江苏镇江市扬中市第二高级中学2025-2026学年第二学期高一数学期末模拟2

**基本信息** 高一数学期末模拟卷聚焦向量、立体几何、解三角形等核心内容，解答题如四棱锥线面平行与二面角问题，融合空间观念与推理能力，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|投影向量、立体几何位置关系|以平行四边形中点连线考查向量运算，体现数学眼光| |多选题|3/18|正方体线线角、体积计算|结合动点轨迹问题，发展空间观念与创新意识| |填空题|3/15|解三角形面积最值、四棱锥线面垂直|通过双空设计分层考查运算能力与数学思维| |解答题|5/77|复数运算、向量函数、二面角求解|四棱锥问题综合空间想象与逻辑推理，强化数学语言表达|

江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学期末模拟2 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知平面向量上的投影向量为，则的值为 （ ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形的中点，交于点，则 （ ） A． B． C． D． 3．已知平面，直线，直线，则下列说法中，①若，则；②若，则；③若，则.正确结论的序号为 （ ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 4．若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为4的球面上，其上、下底面半径分别为1和2，则该圆台的表面积为 （ ） A． B． C． D． 5．一艘海警船从港口出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达处，这时候接到从处发出的以求救信号，已知在的北偏东，港口的东偏南处，那么，两点的距离是（ ）海里 A． B． C． D． 6．设的内角所对的边分别为，若 （ ） A． B． C． D． 7．如图，在五面体中，正三角形的边长为1，，，且，设与平面所成的角为，若，则当取最大值时，平面与平面所成角的正切值为（ ） A． B． C． D． 8．若外接圆的圆心，半径为，且，则边的长为A． B． C． D． （ ） 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，则下列说法正确的是 （ ） A．在复平面内，所对应的点位于第四象限 B．的充要条件为 C．若的取值范围为 D．若 ，则为纯虚数 10．在的内角所对的边分别为，下列说法中错误的是 （ ） A．若，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 B．为锐角三角形，则 C．若，则是等腰三角形 D．是所在平面内一点，若，且，则的面积是面积的 11．在棱长为4的正方体中，下列说法正确的是 （ ） A． B．直线所成的角为 C．三棱锥的体积为 D．的中点，点是侧面内的动点，若，则的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形， ，直线，则 . 13．在中，角所对的边分别为，且． 若，则面积的最大值为_________； 若，则_________．第一空2分，第二空3分 14．在 中．已知，为线段上的一点，且满足．若的面积为，，则的最小值为_______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知复数，其中为虚数单位，. （Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围. 16．已知向量，，，函数． （1）若，且，求的值； （2）若，，，，．求的值． 17．在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，. (1)求证：； (2)求的面积. 18．如图四棱锥的底面是平行四边形，，分别是棱的中点.（1）证明：；（2）若二面角为， ①证明：；②求直线与平面所成角的正弦值. 19．在钝角三角形中，，，，. （1）求的值； （2）已知，，三点共线，若恒成立，求实数的取值范围. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省扬中市第二高级中学2025-2026第二学期高一数学期末模拟2 姓名 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知平面向量上的投影向量为，则的值为 （ D ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形的中点，交于点，则 （ A ） A． B． C． D． 3．已知平面，直线，直线，则下列说法中，①若，则；②若，则；③若，则.正确结论的序号为 （ D ） A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 4．若圆台上、下底面的圆周都在一个直径为4的球面上，其上、下底面半径分别为1和2，则该圆台的表面积为 （ D ） A． B． C． D． 5．一艘海警船从港口出发，以每小时40海里的速度沿南偏东方向直线航行，30分钟后到达处，这时候接到从处发出的以求救信号，已知在的北偏东，港口的东偏南处，那么，两点的距离是（ B ）海里 A． B． C． D． 6．设的内角所对的边分别为，若 （ C ） A． B． C． D． 7．如图，在五面体中，正三角形的边长为1，，，且，设与平面所成的角为，若，则当取最大值时，平面与平面所成角的正切值为（ C ） A． B． C． D． 8．若外接圆的圆心，半径为，且，则边的长为A． B． C． D． （ D ） 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，则下列说法正确的是 （ BC ） A．在复平面内，所对应的点位于第四象限 B．的充要条件为 C．若的取值范围为 D．若 ，则为纯虚数 10．在的内角所对的边分别为，下列说法中错误的是 （ ACD ） A．若，要使满足条件的三角形有且只有两个，则 B．为锐角三角形，则 C．若，则是等腰三角形 D．是所在平面内一点，若，且，则的面积是面积的 11．在棱长为4的正方体中，下列说法正确的是 （ AD ） A． B．直线所成的角为 C．三棱锥的体积为 D．的中点，点是侧面内的动点，若，则的最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形， ，直线，则 . 13．在中，角所对的边分别为，且． 若，则面积的最大值为_________； 若，则_________．第一空2分，第二空3分 14．在 中．已知，为线段上的一点，且满足．若的面积为，，则的最小值为_______． 【详解】∵ ∵A，P，D三点共线，∴，即m．∴ ， 又∵．∴，即CA•CB＝8．∴ ∴ ．故答案为2． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．已知复数，其中为虚数单位，. （Ⅰ）若，求实数的值； （Ⅱ）若在复平面内对应的点位于第一象限，求实数的取值范围. 15．解：（1）由题意，根据复数的运算，可得, 由，则， 解得. （2）由在复平面内对应的点位于第一象限，则且，解得， 即的取值范围为. 【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的分类与表示，其中解答中根据复数的运算，求得复数，再根据复数的分类和复数的表示列出相应的条件是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 16．已知向量，，，函数． （1）若，且，求的值； （2）若，，，，．求的值． 16．解：（1），且； ； ，， ，， ，； （2）， ； 又， ； 、，， ，； ． 17．在中，角，，的对边分别为，，，已知，且，. (1)求证：； (2)求的面积. 17．解：（1）证明：，，所以， 根据正弦定理得，， 又所以，即 （2）由余弦定理得， 由（1），得，结合可得. 即，解得或 （舍去），所以 18．如图四棱锥的底面是平行四边形，，分别是棱的中点.（1）证明：；（2）若二面角为， ①证明：；②求直线与平面所成角的正弦值. 18．解：（1）取的中点，连接， 分别是棱的中点， ， 所以四边形为平行四边形， ， ； （2）①连接,， 为二面角的平面角， 且， , ， ； ②， ， 为与平面所成的角， 在， , 所以直线与平面所成角的正弦值为. 19．在钝角三角形中，，，，. （1）求的值； （2）已知，，三点共线，若恒成立，求实数的取值范围. 19．解：（1）因为，，， 又， 所以， 所以，所以或， 若，则， 则， ，所以为钝角， ， ， 所以， 所以， 若，则， ， 则， 综上：若，，若，. （2）由已知，设， 则， 所以， 当时，， 当时，取最小值，最小值为， 故的取值范围为， 由恒成立可得，， 所以的取值范围为， 当时，， 当时，取最小值，最小值为， 故的取值范围为， 由恒成立可得，. 的取值范围为， 综上：若，的取值范围为， 若，的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $