： 试卷第6页，共24页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 组 A B D E 别 50≤x<60 60≤x<70 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，79,80,81,82,83,84， 85,85,85,85,85,89,89,89,89,89,89,90,… 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试 成绩绘制成如图②的扇形统计图. A频数 B 12% A8% 8 6 4 20% 5060708090100分数 图① 图② 整理3：这50名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于80分为优良） 为20% 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在C组的有一人，并补全频数分布直方图： 任务2：心理健康课后这50名同学测试成绩的中位数是一，D组对应扇形的圆心角是 任务3：已知心理健康课后的这50名同学的平均分为82.3分；心理健康课前测试成绩在A。 B,C,D,E五组中的平均分分别为55,65,75,85,95；若心理健康课后的平均分 比心理健康课前高出5%，就认为开设心理健康课的效果显著.请你通过计算说明该校开 设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 23.10分)在平面直角坐标系x0y中，点2,3) 在函数'=+1(k≠0) 的图象上. (1)求k的值： ②求直线'=红+1k+0)与直线y=-2X的交点坐标： ③)当”<x<2时，对于的每一个值，函数=+1k≠0 的函数值都大于y=-2x的函数 试卷第7页，共24页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 田危先乡笔 值，且小于y=-2x+b的函数值，直接写出n的最小值和b的取值范围. 24.(14分)如图，四边形ABCD中，AD川BC,且BC=2AD,∠ABC+∠DCB=90°. M (图1) (图2) 备用图 (1)如图1，若点O为BC的中点，连接AO、D0,求证：AO⊥DO: (2)如图2，分别以AB、BC、CD为边向外构造正方形，正方形ABEF、正方形BCMN、 正方形CDGH的面积依次为S.S、S,若9，=36，求8+ ,求 3的值； (3)在(2)的条件下，连接FG,取FG中点P,求△PAD的面积. 试卷第8页，共24页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （基础卷） （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：：人教版新教材八年级下册考试范围第19~24章。 一、选择题（共12小题，满分36分，每小题3分） 1．下列各式中，不是二次根式的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】福建莆田市荔城区莆田第四中学2025-2026学年下学期八年级第一次学情自测数学试题 【知识点】二次根式的识别 【分析】形如的式子叫做二次根式，据此逐一判断． 【详解】解：A、∵， ∴无意义，即不是二次根式，符合题意； B、∵， ∴， ∴是二次根式，不符合题意； C、∵， ∴， ∴是二次根式，不符合题意； D、∵， ∴是二次根式，不符合题意． 2．如图1的玻璃莲花托盏，出土于甘肃省定西市漳县徐家坪，由普蓝色玻璃制成，半透明，造型优美，色彩艳丽，工艺精湛，是迄今为止中国出土最完整的一套元代玻璃托盏．如图2是玻璃莲花托盏茶托边沿的平面示意图，可抽象为正八边形，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】2026年甘肃天水市麦积区初中毕业暨升学适应性检测数学试卷 【知识点】正多边形的内角问题 【分析】先根据多边形内角和定理：求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数． 【详解】解：该正八边形内角和， 则每个内角的度数． 3．已知一组数据：、、、、、、、，则这组数据的下四分位数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】广东省佛山市2025-2026学年北师大版八年级上册期末数学复习试卷 【知识点】求四分位数 【分析】本题考查的是四分位数的定义，按下四分位数的定义求下四分位数即可． 【详解】解：将原数据按从小到大重新排列：1、2、2、4、4、5、6、8， 所以这组数据的下四分位数是， 故选：B． 4．小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（    ） A．（1）处可填 B．（2）处可填 C．（3）处可填 D．（4）处可填 【答案】B 【来源】江西省南昌市2024-2025学年下学期期中八年级数学测试卷 【知识点】添一个条件使四边形是正方形、添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据矩形，菱形和正方形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：A、当时，可以根据有一个内角是直角的平行四边形是矩形证明平行四边形是矩形，故此选项不符合题意； B、当时，不可以证明矩形是正方形，故此选项符合题意； C、当时，可以根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明平行四边形是菱形，故此选项不符合题意； D、当时，可以根据有一个内角是直角的菱形是正方形证明菱形是正方形，故此选项不符合题意； 5．某公司员工工资y（元）与工作天数x（天）满足一次函数关系，已知工作5天得400元，工作8天得580元，则工作10天可得（     ） A．700元 B．710元 C．720元 D．730元 【答案】A 【来源】云南宣威市民族中学等校2025-2026学年第二学期5月阶段检测八年级数学 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】用待定系数法求出一次函数解析式，再代入计算工资即可． 【详解】解：设一次函数解析式为， ∵当时，，当时，， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为， 当时，， 即工作10天可得700元． 6．下列各式中，一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【来源】内蒙古赤峰市巴林左旗林东第三中学2024-2025学年八年级下学期第一次学情阶段监测数学试题 【知识点】二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，二次根式的乘法法则，利用完全平方公式因式分解，正确理解二次根式的性质是解题的关键．需注意二次根式的双重非负性，，．分别利用二次根式的乘法法则，二次根式的性质化简判断即可． 【详解】解：A、只有当且时，即时，才能成立，故选项不一定成立，不符合题意； B、只有当时， 才能成立，故选项不一定成立，不符合题意； C、，只有当时，才能成立，故选项不一定成立，不符合题意； D、，故选项成立，符合题意， 故选：D． 7．某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一饭店吃早餐，如图所示是王老师从家到学校这一过程中所走的路程s（米）与时间t（分）之间的关系．下列说法错误的是（　　） A．学校离他家500米，从出发到学校，王老师共用了25分钟 B．王老师吃早餐用10分钟 C．吃完早餐后的平均速度是100米/分钟 D．王老师吃早餐以前的速度比吃完早餐以后的速度慢 【答案】A 【来源】6.1函数（9大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年七年级数学上册同步精品课堂（鲁教版五四制） 【知识点】用图象表示变量间的关系、从函数的图象获取信息 【分析】本题主要考查了函数的图象，解题时要熟练掌握并能结合函数的图象进行分析是关键． 依据题意，根据函数的图象逐个进行分析判断可以得解． 【详解】解：由题意，结合图象可得， A．他家与学校的距离为1000米，从家出发到学校，王老师共用了25分钟，故选项说法错误，符合题意； B．王老师从家出发10分钟后开始用早餐，到20分钟结束，花了：（分钟），故选项说法正确，不符合题意； C．用完早餐以后的速度是：（米/分），故该选项说法正确，不符合题意， D． 王老师用早餐前步行的速度是：（米/分），用完早餐以后的速度是100（米/分），故该选项说法正确，不符合题意， 故选：A． 8．如图，将正方形折叠，使顶点A与边上的一点H重合（H不与端点C，D重合），折痕交于点E，交于点F，边折叠后与边交于点G．设正方形的周长为m，的周长为n，则的值为（    ） A． B．2 C． D．随H点位置的变化而变化 【答案】B 【来源】湖南省长沙市长沙县2023—2024学年八年级下学期学科素养竞赛数学试题 【知识点】折叠问题、根据正方形的性质证明、全等三角形综合问题 【分析】连接、，作于M．判定，可得，即可得出，再判定，即可得到，进而得到的周长等于正方形的周长的一半． 【详解】解：如图，连接、，作于M． ∵， ∴， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ， 的周长， 又∵正方形的周长， 的值为2， 故选：B． 【点睛】本题考查翻折变换及正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的对应边相等得出结论． 9．已知直线与直线交于轴上一点，且直线经过第一、二、四象限，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【来源】2024年陕西省西安市高新区第三初级中学中考六模数学试题 【知识点】由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、已知函数经过的象限求参数范围 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，先根据求出两直线的交点坐标为，再由直线经过第一、二、四象限得到，则当直线的图象在x轴上方时自变量的取值范围为，即不等式的解集为． 【详解】解：在中，当时，，即， ∴直线与直线交于， ∵直线经过第一、二、四象限， ∴， ∴当直线的图象在x轴上方时自变量的取值范围为， ∴不等式的解集为， 故选：B． 10．小明用正方形制作了一个七巧板如图1所示，又用这副七巧板拼成了一个平行四边形如图2，若正方形的对角线长是2，则该平行四边形的对角线的长是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【来源】山西省运城市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题 【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、用七巧板拼图形 【分析】本题主要考查了七巧板的特点，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质和七巧板的特点． 延长，过点作于点，根据七巧板的特点求出，，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：延长，过点作于点，如图所示：    根据七巧板的特点可知，为等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， 故选：B． 11．小聪新买了一条跳绳，如图，他按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长：一脚踩住绳子的中央，手肘靠近身体，两肘弯曲，小臂水平转向两侧，两手将绳拉直，绳长即合适长度．将图1抽象成如图2，若两手握住的绳柄两端距离约为1米，小臂到地面的距离约1.2米，则适合小聪的绳长为（   ） A．1.3米 B．2.2米 C．2.4米 D．2.6米 【答案】D 【来源】河南省郑州市第十九中学2025-2026学年八年级上学期数学期末试卷 【知识点】用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．过点作于，由等腰三角形的性质得米，然后根据勾股定理即可求得、的长度，即可得解． 【详解】解：如图所示，过点作于， ， （米）， （米）， （米）， 绳长为（米）， 故选：D． 12．如图所示为根据A、B两地某月每天最低气温所绘制的箱线图，根据该图判断，下列说法错误的是（    ） A．该月A地每天最低气温的最小值低于B地 B．该月A地每天最低气温的中位数低于B地 C．该月A地每天最低气温的方差低于B地 D．该月A地每天最低气温的下四分位数低于B地 【答案】C 【来源】广东省深圳市龙岗区2025-2026学年上学期八年级数学期末统考试卷 【知识点】求四分位数、画箱线图 【分析】本题考查了箱线图，熟读箱线图是解题的关键． 根据箱线图中的四分位数，中位数，上下限，判断各个选项即可解答． 【详解】解：A、由图可得A地每天最低气温的下限比B地每天最低气温的下限低，故A地每天最低气温的最小值低于B地，不符合题意； B、由图可得该月A地每天最低气温的中位数低于B地，不符合题意； C、根据图中可得看出A地每天最低气温的波动更大，即该月A地每天最低气温的方差高于B地，符合题意； D、由图可得该月A地每天最低气温的下四分位数低于B地，不符合题意， 故选：C． 二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分） 13．某中学举行的五四青年节文艺比赛中，5名参赛选手的成绩分别是：8，7，8，7，10，这5名选手的方差是______． 【答案】 【来源】2026年广东茂名市高州市四校创优中考模拟考试一模数学试题 【知识点】求方差 【详解】解：∵， ∴． 14．将直线向上平移3个单位长度后经过点，则m的值为________． 【答案】5 【来源】2025年天津市红桥区九中考数学二模试卷 【知识点】一次函数图象平移问题、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了一次函数的平移和一次函数图象上点坐标特点，正确得出平移后的直线解析式是关键； 先根据一次函数的平移规律：上加下减得出平移后的直线解析式为，再把点代入求解即可． 【详解】解：∵直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵直线经过点， ∴； 故答案为：5． 15．如图，正方形的边长分别为，和．则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【来源】河北威县第一中学2025-2026学年度八年级第二学期期末学业水平监测 数学（人教版） 【知识点】二次根式的混合运算、根据正方形的性质求线段长、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】先设三个正方形的边长，再根据图形关系用“大长方形面积减去两个白色正方形面积”表示阴影部分面积，代入边长的具体数值后，通过整式运算与根式化简，最终算出阴影面积为． 【详解】解：设正方形的边长分别为，， ， 观察图形可得：阴影部分面积右侧大长方形面积减去两个白色正方形的面积， 右侧大矩形的高等于正方形的边长，宽等于， ∴阴影面积公式为： ． 16．如图，一圆柱形油罐的底面圆的周长为，高为，要以点为底端环绕油罐做一梯子，正好顶端在点的正上方点处，那么梯子最短需___________． 【答案】13 【来源】天津市滨海新区塘沽一中教育集团2025-2026学年度第二学期期中检测试卷 八年级数学 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】先把圆柱的侧面展开得到一个长方形，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将圆柱形油罐的侧面展开，在中，， 则， 即梯子最短需． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）如图，在五边形中，平分，平分，若，求的度数 【答案】 【来源】河北威县第一中学2025-2026学年度八年级第二学期期末学业水平监测 数学（人教版） 【知识点】多边形内角和问题、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算 【分析】本题考查多边形的内角和、平行线的性质、角平分线的定义，熟记多边形的内角和公式是解答的关键．先根据平行线的性质得到，再利用五边形的内角和求得，然后根据角平分线的定义求得，最后利用四边形的内角和为求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵多边形是五边形， ∴ ∵平分，平分 ∴ ∴． 18．（6分）在学习了“三角形的中位线”后，某数学兴趣小组偶然接触到“梯形中位线”的概念： 如图，在梯形中，，、分别是、的中点，连接，线段叫做梯形的中位线． 这引起了该小组成员的兴趣，他们随后通过上网获悉梯形中位线具有“平行于梯形上下两底且等于梯形上下两底长度之和的一半”的性质，于是想通过自己的思考来加以证明． 经过充分讨论，聪聪和明明打算通过做辅助线并结合已学的知识来加以证明，他们的大致思路如下： 如图所示，连接并延长，与的延长线交于点，…… 请你按照他们的思路继续证明：． 【答案】见解析 【来源】湖南娄底市第三中学2025-2026学年下学期八年级期中集中练习数学试卷 【知识点】与三角形中位线有关的证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先证明，得出，，证明为的中位线，根据中位线的性质得出，，根据线段间的关系，即可证明结论． 【详解】证明：连接并延长，与的延长线交于点，如图所示： ∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵E为的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴． 19．（8分）如图，在中，，点P、D分别在、上，连接，作的垂直平分线交于点E，交于点F，连接，已知．则与垂直吗？请说明理由． 【答案】, 理由见解析 【来源】陕西省渭南市富平县2024-2025学年下学期七年级期末数学试题 【知识点】等边对等角、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角；根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，于是得到结论． 【详解】解：， 理由如下： ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（8分）观察下列各式： ①； ②； ③ (1)根据你发现的规律填空：___________； (2)请用（为正整数）来表示含有上述规律的等式：___________，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【来源】安徽省合肥市庐阳区合肥寿春中学2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试卷 【知识点】利用二次根式的性质化简、数字类规律探索 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探究，从已有等式中抽象概括出相应的规律，是解题的关键： （1）根据已有等式，进行作答即可； （2）根据已有等式，推出规律，利用二次根式的性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； 故答案为：； （2）由题意，规律为：； 证明：∵为正整数， ∴． 21．（10分）某校组织阳光体育特色大课间活动，现需购买一批排球和跳绳．已知购进1个排球和3根跳绳共花费40元，购进3个排球和2根跳绳共花费85元． (1)求购进的排球和跳绳的单价； (2)现需购买这两类运动设备共150件，并且购买费用不超过1200元，最多购买多少个排球？ 【答案】(1)排球单价是25元，跳绳单价是5元 (2)最多购买22个排球 【来源】山东省济南市市中区2025-2026学年八年级上学期期末数学试题 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组，不等式的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设购进的排球单价是x元，跳绳单价是y元，由此列二元一次方程组求解即可； （2）设购买排球a个，则购买跳绳根，根据购买费用不超过1200元列出不等式并解不等式，结合实际问题即可得出答案． 【详解】（1）解：设购进的排球单价是x元，跳绳单价是y元， ∴， ∴， 答：购进的排球单价是25元，跳绳单价是5元； （2）解：设购买排球a个，则购买跳绳根， ， ∴， ∵a为整数，所以有最大值22． 答：最多购买22个排球． 22．（10分）【项目背景】近年来，党和人民政府一直关心青少年的身心健康，在中小学配置专业心理老师，开设心理健康课，以提高青少年心理抗压和自我心理疏导能力．在开设心理健康课前后，某校对全校学生进行了两次心理健康知识测试，并随机抽取了名学生，对他们的两次测试成绩进行对比分析，来检验心理健康课的开设效果． 【数据收集与整理】收集这名学生在心理健康课前和课后的测试成绩，并按照学生得分（满分分，用表示学生的分数）进行分组，分组如下： 组别 整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，， 整理2：将心理健康课前测试成绩绘制成如图①的频数分布直方图，将心理健康课后测试成绩绘制成如图②的扇形统计图． 整理3：这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． 【数据处理和应用】 任务1：心理健康课前测试成绩在组的有_____人，并补全频数分布直方图； 任务2：心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是_____，组对应扇形的圆心角是_____； 任务3：已知心理健康课后的这名同学的平均分为分；心理健康课前测试成绩在，，，，五组中的平均分分别为，，，，；若心理健康课后的平均分比心理健康课前高出，就认为开设心理健康课的效果显著．请你通过计算说明该校开设的心理健康课是否达到“效果显著”？ 【答案】任务1：， 补全频数分布直方图如图： 任务2：，； 任务3：达到“效果显著” 【来源】2025年6月安徽省安庆市部分学校中考模拟考试数学试卷　 【知识点】求中位数、求加权平均数、频数分布直方图、求扇形统计图的圆心角 【分析】本题考查了求中位数，频数直方图，加权平均数，求扇形统计图的圆心角；熟练掌握以上知识点是解题的关键； 任务1：根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为．得出组有人，进而求得组的人数，根据频数直方图求得组的人数，进而补全统计图； 任务2：根据图②可得心理健康课后这名同学测试成绩的中位数在组，进而求得第，个数据分别为，，即可求得中位数，根据组的人数为人，用其占比乘以，进而求得组对应圆心角的度数； 任务3：根据加权平均数的方法计算心理健康课前测试成绩的平均分，进而求得心理健康课后的平均分比心理健康课前高出的百分比，和比较，即可求解． 【详解】解：任务1：根据这名学生在心理健康课前测试成绩优良率（测试成绩大于或等于分为优良）为． ∴人 ∴组的人数为人 则组的人数为：人 故答案为：． 任务2：根据图②可得心理健康课后这名同学测试成绩的中位数在组， 其中组占比为，共有人 根据整理1：学生在心理健康课后的部分测试成绩记录如下：…，，，，，，，，，，，，，，，，，，， ∴组的人数为人 ∴从大到小排列，第，个数据分别为， ∴心理健康课后这名同学测试成绩的中位数是 组对应扇形的圆心角是 故答案为：，． 任务3：依题意，， ∴达到“效果显著”． 23．（10分）在平面直角坐标系中，点在函数的图象上． (1)求的值； (2)求直线与直线的交点坐标； (3)当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值，直接写出的最小值和的取值范围． 【答案】(1) (2)交点坐标为 (3)的最小值为，的取值范围为 【来源】北京师达中学2025--2026学年第二学期八年级期中数学练习 【知识点】求一次函数自变量或函数值、两直线的交点与二元一次方程组的解、求一次函数解析式 【分析】（1）将点代入一次函数解析式即可解决问题； （2）联立两个直线进行求解即可； （3）求得时，，代入求得，求得时，，把代入，求得，然后根据图象即可求得． 【详解】（1）解：将点代入， 得 解得； （2）解：由（1）可知，一次函数解析式为， 联立， 解得， ∴两直线的交点坐标为； （3）解：如图， 当时，， 把代入， 解得， 当时，， 把代入， 解得， 当时，对于的每一个值，函数的函数值都大于的函数值，且小于的函数值， 的最小值为，的取值范围是． 24．（14分）如图，四边形中，，且，． (1)如图1，若点为的中点，连接、，求证：； (2)如图2，分别以、、为边向外构造正方形，正方形、正方形、正方形的面积依次为、、，若，求的值； (3)在（2）的条件下，连接，取中点，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)9 (3) 【来源】广东省广州市 海珠区2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的判定与性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用平行四边形的判定和性质，得出相等的角，然后得出，即可得出垂直； （2）过点作，交于点，证明出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质得出相等的角和边，得出为直角三角形，最后利用勾股定理即可求解； （3）连接，点为线段的中点，结合前两问得出为等腰直角三角形，判定出，得出为等腰直角三角形，然后结合勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，四边形为平行四边形， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点作，交于点， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， 为直角三角形， 由勾股定理得； （3）解：如图所示，在（2）的条件下，连接，点为线段的中点， 同（1）可得，， 正方形、正方形、正方形， ，，， 点在同一条直线上，点在同一条直线上， 同（2）得，四边形为平行四边形，且四边形为平行四边形， ∴，即， 为等腰直角三角形， 由点为线段的中点，根据三线合一可得， ，，， 又， ， ， ， ∴， 为等腰直角三角形， ∵， 由勾股定理得，即， ∴， ． 试卷第16页，共24页 试卷第15页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $